logika dan matematika

7/23/2019 logika dan matematika

1/8

Logika dan Matematika

Logika dan dan matematika merupakan dua pengetahuan yang berperan

sebagai sarana berpikir deduktif. Pola berpikir deduktif banyak digunakan, baik

dalam bidang ilmiah maupun bidang lain, yang merupakan proses pengambilan

kesimpulan yang didasarkan pada premis-premis yang kebenarannya telah

ditentukan.

Penggunaan matematika dalam hubungannya dengan logika dan filsafat

dimulai pada zaman Yunani kuno. Beberapa hasil teori logika yang telah berhasil

dan terkenal di kalangan para matematikawan barat diantaranya adalah Teori

silogisme dari Aristotle dan aksioma Euclid untukgeometri planar. Sekitar tahun

!"", per#obaan-per#obaan untuk melakukan operasioperasi logika formal dengan

memakai simbol-simbol dan al$abar $uga dilakukan oleh banyak matematikawan

lain, termasuk Leibniz dan Lambert. Akan tetapi, informasi mengenai hasil

peker$aan mereka sangat sedikit dan $arang sekali ditemukan, yang karena itu

tidak terlalu diketahui oleh publik. %&aby, '""!(

)atematika dan logika sebagai sarana berpikir deduktif mempunyai fungsi

sendiri-sendiri. Logika lebih sederhana penalarannya, sedang matematika sudah

$auh lebih terperin#i, walaupun demikian hukum-hukum matematika dapat

disederhanakan ke dalam hukum-hukum logika, menurut Betrand *ussel+ logika

adalah masa muda matematika, sedang matematika adalah masa dewasa logika.

Sebagai #ontoh hukum-hukum logika yang kemudian dikembangkan dalam

matematika, seperti hukum distributif, asosiatif, e morgan. alam hukum e

)organ terdapat dua kaidah yaitu+ kaidah negasi kon$ungsi %( atau

mengingkari pernyataan, dan kaidah negasi dis$ungsi %( atau mengingkari

pengatauan.

egasi atau ingkaran ini adalah kebalikan dari pernyataan yang

sebenarnya. Bila pernyataan yang satu benar yang lain salah, misalnya p adalah

suatu pernyataan /Saya pemain bola yang handal/ maka negasi atau ingkaran dari

p %-p( adalah berbunyi /Saya bukanlah pemain bola yang handal/. an nilai dari p

tersebut akan berkebalikan dengan nilai 0p.

Berikut adalah tabel kebenaran dari egasi +

p -p


2/8

B

S

S

B

1ontoh + - 2ika p + /eni adalah manusia/ adalah benar, maka -p + /eni

bukanlah manusia/ bernilai salah.

- 2ika p + /Be#kham adalah pemain basket/ adalah salah, maka -p +

/Be#kham bukan pemain basket/ bernilai benar.

1. Negasi Konjungsi

egasi kon$ungsi merupakan negasi dari suatu kon$ungsi mempunyai

nilai logika yang sama dengan suatu dis$ungsi dari negasi masing-masing

komponennya, non %p dan 3( setara dengan %non p dan non 3(. dalam

peristilahan komputer disebut lintasan arus 45*6 %57 dan 5*(, yang

melambangkan pernyataan ma$emuk -%p 3( setara dengan %-p 3(.

)isalkan suatu pernyataan 48bu menggoreng ikan dan mendengarkan

radio6. Pernyataan tersebut eki9alen dengan dua pernyataan tunggal berikut,

48bu menggeoreng ikan.6 dan 48bu mendengarkan radio.6 Suatu kon$ungsi p

3 akan bernilai benar $ika hanya $ika komponen-komponennya baik p

maupun 3, keduanya bernilai benar. Sedangkan negasi atau ingkaran suatu

pernyataan adalah pernyataan lain yang bernilai benar $ika pernyataan

awalnya bernilai salah dan bernilai salah $ika pernyataan awalnya bernilai

benar. arena itu, negasi dari 48bu menggoreng ikan dan mendengarkanradio.6 adalah suatu pernyataan ma$emuk lain yang salah satu komponennya

merupakan negasi dari komponen pernyataan awal. engan demikian negasi

dari kalimat tersebut adalah 4Sari tidak makan roti atau tidak minum susu6.

