matematika sesi 24

8/18/2019 Matematika Sesi 24

1/19

1

MATEMATIKA

INTEGRAL RIEMANN

A. NOTASI SIGMA

a. Definisi Notasi Sigma

Sigma (Σ) adalah notasi matematika menggunakan simbol yang mewakili penjumlahan

dan beberapa suku yang memiliki pola tertentu. Notasi ini dituliskan sebagai berikut:

a a a a a aii m

n

m m m n n

=

+ + −∑ = + + + + +1 2 1... .

Di mana i menunjukkan indeks penjumlahan; ai adalah variabel berindeks yang mewakili

suku-suku dalam barisan; m adalah batas bawah penjumlahan dan n adalah batas atas

penjumlahan; sedangkan i = m di bawah lambang sigma bermakna bahwa indeks i dimulai

dari m, kemudian selalu bertambah 1 untuk mendapatkan suku berikutnya sampai i = n.

CONTOH SOAL

1. Nyatakan ii−∑

1

100

ke dalam bentuk penjumlahan suku dan hitung nilainya!

Pembahasan:

i

i

i

i

=

=

∑

∑

= + + + + +

= +

=

1

100

1

100

1 2 3 4 100

100

21 100

5050

...

( )

K E

L A S X I

I I PA

- K UR I K U L U M G

A B U N G A N

S e s i

24


2/19

2

2. Nyatakanlah bentuk jumlah deret persegi 1 2 32 2 2 2+ + + +... n dalam notasi sigma!

Pembahasan:

1 2 32 2 2 2 2

1

+ + + + ==∑

... n ii

n

3. Nyatakan 2 + 5 + 8 + ... + 149 ke dalam bentuk notasi sigma!

Pembahasan:

2 + 5 + 8 + ... + 149

Deret aritmetika dengan a = 2 dan b = 3.

Pola suku ke-n adalah

U a n b

U n

U n

n

n

n

= + −= + −= −

( )

( )

1

2 1 3

3 1

Di mana

149 3 1

3 150

50

= −==

n

n

n

Deret terdiri dari 50 suku, maka notasi sigmanya ( )3 11

50

nn

−=

∑

b. Sifat-Sifat Notasi Sigma

1. C nCI

n

==∑

1

2. Cx C xi

I

n

i

I

n

= =∑ ∑=

1 1

3. x y x yi i

I

n

i

I

n

i

I

n

±( ) = ±= = =∑ ∑ ∑

1 1 1

4. x x xii

n

i

i

m

i

i m

n

= = = +∑ ∑ ∑= + ≤ ≤1 1 1

di m na i m na

5. x xi

i

n

i k

i k

m k

=−

= +

+

∑ ∑=1 1


3/19

3

Formula khusus untuk notasi Sigma

1. in n

i

n

=∑ = +

1

1

2

( )

2. i

n n

i

n2

1

1 2 1

6=∑ = + +( )( n )

3. in n

i

n3

1

21

2=∑ = +

( )

CONTOH SOAL

1. Hitunglah nilai dari 2 31

50

ii

−( )=∑ !

Pembahasan:

2 3 2 3

250 51

250 1 1 3

2550 150

1

50

1

50

1

50

i ii i i

−( ) = −

= ⋅ ⋅

− − +

= −=

= = =∑ ∑ ∑

( )

22400

2. Hitunglah nilai dari ii

3

2

20

=∑ ! Pembahasan:

i i i

i

i i i

i

3

0

203

0

13

2

20

2

3 3 3

2

2020 21

20 1

44

= = =

=

∑ ∑ ∑

∑

= +

= + +

( )( )

1100 1

44099

3

2

20

3

2

20

= +

=

=

=

∑

∑

i

i

i

i

B. KONSEP INTEGRAL RIEMANN

Integral Rieman adalah konsep yang digunakan untuk mendapatkan nilai pendekatan

terhadap luas daerah dengan bentuk tidak beraturan. Perhatikan kurva berikut!


4/19

4

y = f(x)

y

xa b

Daerah diarsir di atas memiliki bentuk yang tidak beraturan. Maka jumlah Riemann

digunakan untuk mendapatkan nilai pendekatan dari luas daerah di atas dengan langkah

berikut:

1. Partisi daerah menjadi n buah persegi panjang dengan lebar sama, yaitu ∆x b an

= −

2. Nyatakan luas daerah sebagai penjumlahan persegi panjang, kemudian hitung hasil

pendekatannya.

