KAEDAH TERUS KAEDAH TERUS

((DIRECT METHOD))Interpolasi Linear

Interpolasi Kuadratik

Polinomial adalah pilihan bagiinterpolasi kerana ia mudah untuk:

pengiraanpengiraan

pembezaan, and

kamiran

Diberi n+1 titik iaitu (x0,y0), (x1,y1),.. (xn,yn),

yang melalui polinomial peringkat nseperti berikut:

yang mana a0, a1,, an adalah pekali nyata.

KAEDAH TERUS (DIRECT METHOD)

0 1 ... .n

ny a a x a x= + + +yang mana a0, a1,, an adalah pekali nyata.

Bina polinomial peringkat n untuk dapatkan nilai-nilain+1 pekali.

Untuk dapatkan nilai y pada nilai x tertentu, gantikannilai x ke dalam polinomial tersebut.

INTERPOLASI LINEAR

Bentuk paling ringkas dalam Interpolasi Kaedah Terus.

Dua titik/data berada dalam satu garis lurus.

Fungsi interpolasi adalah gabungan beberapa garislurus yang bersambung di titik hujung.

Secara umumnya,

0 1 0

0 1 0

( ) ( ) ( ) ( )y x y x y x y xx x x x

=

Kecerunan/

slope

INTERPOLASI LINEAR

1 00 0

1 0

( ) ( )( ) ( ) ( )y x y xy x y x x xx x

= +

Selang yang lebih kecil antara data yang dipilih

akan menghasilkan anggaran yang lebih tepat.

CONTOH 1(A)

Halaju menaik sebuah roket diberikan sebagai fungsi masa

seperti dalam Jadual 1. Cari halaju pada t=16 saat menggunakan

kaedah terus bagi interpolasi linear.

t v(t)s m/s0 0

10 227.0415 362.7820 517.35

22.5 602.9730 901.67

Jadual 1

Velocity vs. time data for the rocket example

10 12 14 16 18 20 22 24350

400

450

500

550517.35

362.78

y s

f range( )

f x desired( )

x s 10+x s 10 x s range, x desired,

( ) taatv 10 +=( ) ( ) 78.3621515 10 =+= aav( ) ( ) 35.5172020 10 =+= aav

Penyelesaian bagi persamaan diatas :

0 100.91,a = 913.301 =a x s1 10+x s0 10 x s range, x desired,0 1

Maka

( ) .2015,913.3091.100 += tttv( ) ( )16913.3091.10016 +=v sm /7.393=

INTERPOLASI KUADRATIK

Selalunya, ia akan memberikan anggaran yang lebih baikberbanding Interpolasi Linear.

Tiga data yang bersambungan digunakan untukmenghasilkan polinomial peringkat kedua.

Secara umumnya,

( ) ( ) ( )( )y x b b x x b x x x x= + + 0 1 0 2 0 1( ) ( ) ( )( )y x b b x x b x x x x= + +

0 0

1 01

1 0

1 02 1

2 1 1 02

2 0

yang mana( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

b y xy x y xb

x x

y x y xy x y xx x x xb

x x

=

=

=

CONTOH 1(B)

Halaju menaik sebuah roket diberikan sebagai fungsi masa

seperti dalam Jadual 1. Cari halaju pada t=16 saat menggunakan

kaedah terus bagi interpolasi kuadratik.

t v(t)s m/s0 0

10 227.0415 362.7820 517.35

22.5 602.9730 901.67

Jadual 1

Velocity vs. time data for the rocket example

( ) 2210 tataatv ++=( ) ( ) ( )20 1 210 10 10 227 04v a a a= + + = ( ) ( ) ( )20 1 215 15 15 362 78v a a a= + + = ( ) ( ) ( )20 1 220 20 20 517 35v a a a= + + =

Selesaikan ketiga-tiga persamaan, diperoleh

001.120 =a 740.171 =a 37637.02 =a

10 12 14 16 18 20200

250

300

350

400

450

500

550517.35

227.04

y s

f range( )

f x desired( )

2010 x s range, x desired,

( ) 2010,37637.0740.17001.12 2 ++= ttttv

( ) ( ) ( )21637637.016740.17001.1216 ++=v392 19 /m s=

s desired

Ralat mutlak relatif di antara keputusan bagi interpolasi linear (polinomial peringkatpertama) dan interpolasi kuadratik (polinomial peringkat kedua) adalah

10019.392

70.39319.392

=a

%38502.0=

a

Dapatkan menggunakan nilai-nilai yang diberi.

