Halaman Pengesahan

Skripsi

Lapangan Terurut dan Generalisasi Teorema Fundamental Aljabar

Nursatria Vidya Adikrisna

03/165344/PA/09352

Skripsi ini telah diperiksa dan disetujui oleh tim penguji

Dosen Penguji 1

Diah Junia Eksi Palupi, Dra., MS

(Dosen Pembimbing)

Dosen Penguji 3

Indah Emilia Wijayanti, Dr.,M.Si

Dosen Penguji 2

Primastuti Indah Suryani, S.Si., M.Si

Dosen Penguji 4

Mochammad Tari, Drs., M.Si

i

Kata Pengantar

Puji syukur kehadirat Allah SWT, dengan atas segala rahmat dan hidayah-Nya

sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini yang berjudul Lapangan

Terurut dan Generalisasi Teorema Fundamental Aljabar. Sholawat dan salam semoga

selalu terlimpahkan kepada nabi Muhammad SAW yang telah menuntun manusia

menuju jalan kebahagiaan hidup di dunia dan akhirat.

Banyak pihak yang telah membantu penulis dalam penyusunan skripsi ini. Oleh

karena itu dengan segala kerendahan hati, penulis ingin mengucapkan rasa terima kasih

dan perhargaan yang tulus kepada:

(1) Ibu Dra. Diah Junia Eksi Palupi, MS selaku dosen pembimbing skripsi yang

telah bersedia meluangkan pikiran dan waktu hingga akhirnya penulis dapat

menyelesaikan skripsi ini.

(2) Bapak Prof. Dr. Widodo. selaku dosen pembimbing akademik yang telah

memberikan bimbingan akademik selama penulis kuliah.

(3) Dosen-dosen di Fakultas MIPA UGM yang telah memberikan ilmu kepada

penulis.

(4) Ayahanda dan Ibunda tersayang, serta sudaraku tercinta yang telah

memberikan dorongan semangat, do’a, dan motivasi tiada henti.

(5) Dimas Rahardian dan Kartika Rizki Astuti atas persabatan sejati yang telah

kalian berikan.

(6) Denik Agustino dan Zaki Riyanto yang telah meluangkan banyak waktu dan

memberikan banyak masukan selama penyusunan skripsi ini.ii

(7) Semua teman-temanku yang tidak mungkin aku sebutkan satu persatu,

terimakasih untuk semua hal manis yang telah kalian berikan.

(8) Serta semua pihak yang turut membantu hingga selesainya skripsi ini yang

tidak bisa penulis sebutkan satu-persatu.

Semoga amal baik kalian semua mendapatkan balasan yang setimpal dari Allah SWT.

Penulis memohon maaf atas semua kesalahan yang pernah dilakukan baik secara

sengaja atau tidak sengaja. Penulis sadar bahwa tulisan penulis ini masih jauh dari

sempurna. Oleh karena itu, saran dan kritik selalu penulis terima demi perbaikan

tulisan penulis ini. Akhirnya, penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat

bagi para pembaca.

Yogyakarta, Agustus 2009

Penulis

iii

Daftar Lambang dan singkatan

x ∈ X : x elemen dari X

A⊆ B : A himpunan bagian atau sama dengan B

A∪B : Gabungan dari himpunan A dan himpunan B

A∩B : Irisan dari himpunan A dan himpunan B

≤ : Relasi urutan

R : Himpunan Bilangan Real

C : Himpunan bilangan kompleks

Q : Himpunan bilangan rasional

Z : Himpunan bilangan bulat

N : Himpunan bilangan asli

P : Himpunan positif

−P : Himpunan negatif

e0 : Elemen identitas terhadap operasi penjumlahan

e1 : Elemen identitas terhadap operasi perkalian

(X ,≤) : Himpunan relasi urutan parsial (poset) X

G/H : Grup Kuosen

|G| : Banyaknya elemen (order) dari G

m| f : m habis membagi f

< α > : Himpunan yang dibangun oleh α

ker (θ) : Kernel dari θ

SQ(K) : Himpunan semua jumlah kuadrat dari lapangan K

T : Himpunan kuadratik

iv

K [x] : Gelanggang polinomial atas K

K (x) : Lapangan kuosen dari polinomial atas K

IrrK (α) : Polinomial monic iredusibel atas K yang mempunyai akar α

deg f (x) : Derajat dari f (x)

L : K : Lapangan perluasan L atas K

[L : K] : Derajat dari lapangan perluasan L : K

[L : K]s : Derajat dari lapangan perluasan separabel L : K

K [S] : Gelanggang bagian dari L yang dibangun oleh K∪S

K (S) : Lapangan bagian dari L yang dibangun oleh K∪S

K [α] : Gelanggang bagian dari L yang dibangun oleh K∪α

F̄ : Aljabar Closure

MonoK (L,F) : Monomorfisma dari lapangan perluasan L : K ke F : K

IsoK (L,F) : Isomorfisma dari lapangan perluasan L : K ke F : K

AutK (L) : Automorfisma lapangan perluasan L : K

Gal (L : K) : Grup Galois dari L atas L

EΓ : Lapangan tetap dari lapangan E

v

Daftar Isi

Halaman Pengesahan i

Kata Pengantar ii

Daftar Lambang dan singkatan iv

INTISARI 1

ABSTRACT 2

Bab 1. Pendahuluan 3

1.1. Latar belakang 3

1.2. Rumusan Masalah 4

1.3. Tujuan Penulisan 4

1.4. Metode Penelitian 4

1.5. Tinjauan Pustaka 4

1.6. Sistematika Penulisan 5

Bab 2. Dasar Teori 7

2.1. Grup 7

2.2. Homomorfisma 12

2.3. Gelanggang dan lapangan 13

2.4. Polinomial 16

2.5. Gelanggang faktor dan Ideal 19

2.6. Ruang Vektor 21vi

Bab 3. Lapangan Perluasan dan Grup Galois 24

3.1. Lapangan Perluasan 24

3.2. Lapangan perluasan aljabar dan transedental 31

3.3. Lapangan tertutup secara aljabar 33

3.4. Lapangan Spliting dan Lapangan Normal 34

3.5. Perluasan Separabel dan Primitif elemen 34

3.6. Grup Galois 37

Bab 4. Lapangan Terurut dan Generelalisasi Teorema Fundamental Aljabar 39

4.1. Relasi urutan 39

4.2. Lapangan Terurut 42

4.3. Himpunan Kuadratik 51

4.4. Lapangan Archimedean 58

4.5. Lapangan Tertutup Real 62

4.6. Generalisasi Teorema Fundamental Aljabar 64

Bab 5. Penutup 67

5.1. Kesimpulan 67

5.2. Saran 68

Daftar Pustaka 69

vii

INTISARI

Lapangan Terurut Dan Generalisasi TeoremaFundamental Aljabar

Nursatria Vidya Adikrisna

03/165344/PA/09352

Himpunan bilangan kompleks C merupakan lapangan perluasan aljabar atashimpunan bilangan real R. Teorema Fundamental Aljabar menyatakan bahwa Cmerupakan lapangan tertutup secara aljabar.

Dalam skripsi ini akan dibahas mengenai lapangan terurut yaitu suatu lapanganyang dilengkapi oleh relasi urutan total. Lapangan terurut, ternyata mempunyaisifat-sifat yang serupa dengan R. Oleh kerena itu lapangan terurut dapat dipandangsebagai generalisasi dari R. Selanjutnya di dalam skripsi ini akan ditunjukkan bahwateorema fundamental aljabar dapat digeneralisasi ke lapangan terurut

Kata Kunci: lapangan terurut, urutan, teorema fundamental aljabar,

1

ABSTRACT

Ordered Field and Generalization of the FundamentalTheorem of Algebra

Nursatria Vidya Adikrisna

03/165344/PA/09352

We know that C complex number is an algebra extension field of R real number.The Theorem of fundamental algebra say that C is algebraic closed field.

We discuss about ordered field, a field with total order relation. Ordered fieldevidently have the same properties with R. Because of that we can view ordered fieldas the generalization of R. We will prove that the theorem of fundamental algebra canbe generalized into ordered field.

Keywords: Ordered field, algebraic extension, theorem fundamental algebra

2

BAB 1

Pendahuluan

1.1. Latar belakang

Sudah diketahui bahwa himpunan bilangan real R merupakan lapangan terhadap

operasi penjumlahan (+) dan perkalian (•). Selain itu R mempunyai sifat-sifat sebagai

berikut

(1) Mempunyai relasi urutan total (≤).

(2) Mempunyai sifat archimedean yang menyatakan untuk sebarang x ∈ R akan

selalu terdapat n ∈ N dengan x < n.

(3) Polinomial atas R tidak selalu mempunyai akar dalam R.

(4) −1 bukan merupakan jumlah kuadrat.

(5) Terdapat himpunan bilangan kompleks C dengan R ⊂ C dan −1 merupakan

jumlah kuadrat di dalam C.

(6) Terdapat teorema fundamental aljabar yang menyatakan C adalah aljabar

closure atas R.

Dalam tugas akhir ini akan dipelajari sifat-sifat yang diperoleh jika pada suatu

lapangan dikenakan relasi urutan total. Lapangan yang dikenakan relasi urutan total

disebut lapangan terurut dan ternyata lapangan terurut mempunyai sifat-sifat seperti di

himpunan bilangan real R. Jadi lapangan terurut merupakan generalisasi dari himpunan

bilangan real. Hal ini memberikan sudut pandang abstrak terhadap himpunan bilangan

real dan juga himpunan bilangan kompleks.3

1.2. Rumusan Masalah

Berdasarkan pada latar belakang di atas, permasalahan yang dapat dirumuskan oleh

penulis yaitu sebagai berikut.

(1) Menjelaskan definisi lapangan terurut dan sifat-sifat yang dimilikinya.

(2) Bagaimana menguji suatu lapangan apakah terurut atau tidak.

(3) Menunjukkan bahwa pada lapangan terurut juga berlaku sifat archimedean.

(4) Membuktikan bahwa perluasan lapangan terurut yang mempunyai sifat-sifat

seperti himpunan bilangan kompleks C adalah lapangan tertutup secara aljabar.

1.3. Tujuan Penulisan

Selain sebagai syarat untuk memeperoleh kelululusan S1 Matematika UGM, tujuan

penulisan tugas akhir ini adalah:

(1) Menjelaskan bagaimana relasi terurut mempengaruhi suatu lapangan.

(2) Memberikan sudut pandang abstrak pada himpunan bilangan real R.

(3) Membuktikan secara aljabar teorema fundamental aljabar.

1.4. Metode Penelitian

Penulisan tugas akhir ini dilakukan dengan cara studi literatur dengan mempelajari

pokok bahasan yang berhubungan dengan lapangan terurut, lapangan perluasan dan

teorema fundamental aljabar. Pada proses penulisan tugas akhir ini, penulis juga

senantiasa berkonsultasi mengenai materi dengan dosen pembimbing.

1.5. Tinjauan Pustaka

Penulisan tugas akhir ini mengacu pada literaratur utama, yaitu buku yang ditulis

oleh Grillet (1999) yaitu membahas mengenai lapangan perluasan, lapangan

archimedean, lapangan tertutup real dan teorema fundamental aljabar. Pembahasan

mengenai lapangan perluasan juga mengacu pada buku yang sama.4

Dasar teori mengenai grup, gelanggang dan lapangan mengacu pada buku Fraleigh

(2000). Pembahasan mengenai relasi terurut dan lemma Zorn juga mengacu pada buku

Fraleigh (2000). Untuk lapangan Spliting, normal, separabel dan grup galois mengacu

pada buku Baker (2008) Sedangkan untuk pembahasan mengenai ruang vektor

digunakan buku yang ditulis oleh Setiadji (1990).

Beberapa definisi dan teorema pendukung dirujuk dari buku-buku lain yaitu definisi

himpunan kuadratik dari Lorenz (2008). Sedangkan untuk definisi batas atas terkecil

dirujuk dari Bartle (1982).

1.6. Sistematika Penulisan

Penulisan tugas akhir ini terdiri 5 bab. Bab I adalah pendahuluan yang berisikan latar

belakang dan perumusan masalah, maksud dan tujuan, metode penelitian serta tinjauan

pustaka dan sistematika penulisan.

Bab II, dasar teori berisiskan pengertian dasar, yaitu definisi-definisi

teorema-teorema dasar yang akan digunakan dalam bab berikutnya. Pengertian dasar

ini mencakup teori grup, gelanggang, lapangan dan ruang vektor.

Bab III, Lapangan Perluasan dan grup Galois dijelaskan mengenai lapangan

perluasan dan derajatnya, serta keterkaitan antara lapangan perluasan dan polinomial.

Selain itu, dalam bab III dibahas mengenai lapangan perlusan aljabar dan perluasan

aljabar tertutup serta keterkaitan antara perluasan aljabar dan polinomial monik

iredusibel. Pada bab ini juga dibahas mengenai grup Galois , namun sebelumnya

dibahas terlebih dahulu mengenai lapangan perluasan spliting, lapangan perluasan

normal dan lapangan perlusan separabel. Pada bab ini juga dibahas mengenai grup

Galois dan lapangan perluasan Galois, namun sebelumnya dibahas terlebih dahulu

mengenai lapangan perluasan spliting, lapangan perluasan normal dan lapangan

perlusan separabel.5

Bab IV, Lapangan terurut merupakan bahasan utama dari tugas akhir ini dibahas

mengenai relasi terurut, lapangan terurut, lapangan archimedean, lapangan formal real

dan lapangan tertutup real serta generalisasi teorema fundamental aljabar.

Bab V, Penutup, berisikan kesimpulan dan saran yang membangun untuk

mengembangkan materi tugas akhir ini.

6

BAB 2

Dasar Teori

Pada Bab ini akan dibahas konsep-konsep dasar pada struktur aljabar, seperti grup,

gelanggang, lapangan, ruang vektor dengan kesemuanya merupakan landasan bagi

skripsi ini.

