BAB LIMA

UNIT LIMA

TABURAN KEBARANGKALIAN

OBJEKTIF

Selepas mempelajari unit ini, diharap pelajar dapat

1. mengenalpasti jenis taburan kebarangkalian dari sesuatu ujikaji

2. mengira kebarangkalian menggunakan taburan kebarangkalian yang bersesuaian

5.0 PENGENALAN

Kita telah lihat pada Bab 4 di mana taburan kebarangkalian diskrit boleh ditunjukkan secara graf dan juga jadual. Ada kalanya taburan kebarangkalian bagi sesuatu pembolehubah X boleh ditunjukkan menerusi satu rumus tunggal.

Takrif 5.1

Taburan kebarangkalian boleh diwakilkan oleh jadual, graf atau suatu fungsi atau rumus atau dalam apa jua bentuk yang digunakan untuk menunjukkan semua kemungkinan nilai-nilai pembolehubah rawak bersama dengan kebarangkalian masing-masing.

Oleh kerana taburan kebarangkalian tertentu boleh diwakilkan oleh suatu rumus, ia mestilah memenuhi ciri-ciri yang ada pada taburan tersebut, bagi memastikan pemilihan taburan adalah bertepatan. Oleh kerana taburan kebarangkalian ialah taburan kekerapan khas, maka ia juga mempunyai min dan sisihan piawai. Kebiasaannya kita berminat pada populasi taburan kebarangkalian bukan sampel, maka minnya ditulis sebagai (. Kita mulakan perbincangan dengan taburan diskrit dahulu.

5.1 BEBERAPA TABURAN KEBARANGKALIAN DISKRITTaburan Seragam

Misalkan pembolehubah rawak X mengambil nilai-nilai x1, x2, xk dengan kebarangkalian yang sama, maka fungsi kebarangkalian (fk) bagi X diberi oleh

f(x; k) = 1/k, x = x1, x2, , xk.

Parameter : k

Contoh 5.1

Lambungkan sebiji dadu sekali. Misalkan X pembolehubah rawak bagi nombor-nombor yang terhasil, maka x boleh mengambil nilai-nilai 1 hingga 6, iaitu:

x = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

f.k bagi ujikaji ini ialah

f(x, 6) = 1/6, x = 1, 2, 3, 6

Taburan Bernoulli

Taburan Bernoulli adalah hasil daripada ujikaji Bernoulli. Satu ujikaji yang hanya menghasilkan 2 kemungkinan yang saling eksklusif yang boleh dikelaskan sebagai kejayaan dan kegagalan. Kejayaan tidak semestinya hasil yang baik tetapi ia bergantung kepada apa yang tertakrif sebagai ciri yang menarik minat dan menjadi perhatian.

Fungsi kebarangkalian bagi taburan Bernoulli ini diberi

f(x) = px q1-x , x = 0, 1

E(X) = p , V(X) = pq

p : kebarangkalian kejayaan, kebarangkalian kegagalan = (1 p) = q

X boleh mengambil nilai 0 atau 1 di mana

Contoh 5.2

Apabila melambungkan sekeping syilling, hasilnya boleh dikelaskan kepada kepala atau bunga.

Contoh 5.3

Apabila meneka jawapan objektif, hasilnya sama ada betul atau salah.

Contoh 5.4

Apabila menguji barang yang keluar daripada kilang, hasilnya sama ada rosak atau baik.

Contoh 5.5

Apabila mengeluarkan sebiji guli daripada sebuah kotak, hasilnya sama ada merah atau bukan merah.

Taburan Binomial

Apabila ujikaji Bernoulli di ulang beberapa kali, katakan n kali, ujikaji ini dipanggil ujikaji Binomial. Ujikaji Binomial mempunyai sifat-sifat berikut:

i) Ujikaji Bernoulli dilakukan n kali.

ii) Semua cubaan adalah merdeka ( satu cubaan tidak saling mempengaruhi cubaan lain.

iii) Setiap cubaan menghasilkan 2 kesudahan yang mungkin, saling eksklusif dan boleh dikelaskan kepada kejayaan dan kegagalan.

iv) Kebarangkalian bagi kejayaan ditanda dengan p, adalah sama dari satu cubaan ke cubaan yang lain.

Fungsi kebarangkalian bagi pembolehubah Binomial X diberi oleh

f(x, n, p) = b(x, n, p) =

dengan

E(X) = np dan V(X) = npq.

Taburan longgokan bagi X

F(x) = P(X ( x) = B(x; n, p) = x = 0, 1, n.