CONTOH SOAL

1. Perhatikan gambar berikut!

y y = x2

3x

Hitunglah jumlah riemann untuk daerah di atas dengan pembagian partisi!

a. 3 partisi

b. 6 partisi

c. 9 partisi

d. 12 partisi


5/19

5

Pembahasan:

a. Dengan partisi n = 3 maka lebar tiap partisi ∆x = −

=( )3 0

31

Perhatikan partisi berikut!

x0 1 2 3

y

Perhatikan tabel berikut!

∆x x f(x) = x2 f(x).∆x

1 1 1 1

1 2 4 4

1 3 9 9

Jumlah riemann 14

Bila dinyatakan dengan notasi sigma maka jumlah riemannnya adalah

f x f f f in

( ) x ( ) ( ) ( )∆=

∑ = ⋅ + ⋅ + ⋅⋅ ⋅ ⋅

1

3

1 1 2 1 3 1

=1 1+4 1+9 1

=14


6/19

6

b. Dengan n = 6 maka ∆x = −

=3 0

60 5, sehingga nilai dari x

i ∈{ ,0 5, 1, 1,5, 2,2,5, 3}

Perhatikan gambar berikut!

y

x0 1 2 30.5 1.5 2.5


∆x x f(x) = x2 f(x).∆x

0,5 0,5 0,25 0,125

0,5 1 1 0,5

0,5 1,5 2,25 1,125

0,5 2 4 2

0,5 2,5 6,25 3,125

0,5 3 9 4,5

Jumlah riemann 11,375

f x f x f x f x f x f xi i

i

( ). x ( ). x ( ). x ( ). x ( ). x ( ).∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆= + + + +=∑ 1

1

6

2 3 4 5xx ( ). x

( ). x ( , ). , ( ). , ( , ). ,

+

= + + +=∑

f x

f x f f f f i ii

6

1

6

0 5 0 5 1 0 5 1 5 0 5

∆

∆ (( ). , ( , ). , ( ). , ,2 0 5 2 5 0 5 3 0 5 11 375+ + =f f


7/19

7

c. Dengan n = 9 maka ∆x = −

= =3 0

9

1

30 333, sehingga nilai dari


x

y

1 2 30 1

3

2

3

4

3

5

3

7

3

8

3


∆x x f(x) = x2 f(x).∆x

0,333333 0,33 0,1 0,0363

0,333333 0,66 0,4 0,146670223

0,333333 1,00 1,0 0,331114372

0,333333 1,33 1,8 0,589632447

0,333333 1,66 2,8 0,922224447

0,333333 2,00 4,0 1,328890374

0,333333 2,66 7,1 2,364444005

0,333333 3,00 9,0 2,99333171

0,333333 10,5222378

Bila dinyatakan dengan notasi sigma:

f x f x f x f x f x f xi i

i

( ). x ( ). x ( ). x ( ). x ( ). x ( ).∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆= + + + +=∑ 1

1

9

2 3 4 5xx ( ). x

( ). x ( ). x (

+

+ + +

f x

f x f x f

6

7 8

∆

∆ ∆ xx

f x f f f f i i

9

0 33 0 33 0 66 0 33 1 0 33 1 3

). x

( ). x ( , ). , ( , ). , ( ). , ( ,

∆∆ = + + + 33 0 33 1 66 0 33 2 0 33). , ( , ). , ( ). ,+ +

+f f

f f f f i ( , ). , ( , ). , ( ). , ,2 33 0 33 2 66 0 33 3 0 33 10 521

9

+ + ≈=∑

xi ∈{1

3

2

31

4

3

5

3

7

3

8

3, , , , , 2, , , 3}


8/19

8

d. Dengan n = 12 didapat ∆x = −

=3 0

120 25, sehingga nilai dari

xi ∈{ , , , , , , , , ,0 25 0 5 0 75 1 1 25 1 5 1 75 2 2 25 2 5 2 75 3, , , , , , , , , , , }