2.1. Grup

Pada sub-bab akan dijelaskan tentang grup dan beberapa teorema yang berkaitan

dengan grup. Kemudian dari grup ini dapat dibentuk suatu subgrup, subgrup siklik,

grup koesen. Selain itu dijelaskan juga pemetaan dari suatu grup ke grup lain. Sebelum

mendefinisikan grup , terlebih dahulu didefiniskan opersi biner.

DEFINISI 2.1.1. Operasi biner • pada sebarang himpunan tidak kosong S adalah

pemetaan dari S× S ke S. Untuk setiap (a,b) ∈ S× S maka •((a,b)) ∈ S dinotasikan

dengan a•b. Untuk selanjutnya notasi a•b cukup ditulis ab.

CONTOH 2.1.2. Diberikan himpunan bilangan real R, operasi penjumlahan ” + ”

merupakan operasi biner. Karena untuk sebarang pasangan (a,b) ∈ R×R berlaku

+((a,b)) = a+b ∈ R

.

DEFINISI 2.1.3. Suatu himpunan tak kosong G yang dilengkapi operasi biner

disebut grup jika memenuhi syarat-syarat sebagai berikut:

1) Asosiatif, jika setiap a,b,c ∈ G berlaku a(bc) = (ab)c.

2) Terdapat elemen identitas e ∈ G berlaku untuk setiap a ∈ G berlaku7

ae = ea = a.

3) Untuk setiap elemen a ∈ G terdapat elemen invers a−1 ∈ G sedemikian sehingga

aa−1 = a−1a = e.

Grup G dikatakan abelian jika untuk setiap a,b ∈ G berlaku ab = ba. Jika grup

G banyak elemennya berhingga maka disebut grup berhingga. Banyaknya elemen G

disebut order dari G dinotasikan |G|.

CONTOH 2.1.4. Diberikan himpunan Q+ dan didefinisikan operasi biner ? pada Q+

yaitu a ? b = a×b2 untuk sebarang a,b ∈ Q+.Akan ditunjukan Q+ dengan operasi biner

? adalah grup

1) Akan ditunjukan asosiatif.

Ambil sebarang a,b,c ∈Q+ maka

a? (b? c) = a?b× c

2=

a×b× c4

dan

(a?b)? c =a×b

2? c =

a×b× c4

.

Itu berarti (a?b)? c = a? (b? c) terbukti ? asositif.

2) Mempunyai elemen identitas.

Ambil 2 ∈Q+ dan untuk sebarang a ∈Q+ maka

2?a =2×a

2= a dan juga a?2 =

a×22

= a.

Itu berarti 2 merupakan elemen identitas.

3) Setiap elemennya mempunyai invers.

Ambil sebarang a ∈Q+ maka berlaku

a?4a

=a×42×a

= 2 dan juga4a

?a =4×aa×2

= 2

8

Itu berarti invers dari sebarang a di Q+adalah 4a .

Dari 1),2) dan 3) terbukti Q+ dengan operasi biner ? adalah grup.

Grup pada Contoh 2.1.3 merupakan grup abelian tetapi bukan merupakan grup

hingga. Selanjutnya akan dicontohkan grup berhingga.

CONTOH 2.1.5. Diberikan grup berorder 3, (V,•) = {e,a,b} . Dengan operasi biner

didefinisikan melalui tabel berikut

V e a b

e e a b

a a b e

b b e a

Akan di tunjukan (V,•) adalah grup.

1) Memenuhi sifat asosiatif.

Dari tabel diketahui bahwa e(ab) = (ea)b = e

2) Mempunyai elemen identitas.

Dari tabel diketahui e merupakan elemen identitas.

3) Setiap elemennya mempunyai invers.

Dari tabel diketahui a dan b saling invers atau dengan kata lain a−1 = b dan b−1 = a

DEFINISI 2.1.6. Diberikan grup G dan himpunan tidak kosong H dengan H ⊆ G.

Himpunan H dikatakan subgrup dari G jika merupakan grup terhadap operasi biner di

G, dinotasikan H ≤ G

CONTOH 2.1.7. Diberikan grup (Z6,+) = {0,1,2,3,4,5} dan H = {0,2,4}. Akan

ditunjukan H merupakan subgrup dari Z6.

Karena telah diketahui operasi + bersifat asosiatif dan 0 merupakan elemen identitas

maka cukup dibuktikan semua elemen di H mempunyai invers9

2+4 = 4+2 = 0

TEOREMA 2.1.8. Diberikan grup G dan himpunan tidak kosang H dengan H ⊆ G.

Himpunan H subgrup G jika hanya jika a,b ∈ H maka ab−1 ∈ H.

TEOREMA 2.1.9. Diberikan grup G dan H1 dan H2 adalah subgrup G maka H1∩H2

adalah subgrup juga.

Selanjutnya akan dibahas mengenai grup siklik.

DEFINISI 2.1.10. Diberikan grup G dan a ∈ G. Himpunan tak kosong

H = {an|n ∈ Z} dikatakan subgrup siklik jika merupakan suatu subgrup di G,

dinotasikan denga H =< a > dan elemen a disebut pembangun untuk H.

Definisi serupa juga diberikan untuk grup siklik.

DEFINISI 2.1.11. Grup G disebut siklik jika G = {an|n ∈ Z} untuk suatu a ∈ G.

Selanjutnya jika suatu a ∈ G dan H =< a > subgrup siklik berhingga dari G maka

yang disebut order dari a adalah |H| atau dengan kata lain order a = |< a > |.

CONTOH 2.1.12. Diberikan grup Z12 ambil 3 ∈ Z12 maka terbentuk subgrup siklik

< 3 >={

3,32,33,34}= {3,6,9,0} dengan order 3 = |< 3 > |= 4.

TEOREMA 2.1.13. Setiap subgrup siklik adalah abelian.

DEFINISI 2.1.14. Diberikan grup G ,H ≤ G dan sebarang a ∈ G. Himpunan aH =

{ah|h ∈ H} disebut koset kiri H dalam G.

Jika aH = {ha|ha ∈ H} maka disebut koset kanan H dalam G tetapi jika berlaku

aH = Ha koset kiri sama dengan koset kanan maka H dikatakan subgrup normal G.

10

DEFINISI 2.1.15. Diberikan H subgrup dari G banyaknya koset kiri H di dalam G

disebut indeks dari H di dalam G, dinotasikan (G : H).

Dari definisi mengenai koset diperoleh teorema Lagrange.

TEOREMA 2.1.16. (Teorema Lagrange) Jika H subgrup dari grup berhingga G

maka order H membagi order G.

CONTOH 2.1.17. Diberikan grup (Z9,+) = {0,1,2,3,4,5,6,7,8} dan subgrup H =

{0,3,6} maka dengan mudah diketahui |H| membagi |Z9|.

Jika H subgrup normal maka berlaku teorema berikut.

TEOREMA 2.1.18. Subgrup H dari G adalah normal jika hanya jika gHg−1 = H

untuk setiap g ∈ G.

Selanjutnya akan dibahas mengenai grup faktor atau disebut juga grup kuosen.

DEFINISI 2.1.19. Diberikan grup G dan subgrup normal H dari G. Grup G/H =

{aH|a ∈ G} disebut grup kuosen atau grup faktor. Dengan operasi biner didefiniskan

sebagai berikut a,b ∈ G/H berlaku aH •bH = (ab)H.

Teorema selanjutnya akan membahas keterhubungan antara grup koesen dan grup

hingga.

TEOREMA 2.1.20. Jika grup G hingga dan H subgrup normal dari G maka |G/H|=

|G|/|H|.

DEFINISI 2.1.21. Suatu grup G dikatakan p-grup dengan p prima jika |G|= p dan

setiap a ∈ G berlaku ap = e dengan e elemen identitas di G.

CONTOH 2.1.22. Diberikan (Z5,+) = {0,1,2,3,4,} maka Z5 adalah 5- grup.

Karena dengan mudah diketahui 05 = 15 = 25 = 35 = 45 = 0.11

DEFINISI 2.1.23. Diberikan grup G berhingga berorder pkm dengan p prima yang

tidak membagi m dan suatu k ∈ N serta subgrup S. Subgrup S dikatakan subgrup sylow

p jika |S|= pk .

CONTOH 2.1.24. Diberikan grup (Z20,+) dan subgrup H = {0,5,10,15} maka

diperoleh

|Z20|= 20 = 4 ·5 = 22 ·5

dengan 4 = 22 = |H|. Itu berarti H adalah subgrup sylow 2.

2.2. Homomorfisma

Selanjutnya akan dibahas pemetaan pada grup yang disebut homomorfisma serta

beberapa sifat-sifatnya.

DEFINISI 2.2.1. Diberikan grup G dan G′. Pemetaan θ : G → G′ dikatakan

homomorfisma jika untuk sebarang a,b ∈ G berlaku θ(ab) = θ(a)θ(b). Pemetaan

homomorfisma θ dari G ke G′ disebut monomorfisma jika θ injektif. dan kalau θ

bijektif disebut isomorfisma. Dua buah grup G dan G′ dikatakan isomorfis jika terdapat

pemetaan isomorfisma dari G ke G′ dinotasikan G∼= G′.

Berikut ini merupakan definisi khusus suatu pemetaan homomorfisma suatu grup G

ke dirinya sendiri.

DEFINISI 2.2.2. Suatu homorfisma dikatakan endomorfisma jika memetakan grup

G ke dirinya sendiri dan endomorfisma dikatakan automorfisma jika bersifat bijektif.

Selanjutnya akan dijelaskan mengenai kernel .

DEFINISI 2.2.3. Diberikan grup G dan grup G′ serta homomorfisma θ : G→ G′.

Grup bagian θ−1 [{e′}] = {x ∈ G|θ(x) = e′} disebut kernel dari θ dinotasikan ker (θ).

12

TEOREMA 2.2.4. Suatu pemetaan θ : G→G′ adalah monomorfisma jika hanya jika

ker (θ) = {e}.

Teorema berikut ini merupakan teorema fundamental Homomorfisma grup.

TEOREMA 2.2.5. Jika θ : G→ G′ merupakan homomorfisma dengan H = ker (θ),

maka θ (G) merupakan grup dan pemetaan µ : G/H → θ (G) dengan µ (gH) = µ (g)

merupakan isomorfisma. Jika γ : G→ G′/H homomorfisma grup

dengan γ (g) = gH maka θ (g) = µγ(g),∀g ∈ G.

2.3. Gelanggang dan lapangan

Jika pada sub-bab sebelumnya dijelaskan mengenai Grup yaitu himpunan yang

dilengkapi satu operasi biner, pada sub-bab ini akan dijelaskan mengenai gelangang

dan lapangan yang keduanya sama-sama himpunan tetapi dilengkapi oleh dua operasi

biner.

DEFINISI 2.3.1. Gelanggang (R,+,•) adalah himpunan yang dilengkapi oleh dua

operasi biner yaitu operasi penjumlahan “+” dan operasi perkalian “•” yang memenuhi

1)(R,+) merupakan grup komutatif.

2) operasi “•” bersifat asosiatif.

3) Berlaku sifat distributif kiri dan distributif kanan, yaitu untuk sebarang a,b,c ∈ R

berlaku a• (b+ c) = a•b+a• c dan (a+b)• c = a• c+b• c.

Untuk selanjutnya operasi perkalian pada gelanggang cukup ditulis ab yang berarti

a•b.

TEOREMA 2.3.2. Jika R merupakan gelanggang, maka untuk sebarang a,b ∈ R

berlaku

1) ae0 = e0 dengan e0 identitas terhadap penjumlahan.

2) a(−b) =−a(b) =−(ab).13

3) (−a)(−b) = ab.

DEFINISI 2.3.3. Gelanggang komutatif adalah gelanggang yang operasi

perkaliannya bersifat komutatif . Gelanggang R yang memuat identitas perkalian e1

disebut gelanggang dengan unity dan elemen e1 ∈ R tersebut disebut unity.

Definisi berikut akan menjelaskan tentang terbentuknya gelanggang bagian dari

suatu himpunan bagian tak kosong.

DEFINISI 2.3.4. Diberikan gelanggang R dan S himpunan bagian tak kosong dari

R. Himpunan S dikatakan gelanggang bagian dari R jika S merupakan gelanggang

terhadap operasi-operasi biner yang sama pada R.

TEOREMA 2.3.5. Diberikan gelanggang R dan S himpunan bagian tak kosong dari

R. Himpunan S dikatakan gelanggang bagian dari R jika hanya jika

1) e0 ∈ S.

2) Untuk setiap a,b ∈ S berlaku a−b ∈ S.

3) Untuk setiap a,b ∈ S berlaku ab ∈ S.

TEOREMA 2.3.6. Diberikan gelanggang R dan S1 dan S2 gelanggang bagian dari

R maka S1∩S2 juga merupakan gelanggang bagian.

Definisi selanjutnya akan menjelaskan terbentuknya lapangan dari gelanggang

satuan.

DEFINISI 2.3.7. Diberikan gelanggang R dengan unity e1 6= e0. Suatu elemen u ∈ R

disebut unit jika terdapat v ∈ R dengan uv = e1. Gelanggang R disebut lapangan jika R

gelanggang komutatif dengan semua elemen u 6= e0 ∈ R merupakan unit.

DEFINISI 2.3.8. Diberikan lapangan L dan K himpunan bagian tak kosong dari L.

Himpunan K disebut lapangan bagian dari L jika K merupakan lapangan terhadap

operasi-operasi biner yang sama pada L.14

Teorema berikut berkaitan dengan lapangan bagian .

TEOREMA 2.3.9. Diberikan lapangan L dan K himpunan bagian tak kosong dari

L. Himpunan K dikatakan lapangan bagian dari L jika hanya jika

1) Untuk setiap a,b ∈ K berlaku a−b ∈ K.

2) Untuk setiap a,b ∈ K berlaku ab−1 ∈ K, dengan b 6= e0.

TEOREMA 2.3.10. Diberikan lapangan L dan K1 dan K2 lapangan bagian dari L

maka L1∩L2 juga merupakan lapangan bagian.

DEFINISI 2.3.11. Diberikan gelanggang R. Jika ada a,b ∈ R dengan a dan b bukan

e0 sedemikian sehingga ab = e0 maka a dan b disebut pembagi nol.