Contoh 5.6

Sebuah Syarikat Insuran mendapati bahawa 10% daripada tuntutan kerosakan adalah disebabkan oleh kecurian. Jika 5 tuntutan dipilih secara rawak, selesaikan masalah di bawah.

Penyelesaian

a) Cari kebarangkalian lebih daripada 4 tuntutan disebabkan oleh kecurian.

X = bilangan tuntutan kerosakan yang disebabkan oleh kecurian.

X ~ B(n = 5, p = 0.1)

= (0.1)5

atau

= 1 0.9997 = 0.0003

b) Sekurang-kurangnya 2 tuntutan bukan disebabkan oleh kecurian

P(x ( 2) = P(x = 2) + P(x = 3) + P(x = 4) + P(x = 5)

atau

P(x ( 2) = 1 P(x ( 1)

[Daripada Jadual Binomial, p = 0.9 P(X ( 1) = 0.7373]

= 1 [P(x = 0)] + P(x = 1)]

= 1 0.7373 = 0.2627

c) Dua hingga empat tuntutan disebabkan oleh kecurian

P(2 ( X ( 4) = P(x = 2) + P(x = 3) + P(x = 4)

= P(x ( 4) P(x ( 1) = 0.9997 0.7373 = 0.2624

Contoh 5.7

Sebuah kotak mengandungi 6 guli biru dan 4 guli merah . 3 biji guli dikeluarkan dengan gantian. Cari kebarangkalian berikut:

Penyelesaian

i) Kebarangkalian tiada guli biru yang didapati

P(MMM) =

Atau X mewakili bilangan biru, nilai bagi x = 0, p = 6/10

P(x = 0) = 0.064

ii) Kebarangkalian sekurang-kurangnya mendapat 1 guli biru. (Sekurang-kurangnya satu bermakna 1 atau lebih biru) iaitu P(1B) + P(2B) + P(3B). P(1B) menunjukkan (BMM atau MMB atau MBM), P(2B) menunjukkan (BBM atau MBB atau BMB), P(3B) menunujukkan (BBB)).

Penyelesaian

X: bilangan biru yang didapati

Secara terus iaitu libatkan ruang sampel satu persatu

P(X( 1) =

=

=

= 0.288 + 0.432 + 0.216 = 0.936

atau

Contoh 5.8

Cari kebarangkalian mendapat nombor 6 timbul jika sebiji dadu dilemparkan sekali

Penyelesaian

X : nombor 6 timbul; x : 0,1 ( samada nombor 6 timbul atau tidak.

X ~ B(n = 1, p = 1/6),

P(X = 1) = (1/6)1 (5/6)0 = 1/6

P(X = 0) = (1/6)0 (5/6)1 = 5/6

Contoh 5.9

Cari kebarangkalian nombor 6 timbul tepat 4 kali jika sebiji dadu dilemparkan 10 kali.

Penyelesaian

X : nombor 6 timbul, x = 0, 1, 2, 3, 4, 10

X ~ B(n = 10, p = 1/6)

Taburan Hipergeometri

Untuk menggunakan taburan Binomial ia mestilah memenuhi sifat-sifat bagi ujikaji Binomial. Salah satu daripadanya, p mesti tetap sama dari satu percubaan ke percubaan yang lain. Keadaan ini boleh berlaku sekiranya pengambilan objek adalah dengan gantian. Sifat-sifat bagi taburan ini sama seperti taburan Binomial, iaitu setiap ujikaji menghasilkan 2 kemungkinan yang boleh dikelaskan kepada kejayaan dan kegagalan tetapi melanggar syarat iaitu p tidak lagi sama, malah p berubah dari satu percubaan ke percubaan yang lain. Ini mengakibatkan percubaan-percubaan tidak bebas kerana hasil bergantung kepada percubaan-percubaan sebelumnya. Keadaan ini berlaku disebabkan pengambilan objek adalah tanpa gantian.

