mef ii_ metode least square

7/24/2019 MEF II_ Metode Least Square

1/21

Metode Least Squares

Pertemuan Ke 2


2/21

Dalam analisis data sering dilakukan pembuatan suatukurva yang dapat mewakili suatu rangkaian data yangdiberikan dalam sistem koordinat x-y.

onto! " Pengu#ian kuat tekan beton yang memberikan

!ubungan antara beban dan kuat tekan beton

Pengukuran debit sungai yang memberikan !ubunganantara kedalaman aliran dan debit sungai.

$ubungan antara data !u#an dan debit di sungai.

Pertumbu!an arus barang atau penumpang di suatupelabu!an% terminal% atau bandara dari ta!un keta!un.

Pertumbu!an #umla! penduduk sebagai &ungsi waktu.

$ubungan antara kandungan oksigen di air dantemperatur.

Dsb.


3/21

Metode Kuadrat 'erke(il)Least Square Method*

Metode untuk mendapatkan kurvaterbaik yang mewakili titik-titik datadengan (ara meminimumkanperbedaan+selisi! antara titik-titikdata dan kurva.


4/21

Prosedur Metode Kuadrat 'erke(il

'itik-titik data digambar pada suatu sistemkoordinat.

Dipili! suatu &ungsi g(x)yang dianggap bisamewakili f(x)yang mempunyai bentuk umum

berikut ini.G(x) = ao+ a1x + a2x2+ .....+ arxr

,ungsi tersebut tergantung pada parameter a0, a1, ....., ar

Ditentukan parameter a0, a1, ..... , arsedemikian rupase!ingga g(xi; a0, a1, ..... , ar )melalui sedekat mungkintitik-titik data. entuk g(xi; a0, a1, ..... , ar )mempunyaiarti &ungsi g(xi)dengan parameter a0, a1, ..... , ar


5/21

pabila koordinat dari titik-titik per(obaan adala!M(xi,yi)% dengan i/ 0% 2% 1% ..... % n maka selisi! ordinatantara titik-titik tersebut dengan &ungsi g(xi; a0, a1, ....., ar* adala! "

Ei= MiGi= yi g(xi; a0, a1, ..... , ar) = yi (a0+a1xi+a2xi2+a3xi3+ ..... +arxir)

Dipili! suatu &ungsi g(x)yang mempunyai kesala!an Ei

terke(il. Dalam metode ini #umla! kuadrat darikesala!an adala! terke(il.

{ }==

==n

i

ii

n

i

i xgyED1

2

1

22 )(


6/21

Di(ari parameter a0, a1, ..... , ar sedemikian se!inggaD2adala! minimum. ilai D2akan minimum apabilaturunan pertamanya ter!adap a0, a1, ..... , ar adala!nol% se!ingga "

...

...

Penyelesaian dari persamaan tersebut akanmemberikan !asil parameter a0, a1, ..... , ar. Dengandemikian persamaan kurva terbaik yang mewakili titik-titik data tela! diperole!.

00

2

=

a

D

02

2

=

a

D

02

=

ra

D


7/21

M3'4D3 K5D6' '36K37L 5'5K K568 L7736

entuk paling seder!ana dari regresi kuadrat terke(iladala! apabila kurva yang mewakili titik-titik datamerupakan garis lurus% se!ingga persamaan adala! "

g)x* / a 9 bx

dalam !al ini a:/ a dan a0/ b setela! melalui pen#abaran diperole! "

Setela! !arga koe&isien a dan b diperole!% maka

&ungsi g)x* dapat di(ari.

xbya =

( ) 22

=

ii

iiii

xxn

yxyxnb


8/21

Koe&isien Korelasi

Koe&isien korelasi adala! suatu nilai yangdipakai untuk mengeta!ui dera#adkesesuaian dari persamaan yang didapat.

2

22

t

t

D

DDr

=

=

=n

i

it yyD1

22 )( =

=n

i

i xaayD1

2

10

2 )(

Dengan "

dan


9/21

ilai r bervariasi antara : dan 0. 5ntukperkiraan yang sempurna akan didapat nilair/0. pabila r/: perkiraan suatu &ungsi

sangat #elek. Koe&isien korelasi ini #ugadapat digunakan untuk memili! suatupersamaan dari beberapa alternati& yangada. Dari beberapa alternati& tersebut

dipili! persamaan yang mempunyai nilaikoe&isien korelasi terbesar )palingmendekati 0*.


10/21

onto!