0,25 0,75 1,25 2,251,75 2,751,5 2,51 310,5x

y


∆x x f(x) = x2 f(x).∆x

0,25 0,25 0,063 0,015625

0,25 0,50 0,250 0,0625

0,25 0,75 0,563 0,140625

0,25 1,00 1,000 0,25

0,25 1,25 1,563 0,390625

0,25 1,50 2,250 0,5625

0,25 1,75 3,063 0,765625

0,25 2,00 4,000 1

0,25 2,25 5,063 1,265625

0,25 2,50 6,250 1,5625

0,25 2,75 7,563 1,890625


9/19

9

∆x x f(x) = x2 f(x).∆x

0,25 3,00 9,000 2,25

0,333333 10,15625

f x f x f x f x f x f xi ii

( ). x ( ). x ( ). x ( ). x ( ). x ( ).∆ ∆ ∆ ∆ ∆= + + + +=∑ 1

1

12

2 3 4 5 ∆∆ ∆

∆ ∆

x ( ). x

( ). x ( ). x

+

+ + +

f x

f x f x f

6

7 8 (( ). x ( ). x ( ). x ( ). x

( ). x ( , ). ,

x f x f x f x

f x f i i

9 10 11 12

0 25 0

∆ ∆ ∆ ∆

∆

+ + +

= 225 0 5 0 25 0 75 0 25 1 0 251

9

+ + + +=∑ f f f i

( , ). , ( , ). , ( ). ,

f f f f ( , ). , ( , ). , ( , ). , ( ). ,1 25 0 25 1 5 0 25 1 75 0 25 2 0 2+ + + 552 25 0 25 2 5 0 25 2 7

++ + f f f ( , ). , ( , ). , ( , 55 0 25 3 0 25 10 15). , ( ). , ,+ ≈f

Terlihat bahwa dengan semakin banyak partisi n nilai dari luas terus mengecil. Perhatikan

simulasi dengan komputer berikut ini dengan menggunakan n = 20, 50, 100, dan 200 pada

situs http://www.emathhelp.net/calculators/calculus-2/riemann-sum-calculator/.

1. n = 20

Solution

Your input: find Riemann Sum for x dx2

0

3

∫ with n = 20 rectangles, using endpoints.

Right Riemann Sum (also Right Endpoint Approximation) uses right endpoints of

subinterval: f x dx x f x f x f x f x f xa

b

n n( ) ≈ ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) + ( )( ) ∫ −∆ 1 2 3 1... , where ∆xb a

n=

−

We have that a = 0, b = 3, n = 20.

Therefore, ∆x = −

=3 0

20

3

20

Divide interval [0, 3] into n = 20 subintervals of lenght ∆x =3

20:

a =

0

3

20

3

20

3

10

3

10

9

20

27

10

57

20, , , , , , ...., ,

=, ,

57

20 3 b

Now, we just evaluate function at right endpoints:

f x f

f x f

1

2

3

20

9

4000 0225

3

10

9

1000 09

( ) =

= =

( ) =

= =

.

.


10/19


11/19

11

3

500 0036 0 0144 0 0324 8 6436 9 9 2718( . . . ... . ) .+ + + + + =

Answer: 9.2718.

3. n = 100

Solution


0

3




b

n n( ) ≈ ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) + ( )( ) ∫ −∆ 1 2 3 1... , where ∆xb a

n=

−

We have that a = 0, b = 3, n = 100.


=3 0

100

3

100

Divide interval [0, 3] into n = 100 subintervals of lenght ∆x =3

100:

a =

03

100

3

100

3

50

3

50

9

100

147

50

297, , , , , ,..., ,

1100

297

1003

=, , b


f x f

f x f

1

2

3100

910000

0 0009

3

50

9

25000 00

( ) = = =

( ) =

= =

.

. 336

9

100

81

100000 0081

297

100

8

3

99

f x f

f x f

( ) =

= =

( ) =

=

.

88209

100008 8209

3 9100

=

( ) = ( ) = =

.

( )f x f b f

Finally, just sum up above values and multiply by ∆x =3

100:

3

1000 0009 0 0036 0 0081 8 8209 9 9 13545( . . . ... . ) .+ + + + + =

Answer: 9.13545.


12/19

12

4. n = 200

Solution


0

3




b

n n( ) ≈ ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) + ( )( ) ∫ −∆ 1 2 3 1... , where ∆xb a

n=

−

We have that a = 0, b = 3, n = 200.


=3 0

200

3

200

Divide interval [0, 3] into n = 200 subintervals of length ∆x =3

200:

a =

0 3200

3200

3100

3100

9200

297100

, , , , , , ..., , 5597200

597200

3

=, , b


f x f

f x f

1

2

3

200

9

400000 000225

3

100

9

10000

( ) =

= =

( ) =

= =

.

00 0009

9

200

81

40000 0 002025

597

200

3

99

.

.

...

f x f

f x f

( ) =

= =

( ) =

= =

( ) = ( ) = =

356409

400008 910225

3 9100

.

( )f x f b f

Finally, just sum up above values and multiply by ∆x =3

200:

3

2000 000225 0 0009 0 002025 8 910225 9 9 0676125( . . . ... . ) .+ + + + + =

Answer: 9.06761250000000.

Terlihat bahwa semakin besar n nilai luas semakin mendekati angka 9, maka bisa dikatakan luas

daerah di atas mendekati 9.