CONTOH 2.3.12. Diberikan Z6 = {0,1,2,3,4,5} maka 4×3 = 0, ini berarti 4 dan

3 adalah pembagi nol.

TEOREMA 2.3.13. Jika p bilangan prima maka Zp tidak mempunyai pembagi nol.

Definisi daerah integral termotivasi dari gelanggang komutatif.

DEFINISI 2.3.14. Gelanggang komutatif dengan elemen satuan e1 yang tidak

mempunyai pembagi nol disebut daerah integral.

Teorema berikut menjelaskan keterkaitan antara daerah integral dan lapangan.

TEOREMA 2.3.15. Setiap lapangan merupakan daerah integral dan daerah integral

yang berhingga merupakan lapangan.

Suatu gelanggang R yang memuat elemen a terhadap operasi penjumlahan dapat

dinyatakan dengan bentuk a+a+a+ . . .+a︸ ︷︷ ︸n

= na. Hal ini memotivasi definisi berikut.

DEFINISI 2.3.16. Karakteristik dari gelanggang R adalah bilangan bulat positif

terkecil n sedemikian hingga na = e0,∀a ∈ R. Gelanggang R dikatakan berkarakteristik

nol jika tidak ada n yang memenuhi hal tersebut .15

CONTOH 2.3.17. Diberikan gelanggang Z4 maka Z4 mempunyai karakteristik 4.

Teorema berikut berkaitan dengan karakteristik suatu lapangan..

TEOREMA 2.3.18. Jika lapangan K berkarakteristik p, maka untuk setiap a,b ∈ K

berlaku (a+b)p = ap +bp

Pembentukan lapangan dari daerah integral akan dijelaskan dalam teorema berikut.

TEOREMA 2.3.19. Jika D daerah integral, maka dapat dibentuk suatu lapangan

K yang memuat semua elemen berbentuk ab−1,∀a,b ∈ R dengan b 6= e0 lapangan ini

disebut lapangan kuosen dari daerah integral D

Selanjutnya akan dijelaskan mengenai pembentukan homomorfisma dari pemetaan

dua gelanggang berbeda

DEFINISI 2.3.20. Diberikan dua buah gelanggang R dan R′. Pemetaan ϕ : R→ R′

disebut homomorfisma gelanggang jika ∀a,b ∈ R berlaku ϕ (a+b) = ϕ (a)+ϕ (b) dan

ϕ (ab) = ϕ (a)ϕ (b). Pemetaan ϕ disebut monomorfisma gelanggang jika ϕ bersifat

injektif. Pemetaan ϕ disebut isomorfisma gelanggang jika pemetaan ϕ bersifat bijektif

. Dua buah gelanngang R dan R′ dikatakan saling isomorfis atau R isomorfis dengan R′

dinotasikan R∼= R′ jika terdapat pemetaan isomorfisma dari R ke R′ .

DEFINISI 2.3.21. Diberikan lapangan K dan homomorfisma ϕ : K → K.

Automorfisma pada K adalah homomorfisma bijektif dari K ke K.

2.4. Polinomial

Polinomial merupakan bentuk khusus dari gelanggang. Akibatnya didalam

polinomial berlaku operasi yang sama dengan gelanggang, yaitu operasi penjumlahan

dan pergandaan. Hal ini akan dijelaskan dalam definisi berikut:16

DEFINISI 2.4.1. Diberikan gelanggang R. Polinomial f (x) ∈ R [x] adalah jumlahan

tak-hingga yang berbentuk∞

∑i=0

aixi = a0 +aix+ . . .+anxn + . . . dengan elemen ai ∈ R

disebut koefisien dari polinomial f dan x disebut indenterminit. Jika untuk sejumlah

i ≥ 0, dengan ai 6= 0, nilai i terbesar disebut derajat polinomial f dinotasikan deg f (x).

Polinomial f dikatakan berderajat tak hingga jika semua ai 6= e0 atau semua ai = e0 .

Polinomial f dikatakan berderajat n jika polinomial f (x) = a0 + a1x + . . .+ anxn dan

an 6= e0 . Polinomial f dikatakan polinomial monik jika an = e1dan an disebut leading

koefisien.

Diberikan dua buah polinomial

f (x) =m

∑i=0

aixi, g(x) =n

∑i=0

bixi ∈ R [x]

dengan m ≥ n maka penjumlahan dan perkalian dua buah polinomial tersebut

didefinisikan sebagai berikut

f (x)+g(x) =m

∑i=0

(ai +bi)xi

dan

f (x)g(x) =m+n

∑k=0

(k

∑i=0

aibk−i

)xk.

Teorema berikut menjelaskan bahwa polinomial juga merupakan gelanggang.

Akibatnya sifat-sifat yang dimiliki gelanggang juga dimiliki oleh polinomial.

TEOREMA 2.4.2. Jika R komutatif maka R [x] juga komutatif. Jika R mempunyai

elemen satuan e1 6= e0 maka R [x] juga mempunyai elemen satuan e1 6= e0 . Jika D

merupakan daerah integral maka D [x] juga merupakan daerah integral. Sebaliknya,

jika K lapangan maka K [x] bukan lapangan melainkan hanya sebagai daerah integral.

Akibatnya berdasarkan Teorema 2.3.19 maka dapat dibentuk lapangan kuosen dari

17

daerah integral K [x] dengan K lapangan. Lapangan kuosen dari daerah integral K [x]

dinotasikan K (x) yaitu himpunan dari semua elemen berbentuk f (x)g−1 (x) dengan

f (x) ,g(x) ∈ K (x) dan g(x) 6= e0.

Teorema berikut merupakan homomorfisma evaluasi.

TEOREMA 2.4.3. Diberikan K lapangan bagian dari L dan polinomial f (x)∈K [x] ,

dengan f (x) = a0 + a1x + . . .anxn serta suatu elemen α ∈ L. Didefinisikan pemetaan

θα : K [x]→ L sebagai berikut

θα (a0 +a1x+ . . .anxn) = a0 +a1α + . . .anαn

maka θα merupakan pemetaan homomorfisma yang disebut homomorfisma

evaluasi. Hal ini berarti θα (x) = α dan θα (a) = a,∀a ∈ K.

Akibat teorema 2.4.3 muncul definisi baru yaitu akar.

DEFINISI 2.4.4. Diberikan K lapangan bagian dari L dan elemen α ∈ L. Diberikan

pula polinomial f (x) ∈ K [x] dengan f (x) = a0 + a1x + . . .anxn dan homomorfisma

evaluasi θα : K [x]→ L . Dinotasikan f (α) adalah

θα ( f (x)) = a0 +a1α + . . .anαn.

Jika f (α) = e0 maka α disebut akar dari f (x).

CONTOH 2.4.5. Diberikan f (x) = x2− 9 ∈ Q(x) dan homomorfisma evalusi θ3 :

Q→ R maka diperoleh

f (3) = θ3 ( f (x)) = 32−9 = 0.

Itu berarti 3 merupakan akar dari f (x)

Teorema berikut merupakan algoritma pembagian.

18

TEOREMA 2.4.6. Diberikan polinomial f (x) ,g(x) ∈ K [x] dengan f (x) ,g(x) 6= e0

maka terdapat dengan tunggal polinomial q(x) ,r (x) ∈ K [x] sedemikan hingga g(x) =

f (x)q(x)+ r (x) dengan degr (x) < deg f (x) atau degr (x) = e0.

Selanjutnya akan dijelaskan pengertian polinomial redusibel dan polinomial

iredusibel.

DEFINISI 2.4.7. Suatu polinomial f (x) ∈ K [x] dikatakan redusibel atas K, jika

polinomial f (x) dapat dinyatakan dalam bentuk f (x) = g(x)h(x) dengan

g(x) ,h(x) ∈ K [x] , degg(x) < deg f (x) dan degg(x) < deg f (x) tetapi jika f (x) tidak

dapat dinyatakan dalam bentuk tersebut maka f (x) dikatakan iredusibel.

CONTOH 2.4.8. Diberikan x2− 1 ∈ Z [x] maka x2− 1 = (x+1)(x−1) ini berarti

x2−1 redusibel atas Z tetapi x2 +1 ∈ Z [x] adalah iredusibel atas Z.

2.5. Gelanggang faktor dan Ideal

Selanjutnya akan dibahas mengenai gelanggang faktor dan ideal yang merupakan

analog dengan koset dan subgrup normal yang telah dibahas pada sub-bab 2.1.

DEFINISI 2.5.1. Diberikan N gelanggang bagian dari gelanggang R. Jika N

memenuhi

aN ⊆ N dan Nb⊆ N.

Untuk semua a,b ∈ R maka N dikatakan Ideal.

CONTOH 2.5.2. Diketahui nZ merupakan ideal di dalam gelanggang Z karena nZ

adalah gelanggang bagian dari Z dan berlaku s(nm) = (nm)s = n(ms) ∈ nZ untuk

semua s ∈ Z.

19

DEFINISI 2.5.3. Diberikan gelanggang R dan ideal N dari R. Gelanggang R/N =

{aN|a ∈ N} disebut gelanggang kuosen atau gelanggang faktor. Didefinisikan operasi

penjumlahan dan perkalian pada R/N sebagai berikut:

Untuk semua a,b ∈ R/N berlaku

(a+N)+(b+N) = (a+b)+N

dan

(a+N)(b+N) = (ab)+N

TEOREMA 2.5.4. Jika R adalah gelanggang dengan unity dan N adalah ideal dari

R yang memuat unit maka N = R.

AKIBAT 2.5.5. Ideal dari suatu lapangan adalah dirinya sendiri atau {e0}.

Selanjutnya akan dibahas mengenai ideal maksimal dan ideal utama serta teorema-

teorema yang terkait di dalamnya.

DEFINISI 2.5.6. Diberikan gelanggang R dan M ideal dari R dengan M 6= R. Ideal M

dikatakan ideal maksimal jika tidak terdapat ideal lain N di dalam R sedemikian hingga

M ⊂ N.

TEOREMA 2.5.7. Diberikan R ring komutatif dengan unity maka M adalah ideal

maksimal jika hanya jika R/M adalah lapangan.

DEFINISI 2.5.8. Jika R ring komutatif dengan unity dan a∈R, ideal {ra|r ∈ R} yang

merupakan hasil perkalian elemen R dengan a dikatakan ideal utama yang dibangun

oleh a dan dinotasikan dengan < a >. Suatu ideal N dari R dikatakan ideal utama jika

N =< a > untuk suatu a ∈ R.

20

CONTOH 2.5.9. Setiap ideal dari gelanggang Z mempunyai bentuk nZ yang

dibangun oleh n, jadi Setiap ideal dari gelanggang Z adalah utama.

Dua teorema selanjutnya menjelaskan sifat ideal dari polinomial F [x] atas lapangan

F .

TEOREMA 2.5.10. Jika F adalah lapangan maka setiap ideal di F [x] adalah utama.

TEOREMA 2.5.11. Suatu ideal < p(x) >6= {e0} dari F [x] adalah maksimal jika

hanya jika p(x) iredusibel atas F.

2.6. Ruang Vektor

Pada Sub-bab ini akan dijelaskan mengenai ruang vektor. Ruang vektor merupakan

suatu struktur aljabar dari suatu himpunan dan lapangan dengan dua operasi biner, yaitu

penjumlahan + dan penggandaan skalar •. Pengertian ruang vektor termotivasi dari

grup komutatif dan ring, hal ini akan dijelaskan dalam definisi berikut.

DEFINISI 2.6.1. Diberikan himpunan V dan lapangan K. Himpunan V disebut ruang

vektor atas lapangan K jika

a) (V,+) merupakan grup komutatif.

b) ∀a,b ∈ K, ∀u,v ∈V berlaku.

(1) au ∈V .

(2) a(u+ v) = au+av.

(3) (a+b)u = au+bu.

(4) (ab)u = a(bu).

(5) e1u = u ,dengan e1 elemen unity di K .

DEFINISI 2.6.2. Diberikan ruang vektor V atas K dan himpunan bagian S dari V .

himpunan S dikatakan ruang bagian dari V jika S merupakan ruang vektor atas K

terhadap operasi yang sama dengan V .

21

TEOREMA 2.6.3. Suatu himpunan bagian S dari ruang vektor V atas K adalah

ruang bagian jika hanya jika tertutup terhadap operasi penjumlahan dan pergandaan

vektor dengan skalar yang didefinisikan ∀v,w ∈ S dan α ∈ F berlaku v + w ∈ S dan

αv ∈ S.

Selanjutnya akan dijelaskan pengertian bebas linier dan tak bebas linear.

DEFINISI 2.6.4. Diberikan V ruang vektor atas F . Himpunan bagian tak kosong

S = {v1,v2 . . .vn} dari V dikatakan bebas linier jika terdapat persamaan

r1v1 + r2v2 + . . .+ rnvn = e0

dengan ri ∈F berakibat ∀ri = 0. Jika tidak ada persamaan tersebut maka S dikatakan

tak bebas linier.

DEFINISI 2.6.5. Suatu vektor β ∈ V atas K dikatakan kombinasi linier dari

himpunan {v1,v2 . . .vn} ⊆ V jika terdapat ri ∈ K, i = 1,2, . . .n sedemikian hingga

r1v1 + r2v2 + . . .+ rnvn = β .

Akibat definisi 2.6.4 dan definisi 2.6.5 muncul definisi baru tentang basis .

DEFINISI 2.6.6. Diberikan ruang vektor V atas K dan himpunan

S = {v1,v2 . . .vn}⊆ V . Himpunan S disebut basis dari V jika S bebas linier dan setiap

elemen dari V merupakan kombinasi linier dari S.

CONTOH 2.6.7. Diberikan ruang vektor Rn atas R dan himpunan bagian

S = {(1,0, . . . ,0)(0,1, . . . ,0) . . .(0,0, . . .1)} ⊆ Rn

maka S merupakan basis dari Rn .

BUKTI. Akan dibuktikan S bebas linier22

(0,0, . . . ,0) = a1 (1,0, . . . ,0)+a2 (0,1, . . . ,0)+ . . .+an (0,0, . . .1)

berakibat ∀ai = 0 ∈ R .

