identity of trigonometry1.doc
TRANSCRIPT
Bab 1
Pendahuluan
1.1 Latar Belakang
Matematika merupakan salah satu ilmu yang penting dalam kehidupan manusia.
Keberadaan matematika memiliki peran memudahkan setiap aktivitas manusia. Tak dapat
dipungkiri, dalam melakukan aktivitas sehari-hari manusia tidak dapat dipisahkan dari
matematika.
Ilmu matematika secara terus menerus mengalami perkembangan dari pencacahan,
perhitungan, dan pengukuran. Salah satu cabang ilmu matematika tersebut adalah trigonometri
yang berhubungan dengan sudut segitiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan
tangen.
Ada banyak aplikasi trigonometri dalam kehidupan manusia, seperti triangulasi dalam
astronomi, sistem navigasi satelit, dan lain-lain.
Dalam ilmu pendidikan matematika, trigonometri terbagi menjadi beberapa submateri di
antaranya identitas trigonometri dan fungsi trigonometri. Dalam makalah ini dibahas fungsi
trigonometri, rumus – rumus identitas trigonometri, pembuktian identitas trigonometri, beberapa
soal latihan, penyelesaiannya.
1.2 Rumusan Permasalahan
1. Bagaimana pengertian identitas trigonometri?
2. Bagaimana pembuktian identitas trigonometri?
3. Apa saja macam Fungsi Trigonometri?
4. Bagaimana cara menggambar Fungsi Trigonometri?
5. Bagaimana cara menentukkan nilai maksimum dan nilai minimum dari suatu Fungsi
Trigonometri?
1.3 Tujuan
1. Mengetahui definisi identitas trigonometri.
2. Mengetahui pembuktian identitas trigonometri.
3. Memahami apa yang dimaksud dengan Fungsi Trigonometri beserta macam-macamnya.
4. Mengetahui cara menggambar berbagai macam Fungsi Trigonometri.
5. Mengetahui cara menentukkan nilai maksimum dan nilai minimum dari suatu Fungsi
Trigonometri.
1
Bab 2
Pembahasan
2.1 Pengertian
Pengertian dan definisi Trigonometri. Trigonometri adalah bagian dari ilmu
matematika yang mempelajari relasi antara sudut dan sisi sebuah segitiga. Trigonometri
2
adalah suatu konsep dalam matematika yang memungkinkan kita menghitung dan
memperoleh nilai dari suatu benda tanpa kita perlu melakukan pengukuran secara manual.
Trigonometri sangat penting dalam kehidupan kita. sebagian besar pengukuran yang tidak
bisa dilakukan secara manual dapat di lakukan dengan menggunakan konsep dan fungsi
trigonometri.
Identitas Trigonometri adalah kesamaan yang memuat bentuk trigonometri dan
berlaku untuk sembarang sudut yang diberikan. Identitas Trigonometri terbagi tiga, yaitu :
a. Identitas Kebalikan
b. Identitas Perbandingan
c. Identitas Phytagoras
Berikut identitas – identitas tersebut :
a. Identitas Kebalikan
csc A = 1
sin A
sec A = 1
cos A
cot A = 1
tan A
b. Identitas Perbandingan
tan A = sin A
cos A
cot A = cos A
sin A
c. Identitas Phytagoras
sin2 A + cos2 A = 1
1 + tan2 A = sec2 A
1 + cot2 A = csc2 A
2.2 Pembuktian
Untuk pembuktian identitas kebalikan dan identitas perbandingan membutuhkan gambar
sudut segitiga siku-siku sebagai berikut :
Dimana = A
3
2.2.1 Identitas Kebalikan
2.2.2 Identitas Perbandingan
2.2.3 Identitas Phytagoras
4
Pada gambar di samping untuk P(X, Y) terletak
pada lingkaran satuan dengan POP’= A.
Segitiga OPP’ merupakan segitiga siku-siku di P’.