Contoh 5.10

Sebuah kotak mengandungi 25 buah guli dengan 15 guli berwarna merah dan 10 berwarna biru. Sebiji guli dikeluarkan dengan gantian. Setiap kali guli dikeluarkan, kebarangkalian mendapat warna merah, tetap sama iaitu P(M) = 15/25 kerana mengeluarkan guli dengan gantian TETAPI apabila guli yang dikeluarkan tanpa gantian, kebarangkalian mengeluarkan guli merah berubah-ubah iaitu pengeluaran pertama, P(M) = 15/25. Pengeluaran kedua, P(M) = 14/24 dan seterusnya. Walau bagaimanapun, apabila sampel besar, umpamanya terdapat 5000 guli merah dan 4000 guli biru, walaupun pengeluaran tanpa gantian, kebarangkalian mengeluarkan guli merah pada pengeluaran pertama dan pengeluaran seterusnya tidak berapa banyak bezanya dan boleh dianggap sama. Apabila ini berlaku, kita boleh anggap pembolehubah yang terhasil adalah pembolehubah Binomial. Biasanya bagi pembolehubah Hipergeometri, ia melibatkan populasi yang kecil.

Pembolehubah Hipergeometri dengan ringkas ditulis sebagai X ~ H(N1, N2, N, n, p) dan fungsi kebarangkaliannya diberi oleh

dengan

X : bilangan kejayaan, x = 0, 1, 2, n

N1 : jumlah peristiwa jenis kejayaan

N2 : jumlah peristiwa jenis kegagalan

N : bilangan populasi

EMBED Equation.3

pembetulan faktor terhingga

=

Contoh 5.11

Sebuah kotak mengandungi 3 guli merah dan 2 guli biru. Jika 3 biji guli dikeluarkan tanpa gantian, cari kebarangkalian bagi masalah berikut.

Penyelesaian:

i) Cari kebarangkalian tiada guli merah yang didapati

ii) Cari kebarangkalian tepat 2 guli biru

Contoh 5.12

Bahagian kawalan mutu disebuah kilang elektronik telah menentukan iaitu akan menerima kotak-kotak yang mengandungi 100 microchips sekiranya 10 microchips yang dipilih dan diperiksa secara rawak tidak mengandungi lebih daripada 3 yang rosak. Sekiranya kotak tersebut mengandungi 20 microchips yang rosak, cari kebarangkalian kotak itu diterima oleh kilang itu.

Penyelesaian

Kotak itu akan diterima jika bilangan microchips yang rosak kurang atau sama dengan 3.

X : bilangan microchips yang rosak

X ~ H(N1 = 20, N2 = 80, N = 100, n = 10)

P(x ( 3) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3)

=

= 0.095 + 0.268 + 0.318 + 0.209 = 0.89

Taburan Poisson

Ujikaji Poisson menghasilkan bilangan peristiwa kejayaan yang berlaku dalam suatu tempuh selang tertentu. Selang ini boleh difikirkan dalam bentuk selang masa yang diberi, rantau atau kawasan atau ruang tertentu. Andaian yang dibuat ialah bilangan kejayaan yang berlaku dalam suatu selang tertentu adalah merdeka dari selang yang lain. Pembolehubah Poisson boleh ditulis secara ringkas, iaitu X ~ P(x;() dan fungsi taburan kebarangkalian bagi pembolehubah Poisson diberi oleh

dengan

( : min bilangan kejayaan yang berlaku dalam satu selang tertentu.

e = 2.71828

E(X) = (, V(X) = (.

Contoh bagi pembolehubah Poisson

Bilangan surat yang diterima oleh posmen dalam masa sehari.

Bilangan panggilan telefon dalam masa sejam.

Bilangan kemalangan jalanraya dalam masa setahun.

Bilangan pemintaan barang dari gudang dalam seminggu.

Bilangan serangga pada sepetak tanah.

Jumlah kesilapan menaip dalam 1 muka surat.

Bilangan tempahan baju dalam masa sehari.

Contoh 5.13

Dalam suatu kajian telah didapati bahawa pada puratanya, permintaan ke atas sejenis barang tertentu dari sebuah gudang dibuat 7 kali setiap minggu. Berapakah kebarangkalian pada satu minggu tertentu, barang itu dikehendaki

i) lebih daripada 7 kali

ii) di antara 3 hingga 6 kali (termasuk)

iii) kurang daripada 2 kali

Penyelesaian

X : bilangan permintaan barang pada satu minggu tertentu.

X ~ P(( = 7)

i)P(X > 7) = P(X ( 8) = 1 P(X ( 7) ; { Daripada Jadual Poisson,

P(X ( 7) = 0.5987}

= 1 0.5987 = 0.4017

ii) P(3 ( X ( 6) = p(X ( 6) p(X ( 2); Daripada Jadual Poisson P(X ( 6) dan

P(X ( 2), masing-masing adalah 0.4497 dan 0.0296.

= 0.4497 0.0296

= 0.4201

iv) P(X < 2) = p(X ( 1) = 0.0073.

