matematika1bangrs
TRANSCRIPT
Matematika 1 1
DETERMINAN
Ronny Susetyoko
Matematika 1 2
Definisi
Asumsikan A adalah suatu matriks bujur sangkar, fungsi determinan, det(A) adalah jumlah semua hasil kali dasar bertanda dari A.
atau Determinan ordo n ialah suatu skalar yang
terkait dengan sebuah matriks bujur sangkar A yang berordo n.
Notasi :
det(A) atau |A| atau |aij|
Matematika 1 3
Contoh
Matematika 1 4
Minor & Kofaktor Determinan
Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka Minor elemen aij (Mij) didefinisikan sebagai determinan sub-matriks yang masih tersisa setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan
Kofaktor elemen aij dinyatakan sebagai kij = (-1)i+j Mij
Matematika 1 5
Menghitung Minor dan Kofaktor
Matematika 1 6
Beda Kofaktor & Minor
Kofaktor dan minor suatu elemen aij hanya berbeda tanda. Jika pangkatnya genap maka kij=mij, sebaliknya jika pangkatnya ganjil maka kij = -mij. Lebih mudahnya apakah kofaktor bertanda + atau – adalah menggunakan ’papan periksa’ sebagai berikut :
Matematika 1 7
Nilai Determinan
a). Aturan Sarrus (n <= 3)
Matematika 1 8
Nilai Determinan
b). Ekspansi Laplace (n >= 3)
Nilai determinan adalah jumlah perkalian elemen-elemen dari sebarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya.
Matematika 1 9
Contoh : Dari soal sebelumnya,
Ekspansi Laplace baris ke – 1 :
Coba gunakan ekspansi Laplace pada baris-baris atau kolom-kolom yang lain, kemudian bandingkan hasilnya!
Tips : Pilih baris atau kolom yang banyak mengandung elemen nol.
Matematika 1 10
Sifat-Sifat Determinan
1. det(A) = 0 jika dalam suatu baris/kolom semua elemennya nol
2. det(A) = det(AT)
Matematika 1 11
Sifat-Sifat Determinan
3). Nilai determinan menjadi k kali bila dalam satu baris/kolom dikalikan dengan k (suatu skalar).
Dari soal sifat 2), baris 1 dikalikan dengan 5 menjadi :
Matematika 1 12
Sifat-Sifat Determinan
4. det(A) = 0 jika 2 baris/kolom sebanding.
5. Nilai determinan berubah tanda jika dua baris/kolom ditukar tempatnya
Matematika 1 13
Sifat-Sifat Determinan
6). Nilai determinan tidak berubah jika baris/kolom ke – i ditambah k kali baris/kolom ke – j.
Dari soal sifat 6), baris 1 ditambah 3 kali baris 2 :
7). Elemen sebuah baris/kolom memuat 2 buah suku maka determinan tersebut dapat ditulis sebagai jumlah determinan.
Matematika 1 14
Teorema
Jika A adalah matriks segitiga n x n (segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal), maka det(A) adalah hasil kali elemen-elemen diagonal utamanya, yaitu det(A) = a11a22...ann .
Catatan Untuk mempermudah perhitungan nilai determinan, dapat menggunakan sifat-sifat tersebut.
Matematika 1 15
Contoh
Matematika 1 16
Sifat-Sifat Lain
Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dengan ukuran yang sama, maka det(AB) = det(A) det(B).
Suatu matriks bujur sangkar ada inversnya jika det(A) 0.
Jika A dapat diinverskan, maka :
Matematika 1 17
Manfaat
penyelesaian sistem persamaan linier menghitung matriks invers menentukan karakteristik suatu sistem
linier
Matematika 1 18
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
Matematika 1 19
Sistem Persamaan Linier Berbentuk Ax = x
Banyak aplikasi aljabar linier yang membahas masalah sistem n persamaan linier dalam n peubah yang dinyatakan dalam bentuk :
Ax = x{A matriks bujur sangkar, x vektor, dan suatu skalar}
Sistem ini merupakan sistem linier homogen tersamar, karena dapat ditulis ulang sebagai :Ax = x Ax – x = 0 atau dengan menyelipkan matriks identitas dan memfaktor-kannya :
(A - I )x = 0 *)
Matematika 1 20
Contoh
Matematika 1 21
Yang Menarik?