Sehingga :
=> y = sin A
=> x = cos A
Dan berlaku hubungan Phytagoras :
(OP’)2 + (PP’)2 = (OP)2
(x)2 + (y)2 = (r)2
(x)2 + (y)2 = 1........ (#)
Dengan x = cos A dan y = sin A, lalu substitusikan ke persamaan (#) maka diperoleh :
(cos A)2 + (sin A)2 = 1 <=> (sin A)2 + (cos A)2 = 1 ........... (*)
Jika kedua ruas dari persamaan (#) dibagi dengan x2, maka diperoleh :
<=> 1 + (y/x)2 = (1/x)2 ........ (##)
Dengan y/x = tan A dan 1/x = sec A. lalu substitusikan ke persamaan (##), maka diperoleh
1 + tan2A = sec2A ................ (**)
5
Jika kedua ruas dari persamaan (#), dibagi y2, diperoleh
<=> (x2/y2) + 1 = (1/y2).............(###)
Dengan x/y = cot A dan 1/y = csc A ke persamaan (###), maka diperoleh
cot2A + 1 = csc2A ...................(***)
2.3 Identitas Trigonometri yang lain
Kegunaan dari identitas-identitas triogonometri dasar di atas, untuk menentukan nilai suatu
perbandingan trigonometri apabila nilai perbandingan trigonometri lain telah diketahui. Dapat juga
berfungsi menyederhanakan bentuk-bentuk trigonometri ataupun membuktikan sebagaimana
diperlihatkan pada contoh-contoh berikut :
1. Diketahui sin A = ½ dan A sudut kuadran I. Hitunglah :
a. Cos A
b. Tan A
Jawab :
a. sin2 A + cos2A = 1
(1/2)2 + cos2A = 1
cos2 A = 1 – ¼
cos2 A = ¾
cos A = - ½ atau cos A =+ ½
Karena berada di kuadran I maka cos A bernilai positif yaitu + ½
b. tan A = sin A/cos A
= ½ x ½
= ¼
Karena berada di kuadran I bernilai + ¼
2. Buktikan bahwa 1 + Tan2 A = Sec2 A !
Jawab :
Kita ubah bentuk ruas kiri
1 + Tan2 A = 1 + * identitas perbandingan tan A = sin A/cos A
6
= 1 +
= +
=
=
= sec2 A
3. Buktikan bahwa 1 + Cot2 A = Cosec2 A !
1 + Cot2 A = 1 + *identitas perbandingan cot A = cos A/sin A
= +
= *identitas phytagoras sin2 A+ cos2A = 1
= = cosec2 A
7
8
2.4 Fungsi Trigonometri
2.4.1 Fungsi Trigonometri Sinus
Fungsi yang memetakan himpunan sudut x° ke himpunan bilangan real sin x° disebut
fungsi sinus, dilambangkan dengan:
f : x° → sin x° (f memetakan x° ke sinus x°)
Jadi, rumus untuk fungsi sinus adalah f(x°)= sin x° atau f(x)=sin x atau y=sin x
2.4.2 Fungsi Trigonometri Kosinus
Fungsi yang memetakan himpunan sudut x° ke himpunan bilangan real cos x°
disebut fungsi kosinus, dilambangkan dengan:
f : x° → cos x° (f memetakan x° ke kosinus x°)
Jadi, rumus untuk fungsi kosinus adalah f(x°)= cos x° atau f(x)=cos x atau y=cos x
2.4.3 Fungsi Trigonometri Tangen
Fungsi yang memetakan himpunan sudut x° ke himpunan bilangan real tangen x°
disebut fungsi tangen, dilambangkan dengan:
f : x° → tan x° (f memetakan x° ke tangen x°)
Jadi, rumus untuk fungsi tangen adalah f(x°)= tan x° atau f(x)=tan x atau y=tan x
2.4.4 Fungsi Trigonometri Lainnya
Selain yang disebutkan di atas, ternyata terdapat beberapa fungsi trigonometri
lainnya, yaitu:
- Fungsi Kotangen → f(x°)= cot x° atau f(x)=cot x atau y=cot x
- Fungsi Secan → f(x°)= sec x° atau f(x)=sec x atau y=sec x
- Fungsi Kosekan → f(x°)= cosec x° atau f(x)=cosec x atau y=cosec x
9
2.5. Menggambar Grafik Fungsi Trigonometri Sederhana
2.5.1 Grafik Fungsi Sinus
Y= sin x
X 0 30 60 90 120 150 180
Y=sin x 0 ½ 1 ½ 0
(x,y) (0,0) (30,½)(60, )
(90,1)(120, )
(150,½) (180,0)
X 210 240 270 300 330 360
Y=sin x -½-
-1-
-½ 0
(x,y) (210,-½)(240,- )
(270,-1)(300,- )
(330,-½) (360,0)
2.5.2 Grafik Fungsi Kosinus
10
Y=cos x
X 0 30 60 90 120 150 180
Y=cos x 1 ½ 0 -½-
-1
(x,y) (0,1)(30, )
(60,½) (90,0) (120,-½)(150,- )
(180,-1)
X 210 240 270 300 330 360
Y=cos x-
-½ 0 ½ 1
(x,y)(210,- )
(240,-½) (270,0) (300,½)(330, )
(360,1)
2.5.3 Grafik Fungsi Tangen
Y=tan x
X 0 45 90 135 180 225 270 315 360
Y=tan x 0 1 ~ -1 0 1 ~ -1 0
11
(x,y) (0,0) (45,1) ~ (135,-1) (180,0) (225,1) ~ (315,-1) (360,0)
2.6 Menentukan Nilai Maksimum dan Minimum dari Suatu Fungsi Trigonometri
2.6.1 Fungsi Sinus
memiliki nilai maksimum=1 dan nilai minimum= -1
12
2.6.2 Fungsi Kosinus
memiliki nilai maksimum=1 dan nilai minimum= -1
2.6.3 Fungsi Tangen
.memiliki nilai maksimum= + ~ dan nilai minimum= - ~
Jika kita perhatikan grafik-grafik fungsi trigonometri yang telah kita pelajari sebelumnya, terlihat
bahwa untuk fungsi y = sin xo mempunyai nilai minimum -1 dan nilai maksimum +1, sehingga
, , untuk setiap sudut xo.