Contoh 5.14

Daripada satu kajian didapati 3 orang pekerja sebuah kilang yang tertentu mendapat kemalangan dalam masa 6 bulan. Cari kebarangkalian-kebarangkalian berikut.

Penyelesaian

X : bilangan pekerja yang mendapat kemalangan dalam masa 6 bulan.

X ~ P(( = 3)

i) Cari kebarangkalian lebih daripada 2 pekerja yang mendapat kemalangan dalam masa 6 bulan

P(X > 2) = P(X ( 3) = P(x = 3) + P(x = 4) +

=

atau dengan melihat Jadual Poisson,

P(X > 2) = P(X ( 3) = 1 P(X ( 2) = 1 0.4232

= 0.5768

ii) Cari kebarangkalian sekurang-kurangnya 4 pekerja yang mendapat kemalangan dalam masa setahun.

X : bilangan pekerja yang mendapat kemalangan dalam masa 1 tahun.

Maklumat awal memberitahu kita bahawa secara purata, 6 pekerja mendapat kemalangan dalam masa 6 bulan ( ( = 3.

Ini mengimplikasikan bahawa secara purata, 6 pekerja mendapat kemalangan dalam masa 1 tahun ( ( = 6.

Oleh itu

atau dengan menggunakan Jadual Poisson, P(X ( 4) = 1 P(X ( 3) = 1 0.1512 = 0.8488.

Penghampiran Poisson Bagi Taburan Binomial

Misalkan X ~ B(n, p), tetapi jika n ( ( (besar) dan p ( 0 maka X menghampiri Taburan Poisson dan dengan ringkasnya ditulis, X ~ P(x, () dengan ( = np. Fungsi kebarangkaliannya pula ditulis seperti,

Biasanya penghampiran dianggap baik apabila n > 20 dan p < 0.05.

Contoh 5.15

Katakan kebarangkalian bahawa sejenis biji yang tertentu tidak akan bercambah ialah 0.02. Jika 100 biji ditanam, apakah kebarangkalian lebih daripada 5 tidak akan bercambah.

Penyelesaian

X : bilangan biji yang tidak akan bercambah

X ~ B(n = 100, p = 0.02)

Untuk menyelesaikan masalah di atas, mengambil masa yang agak panjang kerana Jadual Binomial tidak menyediakan nilai-nilai p yang kecil dan n yang besar. Oleh kerana p < 0.02 dan n > 20, kebarangkalian bagi masalah di atas boleh dihampirkan dengan Taburan Poisson

X ~ P(( = np = 100 x 0.02 = 2)

Maka P(x > 5) = P(x ( 6) = 1 P(x ( 5) = 1 0.9834

(Daripada Jadual Poisson)

= 0.0166.

5.2 BEBERAPA TABURAN KEBARANGKALIAN SELANJAR

Taburan Normal

Taburan normal ini adalah mustahak di antara taburan-taburan yang lain dan sering digunakan dalam statistik. Jika pembolehubah rawak X tertabur secara normal dengan min ( dan varians (2, secara ringkas ditanda dengan X~ N((, (2), maka fungsi ketumpatan kebarangkalian bagi x ialah

,

parameter : (, (2 , ( : min populasi ,(2 : varian populasi

Populasi normal biasanya mengandungi unsur-unsur yang terlalu banyak, iaitu nilai N yang terlalu besar. Populasi Normal ini diperihalkan oleh bentuk Histogram daripada Taburan Kekerapan Relatif. Oleh kerana populasi normal dianggap mempunyai cerapan-cerapan yang terlalu banyak, selang kelas bagi Histogram Taburan Kekerapan Relatif boleh dipilih sekecil-kecilnya sehingga Histogram tersebut kelihatan seperti satu lengkungan yang licin seperti dalam Rajah 5.1Rajah 5.1 Histogram Kekerapan Relatif Bagi Populasi Normal

Tinggi

Kekerapan Relatif

PAGE 69

_988521457.unknown

_989312200.unknown

_999925528.unknown

_999925617.unknown

_999925928.unknown

_999925969.unknown

_999925625.unknown

_999925559.unknown

_990435238.unknown

_999691652.unknown

_989312228.unknown

_989312840.unknown

_989311877.unknown

_989312186.unknown

_988521531.unknown

_988522496.unknown

_986101592.unknown

_986102264.unknown

_986104943.unknown

_986108323.unknown

_986109354.unknown

_986106534.unknown

_986104635.unknown

_986102120.unknown

_986042508.unknown

_986101449.unknown

_986042049.unknown