graf 2
TRANSCRIPT
Bahan Kuliah Matematika Diskrit
1
Graf (bagian 2)
2
8 . T e r h u b u n g (C o n n e c te d )
D u a b u a h s im p u l v 1 d a n s im p u l v 2 d ise b u t te r h u b u n g jik a te rd a p a t lin ta sa n d a ri v 1 k e v 2 .
G d ise b u t g r a f te r h u b u n g (c o n n e c te d g ra p h ) jik a u n tu k se tia p p a sa n g s im p u l v i d a n v j d a la m h im p u n a n V te rd a p a t lin ta sa n d a ri v i k e v j.
J ik a tid a k , m a k a G d ise b u t g r a f ta k -te r h u b u n g (d isc o n n e c te d g ra p h ) . C o n to h g ra f ta k -te rh u b u n g :
1
2
3
4
5
6
78
3
Graf berarah G dikatakan terhubung jika graf tidak berarahnya terhubung (graf tidak berarah dari G diperoleh dengan menghilangkan arahnya).
Dua simpul, u dan v, pada graf berarah G disebut terhubung
kuat (strongly connected) jika terdapat lintasan berarah dari u ke v dan juga lintasan berarah dari v ke u.
Jika u dan v tidak terhubung kuat tetapi terhubung pada graf
tidak berarahnya, maka u dan v dikatakan terhubung lemah (weakly coonected).
4
Graf berarah G disebut graf terhubung kuat (strongly connected graph) apabila untuk setiap pasang sim pul sem barang u dan v di G , terhubung kuat. Kalau tidak, G disebut graf terhubung lem ah .
graf berarah terhubung lemah graf berarah terhubung kuat
1
2
3 4
1
2 3
5
8 . U p a g r a f ( S u b g r a p h ) d a n K o m p l e m e n U p a g r a f
M i s a l k a n G = ( V , E ) a d a l a h s e b u a h g r a f . G 1 = ( V 1 , E 1 ) a d a l a h u p a g r a f ( s u b g r a p h ) d a r i G j i k a V 1 V d a n E 1 E . K o m p l e m e n d a r i u p a g r a f G 1 t e r h a d a p g r a f G a d a l a h g r a f G 2 = ( V 2 , E 2 ) s e d e m i k i a n s e h i n g g a E 2 = E - E 1 d a n V 2 a d a l a h h i m p u n a n s i m p u l y a n g a n g g o t a - a n g g o t a E 2 b e r s i s i a n d e n g a n n y a .
( a ) G r a f G 1 ( b ) S e b u a h u p a g r a f ( c ) k o m p l e m e n d a r i u p a g r a f ( b )
1
2
3
4 5
6
1
6
5
31
2
3
52
6
K o m p o n e n g r a f ( c o n n e c te d c o m p o n e n t ) a d a la h ju m la h m a k s im u m u p a g r a f t e r h u b u n g d a la m g r a f G . G r a f G d i b a w a h in i m e m p u n y a i 4 b u a h k o m p o n e n .
1
2 3 4
5
6 7
8
9
10
11
12
13
7
Pada graf berarah, komponen terhubung kuat (strongly connected component) adalah jumlah maksimum upagraf yang terhubung kuat. Graf di bawah ini mempunyai 2 buah komponen terhubung kuat:
2 3
4
5
1
6
8
9. U pagraf R entang (Spanning Subgraph )
U pagraf G 1 = (V 1, E 1) dari G = (V , E ) dikatakan upagraf rentang jika V 1 =V (yaitu G 1 m engandung sem ua sim pul dari G ).
(a) graf G , (b) upagraf rentang dari G , (c) bukan upagraf rentang dari G
1
2 3
4 5
1
2 3
4 5
1
2 3
9
1 0 . C u t - S e t
C u t - s e t d a r i g r a f t e r h u b u n g G a d a l a h h i m p u n a n s i s i y a n g b i l a d i b u a n g d a r i G m e n y e b a b k a n G t i d a k t e r h u b u n g . J a d i , c u t - s e t s e l a l u m e n g h a s i l k a n d u a b u a h k o m p o n e n .
P a d a g r a f d i b a w a h , { ( 1 , 2 ) , ( 1 , 5 ) , ( 3 , 5 ) , ( 3 , 4 ) } a d a l a h c u t - s e t . T e r d a p a t b a n y a k c u t - s e t p a d a s e b u a h g r a f t e r h u b u n g . H i m p u n a n { ( 1 , 2 ) , ( 2 , 5 ) } j u g a a d a l a h c u t - s e t , { ( 1 , 3 ) , ( 1 , 5 ) , ( 1 , 2 ) } a d a l a h c u t - s e t , { ( 2 , 6 ) } j u g a c u t - s e t , t e t a p i { ( 1 , 2 ) , ( 2 , 5 ) , ( 4 , 5 ) } b u k a n c u t - s e t s e b a b h i m p u n a n b a g i a n n y a , { ( 1 , 2 ) , ( 2 , 5 ) } a d a l a h c u t - s e t .