Sebagaimana ditun$ukkan oleh tabel kebenaran berikut.

P 3 qp -p -3 qp

B B B S S S


3/8

B

S

S

S

B

S

S

S

S

S

B

B

B

S

B

B

B

B

2. Negasi Disjungsi

egasi dis$ungsi merupakan negasi dari suatu dis$ungsi yang

mempunyai nilai logika yang sama dengan suatu kon$ungsi dari negasi

masing-masing komponennya, non %p atau 3( setara dengan %non p dan non

3(. alam peristilahan komputer disebut lintasan arus 4A6 %57 dan

A(, yang melambangkan pernyataan ma$emuk 0 (% qp setara dengan %

(.

1ontoh 48bu menggoreng ikan atau mendengarkan radio6 suatu

dis$ungsi qp akan bernilai salah hanya $ika komponen-komponenya baik p

maupun 3, keduanya bernilai salah, dan yang selain itu bernilai benar. 2adi

negasinya adalah 48bu tidak menggoreng ikan dan tidak mendengarkanradio.6 Sebagaimana ditun$ukkan dalam tabel kebenaran berikut.

p 3 (% qp -p -3 qp

B

B

S

S

B

S

B

S

B

B

B

S

S

S

B

B

S

B

S

B

S

S

S

B

A. Hukum Dasar Penalaran

Penalaran adalah proses berpikir dalam merumuskan dan menarik suatu

kesimpulan yang berupa pengetahuan. )anusia adalah satu-satunya makhluk yang

mempunyai kemampuan untuk melakukan penalaran, karena manusia adalah

mahkluk yang berpikir, merasa, bersikap dan bertindak. Bersikap dan bertindak

bersumber dari kegiatan merasakan dan berpikir. )elalui penalaran dan

Sumber + )arkaban, '"":

Sumber + )arkaban, '"":


4/8

bahasanya, manusia dapat mengembangkan pengetahuannya dengan #epat dan

mantap. Sehingga kemampuan sur9i9alnya melebihi binatang dan dapat

mengendalikan alam untuk kelangsungan dan kese$ahteraan hidup.

alam penalaran deduktif bentuk penyimpulan yang banyak digunakan

adalah sistem silogisme, bahkan silogisme ini disebut $uga perwu$udan pemikiran

deduktif yang sempurna. alam silogisme ini ada beberapa hukum yang perlu

diikuti, yaitu hukum silogisme berbentuk silogisme kategorik dan hukum

silogisme majemuk.

a. Hukum Penyimpulan Kategoris

( i antara dua hal yang sama, $ika yang satu diketahui sama dengan halketiga, maka yang ain pun pasti sama. ;ukum ini dirumuskan se#ara

simbolis seperti berikut ini.((%(%% CBBA == (A=C)

'( i antara dua hal yang sama, $ika sebagian yang satu termasuk dalam hal

ketiga, maka sebagian yang lain pun termasuk di dalamnya. ;ukum ini

dirumuskan se#ara simbolis seperti berikut ini.((%(%% CBBA = (% CA

( 2ika sesuatu hal diakui sebagai sifat yang sama dengan bagian dari suatu

keseluruhan, maka diakui pula sebagai bagian dari keseluruhannya itu.

;ukum ini dirumuskan seperti berikut.((%(%% CBBA =

CA

?( 2ika suatu hal diakui sebagai sifat yang meliputi suatu keseluruhan, maka

meliputi pula bagian-bagian dari keseluruhan itu. ;ukum ini dirumuskan

seperti berikut((%(%% CBBA CA

!( 2ika sesuatu hal tidak diakui oleh keseluruhan, maka tidak diakui pula oleh

bagian-bagian dari keseluruhan itu. ;ukum ini dirumuskan seperti berikut.

((=%(%% CBBA (AC)


5/8

b. Hukum Penyimpulan Majemuk

;ukum yang berbentuk silogisme ma$emuk merupakan perumusan

silogisme yang $ika diungkapkan dalam bentuk diagram setelah adanya

penegasan, hanya ada satu bab himpunan %suatu kelompok( yang

dimaksudkannya. ;ukum yang berbentuk silogisme ma$emuk ini akan

dikemukakan bentuk logis penyimpulannya dengan menggunakan rumusan

simbolis.