Masalah utama yang menarik dalam sistem linier *) adalah menentukan nilai-nilai di mana sistem tersebut mempunyai suatu penyelesaian tak-trivial. Nilai disebut suatu nilai karakteristik atau nilai eigen dari A. Maka penyelesaian tak trivial dari *) disebut vektor eigen dari A yang berpadanan dengan.
Sistem (A - I )x = 0 mempunyai penyelesaian tak trivial jika dan hanya jika :
disebut persamaan karakteristik
Catatan : eigen value, campuran bahasa Jerman & Inggris, yang berarti nilai yang tepat atau akar laten atau akar ciri.
Matematika 1 22
Soal Latihan
Matematika 1 23
Soal Latihan
Matematika 1 24
Soal Latihan
Matematika 1 25
MATRIKS
Matematika 1 26
Definisi
Himpunan skalar dari bilangan real/ kompleks yang disusun dalam empat persegi panjang menurut baris/kolom.
Matematika 1 27
Operasi Matriks
Penjumlahan (syarat : ordo sama) Perkalian skalar dengan matriks Perkalian matriks
(syarat : jumlah kolom matriks-1 = jumlah baris matriks-2)
Matematika 1 28
Hukum-Hukum
1. A(B + C) = AB + AC H. Distributif I
2. (A + B)C = AC + AB H. Distributif II
3. A(BC) = (AB)C H. Asosiatif
4. AB BA general
5. AB = 0 tidak harus A = 0 atau
B = 0 atau A & B nol.
6. Jika AB = AC belum tentu AB = AC atau B = C
Matematika 1 29
Jenis-Jenis Matriks
1. Matriks Bujur sangkar (jumlah baris = jumlah kolom)
2. Matriks Diagonal
Matematika 1 30
Jenis-Jenis Matriks
Matematika 1 31
Jenis-Jenis Matriks
Matematika 1 32
Jenis-Jenis Matriks
Matematika 1 33
Jenis-Jenis Matriks
Matematika 1 34
Jenis-Jenis Matriks
Matematika 1 35
Jenis-Jenis Matriks Yang Lain
Matriks Bidiagonal Atas Matriks Bidiagonal Bawah Matriks Tridiagonal Matriks Hermitian Matriks Singular dll.
Matematika 1 36
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
Metode grafis ( maksimum 3 variabel) Eliminasi Subtitusi Determinan Eliminasi Gauss Gauss-Jordan Gauss-Seidel Dll.
Matematika 1 37
Operasi Dasar
Operasi Dasar Persamaan Pertukaran tempat dua persamaan Perkalian persamaan dengan konstanta bukan nol Penjumlahan kelipatan persamaan yang satu ke
persamaan lain
Operasi Dasar Baris Pertukaran tempat dua baris Perkalian baris dengan konstanta bukan nol Penjumlahan kelipatan baris yang satu dengan yang lain.
Juga disebut Operasi Baris Elementer (OBE)
Matematika 1 38
Rank (Pangkat) Matriks
Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam suatu matriks
Banyaknya maksimum vektor-vektor kolom yang bebas linier dalam suatu matriks
Jika matriks bujur sangkar : ordo minor terbesar suatu matriks yang determinannya tidak nol.
Matematika 1 39
Kebebasan dan ketidakbebasan linier
Bebas linier jika p baris mempunyai rank p. Tidak bebas linier jika rank < p.
Matematika 1 40
Solusi Sistem Persamaan Linier
Tidak mempunyai solusi jika matriks A dan matriks augmented A mempunyai rank yang sama.
Solusi tunggal, jika rank-nya sama dengan jumlah variabel ( r = n).
Jika r < n maka sistem mempunyai solusi tak berhingga.
Jika solusi ada maka dapat diselesaikan dengan Eliminasi Gauss.
Matematika 1 41
Penerapan Soal-soal terapan H. Kirrchoff I dan II ( T.
Elektronika) Transformasi Linier Curve Fititing (Interpolasi & Regresi Linier) Markov Chains Programa Linier Assignment (Penugasan) Database Analisis Komponen Utama (termasuk Trans.Linier) Catt. Lebih detail akan dijelaskan di mata kuliah
Aljabar Matriks.