13/19

13

CONTOH SOAL

1. Hitunglah jumlah riemann untuk suatu daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) = x3,

sumbu x pada interval 0 < x < 5 dengan 5 partisi yang sama menggunakan titik acuan

kanan!

Pembahasan:

∆x =

−=

5 0

51

x x

x x x

x x x

x x x

x x x

1

2 1

3 2

4 3

5 4

0 1

2

3

4

5

= + == + == + =

= + == + =

∆∆∆

∆∆

f x x

f x f

f x f

f x f

f x f

f

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

== == == =

= =

3

1

2

3

4

1 1

2 8

3 27

4 64

(( ) ( )x f 5

5 125

= =sehingga jumlah riemannya adalah

R x f f f f f

R

R

5

5

5

1 2 3 4 5

1 1 8 27 64 125

225

= + + + +( )

= + + + +( )=

∆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Nilai dari jumlah riemann bisa saja bernilai negatif, sebagaimana contoh berikut.

CONTOH SOAL

1. Tentukan jumlah Riemann fungsi f(x) = -x2 + x pada interval [–2, 0] dengan menggunakan

4 subinterval dengan lebar sama panjang dan titik-titik ujung kiri subinterval sebagai titik

wakilnya! (Soal pada buku pegangan siswa kurikulum 2013)


14/19

14

Pembahasan:

∆x =

− −=

0 2

4

1

2

( )

x

x x x

x x x

x x x

1

2 1

3 2

4 3

2

3

2

1

1

2

= −

= + = −

= + = −

= + = −

∆

∆

∆

Maka

f xi x f x f x f x f x

f

n

( ) ( ) x ( ) x ( ) x ( ) x

f

∆ ∆ ∆ ∆ ∆=

∑ = + + +

= −( ) ⋅ + −

1

4

1 2 3 4

2 12

32

⋅ + −( ) ⋅ + −

⋅

= − −( ) ⋅ + − −

12

1 12

12

12

4 21

2

9

4

3

2

1

2

f f

++ − −( ) + − −

⋅

= − − − −

= −

1 11

2

1

4

1

2

1

2

315

81

3

8

6 25.

2. Tentukan jumlah riemann dari suatu daerah yang dibatasi oleh y = 3x, sumbu x dan

1 < x < 4 dengan n partisi, menggunakan titik acuan kanan!

Pembahasan:

Karena ada n partisi maka

∆ ∆x

nx

n=

−→ =

4 1 3

R f xi x

R x xi

Rn

xi

Rn

x x x

n

i

n

ni

n

n

i

n

n

= ( )

=

= ⋅

= + + +

=

=

=

∑

∑∑

∆

∆

1

1

1

1 2 3

3

33

9.... +( )

= + +

{ }

x

Rn

n

nderet aritmatika

n

n

9

21

34


15/19

15

= +Rn

n

9

25

3

= +Rn

n

45

2

27

2

3. Tentukan jumlah riemann dari suatu daerah yang dibatasi oleh y = x2, sumbu x dan

1 < x < 9 dengan n partisi, menggunakan titik acuan kiri!

Pembahasan:

∆x

n n=

−=

9 1 8

x

xn

xn

x in

o

i

=

= +

= +

= + ⋅

1

1 8

116

18

1

2

R f xi x

Ri

n n

Ri

n

i

n

n

i

n

n

i

n

n

= ( )

= +

= + +

=

=

∑

∑

∆1

1

2

2

2

18 8

116 64

= + +

= +

=

=

=

∑

∑

∑

i

n

n

i

n

n

i

n

n

Rn

i

n

i

n

Rn n

i

1

2

2

31

12

8

8 128 512

81

128

ii

n

i

n

n

ni

Rn

nn

n n

n

n n

= =∑ ∑+

= + ⋅ +

+ ⋅ + +

13

2

1

2 3

512

8 128 1

2

512 1 2( )

( ) ( )( n 11

6

864

11 256

31

12

12 3

)

Rn

n nn n

n nn

nn

n = + ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ +

+

= + +

+ +

+

R

n n nn 8 64 1

1 256

31

12

1


16/19

16

C. INTEGRAL TENTU

Integral tentu fungsi f(x) pada interval 0, a[ ] dinyatakan

lim ( ) ( )n

i

i

n a

f x x f x dx→∞

=

∑ ∫ =∆1 0

Bentuk integral tentu ini dapat dikatakan sebagai luas daerah di bawah kurva f(x) (bila f(x)

positif) yang dibatasi oleh sumbu x dengan batas 0 < x < a.