1) Modus ponendo ponen

Penyimpulan modus ponendo ponen adalah suatu penyimpulan dengan

#ara mengakui salah satu bagian proposisi hipotetik sebagai premis mayor,

maka kesimpulannya adalah menetapkan bagian yang lain.

@ki9alen + . qpqp

((%% .'. pqqp ((%%

8mplikasi + . pqqp ((%%

8mplikasi + ?. ppqp ((%%

) Modus ponendo tolenPenyimpulan modus ponendo tolen adalah suatu penyimpulan dengan #ara

mengakui salah satu bagian dis$ungsi eksklusif sebagai premis mayor,

maka kesimpulannya adalah mengingkari bagian yang lain

is$. @ksklusif + !. qpqp ((%% .

. pqqp ((%%

!) Modus tolendo ponen

Penyimpulan modus tolendo ponen adalah suatu penyimpulan dengan #ara

mengingkari salah satu bagian dis$ungsi inklusif sebagai premis mayor

sehingga kesimpulannya adalah mengakui bagian yang lain.

is$. 8nklusif + . qpqp ((%% .

". pqqp ((%%

B. ungsi Penalaran Dedukti!

Logika dan matematika dengan menggunakan bahasa simbolis yang

mudah ditangkap struktur logisnya berfungsi sebagai alat berpikir yang terlepas


6/8

dari isi. 8lmu merupakan pengetahuan yang mendasarkan kepada analisis dalam

menarik kesimpulan menurut pola pikir logis. 5leh karena itu, ilmu mutlak perlu

menggunakan logika dan matematika untuk pengembangan ilmunya.

a. "truktur Logis Hukum

Logika sebagai alat penganalisis dalam bidang ilmu dapat

di#ontohkan misalnya ilmu hukum. Pernyataan-pernyataan dalam bidang

hukum terlalu rumit untuk di#erna bagi kelompok di luar bidang hukum.

2ika ditun$ukkan struktur logisnya, akan mudah dan #epat dipahami,

misalnya C;P pasal >> + , yang dirumuskan sebagai berikut.

" Barang siapa #ang men#iarkan$ mempertunjukkan atau

menempelkan di muka umum$ tulisan atau lukisan pern#ataan

perasaan pearmusu%an$ ke&encian atau peng%inaan ter%adap

'emerinta% ndonesia$ dengan maksud supa#a isin#a diketa%ui

ole% umum$ diancam dengan pidana penjara paling lama empat

ta%un enam &ulan atau pidana denda paling &an#ak empat ri&u

lima ratus rupia%*

*umusan C;P tersebut dapat dianalisis untuk menentukan

masing-masing komponennya dengan mendasarkan rumusan berbentuk

implikasi yang masing-masing bagiannya terdiri atas beberapa unsur.

4Barang siapa menyiarkan %D(, mempertun$ukan %y( atau

menempelkan %z( di muka umum, tulisan %p( atau lukisan %3( yang

mengandung pernyataan perasaan permusuhan %r(, keben#ian %s(

atau penghinaan %t( terhadap Pemerintah 8ndonesia, dengan

maksud supaya isinya diketahui oleh umum, dian#am dengan

pidana pen$ara paling lama empat tahun enam bulan %f( atau

pidana denda paling banyak empat ribu lima ratus rupiah %g(6.*umusan C;P tersebut adapat dirumuskan se#ara simbolis

sebagai berikut.

( ) ( ) ( )( ) ( )g+tsrqp,#-

*umusan tersebut terbentuk implikasi terdiri dari dua bagian,

bagian awal disebut antesenden, dan bagian kedua disebut konsekuen.

engan perumusan simbolik seperti di atas dapat kelihatan dengan $elas

struktur logiknya, sehingga akan lebih #epat menangkap makna yang


7/8


8/8

ari tabel dis$ungsi tersebut dapat diba#a bahwa arus dari A ke B

dapat sampai dengan tiga kemungkinan, yaitu+

. Baris , p terhubung dan 3 terhubung, ada arus dari A ke B,

'. Baris ', p terhubung dan 3 terlepas, ada arus dari A ke B dan

logika dan matematika

Documents