Demikian pula fungsi trigonometri y = cos xo, sehingga
untuk setiap sudut xo
Contoh :
Carilah nilai minimum dan nilai maksimum dari tiap fungsi berikut ini:
13
a. y = 2sin xo c. y= sin xo+2
b. y = -2cos xo
Jawab :
a. y = 2sin xo
-1 sin xo 1
-1 (2) (2)sin xo 1(2)
-2 2sin xo 2
-2 y 2
yminimum = -2 dan ymaksimum = 2
b. y = -2cos xo
-1 cos xo 1
-1 (2) (2)cos xo (2)1
-2 2 cos xo 2
-2 y 2
yminimum =-2 dan ymaksimum = 2
c. y = sin x0+2
-1 sin xo 1
-1 +2 sin xo +2 1+2
-1 sin xo +2 3
-1 y 3
Latihan Soal
14
Soal Identitas Trigonometri
Buktikan bahwa
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. sin2A tan2A = tan2A – sin2A
8.
9.
10. Diketahui sin A = - 4/5 dan A sudut di kuadran I. Hitunglah :
a. Cos A
b. Tan A
Soal Fungsi Trigonometri
Tentukan nilai minimum dan maksimum dari masing-masing fungsi trigonometri berikut
a. y = -3 sin xo+1
b. y = 2 cos x0-1
Jawaban
Jawaban Identitas Trigonometri
1. Kita ubah bentuk ruas kiri
=
= tan A – sec A(terbukti)
2. Kita ubah ruas kiri
15
=
=
=
= x
= x
= x x
= cos A(terbukti)
3. Kita ubah ruas kiri
=
=
= x
= x
= (terbukti)
4. Kita ubah ruas kiricos A (csc A – sec A) = cos A (csc A – sec A)
= cos A
=
= cot A (terbukti)
5. Kita ubah ruas kiri
16
(terbukti)
6. Kita ubah ruas kiri
(terbukti)
7. Kita ubah ruas kiri
sin2A tan2A =
(terbukti)
8. Kita ubah ruas kiri
17
(terbukti)
9. Kita ubah ruas kiri
=
10. Kita ubah ruas kiri
(terbukti)
11. Diketahui sin A = 4/5 dan A sudut di kuadran II. Hitunglah :
a. Cos A
sin2A + cos2 A = 1
( 4/5 )2 + cos2A =1
cos2A = 1 – 16/ 25
cos2A = 9/25
cos A = - 3/5 atau cos A = + 3/5
karena berada di kuadran II maka cos A = - 3/5
b. Tan A
Tan A = sin A/ cos A
Tan A = 4/5 x – 3/5
Tan A = -12/25
Bernilai negatif karena berada di kuadran II.
Jawaban Fungsi Trigonometri
18
a. y = -3 sin xo+1
-1 sin xo 1
3+1 -3sin xo +1 -3+1
4 -3sin xo +1 -2
4 y -2
b. y = 2 cos x0-1
-1 sin xo 1
-2-1 2sin xo -1 2-1
-3 2sin xo -1 1
-3 y 1
Bab 3
Simpulan dan Saran
3.1 Simpulan
Identitas trigonometri adalah kesamaan yang memuat bentuk trigonometri dan berlaku
untuk sembarang sudut yang diberikan. Identitas Trigonometri terbagi tiga, yaitu :
a. Identitas Kebalikan
b. Identitas Perbandingan
c. Identitas Phytagoras
3.2 Saran
Pembelajaran trigonometri dengan cara menghapal akan terasa sulit. Sebaiknya
pembelajaran trigonometri dilakukan dengan memahami materi trigonometri secara
mendalam dan intens.
19
Daftar Pustaka
Suwah Sembiring, dkk. 2008. MATEMATIKA BILINGUAL untuk SMA/MA, Kelas X Semester 1 & 2.
Bandung: Yrama Widya.
Kariadinata, Rahayu. 2013. Trigonometri Dasar. Bandung: Pustaka Setia.
Anonim. http://matemakita.com. (diakses tanggal 11 Maret 2013, 10:14)
Triputra, Sutardi. http://simplewrote.wordpress.com. (diakses tanggal 11 Maret 2013,10:25)
Anneahira. http://www.anneahira.com. (diakses tanggal 11 Maret 2013, 22:18)
Anonim. http://www.kamusq.blogspot.com. (diakses tanggal 11 Maret 2013, 22:26)
20