0 0

1 1

2 2

1 ( ) 04 ( ) 1.3862946 ( ) 1.791759

x y xx y xx y x

= =

= =

= =

ln 2

0

1

11.386294 0 1.386294 0.4620981

4 1 3

b

b

=

= = =

CONTOH 2

( ) lny x x=

( ) 0 0 10 0.4620981( ) 0.0518731( )( )y x x x x x x x= +

2 26 ( ) 1.791759x y x= =2

4 1 30.0518731b

=

( )2 0 0.4620981(2 1) 0.0518731(2 1)(2 4) 0.5658444y = + =

CONTOH 3

Halaju menaik sebuah roket diberikan sebagai fungsi masa

seperti dalam Jadual 1. Cari halaju pada t=16 saat menggunakan

kaedah terus bagi interpolasi kubik.

t v(t)s m/s0 0

10 227.0415 362.7820 517.35

22.5 602.9730 901.67

Jadual 1

Velocity vs. time data for the rocket example

INTERPOLASI KUBIK

( ) 332210 tatataatv +++=( ) ( ) ( ) ( )332210 10101004.22710 aaaav +++==( ) ( ) ( ) ( )332210 15151578.36215 aaaav +++==( ) ( ) ( ) ( )32 20202035.51720 aaaav +++==( ) ( ) ( ) ( )332210 20202035.51720 aaaav +++==( ) ( ) ( ) ( )332210 5.225.225.2297.6025.22 aaaav +++==

3810.40 =a 289.211 =a 13065.02 =a 0054606.03 =a

10 12 14 16 18 20 22 24200

300

400

500

600

700602.97

227.04

y s

f range( )

f x desired( )

22.510 x s range, x desired, 22.510 x s range, x desired,

( ) 5.2210,0054606.013064.0289.213810.4 32 +++= tttttv( ) ( ) ( ) ( )32 160054606.01613064.016289.213810.416 +++=v sm /06.392=

Ralat mutlak relatif di antara keputusan dari polinomial peringkat keduadan ketiga adalah

10006.392

19.39206.392

=a

%033427.0=

a

JJADUALADUAL PPERBANDINGANERBANDINGAN

Peringkat Polinomial

1 2 3

v(t=16) m/s

393.69 392.19 392.06 m/s

Ralat anggaran mutlak relatif

---------- 0.38502 %

0.033427 %

JJARAKARAK DARIPADADARIPADA PPROFILROFIL HHALAJUALAJU

Dapatkan jarak yang dilalui oleh roket tersebut pada masa

t=11s hingga t=16s ?

t v(t)s m/s0 00 0

10 227.0415 362.7820 517.35

22.5 602.9730 901.67

Jadual 1

( ) 5.2210,0054606.013064.0289.213810.4 32 +++= tttttv

( ) ( ) ( )=16

11

1116 dttvss

( )dtttt +++16

11

32 0054606.013065.0289.213810.4

1616

11

432

40054606.0

313065.0

2289.213810.4

+++=

tttt

m 1605=

PECUTAN DARIPADA PROFIL HALAJU

( ) 5.2210,0054606.013065.0289.213810.4 32 +++= tttttDapatkan pecutan roket pada t=16s.

( ) ( ) ( )32 0054606.013064.0289.213810.4 tttdtd

tvdtd

ta +++==

5.2210,016382.026130.0289.21 2 ++= ttt , 5.2210,016382.026130.0289.21 2 ++= ttt

( ) ( ) ( )216016382.01626130.0289.2116 ++=a2/664.29 sm=