Selanjutnya akan dibuktikan setiap elemen Rn merupakan kombinasi linier dari S.

Ambil sebarang (a1,a2, . . .an) ∈ Rn maka jelas berlaku

(a1,a2, . . .an) = a1 (1,0, . . . ,0)+a2 (0,1, . . . ,0)+ . . .+an (0,0, . . .1)

untuk ai ∈ R. Jadi terbukti S adalah basis dari Rn. �

Selanjutnya akan dibahas mengenai dimensi yang masih berkaitan dengan basis.

DEFINISI 2.6.8. Diberikan ruang vektor V atas lapangan K. Dimensi ruang vektor V

adalah banyaknya vektor dalam suatu basis untuk V . Jika suatu ruang vektor mempunyai

vektor-vektor basis yang banyaknya berhingga maka ruang vektor tersebut dikatakan

berdimensi berhingga tapi jika banyaknya vektor-vektor basis tak hingga maka ruang

vektor tersebut dikatakan berdimensi tak hingga.

CONTOH 2.6.9. Diberikan polinomial p(x) = a0 +a1x+ . . .+anxn ∈R [x] berderajat

n. Diketahui p(x) mempunyai basis {1,x, . . .xn} maka p(x) berdimensi n+1

23

BAB 3

Lapangan Perluasan dan Grup Galois

Pada bab ini akan dijelaskan mengenai lapangan perluasan dan grup Galois. Bab ini

akan membahas lapangan perluasan aljabar, lapangan tertutup secara aljabar dan grup

galois. Selain itu, akan dibahas pula , bentuk khusus dari lapangan perluasan aljabar

yaitu, lapangan perluasan spliting, normal, separabel dan galois.

3.1. Lapangan Perluasan

Pada Sub-bab ini akan dijelaskan bagaimana caranya memperluas suatu lapangan

yang telah ada.

DEFINISI 3.1.1. Suatu lapangan E disebut lapangan perluasan dari lapangan F jika

F adalah lapangan bagian dari E, dinotasikan E : F .

CONTOH 3.1.2. Himpunan bilangan real R adalah lapangan perluasan dari

himpunan bilangan rasional Q karena Q adalah lapangan bagian dari R, dan himpunan

bilangan kompleks C adalah lapangan perluasan dari R dan Q karena R dan Q

sama-sama lapangan bagian dari C.

Teorema berikutnya akan membahas keterkaitan lapangan perluasan dan ruang

vektor.

TEOREMA 3.1.3. Lapangan perluasan L : K merupakan ruang vektor L atas K.

BUKTI. Karena L adalah lapangan maka L tertutup terhadap operasi penjumlahan

dan pergandaan. Akan dibuktikan bahwa L tertutup terhadap operasi pergandaan skalar.

Ambil sebarang l ∈ L dan k ∈ K oleh karena K lapangan bagian dari L dan L tertutup24

terhadap operasi penggadaan maka lk ∈ L . Jadi terbukti bahwa L merupakan ruang

vektor atas K. �

DEFINISI 3.1.4. Diberikan lapangan perluasan L : K . Derajat perluasan L : K adalah

dimensi dari ruang vektor L atas K, dinotasikan [L : K]. Lapangan perluasan L : K

dengan derajat berhingga disebut lapangan perluasan berhingga.

Jadi suatu lapangan perluasan L : K dikatakan berhingga jika mempunyai derajat

yang berhingga atau bisa juga disebut L berhingga atas K, bukan berarti L mempunyai

anggota yang berhingga banyaknya.

CONTOH 3.1.5. Di berikan lapangan perluasan P : K dan suatu α ∈ P. Elemen-

elemen di P mempunyai bentuk a+bα dengan a,b ∈ K maka [P : K] = 2. Karena salah

satu basis P adalah {e1,α}

TEOREMA 3.1.6. Diberikan lapangan perluasan L : K. Derajat [L : K] = 1 jika

hanya jika L = K.

BUKTI. ⇒ Diketahui [L : K] = 1, akan dibuktikan L ⊆ K. Oleh karena [L : K] = 1,

maka L ruang vektor atas K berdimensi 1. Berati ada basis L yang hanya terdiri dari

satu elemen, misalkan saja basisnya adalah {e1} . Oleh karena {e1} basis dari L, maka

{e1} membangun L sehingga untuk setiap y ∈ L berlaku y = ke1 dengan k ∈ K. Disisi

lain y = ye1, ini berarti y = k ∈ K maka dapat disimpulkan L = K.

⇐ Diketahui L = K maka untuk sebarang x ∈ L berakibat x ∈ K sehingga dapat

ditulis x︸︷︷︸∈L

= e1 x︸︷︷︸∈K

dengan e1 ∈ L. Hal ini berarti hanya {e1} yang merupakan basis

dari L dengan kata lain [L : K]. �

Jika ada lapangan-lapangan L, K dan M dengan K ⊆ L ⊆ M itu berarti M : L, L :

K dan M : K. Teorema selanjutnya akan menjelaskan hubungan [M : L] , [L : K] dan

[M : K].25

TEOREMA 3.1.7. Diberikan lapangan-lapangan L,K,M. Jika lapangan L

merupakan perluasan dari K dan lapangan M merupakan perluasan dari L maka

[M : L] [L : K] = [M : K] .

BUKTI. Dimisalkan {αi|i = 1, · · · ,n} basis M sebagai ruang vektor atas L dan ambil

{β j| j = 1, · · · ,m} basis L sebagai ruang vektor atas K ini berarti [M : L] = n dan [L :

K] = m. Akan ditunjukan bahwa {αiβ j|i = 1, · · · .n; j = 1, · · ·m} adalah basis dari M

atas K yaitu bebas linear dan membangun.

Akan dibuktikan {αiβ j|i = 1, · · · .n; j = 1, · · ·m} bebas linear dari M atas K. Ambil

sebarang λi j ∈ K dengan i = 1, · · · ,n dan j = 1, · · · ,m yang memenuhi

n

∑i=1

(m

∑j=1

λi jαiβ j

)= e0.

Karena di dalam ruang vektor berlaku hukum asosiatif dan komutatif maka

diperoleh

n

∑i=1

m

∑j=1

(λi jαi)β j =n

∑i=1

m

∑j=1

λi j(αiβ j) =n

∑i=1

m

∑j=1

λi j(β jαi) =n

∑i=1

m

∑j=1

(λi jβ j)αi = e0.

Oleh karena αi adalah basis dari M atas L maka

m

∑j=1

λi jβ j = e0.

Oleh karena β j basis L atas K maka λi j = e0untuk i = 1, · · · ,n dan j = 1, · · · ,m.

Jadi terbukti {αiβ j|i = 1, · · · .n; j = 1, · · ·m} bebas linier.

Selanjutnya akan dibuktikan {αiβ j|i = 1, · · · .n; j = 1, · · ·m} membangun M.

Ambil sebarang z ∈ M maka z dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari M

atas L sehingga26

z =n

∑i=1

λiαi.

Untuk λi ∈ L. Oleh karena λi juga merupakan kombinasi linier basis L atas K yaitu

λi =m

∑j=1

µi jβ j.

Untuk µi j ∈ K akibatnya diperoleh

z =n

∑i=1

(m

∑j=1

µi jβ j

)αi =

n

∑i=1

m

∑j=1

µi j(β jαi).

Jadi terbukti z dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari M atas K. Telah

ditunjukan {αiβ j|i = 1, · · · .n; j = 1, · · ·m} adalah bebas linear dan membangun M itu

berarti {αiβ j|i = 1, · · · .n; j = 1, · · ·m} merupakan basis M atas K sehinnga

[M : K] = nm = [M : L][L : k].

�

Selanjutnya akan dibahas mengenai monomorfisma antara dua lapangan perluasan.

DEFINISI 3.1.8. Diberikan lapangan perluasan F : K dan L : K serta monomorfisma

φ dari L ke F

φ : L→ F

dengan φ (a) = a untuk semua a ∈ K . Monomorfisma yang seperti itu dinotasikan

MonoK (L : F). Jika MonoK (L : F). bersifat bijektif maka dinotasikan IsoK (L : F).

Selanjutnya akan dibahas bentuk khusus dari MonoK (L : F).

DEFINISI 3.1.9. Diberikan lapangan perluasan L : K, AutK (L) adalah MonoK (L : L).27

Selanjutnya akan dibahas gelanggang bagian yang dibangun oleh suatu himpunan

bagian. Telah diketahui bahwa suatu irisan gelanggang dengan gelanggang lainnya

adalah gelanggang juga. Diberikan E : F dan S adalah himpunan bagian dari E. Irisan

dari semua gelanggang bagian dari E yang memuat F dan S adalah gelangang bagian

terkecil yang memuat F dan S. Irisan tersebut dikatakan gelanggang bagian yang

dibangun oleh F dan S dinotasikan F [S]. Jika S = {α1,α2 . . .αn} maka ditulis

F [α1,α2 . . .αn].

LEMMA 3.1.10. Diberikan E : F, dan S himpunan bagian dari E, maka gelanggang

F [S] memuat elemen E yang bisa diekspresikan sebagai bentuk penjumlahan

n

∑i=0

aiαii ai ∈ F, αi ∈ S

BUKTI. Diberikan himpunan R =

{n

∑i=0

aiαii |ai ∈ F,αi ∈ S

}akan dibuktikan R

adalah gelanggang bagian dari E yang memuat F dan S.

Ambil sebarangm

∑i=0

aiαii ,

n

∑i=0

biαii ∈ R dengan m≥ n

1) Akan dibuktikan R subgrup (E,+)

m

∑i=0

aiαii −

n

∑i=0

biαii

m

∑i=0

(ai−bi)︸ ︷︷ ︸∈F

αii ∈ R.

2) Akan dibuktikan R tertutup terhadap operasi perkalian

m

∑i=0

aiαii

n

∑i=0

biαii

m+n

∑k=0

(k

∑i=0

aibk−i

)α

k ∈ R.

28

Dari 1) dan 2) terbukti R adalah gelanggang bagian dari E yang memuat F dan S

dan , ini berarti R = F [S]. �

Telah diketahui pula bahwa irisan lapangan dengan lapangan lainnya adalah

lapangan. Diberikan E : F dan S adalah himpunan bagian dari E. Irisan dari semua

lapangan bagian dari E yang memuat F dan S adalah lapangan bagian terkecil yang

memuat F dan S. Irisan tersebut dikatakan lapangan bagian yang dibangun oleh F dan

S dinotasikan F (S) yang merupakan lapangan kuosen dari F [S] atau dengan kata lain

F (S) ={

ab−1|a,b ∈ F [S],b 6= e0}

.

DEFINISI 3.1.11. Lapangan perluasan E dari lapangan K dikatakan dibangun secara

berhingga jika E = K(s1 . . .sn) untuk suatu s1 . . .sn ∈ S.dan dikatakan sederhana jika

E = K(s) untuk suatu s ∈ S.

CONTOH 3.1.12. Diketahui bahwa Q(i) adalah lapangan perluasan sederhana

karena hanya dibangun oleh satu elemen i dan Q(√

2,√

3) adalah lapangan perluasan

yang dibangun secara berhingga.

Teorema selanjutnya akan dibahas bagaimana mengkontruksikan lapangan

perluasan sederhana. .

TEOREMA 3.1.13. Diberikan lapangan K dan E = K[x]/q(x) dengan q(x) ∈ K[x]

adalah polinomial monik iredusibel berderajat n dengan q(α) = e0 untuk suatu α ∈ E

maka berlaku

1) E adalah lapangan perluasan sederhana dengan E = K [α] = K (α).

2) E mempunyai basis e1,α,α2 . . .αn−1 dengan n = degq dan [E : K] = n.

BUKTI. 1) Karena q(x) polinomial monik iredusibel maka q(x) adalah ideal

maksimal dari K[x]. Itu berarti E = K[x]/q(x) adalah lapangan sehingga terdapat

pemetaan homomorphisma ϕ : K → E yang memetakan x ∈ K ke x + q(x) ∈ E. Itu

berarti E mempunyai bentuk {x+q(x))|∀x ∈ K}.29

Jika didefinisikan α = x+q(x) berdasarkan homomorphisma evaluasi ϕαK[x]→ E

yang memetakan indeterminate x ke α dan koefisien x ∈ K ke dirinya sendiri , maka

untuk sebarang f (x) ∈ F [x] berlaku ϕα f (x) = f (α) , dengan kata lain setiap elemen di

E mempunyai bentuk f (α) untuk suatu f (x) ∈ F [X ]. Itu berarti E = K[α] karena E

adalah lapangan maka bisa disimpulkan E = K[α] = K(α).

2) Ambil degq = n maka menurut algoritma pembagian untuk setiap f (x) ∈ F [x]

diperoleh f (x) = q(x)b(x)+r(x) dengan deqr < degq karena q(α) = e0 maka diperoleh

f (α) = r (α) ∈ E. Itu berarti setiap elemen di E mempunyai bentuk r(α) = r0 + r1α +

. . .+ rn−1 untuk suatu r0,r1 . . . ,rn−1 ∈ K maka e0,α,α2, . . . ,αn−1 adalah basis dari E

atas K dengan kata lain [E : K] = n. �

Teorema 3.1.13 menunjukan bahwa setiap polinomial iredusibel q(x) atas K

mempunyai akar α pada suatu lapangan perluasan dari K dengan lapangan perlusan

tersebut dikontruksikan dengan menggabung α ke K.

Polinomial iredusibel q(x) pada Teorema 3.1.13 dinotasikan IrrK (a) yang berarti

berkoefisien di K dan mempunyai akar a dengan a merupakan suatu elemen pada

lapangan perluasan dari K .

CONTOH 3.1.14. Ambil R dan diketahui IrrR (i) = x2 + 1 dengan i =√−1 maka

menurut Teorema 3.1.13 diperoleh C = R [X ]/IrrR(i) = R(i).

Contoh 3.1.14 menunjukan bagaimana himpunan bilangan kompleks C dibangun

dengan menggunakan Teorema 3.1.13. Selanjutnya akan dicontohkan bagaimana

mengkontruksi lapangan perluasan yang dibangun secara berhingga.