Matematika 1 42
Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss merupakan pengembangan dari dari cara eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variabel sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas. Cara eliminasi ini sudah banyak dikenal. Untuk menggunakan metode eliminasi Gauss ini, terlebih dahulu bentuk matrik diubah menjadi augmented matrik .
Matematika 1 43
Augmented Matrix
Matematika 1 44
Matematika 1 45
Matematika 1 46
Matematika 1 47
VEKTOR
Matematika 1 48
Matematika 1 49
Matematika 1 50
Matematika 1 51
Matematika 1 52
Matematika 1 53
Matematika 1 54
Matematika 1 55
BILANGAN KOMPLEKS
Matematika 1 56
Matematika 1 57
Matematika 1 58
Matematika 1 59
Matematika 1 60
Matematika 1 61
Matematika 1 62
Matematika 1 63
Matematika 1 64
Matematika 1 65
Matematika 1 66
Matematika 1 67
FUNGSI
Matematika 1 68
Definisi Fungsi
Suatu fungsi f dari X ke Y adalah suatu aturan di mana setiap anggota dari X menentukan dengan tunggal satu anggota dari Y.
Secara matematis :
Matematika 1 69
Pengertian
X dibawa ke f(x), maka y = f(x) didalam Y dinamakan peta (image) dari x atau dinamakan harga fungsi f di x.
Sebaliknya himpunan x di dalam X yang petanya adalah y elemen Y dinamakan peta invers (invers image) dari y, simbol f-1(y).
Matematika 1 70
Catatan
Fungsi tidak lain adalah pemetaan (mapping).
Peta invers mungkin bisa lebih dari satu elemen.
Matematika 1 71
Hasil Ganda Kartesis
Himpunan semua pasangan-pasangan berurutan atau ordered pairs (x,y) dengan x elemen X dan y elemen Y.
Contoh :
X = {x1,x2} dan Y = {y1, y2,y3}
X x Y = {(x1,y1), (x1,y2), x1,y3)
(x2,y1), (x2,y2), (x2,y3)
(x3,y1), (x3,y2), (x3,y3)}
Matematika 1 72
Komposisi Fungsi
Matematika 1 73
Grafik Fungsi
Grafik fungsi suatu f dari X ke Y ialah himpunan pasangan-pasangan berurutan (x, f(x)) dengan x berjalan pada X (x elemen X) dan f(x) berjalan pada Y (f(x) elemen Y)
y = f(x)
0
10
20
30
40
50
0 10
XY
Matematika 1 74
Variabel x dalam pasangan berurutan (x,y) disebut variabel bebas (independent variable) atau argumen dari f, sedangkan y dinamakan variabel tak bebas (dependent variable).
Dalam pemakaian, domain dari variabel disajikan dengan interval ( himpunan bagian dari himpunan real).
Interval : buka, tutup-buka, buka-tutup, tutup.
Variabel Bebas dan Tak Bebas
Matematika 1 75
Ilustrasi Interval
Matematika 1 76
Contoh
Matematika 1 77
Contoh
Matematika 1 78
Soal-soal
Matematika 1 79
LIMIT & KEKONTINUAN
Matematika 1 80
Pemanasan
Jika2x3x
1x2x3)x(f
2
2
Tentukan :
)x(flim)A(3x
)x(flim)B(1x
)x(flim)C(2x
Matematika 1 81
Definisi
f(x) dikatakan mempunyai limit L untuk
x x0, bila setiap bilangan positif h yang diberikan, dapat ditunjukkan bilangan positif sedemikian hingga untuk semua harga x yang memenuhi 0 < |x – x0| < berlaku
|f(x) – L| < h. Pernyataan 0 < |x – x0| < berarti untuk
semua x yang memenuhi x0 – < x < x0 +
Matematika 1 82
Ilustrasi
Matematika 1 83
Matematika 1 84
Contoh
Matematika 1 85
Kontinuitas
Matematika 1 86
Kontinuitas
Fungsi f(x) adalah kontinu di titik x = x0 jika limit kiri dan limit kanan dari f(x) adalah sama.