No. xi yi xiyi xi2

1 1 4 4 1

2 2 6 12 4

3 3 8 24 94 4 10 40 16

5 5 14 70 25

6 6 16 96 36

7 7 20 140 49

8 8 22 176 64

9 9 24 216 81

10 10 28 280 100

55 152 1058 385


11/21

22

=

ii

iiii

xxn

yxyxnb

6909,25538510

152551058102 =

=b

4,010

556909,2

10

152=xbya

bxay

xy 6909,24,0


12/21

Koe&isien Korelasi

No. xi yi (yi-y)2 (yi-a0-a1x)2

1 1 4 125,44 0,82645

2 2 6 84,64 0,04761

3 3 8 51,84 0,223454 4 10 27,04 1,35396

5 5 14 1,44 0,02117

6 6 16 0,64 0,29746

7 7 20 23,04 0,58324

8 8 22 46,24 0,00530

9 9 24 77,44 0,38205

10 10 28 163,84 0,47748

55 152 601,6 4,21817

Dt2/ ;:0%; D2/


13/21

999975,02

22

==

t

t

D

DDr

6,601)( 22

=

=

n

ni

it yyD

218165,4)(

2

10

2

=

=

n

nii xaayD


14/21

Linierisasi Kurva 'idak Linier

Dalam praktek sering di#umpai ba!wasebaran titik-titik pada sistem koordinatmempunyai ke(enderungan )trend* yang

berupa kurva lengkung. gar persamaan regresi linier dapat

digunakan untuk mempresentasikan kurvalengkung maka perlu dilakukan

trans&ormasi koordinat sedemikianse!ingga sebaran titik data bisadipresentasikan dalam kurva linier.


15/21

Persamaan+,ungsi entuk ,ungsi ,ungsi yg Dilinierkan

erpangkat y = axb log y = b log x + log a

3ksponensial y = aebx ln y = ln a + b x ln e


16/21

'rans&ormasi ,ungsi Logaritmik

x

y

y=axb

log x

log y

log a

b

1


17/21

'rans&ormasi ,ungsi 3ksponensial

x

y

y=aebx

x

ln y

ln a

b

1


18/21

6egresi Polinomial

Persamaan polinomial order r mempunyaibentuk "

y = ao+ a1x + a2x2+ .....+ arxr

Selanjutnya diselesaikan dengan metode matriks ingga

diketaui !ilangan tak diketaui a0, a1, a2, .., ar. Saat ini, regresi "olinomial tela di"ermuda "enyelesaiannya

dengan "rogram kom"uter misalnya #i$roso%t &'&*

{ }

=

n

i

r

iriii xaxaxaayD1

2

210

2 )*****(


19/21

6egresi Linier dengan anyak8ariabel

entuk umum "

y = ao+ a1x1+ a2x2+ .....+ amxm

Koe&isien a0, a1, a2, .., am dapat

di(ari dari sistem persamaan yangdisusun dalam bentuk matriks.


20/21

'ugas

arila! kasus yang dapat dianalisisdengan regresi.

Setiap ma!asiswa !arus berbedakasus dan angkanya.

Diker#akan dengan Mi(roso&t 3?3L%Dilengkapi tabel dan gra&iknya.

Dikumpulkan saat u#ian 5'S Metnum.


21/21

KataAljabardiambil dari salah satu judul bukunyaal-Jabr wal-Muqabala, tentang perhitungan linear

dan kuadrat, bahkan kata Algoritma berasal daripenyebutan namanya sendiri, Algorizm.Lahir dalam suasana kekhalifahan yang sangatmementingkan pendidikan, membuat MuhammadIbnu Musa al-Khawarizmi (780-80!mendedikasikan waktunya di "ait al-#ikmah,

"aghdad$ %elain di&uluki sebagai bapak al&abar danl'garitma, banyak kalangan &uga menyebutnyasebagai ahli matematika yang sangat berpengaruhsepan&ang masa$ada abad ke )*, beliau telah memperkenalkan pada dunia, sistemperhitungan desimaldan penyusunan daftar l'garitma dalam sebuahtabel rin+ian trig'n'metri yang memuat fungsi sinus, k'sinus, tangen dan

k'tangenserta k'nsep diferensiasi$ Karya Khawarizmi, al-Jabr wal-Muqabaladigunakan sebagai buku matematika ru&ukan berbagaiperguruan tinggi di r'pa$ .iset pengukuran yang dilakukannya di %an&ardan almyra berhasil menentukan ukuran dan bentuk bundaran bumiyang kemudian melahirkan peta bumi yang kita kenal sebagai Globe$esungguhnya Allah telah menentukan jumlah mereka dan menghitung

mereka dengan hitungan yang teliti.!(/%$ Maryam 12!

Al-Khawarizmi

mef ii_ metode least square

Documents