CONTOH 3.1.15. Akan dikontruksikan Q(√

2,√

3)

: Q. Pertama-tama akan

dikontruksikan Q(√

2)

: Q, diketahui IrrQ

(√2)

= x2−2 maka berdasarkan Teorema

3.1.2.13 diperoleh[Q(√

2)

: Q]

= 2. Oleh karena itu elemen-elemen di dalam

Q(√

2)

mempunyai bentuk a + b√

2 dengan a,b ∈ Q. Selanjutnya diambil

30

T = Q(√

2)

akan dikontruksikan T(√

3). Diketahui IrrT

(√3)

= x2 − 2 maka

berdasarkan Teorema 3.1.2.13 diperoleh[T√

3 : T]

= 2. Oleh karena itu

elemen-elemen di dalam T(√

3)

mempunyai bentuk x+ y√

3 dengan x,y ∈ T . Padahal

diketahui elemen di T mempunyai bentuk a + b√

2, itu berarti

x = a0 +b0√

2,y = a1 +b1√

2 ∈ T dengan a0,a1,b0,b1 ∈Q. Diperoleh

x+ y√

3

(a0 +b0

√2)

+(

a1 +b1√

2)√

3

a0 +b0√

2+a1√

3+b1√

6 ∈ T(√

2)

Jadi elemen-elemen di T(√

2)

= Q(√

2,√

3)

mempunyai bentuk

a+b√

2+ c√

3+d√

6 dengan a,b,c,d ∈Q.

3.2. Lapangan perluasan aljabar dan transedental

Selanjutnya akan dibahas mengenai lapangan perluasan aljabar dan transedental.

Diberikan lapangan perluasan L atas K. Suatu elemen α di dalam L perluasan dikatakan

aljabar atas K jika terdapat polinomial tidak nol f (x) ∈ K [x] dengan f (α) = e0. Jika

tidak ada polinomial tersebut maka α dikatakan transedental atas K.

CONTOH 3.2.1. Setiap bilangan kompleks merupakan aljabar atas R;√

2 dan√

5 ∈

R merupakan aljabar atas Q dan e serta π adalah transedental atas Q.

DEFINISI 3.2.2. Suatu lapangan perluasan E atas lapangan K disebut perluasan

aljabar jika semua elemen E aljabar atas K . Jika lapangan perluasan E atas K terdapat

elemen transedental maka E disebut perluasan transedental dan jika semua elemen di

E transedental atas K maka E disebut lapangan perluasan transedental total.

31

CONTOH 3.2.3. C adalah perluasan aljabar atas R dan R adalah lapangan

transedental atas Q serta Q(π) merupakan lapangan transedental total atas Q.

LEMMA 3.2.4. Diberikan lapangan perluasan sederhana K (α) : K. Jika α

transedental atas K maka [K (α) : K] tak hingga.

BUKTI. Andai [K (α) : K] = n berhingga, K (α) berdimensi n atas K. Ini berarti

terdapat c0,c1 . . .cn ∈ K yang tidak semuanya nol berlaku

c0 + c1α + . . .+ cnαn = e0

padahal diketahui α transedental, kontradiksi. Jadi haruslah [K (α) : K] tak hingga.

�

Selanjutnya akan dibahas keterhubungan antara lapangan perluasan berhingga

dengan lapangan perluasan aljabar

TEOREMA 3.2.5. Setiap lapangan perluasan berhingga adalah perluasan aljabar.

BUKTI. Ambil L lapangan perluasan berhingga atas K dengan [L : K] = n. Jika

terdapat α ∈ L elemen transedental atas L maka dapat dibentuk K (α) lapangan

perluasan sederhana atas K dengan K (α) ⊆ L menurut Lemma 3.2.4 diperoleh

[K (α) : K] = ∞. Berdasarkan Teorema 3.1.7 maka

[L : K] = [L : K (α)] [K (α) : K]

n = [L : K (α)]∞.

Jelas hal tersebut adalah mustahil, maka haruslah semua elemen L aljabar atas K.

�

32

Teorema 3.2.5 menunjukan bahwa C merupakan lapangan perluasan aljabar atas R

karena [C : R] = 2.

3.3. Lapangan tertutup secara aljabar

DEFINISI 3.3.1. Suatu lapangan K dikatakan tertutup secara aljabar jika semua

polinomial non-konstan di K [x] mempunyai akar di K.

TEOREMA 3.3.2. Untuk suatu lapangan K maka kondisi di bawah ini equivalent

1) Lapangan K tertutup secara aljabar.

2) Setiap polinomial iredusibel di K [x] mempunyai derajat 1.

3) Satu-satunya perluasan aljabar di K adalah K itu sendiri.

BUKTI. 1) ⇒ 2). Jika q(x) ∈ K [x] adalah iredusibel dan mempunyai akar r di K

maka x−r membagi q(x) ini berarti q(x) merupakan hasil perkalian konstanta dari x−r

dan mempunyai derajat 1.

2)⇒ 3) Jika α adalah elemen aljabar atas K maka q(x) = IrrK (α) iredusibel dan

monic yang berderajat 1 maka q(x) = x − r untuk suatu r ∈ K dan q(α) = e0.

Berdasarkan teorema 3.1.13 diperoleh E = K [x]/ < q(x) >, [E : K] = 1 .Berdasarkan

teorema 3.1.6 diperoleh E = K.

3)⇒ 2) Berdasarkan teorema 3.1.13, jika E = K [x]/ < q(x) >= K maka degq =

[E : K] = 1.

2)⇒ 1) Karena setiap polinomial non konstan adalah hasil perkalian dari polinomial

iredusibel. �

DEFINISI 3.3.3. Lapangan perluasan K̄ : K dikatakan aljabar closure jika

merupakan aljabar atas K dan tertutup secara aljabar.

Generalisasi teorema fundamental aljabar yang dibahas di bab 4 akan menunjukan

bahwa lapangan tertutup secara aljabar itu eksis.33

3.4. Lapangan Spliting dan Lapangan Normal

Pada sub-bab ini akan dibahas bentuk khusus dari lapangan perluasan aljabar.

DEFINISI 3.4.1. Diberikan lapangan L dan polinomial f (x)∈ L [x]. Polinomial f (x)

dikatakan split atas L jika dapat diekspresikan ke dalam bentuk faktor-faktor linier, yaitu

f (x) = k1 (x−α1)(x−α2) . . .(x−αn)

dengan α1,α2 . . .αn ∈ L merupakan akar dari f (x) dan k1 koefisien di dalam L.

DEFINISI 3.4.2. Diberikan lapangan-lapangan L,K dan f (x) ∈ K [x]. Lapangan L

dikatakan lapangan spliting untuk f (x) atas K, jika

1) L : K lapangan perluasan dan f (x) split atas L.

2) L merupakan lapangan perluasan terkecil yang memuat akar-akar dari f (x),

sedemikan-hingga L = K (α1,α2 . . .αn).

CONTOH 3.4.3. Lapangan Q(

i√

2)

adalah lapangan spliting untuk x2 +2 ∈ Q [x].

Dari pengertian lapangan spliting maka terbentuk lapangan normal.

DEFINISI 3.4.4. Diberikan lapangan perluasan aljabar L : K. Lapangan perluasan

L : K dikatakan normal jika setiap f (x) ∈ K [x] yang iredusibel merupakan split atas L

dan mempunyai paling sedikit satu akar di L.

TEOREMA 3.4.5. (Grillet, 2000, hal 206) Jika L normal atas K dan K ⊆ E ⊆ L

maka L normal atas E.

3.5. Perluasan Separabel dan Primitif elemen

Perluasan Separabel merupakan pengembangan dari lapangan Spliting . Sudah

diketahui bahwa di dalam lapangan perluasan Spliting L : K, maka terdapat

f (x) ∈ K (x) yang split atas L. Akibatnya f (x)dapat difaktorkan menjadi34

f (x) = k1 (x−α1)(x−α2) . . .(x−αn) dengan α1,α2 . . .αn ∈ L merupakan akar-akar

dari f (x) . Hal ini memotivasi pembatasan lapangan perluasan, dengan akar-akar dari

f (x) semuanya berbeda. Pembatasan lapangan perluasan ini mengarah pada

pembentukan perluasan separabel.

DEFINISI 3.5.1. Diberikan sebarang lapangan K dan sebarang f (x) ∈ K [x] dengan

u ∈ K sebagai akarnya maka f (x) dapat difaktorkan menjadi f (x) = (x−u)g(x) untuk

suatu g(x) ∈ K [x] . Jika g(u) = e0 maka u dikatakan multiple atau akar berulang dari

f (x). Jika g(u) 6= e0 maka u dikatakan akar sederhana dari f (x).

DEFINISI 3.5.2. Diberikan lapangan perluasan L : K. Suatu polinomial iredusibel

f (x) ∈ K [x] dikatakan separabel atas K, jika setiap akar f (x) di dalam L merupakan

akar sederhana.

CONTOH 3.5.3. Diberikan polinomial iredusibel p(x) = x2 + 1 ∈ R [x] maka p(x)

separabel atas R karena p(x)mempunyai akar i dan −i di dalam C.

DEFINISI 3.5.4. Diberikan lapangan perluasan L : K. Suatu elemen aljabar u ∈ K

dikatakan separabel jika irrK (u) ∈ K [x] adalah separabel.

DEFINISI 3.5.5. Suatu lapangan perluasan aljabar dikatakan perluasan separabel

jika semua elemen di L separabel atas K.

DEFINISI 3.5.6. Derajat separabel [L : K]s dari lapangan perluasan aljabar L : K

adalah banyaknya MonoK (L, K̄).

TEOREMA 3.5.7. (Baker, 2008, hal 44) Diberikan Lapangan perluasan berhingga

L : K. Lapangan perluasan L : K separabel jika hanya jika [L : K] = [L : K]s.

TEOREMA 3.5.8. (Baker, 2008, hal 45) Diberikan lapangan perluasan berhingga

L : K dan M : L. Lapangan perluasan M : K separabel jika hanya jika L : K dan M : L

separabel.

35

Selanjutnya akan dibahas mengenai elemen Primitif.

DEFINISI 3.5.9. Diberikan lapangan perluasan sederhana L : K. Suatu elemen u ∈ L

dikatakan elemen primitif jika L = K (u).

TEOREMA 3.5.10. (Teorema Elemen Primitif) Diberikan lapangan perluasan

aljabar yang separabel L : K maka L = K (u) , untuk suatu u ∈ L.

BUKTI. Akan dibuktikan melalui dua kasus L berhingga dan L tak berhingga.

Jika L berhingga maka K juga berhingga. Itu berarti L merupakan grup siklik

terhadap operasi perkalian yang dibangun oleh suatu elemen tunggal u ∈ L dengan

L = K (u).

Untuk K tak berhingga, cukup dibuktikan K (u) = K (α1,α2) maka dengan

menggunaka metode induksi akan berlaku

K (u) = K (α,β ) = K (α,β ,δ ) = K (α,β ,δ ,ε)

Diberikan L = K (α,β ) dan f (x) = IrrK (α) ,g(x) = IrrK (β ) ∈ K [x] dengan r =

degIrrK (α) ,s = degIrrK (β ). Jika {α1,α2, . . .αi} ⊆ L dan{β1,β2, . . .β j

}⊆ L adalah himpunan akar-akar berbeda dari polinomial

IrrK (α) = f (x) dan IrrK (β ) = g(x) maka persamaan

αi + xβ j = α1 + xβ1

mempunyai tepat satu solusi x = αi−α1βi−β1

. Jika diambil suatu c ∈ K dengan c 6= αi−α1βi−β1

maka

αi + cβ 6= α1 + cβ1.

Jika u = α +cβ ∈ L diperoleh f (u− cx) = e0 berkoefisein di K (u) atau dengan kata

lain f (u− cx) ∈ K (u) [x], maka diperoleh:36

g(β ) = f (u− cβ ) = f (α) = e0.

Berakibat

x−β |g(x) , x−β | f (u− cx)

ini menunjukan x− β ,g(x) berkoefisein di K (u), yang berakibat β ,α = u− cb ∈

K (u). Dengan ini telah ditunjukan K (α,β ) = K (u) = L . �

Dengan teorema 1.17 diketahui C merupakan perluasan separabel dari R karena

C = R(i)

3.6. Grup Galois

Pada sub-bab ini akan dibahas mengenai Lapangan perluasan Galois dan grup

Galois. Kemudian dari grup Galois dapat dibangun Lapangan tetap, serta keterkaitan

lapangan perluasan Galois, Grup Galois dengan Lapangan Tetap.

DEFINISI 3.6.1. Lapangan perluasan berhingga L : K dikatakan perluasan Galois

atau L galois atas K jika normal dan separabel.

DEFINISI 3.6.2. Diberikan Lapangan perluasan Galois L : K. Grup Galois dari L

atas K adalah himpunan semua AutK (L) terhadap operasi komposisi yang dinotasikan

dengan

Gal (L : K) = {AutK (L)}= {δ ∈ AutK (L) |δ (x) ,∀x ∈ K}

Selanjutnya akan dibahas keterhubungan antara Lapangan perluasan Galois dengan

Grup Galois

LEMMA 3.6.3. (Baker, 2008, hal 49) Jika L galois atas K maka

37

|Gal (L : K) |= [L : K] .

DEFINISI 3.6.4. Diberikan lapangan perluasan Galois E : K dan u,v ∈ E. Elemen u

dikatakan konjugate dari v jika terdapat ϕ ∈ Gal (E : K) sedemikian hingga u = ϕ (v).

Jika E : K adalah lapangan perluasan Galois dan Γ ⊆ Gal (E : K) maka dapat

dibentuk himpunan bagian dari E yang didefinisikan sebagai berikut

EΓ = {u ∈ E : ∀γ ∈ Γ,γ (u) = u} .

LEMMA 3.6.5. Diberikan lapangan perluasan Galois E : K dan Γ ⊆ Gal (E : K)

makaEΓ ⊆ E merupakan lapangan bagian dari E yang memuat K.