CONTOH SOAL

1. Tentukan integral tentu fungsi f(x) = 2x + 1 pada interval [0, 2] atau 2 10

2

x dx+( ) ∫ ! Pembahasan:

( ) lim2 10

2

1

x dx f x xn

i

i

n

+ = ( ) ∫ ∑→∞=

∆

Dimana

xn

xn

x in

i

i

= +

= + ⋅

=

02

0 22

2

2

Maka

2 1 22

12

8 2

0

2

1

2

x dxi

n n

i

n n

ni

n

n

+( ) =

+

⋅

= +

∫ ∑→∞=

→∞

lim

lim

= +

=

→∞

= =

∑

∑ ∑i

n

n

i

n

i

ni

n n

1

2

1 1

8 2lim

2 18 1

2

8

21

0

2

21 1

2

x dxn

in

n

nn

ni

n

i

n

n

+( ) = +

= +

∫ ∑ ∑→∞= =

→∞

lim

lim ( ))

lim

+ ⋅

= ⋅

+

+

→∞

12

41

12

2

nn

n n

n nn


17/19

17

lim=→∞n

664

64

6 0 6

+

= +∞

= + =

n

D. TEOREMA FUNDAMENTAL KALKULUS

1. Jika f kontinu pada [a, b] dan x sebarang titik di (a, b), makad

dxf t dt f x

a

x

( ) ( )= ∫

2. Jika f kontinu pada [a, b] dan F anti turunan f pada [a, b] maka f x dx F b F aa

b

( ) ( ) ( )= − ∫

CONTOH SOAL

1. Tentukan nilai dari t dtx

3

1

∫ dengan menggunakan definisi integral tentu, kemudian

hitunglahd

dxt dt

x

3

1

∫ ! Pembahasan:

t dt f t tx

ni

i

n3

1 1 ∫ ∑= ( )→∞

=

lim ∆

Dimana

tx

n

tx

n

tx

nii

1

2

11

1 21

11

= + −

= + −

= + −

⋅

( )

Maka

f tx

ni

f tx

ni

x

ni

x

n

i

i

( )( )

( )( ) ( ) ( )

= + −

= + −

+ −

+ −

11

13 1 3 1 1

3

2

2

23

33

3i


18/19

18

Misal x – 1 = p

t dtp

ni

p

ni

p

ni

p

n

x

ni

n3

1

2

2

23

3

3

1

13 3

∫ ∑= + + +

=

→∞=

lim

limnni

n

ni

n

p

n

p

n ip

n ip

n i

p

n

p

→∞=

→∞=

+ + +

= +

∑

∑

3 3

13

2

2

3

32

4

43

1

1

2

limnn

ip

ni

p

ni

pp

n

n

i

n

i

n

i

n

n

21

3

3

2

1

4

4

3

1

2

2

3

3

2

= = =

→∞

∑ ∑ ∑+ +

= + ⋅lim (nnp

n

n n n p n n

n+ +

+ +

+

+

=

13 1 2 1

6 4

13

3

4 2

)( )( ) ( )

liimn

pp

np

n n

p

n→∞+ +

+ +

+

+ +

3

21

1 1

21

12

1

41

12 34

= + + +

= − + −

+ − + −

2

23 4

23

32

14

13 1

21

1

41

p p p p

xx

x x( )( )

( ) ( )44

2 3 2 4 3 213

22 1 3 3 1

1

44 6 4 1

13

= − + − + + − + − + − + − +

= − +

x x x x x x x x x( ) ( ) (x )

x22

33

23 3 1

1

4

3

2

1

4

1

4

7

4

2 3 2 4 3 2

4

x x x x x x x x x

x

− + + − + − + − + − +

= −

Maka

t dt xx

3

1

41

4

7

4 ∫ = −

sehingga

d

dxt dt

d

dxx x

x

3

1

4 31

4

7

4 ∫ = −

=

2. Hitunglah x dx31

1

− ∫ dengan menggunakan teori dasar kalkulus ke-2!

Pembahasan:

x dx x3

1

1

4

1

1

4 4

1

4

1

41

1

41

0

− − ∫ =

=

− −

=

( ) ( )


19/19

19

3. Jika diketahui 3 4 4 42

2

4

2

x dx x dx

p

− = − ∫ ∫ , tentukan p! Pembahasan:

Dengan TDK 2

( ) ( )3 4 4 4

4 2 4

64 16 8 8

2

2

4

2

3

2

42

2

x dx x dx

x x x x

p

p

− = −

− = −

−( ) − −( ) =

∫ ∫

22 4 8 8

48 2 4

2

2

p p

p p

−( ) − −( )

= −

Maka

p pp p

2

2 24 06 4 0

− − =− + =( )( )

p = 6 atau p =–4

matematika sesi 24

Documents