( a ) ( b )
1
3 4
5
2
6
21
3
5
4
6
Contoh lain cut set
10
1
2 3
4
5
e1
e2
e3
e4
e5
Himpunan cut set {(e1, e4)}{(e2, e4)}{(e1, e3)}{(e5)}
{(e3, e5)} bukan cut set, sebab e5 merupakan himpunan potong (cut set)
11
11. Graf Berbobot (Weighted Graph)
Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah harga (bobot).
a
b
cd
e
10 12
8
15 911
14
Beberapa Graf Khusus
12
a . G r a f L e n g k a p ( C o m p l e t e G r a p h )
G r a f l e n g k a p i a l a h g r a f s e d e r h a n a y a n g s e t i a p s i m p u l n y a m e m p u n y a i s i s i k e s e m u a s i m p u l l a i n n y a . G r a f l e n g k a p d e n g a n n b u a h s i m p u l d i l a m b a n g k a n d e n g a n K n . J u m l a h s i s i p a d a g r a f l e n g k a p y a n g t e r d i r i d a r i n b u a h s i m p u l a d a l a h n ( n – 1 ) / 2 .
K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6
13
b . G r a f L i n g k a r a n
G r a f l i n g k a r a n a d a l a h g r a f s e d e r h a n a y a n g s e t i a p s i m p u l n y a b e r d e r a j a t d u a . G r a f l i n g k a r a n d e n g a n n s i m p u l d i l a m b a n g k a n d e n g a n C n .
14
c. Graf Teratur (Regular Graphs)
Graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama disebut graf teratur. Apabila derajat setiap simpul adalah r, maka graf tersebut disebut sebagai graf teratur derajat r. Jumlah sisi pada graf teratur adalah nr/2.
Latihan
Rinaldi M/IF2091 Strukdis15
Berapa jumlah maksimum dan jumlah minimum simpul pada graf sederhana yang mempunyai 16 buah sisi dan tiap simpul berderajat sama dan tiap simpul berderajat ≥ 4 ?
16
Jawaban: Tiap simpul berderajat sama -> graf teratur.
Jumlah sisi pada graf teratur berderajat r adalah e = nr/2. Jadi, n = 2e/r = (2)(16)/r = 32/r.
Untuk r = 4, jumlah simpul yang dapat dibuat adalah maksimum, yaitu n = 32/4 = 8.
Untuk r yang lain (r > 4 dan r merupakan pembagi bilangan bulat dari 32):r = 8 -> n = 32/8 = 4 -> tidak mungkin membuat graf sederhana.r = 16 -> n = 32/16 = 2 -> tidak mungkin membuat graf sederhana.
Jadi, jumlah simpul yang dapat dibuat adalah 8 buah (maksimum dan minimum).
17
d. Graf Bipartite (Bipartite Graph)
Graf G yang himpunan simpulnya dapat dipisah menjadi dua himpunan bagian V1 dan V2, sedemikian sehingga setiap sisi pada G menghubungkan sebuah simpul di V1 ke sebuah simpul di V2 disebut graf bipartit dan dinyatakan sebagai G(V1, V2).
V1 V2
18
Graf G di bawah ini adalah graf bipartit, karena simpul-simpunya dapat dibagi menjadi V1 = {a, b, d} dan V2 = {c, e, f, g}
G
graf persoalan utilitas (K3,3), topologi bintang
H 2 H 3
W G E
H 1
a b
c
de
f
g
19
Representasi Graf
Rinaldi M/IF2091 Strukdis20
1. Matriks Ketetanggaan (adjacency matrix)
A = [aij], 1, jika simpul i dan j bertetangga aij = { 0, jika simpul i dan j tidak bertetangga
21
C o n to h :
4321 54321 4321
4
3
2
1
0110
1011
1101
0110
00000
00100
01011
00101
00110
5
4
3
2
1
4
3
2
1
0110
0001
1101
0010
(a ) (b ) (c )
4321
4
3
2
1
0210
2112
1101
0210
1
32
4
1
23
4
5
1
2 3
4
1
2
4
3
e1
e2e3
e4
e5e6
e7
e8
22
Derajat tiap simpul i: (a) Untuk graf tak-berarah
d(vi) =
n
jija
1
(b) Untuk graf berarah,
din (vj) = jumlah nilai pada kolom j =
n
iija
1
dout (vi) = jumlah nilai pada baris i =
n
jija
1
23
a b c d e
15810
151411
149
811912
1012
e
d
c
b
a
a
b
cd
e
10 12
8
15 911
14
24
2. Matriks Bersisian (incidency matrix)
A = [aij], 1, jika simpul i bersisian dengan sisi j aij = { 0, jika simpul i tidak bersisian dengan sisi j
e1 e2 e3 e4 e5
4
3
2
1
10000
11100
00111
01011
1 2
3
4
e1
e2 e3e4
e5
25
3. Senarai Ketetanggaan (adjacency list)
Simpul Simpul Tetangga Simpul Simpul Tetangga Simpul Simpul Terminal 1 2, 3 1 2, 3 1 2 2 1, 3, 4 2 1, 3 2 1, 3, 4 3 1, 2, 4 3 1, 2, 4 3 1 4 2, 3 4 3 4 2, 3 5 -
(a) (b) (c)
1
32
4
1
23
4
5
1
2 3
4
Graf Isomorfik
26
Diketahui matriks ketetanggaan (adjacency matrices) dari sebuah graf tidak berarah. Gambarkan dua buah graf yang yang bersesuaian dengan matriks tersebut.