BUKTI. Untuk sebarang u,v ∈ EΓ dan γ ∈ Γ berlaku

γ (u+ v) = γ (u)+ γ (v) = u+ v, γ (uv) = γ (u)γ (v) = uv

jika u 6= e0 maka γ(u−1)= γ (u)−1 = u−1

dan untuk sebarang t ∈ K maka γ (t) = t, ini membuktikan K ⊆ EΓ �

Berdasarkan teorema 1.7 dan 1.15 maka diketahui E : EΓ adalah perluasan Galois,

diperoleh |Gal(E : EΓ

)|=[E : EΓ

].

DEFINISI 3.6.6. EΓ dikatakan lapangan tetap

Selanjutnya didapat teorema sebegai berikut:

TEOREMA 3.6.7. (Baker, 2008, hal 52) Diberikan lapangan perluasan Galois E : K

, lapangan tetap EΓ dan Γ⊆ Gal(E : EΓ

)maka diperoleh

1) |G(E : EΓ

)|=[E : EΓ

]= |Γ|.

2)[EΓ : K

]= |Gal(E:K)

|Γ| .

38

BAB 4

Lapangan Terurut dan Generelalisasi Teorema Fundamental

Aljabar

Pada bab ini akan dibahas bagaimana relasi urutan mempengaruhi suatu lapangan.

Serta bagaimana himpunan bilangan real R dilihat secara abstrak serta pembuktian

secara aljabar bahwa C adalah lapangan tertutup secara aljabar.

4.1. Relasi urutan

Sebelum di bahas mengenai lapangan terurut akan dibahas mengenai pengertian

terurut pada himpunan

DEFINISI 4.1.1. Diberikan himpunan tak kosong X , relasi biner ≤ pada X disebut

relasi urutan parsial jika memenuhi

1) Refleksif (∀x ∈ X)x≤ x.

2) Antisimetri (∀x,y ∈ X)x≤ y dan y≤ x maka x = y.

3) Transitif (∀x,y,z ∈ X)x≤ y dan y≤ z maka x≤ z.

Jika berlaku a ≤ b dan a 6= b umumnya dinotasikan a < b. Dua buah elemen a

dan b di X dikatakan dapat dibandingkan jika berlaku a ≤ b atau b ≤ a. Di dalam

relasi urutan parsial b ≥ a berarti a ≤ b begitu juga dengan b > a yang berarti a < b.

Suatu himpunan tak kosong X yang dilengkapi dengan relasi urutan parsial disebut poset

(partial order set/himpunan terurut parsial) dinotasikan (X ,≤). Yang perlu ditegaskan

di dalam himpunan terurut parsial (X ,≤) semua elemennya terurut tetapi tidak semua

pasang elemen dapat dibandingkan. Jadi jika diambil sebarang a dan b di (X ,≤) maka

belum tentu a dan b dapat dibandingkan. Itulah kenapa dikatakan terurut parsial tetapi39

jika sebarang a dan b di (X ,≤) dapat dibandingkan maka relasi ≤ dikatakan relasi

urutan total. Himpunan yang dilengkapi relasi urutan total disebut rantai (chain). Jika

(S,≤) adalah suatu rantai maka berlaku sifat trikotonomy yaitu untuk sebarang a,b ∈

(S,≤) hanya berlaku salah satu

a < b, ataua = b, ataub < a

CONTOH 4.1.2. Diberikan grup G dan S adalah himpunan semua grup bagian di G.

Untuk H,K ∈ S ( Ini berarti H dan K adalah grup bagian dari G) didefinisikan H ≤ K

jika H himpunan bagian dari K atau dengan kata lain H ⊆ K. Ini berarti merupakan

relasi urutan parisal yang disebut urutan berdasarkan pemuatan dan S merupakan poset

karena untuk sebarang grup bagian M dan N di G belum tentu berlaku M ⊆ N ataupun

N ⊆M dengan kata lain belum tentu dapat dibandingkan

CONTOH 4.1.3. Diberikan himpunan N dan didefinisikan relasi urutan ≤ jika

(∀a,b ∈ N)(a ≤ b) maka a|b. Ini berarti (N,≤) merupakan poset karena tidak semua

pasangan di (N,≤) dapat dibandingkan.

Suatu elemen m dari poset (S,≤) dikatakan elemen maksimal jika tidak ada

s ∈ (S,≤) dengan m < s. atau dengan kata lain m elemen maksimal dari poset (S,≤)

jika berlaku m ≤ s maka m = s untuk sebarang s ∈ S. Yang perlu diperhatikan elemen

maksimal bukanlah elemen “terbesar” di dalam suatu poset tetapi suatu elemen

dikatakan maksimal jika tidak ada elemen lain yang lebih “besar” dari dirinya .

Suatu elemen n dari poset (S,≤) dikatakan elemen maksimum jika untuk semua

s∈ (S,≤) berlaku s < n. Jadi elemen maksimum merupakan elemen “terbesar” di dalam

poset.

Elemen minimal dam minimum didefinisikan serupa. Elemen minimal merupakan

lawan dari elemen maksimal sedangkan elemen minimum merupakan lawan dari elemen

maksimum.40

CONTOH 4.1.4. Diberikan himpunan P = N\{1}= {2,3,4,5 . . .} dan didefinisikan

relasi urutan ≤ jika (∀a,b ∈ P)(a≤ b) maka b|a yang disebut pengurutan berdasarkan

pembagian terbalik (reverse divisibility). Ini berarti semua bilangan prima pada poset

(P,≤) merupakan elemen maksimal karena satu-satunya faktor bilangan prima pada

poset (P,≤) adalah dirinya sendiri.

Berdasarkan Contoh 4.1.4 elemen maksimal tidaklah tunggal tergantung dari relasi

urutannya, Secara umum suatu poset belum tentu mempunyai elemen maksimal terlebih

bagi poset-poset yang mempunyai banyak elemen tak hingga contohnya poset (N,≤)

pada Contoh 4.1.3 tidak mempunyai elemen maksimal.

DEFINISI 4.1.5. Diberikan S himpunan bagian dari poset (X ,≤), u ∈ X dikatakan

batas atas terkecil (bat) dari S jika memenuhi kondisi sebagai berikut

1) s≤ u untuk semua s ∈ S.

2) jika s≤ v maka u≤ v untuk suatu v ∈ X .

Kasus khusus jika S himpunan bagian dari R dan u ∈ R adalah bat dari S maka

berlaku lemma sebagai berikut

LEMMA 4.1.6. Diberikan S himpunan bagian tak kosong dari R, u∈ R dikatakan

bat dari S jika hanya jika untuk semua ε > 0 terdapat s ∈ S dengan u− ε < s.

Selanjutnya akan dibahas mengenai Lemma Zorn.

LEMMA 4.1.7. (Lemma Zorn) Jika (S,≤) adalah suatu poset dan setiap rantai di

dalamnya mempunyai batas atas terkecil, maka (S,≤) mempunyai paling tidak satu

elemen maksimal.

Lemma Zorn menyatakan bagaimana suatu poset mempunyai elemen maksimal.

Jika rantai-rantai di dalam suatu poset mempunyai batas atas terkecil maka

berdasarkan Lemma Zorn, poset tersebut mempunyai elemen maksimal. Lemma Zorn41

sangat berguna untuk membuktikan keberadan struktur maksimal atau terbesar dari

suatu himpunan.

4.2. Lapangan Terurut

Lapangan terurut adalah suatu lapangan yang dilengkapi oleh relasi urutan total.

Konsep ini pertama kali diperkenalkan oleh Artin pada tahun 1926.

DEFINISI 4.2.1. lapangan F disebut lapangan terurut jika F dilengkapi dengan

relasi urutan total yang memenuhi

1) (∀x,y,z ∈ F)x≤ y maka x+ z≤y+ z.

2) (∀x,y,z ∈ F)e0 ≤ z,dan x≤ y maka zx≤ zy.

Dari definisi di atas diperoleh sifat sebagai berikut.

LEMMA 4.2.2. Diberikan F terurut maka untuk setiap x,y,z ∈ F berlaku:

(1). e0 < e1.

(2). e0 < x jika hanya jika −x < e0.

(3). F mempunyai karateristik 0.

(4). Jika z≤ e0 dan x≤ y maka zy≤ zx.

(5). Untuk semua x ∈ F maka berlaku e0 ≤ x2.

(6). Jika e0 < x dan y < e0 maka e0 < x−1 dan y−1 < e0 .

(7). Jika e0 < x < y maka e0 < y−1 < x−1 .

BUKTI. (1) Andaikan

e1 < e0.

Ambil sebarang b ∈ F,e0 < b menurut Definisi 4.2 1) diperoleh

be1 < beo

42

b < e0

menurut sifat trikotonomy hal terbut mustahil, maka haruslah e0 < b.

(2)⇒Diketahui e0 < x dan −x invers x terhadap penjumlahan.

Akan dibuktikan −x < 0

e0 < x

e0 +(−x) < x+(−x)

−x < 0.

Sebaliknya diketahui −x < e0 akan dibuktikan e0 < x

−x < e0

−x+ x < e0 + x

e0 < x.

(3) Andai F tidak berkarakteristik 0 atau dengan kata lain berkarakteristik n untuk

suatu n ∈ N. Ambil e1 ∈ F diperoleh

e0 ≤ (n−1)e1

kelipatan e1 sebanyak (n−1)kali tentu saja lebih besar dari e0 berakibat

43

e0 ≤ ne1− e1

e0 ≤ e0− e1

e0 ≤−e1.

Kontradiksi dengan Lemma 4.2.2 (2).

(4) Diketahui z≤ e0 maka menurut Lemma 4.2.2 (2) ada e0 ≤−z. Menurut Definisi

4.2.1 diperoleh

−zx≤−zy

zy+(−zx)≤ zy+(−zy)

zy+(−zx)≤ e0

zy+(−zx)+ zx≤ e0 + zx

zy≤ zx.

(5) Untuk e0 ∈ F maka jelas e0 ≤ e20, sedangkan untuk x 6= e0 maka pembuktian

e0 ≤ x2 harus ditinjau melalui dua kasus e0 < x dan −x < e0.

Untuk e0 < x

e0 < x

44

xe0 < xx

e0 < x2.

Untuk −x < e0, dengan menggunakan hukum distributif diperoleh

−x(x+(−x)) =−xx+(−x)(−x)

−xe0 =−xx+(−x)(−x)

e0 =−x2 +(−x)2

x2 + e0 = x2− x2 +(−x)2

x2 = (−x)2.

(6) Untuk e0 < x.

Ambil (x−1)2 = x−2 menurut Lemma 4.2.2 (5) diperoleh

e0 < x−2

xe0 < xx−2

e0 < x−1.

Untuk y < e0.

45

Ambil (y−1)2 = y−2 menurut Lemma 4.2.2 (5) diperoleh

e0 < y−2

ye0 < yy−2

menurut Lemma 4.2.2 (5)

y−1 < e0.

(7) Diketahui

e0 < y < x

y−1e0 < y−1y < y−1x

e1 < y−1x

e1x−1 < y−1xx−1

x−1 < y−1.

�

CONTOH 4.2.3. R adalah lapangan terurut .

BUKTI. Didefinisikan relasi urutan ≤ pada R jika a ≤ b maka 0 ≤ b− a untuk

sebarang a,b,c ∈ R

Akan dibuktikan (∀a,b,c ∈ R)a≤ b maka a+ c≤a+ c

46

a≤ b

0≤ b−a

0≤ b−a+0

0≤ b−a+(c− c)

0≤ (b+ c)− (a+ c)

a+ c≤ b+ c.

Akan dibuktikan (∀a,b,c ∈ R)0≤ c, dan a≤ b maka ac≤ bc

a≤ b

0≤ b−a

0c≤ (b−a)c

0≤ bc−ac

ac≤ bc.

Jadi terbukti R merupakan lapangan terurut. �

47

Karena R lapangan terurut dengan sendirinya Q juga terurut karena Q⊂ R.

Sekarang akan dibahas himpunan positif yang yang merupakan himpunan bagian

dari lapangan terurut

DEFINISI 4.2.4. Diberikan lapangan terurut F dan P⊆ F . Himpunan P⊆ F terurut

disebut himpunan positif jika P = {x∈F,eo < x} dan elemen di P disebut elemen positif

dan −P = {x ∈ F,x < e0} disebut himpunan negatif pada F

Jadi himpunan positif dari lapangan terurut merupakan generalisasi dari himpunan

bilangan positif pada himpunan bilangan real. Berdasarkan definisi himpunan positif

diperoleh sifat.

LEMMA 4.2.5. Diberikan lapangan terurut F dan himpunan positif P ⊆ F maka

berlaku

1) P+P⊆ P dan PP⊆ P.

2) P∩−P = { /0}.

3) P∪−P∪{e0}= F.

BUKTI. 1) Ambil sebarang a,b ∈ P akan dibuktikan a+b ∈ P

e0 < a

e0 +b < a+b

b < a+b

karena b ∈ P artinya e0 < b dan diketahui relasi < bersifat transitif maka diperoleh

e0 < b < a+b

48

e0 < a+b

a+b ∈ P.

Ambil sebarang a,b ∈ P akan dibuktikan ab ∈ P

e0 < b

ae0 < ab

e0 < ab

maka ab ∈ P.

2) Andai ada a ∈ P∩−P artinya a ∈ P dan a ∈ −P maka ada b ∈ P dengan −b = a

diperoleh

a =−b

aa = a(−b)

a2 =−ab ∈ −P

dengan a2 =−ab 6= e0. Padahal menurut Lemma 4.2.2(5) setiap a∈ F maka e0≤ a2

dengan kata lain a2 ∈ P. Kontradiksi.

3) Akan dibuktikan P∪−P∪{e0} ⊆ F

49

Karena P,−P dan {e0} merupakan himpunan bagian dari F maka sudah jelas P∪

−P∪{e0} ⊆ F

Akan dibuktikan F ⊆ P∪−P

ambil sebarang a ∈ F maka e0 ≤ a atau a < e0 dengan kata lain a ∈ P∪{e0} atau

a ∈ −P. �

Dari sifat-sifat himpunan positif diperoleh teorema sebagai berikut

TEOREMA 4.2.6. Lapangan terurut F jika hanya jika P∪−P∪{e0}= F.