Fungsi f(x) adalah kontinu di titik x = x0, bila untuk setiap h > 0 dapat dicari bilangan positif sedemikian hingga |f(x) – f(x0)| < h untuk |x – x0| < atau x0 – < x < x0 + .
Matematika 1 87
Soal-soal
Matematika 1 88
DIFERENSIAL(Turunan)
Matematika 1 89
Turunan Fungsi Aljabar
Matematika 1 90
Secara Geometri
Matematika 1 91
Matematika 1 92
Turunan Baku
Matematika 1 93
Matematika 1 94
Fungsi dari Suatu Fungsi
Matematika 1 95
Matematika 1 96
Perkalian & Pembagian
Matematika 1 97
Contoh
Matematika 1 98
Soal-soal
Matematika 1 99
Bagaimana jika fungsinya lebih dari dua? Contoh :
y = uvw y = uv/w y = u/vw y = tu/vw Dll.
di mana t, u, v, w adalah fungsi dalam x. Solusi : memakai turunan logaritmik (natural)
Matematika 1 100
Contoh
Matematika 1 101
Soal-soal Terapan
Matematika 1 102
Fungsi Implisit
Jika y terdefinisi sepenuhnya oleh x maka y disebut fungsi eksplisit dari x. Contoh :
y = x4 – 3x2 + 1 Y = 3x2 + cos x
Kadang tidak dapat/tidak perlu y dipisah sendiri, maka y disebut fungsi implisit dari x. Contoh :
y = xy + sin y – 2 x2 + 2xy + 3y2 = 4
Matematika 1 103
Contoh :
Matematika 1 104
Soal-soal Campuran
Matematika 1 105
Titik Balik (maks/Min)
Macam-macam : Titik maksimum Titik minimum Titik belok
Titik balik : turunan pertama = nol Turunan kedua :
Negatif titik maksimum Positif titik minimum Nol titik belok
Matematika 1 106
Ilustrasi
y=f(x)=x^3/3-25*x+6
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
-15 -10 -5 0 5 10 15
y
d2y/dx2=2*x
-25-20-15-10-505
10152025
-15 -10 -5 0 5 10 15
x
y dy2
dy/dx=x^2-25
-40
-20
0
20
40
60
80
-15 -10 -5 0 5 10 15
x
y dy
Matematika 1 107
Soal-soal
Matematika 1 108
Soal cerita
Matematika 1 109
Turunan Parsial Misal z = f(x,y) = x2-4xy+y3
Variabel x dan y merupakan fungsi dari variabel z Variabel z bergantung pada variabel x dan y Variabel z dipengaruhi oleh variabel x dan y
Bagaimana perubahan z terhadap x jika y konstan?
Bagaimana perubahan z terhadap y jika x konstan?
Bagaimana perubahan z thd y, kemudian thd x
yxx
z42
234 yxy
z
434 22
yxxy
z
xyx
z
Matematika 1 110
Soal-soal
Tentukan
Tentukan nilai a dan b berdasarkan informasi data sampel berpasangan (x,y).
3
2 )4(
z
xyxw
3
322 )4(
z
xyxw
3
32
2 )23()4
(
yz
yzxz
xyx
w
2
1
)( ii
n
i
bxayE
zyx
wd
xy
w
yx
wd
z
w
y
w
x
w
322
,,,,,
Matematika 1 111
INTEGRAL
Matematika 1 112
Apa beda sigma & integral?
Matematika 1 113
Integral Baku
Matematika 1 114
Contoh
cedxe xx 55
5
1
cxdxx 76
7
44
cxdxxdxx 2
3
2
1
3
2
cxxdx cosh2sinh2
cxdxx
ln55
cdxx
x 5ln
55
Matematika 1 115
Fungsi Suatu Fungsi Linier
Matematika 1 116
Integral dalam bentuk f’(x)/f(x) dan f(x)f’(x)
Matematika 1 117
Soal-soal
Matematika 1 118
Integral Parsial
Matematika 1 119
Contoh
Matematika 1 120
Soal-soal
Matematika 1 121
Integral Dengan Pecahan Parsial
Matematika 1 122
Contoh
Matematika 1 123
Contoh
Matematika 1 124
Soal-soal
Matematika 1 125
Integral Lipat Dua
Matematika 1 126
Contoh Integral Tertentu