BUKTI. ⇒Menurut Lemma 4.2.5 (3) maka P∪−P∪{e0}= F .

⇐ Didefinisikan relasi urutan < pada F jika a < b maka b−a ∈ P untuk sebarang

a,b ∈ F .

Akan dibuktikan (∀a,b,c ∈ F)a < b maka a+ c<b+ c

a < b

b−a ∈ P

b−a+ e0 ∈ P

b−a+(c− c) ∈ P

(b+ c)− (a+ c) ∈ P

a+ c < b+ c.

Akan dibuktikan (∀a,b,c ∈ F)e0 < c,dan a < b maka ac < ac

50

a < b

b−a ∈ P.

Karena P tertutup terhadap perkalian maka diperoleh

(b−a)c ∈ P

bc−ac ∈ P

ac < bc.

Jadi terbukti P∪−P∪{e0}= F merupakan lapangan terurut. �

Teorema 4.2.6 menyatakan Lapangan terurut merupakan gabungan dari himpunan

positif , himpunanan negatif dan sigleton {e0}.

4.3. Himpunan Kuadratik

Selanjutnya akan dibahas mengenai himpunan kuadratik. Himpunan tersebut

memegang peranan penting di dalam lapangan terurut.

DEFINISI 4.3.1. Ambil sebarang lapangan K. Dinotasikan SQ(K) adalah himpunan

semua jumlah kuadrat di K.

SQ(K) = {x21 + x2

2 + x23 + . . .+ x2

n|∀x1,x2,x3 . . .xn ∈ K}

Pada lapangan terurut F dengan mudah diketahui e0 ≤ SQ(F). Berdasarkan definisi

SQ(K) diperoleh sifat-sifat sebagai berikut.51

LEMMA 4.3.2. Diberikan sebarang lapangan K dan SQ(K) maka berlaku

SQ(K)+SQ(K)⊆ SQ(K) SQ(K)SQ(K)⊆ SQ(K)

BUKTI. Ambil x,y ∈ SQ(K) dengan x = ∑mi=1 a2

i dan y = ∑ni=1 b2

i dengan m≥ n dan

sebarang ai,b j ∈ K maka

x+ y

m

∑i=1

a2i +

n

∑i=1

b2i

m

∑i=1

(a2

i +b2i)∈ SQ(K)

dan

xy

m

∑i=1

a2i

n

∑i=1

b2i

m+n

∑k=0

(k

∑i=0

a2i b2

k−i

)

m+n

∑k=0

(k

∑i=0

(aibk−i)2

)∈ SQ(K) .

�

Selanjutnya akan dijelaskan mengenai himpunan kuadratik

DEFINISI 4.3.3. Diberikan sebarang lapangan K, dan T ⊆ K himpunan bagian dari

K. Himpunan T disebut kuadratik jika52

(1). T +T ⊆ T dan T T ⊆ T .

(2). K2 ⊆ T .

Dengan K2 = {aa|∀a ∈ K}.

Himpunan kuadratik T selalu memuat SQ(K) . Itu berarti SQ(K) merupakan

himpunan kuadratik minimal di K yang termuat di sebarang himpunan kuadratik di K.

Selanjutnya akan dibuktikan T merupakan grup bagian terhadap perkalian di K.

LEMMA 4.3.4. Diberikan T ⊆ K dengan T adalah himpunan kuadartik maka T

merupakan grup bagian terhadap perkalian di K.

BUKTI. 1) Karena sudah diketahui perkalian di K asosiatif maka dengan sendirinya

perkalian di T juga asosiatif.

2) Akan dibuktikan e1 ∈ T .

Ambil e1 ∈ K maka menurut Definisi 4.3.3 (1) e21 = e1 ∈ T .

3) Ambil sebarang t ∈ T akan dibuktikan t−1 ∈ T .

Menurut Definisi 4.3.3 (2) (t−1)2 = t−2 ∈ T maka berdasarkan Definisi 4.3.3 (1)

diperoleh

tt−2 = t−1 ∈ T.

Dari 1) 2) dan 3) maka terbukti T adalah grup bagian terhadap perkalian di K. �

TEOREMA 4.3.5. Ambil T himpunan kuadratik dari lapangan K maka pernyataan

berikut adalah ekuivalen

(1) T ∩−T = {e0}.

(2) −e1 /∈ T .

BUKTI. 1⇒ 2 Karena hanya {e0}= T ∩−T maka −e1 ∈ −T bukan elemen T .

2⇒ 1 Andaikan ada a ∈ T ∩−T dan a 6= e0 artinya a ∈ T dan a ∈ −T maka ada

b ∈ T dengan −b = a . Menurut Lemma 4.3.4 maka ada a−1 =−b−1 ∈ T diperoleh53

a−1b ∈ T

−b−1b ∈ T

−e1 ∈ T

kontradiksi. �

LEMMA 4.3.6. Ambil T himpunan kuadratik dari lapangan K dengan −e1 /∈ T

ambil α ∈ K,α 6= e0 dan α /∈ −T maka

T ′ = T +αT.

Adalah himpunan kuadratik dengan −e1 /∈ T ′.

BUKTI. Akan dibuktikan 1)T ′+T ′ ⊆ T ′, 2)T ′T ′ ⊆ T ′ dan 3) K2 ⊆ T ⊆ T ′.

1) Ambil a,b ∈ T ′ dengan a = t1 +αt2 dan b = t3 +αt4 untuk

suatu t1, t2, t3, t4 ∈ T maka

a+b = (t1 +αt2)+(t3 +αt4)

(t1 + t3)+(αt2 +αt4)

dengan menggunakan hukum distributif diperoleh

(t1 + t3)+α(t2 + t4)

dengan (t1 + t3),(t2 + t4) ∈ T maka a+b ∈ T ′

dan untuk perkalian a dengan b diperoleh54

ab = (t1 +αt2)(t3 +αt4)

t1t3 +αt4t1 +αt2t3 +α2t2t4

(t1t3 +α2t2t4)+(αt4t1 +αt2t3)

dengan menggunakan hukum distributif diperoleh

(t1t3 +α2t2t4)+α(t4t1 + t2t3)

dengan (t1t3 +α2t2t4),(t4t1 + t2t3) ∈ T maka ab ∈ T ′.

3) Ambil sebarang a ∈ K maka menurut Definisi 4.3.3 (2) a2 ∈ T dengan a2 bisa

ditulis dalam bentuk a2 = a2 +αe0, e0 ∈ T .

Akan dibuktikan −e1 /∈ T ′ andaikan −e1 ∈ T ’ artinya ada b,c ∈ T dengan c 6= e0

dengan −e1 = b+αc diperoleh

−e1 = b+αc

−e1 + e1 = b+αc+ e1

e0 = b+αc+ e1

karena operasi penjumlahan bersifat komutatif diperoleh

e0 = (b+ e1)+αc

dengan b+e1 ∈ T . Karena T adalah grup bagian dari F maka ada c−1 ∈ T diperoleh

55

c−1e0 = c−1[(b+ e0)+αc]

e0 = (c−1b+ c−1)+α

karena (c−1b + c−1) 6= e0 ∈ T maka α = −(c−1b + c−1) ∈ −T padahal diketahui

α /∈ −T kontradiksi. �

Selanjutnya akan dibahas bagaimana suatu lapangan dikatakan lapangan terurut.

TEOREMA 4.3.7. Lapangan F terurut jika hanya jika −e1 /∈ T dengan T adalah

sebarang himpunan kuadratik dari F.

BUKTI. ⇒Diketahui F lapangan terurut dan T ⊆ F himpunan kuadratik akan

dibuktikan −e1 /∈ T .

Menurut Lemma 4.2.2 (5) menunjukan e0 ≤ x2 untuk semua x ∈ F dan menurut

Lemma 4.2.2 (2) −e1 < e0 jadi −e1 /∈ T .

⇐Untuk membuktikan F lapangan terurut pertama-tama akan dibuktikan T ⊆ P∗

dengan P∗= P∪{e0} ,P adalah himpunan positif .

Andaikan T * P∗ maka ada t /∈ P∗ dengan t 6= e0, sehingga t ∈ −P maka

t = −x = −(e1x) = (−e1)︸ ︷︷ ︸∈T

x︸︷︷︸∈T

. Kontradiksi jadi T ⊂ P∗. Berdasarkan Lemma

Zorn maka P∗ merupakan himpunan maksimal dari T .

Selanjutnya akan dibuktikan untuk sebarang a ∈ F dengan a /∈ −P maka a ∈ P∗.

Berdasarkan Lemma 4.3.5 himpunan T = P ∗+aP∗ dengan −e1 /∈ T merupakan

himpunan kuadratik karena P maksimal maka P∗+aP∗= P∗ itu artinya a ∈ P∗

Selanjutnya akan dibuktikan untuk sebarang b ∈ F dengan b /∈ T,b 6= e0 maka b ∈

−P.56

Ambil a = −b maka T ′ = T − bT . himpunan kuadratik, karena diketahui P∗

himpunan kuadratik maksimal maka T ′ = T −bT ⊆ P∗ itu artinya −b ∈ P dengan kata

lain b ∈ −P.

Jadi untuk sebarang x ∈ F,x 6= e0 maka berlaku salah satu x ∈ P atau x ∈ −P

berdasarkan teorema 4.2.6 diperoleh T ∪−T ⊆ P∗∪P∗ = P∪{e0}∪P = F dengan F

terurut . �

Dari Teorema 4.3.7 maka diketahui C tidak terurut karena i2 = −1. Selanjutnya

akan ditunjukan Teorema 4.2.6 ekuivalen dengan Teorema 4.3.7.

AKIBAT 4.3.8. Untuk sebarang lapangan F kondisi dibawah ini ekuivalen

(1) F terurut

(2) F = P∪−P∪{e0} dengan P himpunan positif dari F

(3) −e1 /∈ T dengan T himpunan kuadratik dari F

BUKTI. Cukup di buktikan (2)⇒ (3) karena pembuktian Teorema 4.3.7 telah

menunjukan (3)⇒ (2). Diketahui F = P∪−P∪{e0} .

Akan dibuktikan −e1 /∈ T

Pertama-tama akan dibuktikan kuadrat dari elemen tak nol di F = P∪−P∪{e0}

adalah elemen positif. Diketahui himpunan P tertutup terhadap operasi perkalian, itu

berarti kuadrat dari semua elemen positif merupakan elemen positif. Selanjutnya akan

ditunjukan kuadrat dari elemen negatif hasilnya elemen positif. Ambil sebarang −a ∈

−P maka terdapat a ∈ P, diperoleh

a+(−a) = e0

−a(a+(−a)) =−ae0

57

−a2 +(−a)2 = e0.

dengan mudah diketahui (−a)2 ∈ P. Telah ditunjukan kuadrat dari semua elemen

tak nol di F merupakan elemen positif maka dapat disimpulkan −e1 /∈ T �

Jadi untuk mengetahui sebarang lapangan apakah terurut atau tidak, cukup

ditunjukan apakah memenuhi salah satu dari Teorema 4.2.6 atau Teorema 4.3.7.

4.4. Lapangan Archimedean

Selanjutnya akan dibahas himpunan asli, himpunan bulat, himpunan rasional pada

F yang merupakan abstraksi dari himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan asli,

himpuan bilangan rasional serta sifat archimedean.

DEFINISI 4.4.1. Ambil F lapangan terurut maka

1. Himpunan bagian NF ⊆ F disebut himpunan asli jika

NF =

nF ∈ NF |nF = e1 + e1 + . . .+ e1︸ ︷︷ ︸n

,n ∈ N

dengan N himpunan bilangan asli.

2. Himpunan bagian ZF ⊆ F disebut himpunan bulat jika

ZF = NF ∪{e0}∪−NF .

3. Himpunan bagian QF ⊆ F disebut himpunan rasional jika

QF = {xy−1|x,y ∈ Z}.

Jadi NF , ZF dan QF merupakan abstraksi dari N,Z dan Q dalam himpunan bilangan

real.

DEFINISI 4.4.2. Lapangan terurut disebut lapangan achimedean jika untuk setiap

x ∈ F maka x < nF untuk suatu nF ∈ NF .

CONTOH 4.4.3. Diketahui R adalah lapangan archimedean .

58

BUKTI. Andaikan R bukan lapangan archimedean maka terdapat u ∈ R yang

menjadi bat dari N karena u− 1 < u dan berdasarkan Lemma 4.1.6 ada s ∈ N dengan

u − 1 < s tetapi hal tersebut berakibat u < s + 1 padahal diketahui s + 1 ∈ N.

Kontradiksi dengan asumsi u sebagai bat dari N �

Dari Definisi 4.42 diperoleh sifat berikut.

LEMMA 4.4.4. Ambil F lapangan archimedean, x dan y elemen positif bukan nol di

F berlaku sifat sebagai berikut

1) x < nFy untuk suatu nF ∈ NF .

2) n−1F < y untuk suatu nF ∈ NF .

3) nF − e1 ≤ x < nF untuk suatu nF ∈ NF .

BUKTI. 1) Ambil z = xy−1 ∈ F maka z < nF ,diperoleh

z < nF

xy−1 < nF

xy−1y < nFy

x < nFy

.

2) Ambil x = e1, menurut 1) diperoleh

e1 < nFy

59

n−1F 1 < n−1

F nFy

n−1F < y.

3) Dibentuk himpunan bagian N ⊂NF N = {m∈NF |x < m} untuk suatu x ∈ F,e0 <

x. Ambil n elemen minimum di N maka n− e1 /∈ N diperoleh n− e1 ≤ x < n. �

Tidak semua lapangan terurut merupakan archimedian, contoh berikut akan

ditunjukkan lapangan terurut yang bukan achimedean.

CONTOH 4.4.5. Diberikan lapangan terurut K. Lapangan koesen K (x) merupakan

lapangan terurut dengan definisi

∀ f (x)g−1 (x) , p(x)q−1 (x)∈K (x) , f (x)g−1 (x)< p(x)q−1 (x)⇔ eo < f (x)g−1− p(x)q−1 (x) .

Dengan sebarang f (x)g−1 (x) ∈ K (x) dikatakan eo < f (x)g−1 (x) positif jika e0 < a/b

dengan a dan b adalah leading koefisien dari dari f (x) dan g(x) maka K (x) bukan

lapangan archimedean

BUKTI. Ambil x ∈ K (x) maka e0 < x . Andaikan K (x) archimedean maka ada

nK(x) ∈ NK(x) berlaku

x < nK(x)⇔ e0 < nK(x)− x

Padahal nK(x)− x bukan elemen positif. Kontradiksi. �

TEOREMA 4.4.6. Jika F lapangan archimedean dan x < y, x,y ∈ F maka x < r < y

untuk suatu r ∈QF .

BUKTI. Untuk membuktikannya harus melalui dua kasus, kasus e0 < x < y dan

−y <−x < e0.60

Asumsi e0 < x < y.

Diketahui e0 < x < y maka e0 < y− x dan e0 < (y− x)−1 karena F lapangan

archimedean maka (y− x)−1 < nFuntuk suatu nF ∈ NF . Diperoleh

(y− x)(y− x)−1 < (y− x)nF

e1 < ynF − xnF

e1 + xnF < ynF .

Menurut Lemma 4..4.4 (3), ada mF ∈ F,mF − e1 ≤ xnF < mF yang berakibat mF ≤

e1 + xnF dengan kata lain mF < ynF , diperoleh

xnF < mF < ynF

xnFn−1F < mFn−1

F < yn−1F

x < r < y

dengan r = mFn−1F .

Asumsi −y <−x < e0.

Telah dibuktikan e0 < x < r < y untuk r ∈QF maka dengan mudah diketahui −y <

−r < x < e0. �

Dalam Analisis real teorema di atas disebut teorema kerapatan.61

4.5. Lapangan Tertutup Real

Pada sub-bab ini akan dibahas mengenai Lapangan real formal dan lapangan tertutup

real yang merupakan generalisasi dari R.

DEFINISI 4.5.1. Suatu lapangan F dikatakan real formal jika −e1 /∈ T dengan T

himpunan kuadratik dari F .

Berdasarkan Teorema 4.3.6 maka suatu lapangan dikatakan lapangan real formal

jika hanya jika merupakan lapangan terurut.

LEMMA 4.5.2. Jika F adalah lapangan real formal dan E = F(α) adalah perluasan

sederhana dari F maka berlaku

1) Jika α2 merupakan elemen positif di F maka E adalah lapangan real formal.

2) Jika [E : F ] ganjil maka E adalah lapangan real formal.

BUKTI. 1) Andaikan α2 = a ∈ F elemen positif maka

f (x) = x − α ∈ F [x], f (α) = e0 adalah polynomial iredusibel di F . Itu berarti

E = F(α) = F [x]/ < f (x) > maka setiap elemen di E mempunyai bentuk x+yα untuk

suatu x,y ∈ F. Jika E bukan lapangan real formal maka −e1 ∈ T ⊂ E dengan kata lain

−e1 =−e1 + e0α = SQ(E) = ∑i(xi + yiα)2 diperoleh ∑i x2i + y2

i a =−ei karena x2i dan

y2i adalah postif itu berarti a negatif padahal diketahui a positif. Kontradiksi.

2) Akan dibuktikan dengan menggunakan induksi, jika n = 1 = [E : F ] maka E = F

itu berarti E adalah lapangan real formal. Asumsi benar untuk n > 1 ganjil n = [E : F ]

maka E adalah lapangan real formal. Akan dibuktikan untuk n+2.

Diberikan n + 2 = [E;F ] dengan E = F(α) = F [x]/q(x) dengan q(x) = IrrF(α)

dengan degq = n + 2. Itu berarti semua elemen di E mempunyai bentuk f (α) untuk

suatu polynomial f (x) ∈ F [x] dengan derajat kurang dari n+2.

Jika E bukan lapangan real formal maka −ei = ∑i f 2i (α) dengan f i(x) ∈ F [x] dan

deg fi < n + 2 ,itu berarti derajat f 2i adalah genap dan kurang dari 2n + 4. Diperoleh

62

e1 + ∑i f 2i (x) = q(x)g(x) untuk suatu g(x) ∈ F(x) karena derajat q(x)adalah ganjil

maka derajat g(x) adalah ganjil juga dan kurang dari n+2. Itu berarti salah satu faktor

tak terbagi p(x) dari g(x) haruslah mempunyai derajat ganjil k < n + 2. Jika p(x)

mempunyai akar β di perluasan sederana F(β ) dari F . Itu berarti IrrF (β ) = p(x) dan

[F(β ) : F ] = k diperoleh

e1 +∑i f 2i (β ) = q(β )g(β ) = e0 maka F(β ) bukan lapangan real formal, kontradiksi

dengan induksi hipotesis. �

Selanjutnya akan dibahas mengenai lapangan tertutup real yang merupakan

generalisasi dari himpunan bilangan real R. Telah diketahui bahwa C merupakan

perlusan aljabar atas R dan C tidak terurut atau dengan kata lain C bukan lapangan real

formal maka diperoleh definisi sebagai berikut.

DEFINISI 4.5.3. Suatu lapangan F dikatakan tertutup real, jika lapangan tersebut

merupakan real formal dan tidak mempunyai perluasan aljabar real formal

TEOREMA 4.5.4. Setiap lapangan tertutup real F mempunyai sifat sebagai berikut:

1) Setiap elemen positif di F adalah kuadrat di F.

2) Setiap polynomial berderajat ganjil F [x] mempunyai akar di F.

3) Hanya ada satu relasi terurut total pada F.

BUKTI. 1) Jika suatu elemen postif a dari F bukan kuadrat di F maka x2− a ∈

F [x] iredusibel. Itu berarti ada perluasan aljabar F(α) dengan α2 = a yang merupakan

lapangan real formal berdasarkan Lemma 4.5.2, kontradiksi. 2) Begitu juga jika f ∈F [x]

mempunyai derajat ganjil dan tidak mempunyai akar di F maka f mempunyai faktor tak

terbagi q yang berderajat ganjil itu berarti terdapat perluasan aljabar F(α) = F [x]/ <

q > dengan IrrF(α) = q dan [F(α) : F ] ganjil serta F(α) adalah real formal berdasarkan

Lemma 4.5.2.

3) Berdasarkan point 1) untuk sebarang x,y ∈ F,x < y maka y− x = a2, untuk suatu

a ∈ F . �

63

Oleh karena lapangan tertutup real merupakan generelalisasi dari R maka Teorema

4.5.4 juga berlaku di R.

4.6. Generalisasi Teorema Fundamental Aljabar

Teorema Fundamental aljabar berkata bahwa C merupakan tertutup secara aljabar.

Teorema ini pertama kali dibuktikan oleh Gauss dalam disertasi doktoralnya pada tahun

1799. Selanjutnya akan ditunjukan Teorema Fundamental aljabar dapat digeneralisasi

ke lapangan terurut.

TEOREMA 4.6.1. (Generalisasi Teorema Fundamental Aljabar) Diberikan F

lapangan tertutup real dan C = F (i) dengan i2 =−e1maka C tertutup secara aljabar.

BUKTI. Pertama-tama akan ditunjukan setiap elemen a di F merupakan kuadrat di

C. Jika e0 < a maka a merupakan kuadrat di F , itu juga berarti merupakan kuadrat di C.

Jika a < e0 maka −a merupakan kuadrat di F dan −a = b2 berakibat a = (ib)2.

Selanjutnya akan ditunjukan bahwa setiap elemen a+ ib di C merupakan kuadrat di

C ekuivalen akan dibuktikan c+2i merupakan kuadrat di C untuk setiap c = 2a/b ∈ F .

Misalkan c + 2i = (x + iy)2 = (x2− y2)+ 2ixy, itu berarti c = x2− y2 dan xy = e1

untuk suatu x,y ∈ F dengan y = x−1, itu berarti c+2i = (x+ i/x)2.

Selanjutnya jika ada E lapangan perluasan galois dari C akan ditunjukan

E = C. Diketahui E perluasan galois dari C maka E juga merupakan perluasan

galois dari F . Diperoleh G = Gal (E : F) maka |G|= [E : F ] = [E : C] [C : F ] = 2 [E : C]

genap.

Jika S adalah Sylow 2 subgrup dari G dan ES adalah lapangan tetap maka[ES : F

]=

|G||S| adalah ganjil. Berdasarkan teorema primitif elemen maka

ES = F (u) untuk suatu u ∈ ES karena ES berdimensi ganjil, itu berarti terdapat

IrrF (u) ∈ F [x] berderajat ganjil padahal menurut Teorema 4.5.4 (2) semua polinomial

berderajat ganjil di F mempunyai akar yang berakibat ES = F dan G = S adalah 2-grup.64

Karena G adalah 2-grup dan|G| = 2 [E : C] maka grup Gal (E : C) dengan

|Gal (E : C)| = [E : C] merupakan 2-grup juga. Diperoleh subgrup H ⊆ Gal (C : F)

berindeks 2 maka berdasarkan teorema lagrange[EH : C

]= |Gal(E:C)|

|H| = 2|H||H| = 2. Berdasarkan teorema primitif elemen maka

ES = C (v) untuk suatu v ∈ EH karena EH berdimensi 2, itu berarti terdapat

Irrc (v) ∈ C [x] berderajat 2, padahal diketahui setiap polinomial kuadrat di C

mempunyai akar. Kontradiksi ini menunjukan E = C. Berdasarkan Teorema 3.3.2

dapat disimpulkan C tertutup secara aljabar. �

Berdasarkan pembuktian diketahui bahwa C = F (i) merupakan lapangan perluasan

galois atas dirinya sendiri. Itu berarti setiap polinomial berderajat n di C akan selalu

mempunyai akar sebanyak n pula. Dari Generalisasi Teorema Fundamental aljabar

diperoleh akibat-akibat sebagai berikut.

AKIBAT 4.6.2. Jika F tertutup real maka [F̄ : F ] = 2.

AKIBAT 4.6.3. Jika F tertutup real, maka q(x) ∈ F [x] iredusibel jika hanya jika

q(x) mempunyai derajat satu atau polinomial kuadrat tanpa akar di F.

BUKTI. ⇒Andaikan ada q(x) iredusibel berderajat k > 2 untuk k ∈ N dan

a + bi ∈ F (i) adalah akar q, itu berarti q(x) = (x− (a+bi))h(x) untuk suatu

h(x) ∈ F (x) berderajat k− 1. Kemudian diberikan ϑ : i → −i, dengan ϑ adalah

AutF (F̄)

diperoleh

ϑ (q(x)) = ϑ ((x− (a+bi)(h(x)))

q(x) = (x− (a−bi)(h(x)))

Ini berarti a−bi ∈ R(i) juga merupakan akar q diperoleh65

q(x) = (x− (a+bi))(x− (a−bi))g(x)

q(x) =(x2−2a+

(a2 +b2))g(x)

dengan g(x) ,(x2−2a+

(a2 +b2)) ∈ F (x) . Padahal diketahui q(x) iredusibel.

Kontradiksi.

⇐ Jika q(x) berderajat satu tentu saja q(x) iredusibel dan jika q(x) berderajat dua

tanpa akar di F itu berarti tidak ada α ∈ F yang memenuhi q(x) = (x−α)g(x) untuk

suatu g(x) ∈ F [x] berderajat satu, dengan kata lain q(x) iredusibel. �

66

BAB 5

Penutup

5.1. Kesimpulan

Berdasakan pembahasan bab-bab sebelumnya penulis memperoleh kesimpulan

sebagai berikut:

(1) Setiap lapangan perluasan berhingga merupakan perluasan aljabar.

(2) Sebarang lapangan F akan terurut jika memenuhi salah satu dari dua hal

berikut: (1) F = P∪{e0}∪−P dengan P himpunan positif dan −P himpunan

negatif. (2) −e1 ∈ F bukan merupakan jumlah kuadrat elemen-elemen

didalamnya.

(3) Sifat archimedean pada himpunan bilangan real R dapat dikenakan pada

lapangan terurut tetapi tidak semua lapangan terurut mempunyai sifat

archimedean.

(4) Teorema kerapatan pada himpunan bilangan real R berlaku pula pada lapangan

archimedean

(5) Lapangan tertutup real merupakan generalisasi dari R.

(6) Setiap elemen positif dalam suatu lapangan tertutup real adalah kuadrat.

(7) Jika F lapangan tertutup real maka F (i) dengan i2 = −e1 adalah lapangan

tertutup secara aljabar.

(8) Jika F lapangan tertutup real dan F̄ merupakan aljabar closure atas F maka

[F̄ : F ] = 2.

(9) Suatu polinomial q(x) atas lapangan tertutup real F adalah iredusibel jika

berderajat satu atau berderajat dua yang tidak mempunyai akar akar di F .67

(10) Tidak ada lapangan perluasan dari C karena C merupakan lapangan tertutup

secara aljabar.

5.2. Saran

Oleh karena tugas akhir ini hanya membahas sampai generalisasi teorema

fundamental aljabar maka perlu ada pembahasan lebih lanjut mengenai teorema

Artin-Schreier yang merupakan pengembangan dari generalisasi teorema fundamental

aljabar.

68

Daftar Pustaka

Baker, A., 2004, An Introduction to Galois Theory, Univeraity of Glasgow,

Glasgow.

Bartle, R.G., 1982, Introduction to Real Analysis, John Willey & Sons,Inc.,

Illionis

Freleigh, J.B., 2000, A First Course In Abstract Algebra, Sixth Edition, Addison

Wesley Publing Company, New York.

Grillet, P.A., 2000, Abstract Algebra, Second Edition, Second Edition, Springer,

New York

Lorenz, A., 2008, Algebra, Volume II: Fields with structure, Algebras and

Andvanced Topics, Springer, Springer, Munster

Setiadji, 1990, Aljabar Linear, Pengantar Struktur Aljabar, FMIPA UGM,

Yogyakarta.

69