27
Jawaban:
Dua buah graf yang sama (hanya penggambaran secara geometri berbeda) isomorfik!
1
1
2 3
345
5 4
2
Graf Isomorfik
28
Dua buah graf yang sama tetapi secara geometri berbeda disebut graf yang saling isomorfik.
Dua buah graf, G1 dan G2 dikatakan isomorfik jika terdapat
korespondensi satu-satu antara simpul-simpul keduanya dan antara sisi-sisi keduaya sedemikian sehingga hubungan kebersisian tetap terjaga.
Dengan kata lain, misalkan sisi e bersisian dengan simpul u dan v di G1,
maka sisi e’ yang berkoresponden di G2 harus bersisian dengan simpul u’ dan v’ yang di G2.
Dua buah graf yang isomorfik adalah graf yang sama, kecuali penamaan
simpul dan sisinya saja yang berbeda. Ini benar karena sebuah graf dapat digambarkan dalam banyak cara.
29
( a ) G 1 (b ) G 2 ( c ) G 3
G a m b a r 6 .3 5 G 1 is o m o rf ik d e n g a n G 2 , te ta p i G 1 t id a k is o m o rf ik d e n g a n G 3
3
4
1 2
d c
a b
v w
x y
30
(a) G1 (b) G2
Gambar 6.36 Graf (a) dan graf (b) isomorfik [DEO74] edcba zvwyx
AG1 =
e
d
c
b
a
01000
10101
01011
00101
01110
AG2 =
z
v
w
y
x
01000
10101
01011
00101
01110
z
d
c
a
b
e
x
v w
y
Matriks ketetanggaan
31
( a )
( b )
G a m b a r 6 . 3 8 ( a ) D u a b u a h g r a f i s o m o r f i k , ( b ) t i g a b u a h g r a f i s o m o r f i k
32
D a r i d e f i n i s i g r a f i s o m o r f i k d a p a t d i k e m u k a k a n b a h w a d u a b u a h g r a f i s o m o r f i k m e m e n u h i k e t i g a s y a r a t b e r i k u t [ D E O 7 4 ] : 1 . M e m p u n y a i j u m l a h s i m p u l y a n g s a m a . 2 . M e m p u n y a i j u m l a h s i s i y a n g s a m a 3 . M e m p u n y a i j u m l a h s i m p u l y a n g s a m a b e r d e r a j a t t e r t e n t u
N a m u n , k e t i g a s y a r a t i n i t e r n y a t a b e l u m c u k u p m e n j a m i n . P e m e r i k s a a n s e c a r a v i s u a l p e r l u d i l a k u k a n .
( a ) ( b )
x
u
v
w
y
Latihan
33
Apakah pasangan graf di bawah ini isomorfik?
a
b
c
d
e
f
g
h u
v
w
t
p
q
r
s
Latihan
34
Apakah pasangan graf di bawah ini isomorfik?
a b
cd
e f
p q
rs
tu
Latihan
35
Gambarkan 2 buah graf yang isomorfik dengan graf teratur berderajat 3 yang mempunyai 8 buah simpul
36
Jawaban:
Graf Planar (Planar Graph) dan Graf Bidang (Plane Graph)
37
Graf yang dapat digambarkan pada bidang datar dengan sisi-sisi tidak saling memotong (bersilangan) disebut graf planar,
jika tidak, maka ia disebut graf tak-planar. K4 adalah graf planar:
38
K5 adalah graf tidak planar:
39
Graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang tidak saling berpotongan disebut graf bidang (plane graph).
(a) (b) (c)
Tiga buah graf planar. Graf (b) dan (c) adalah graf bidang
Aplikasi Graf Planar
40
Persoalan utilitas (utility problem)
(a) (b)
(a) Graf persoalan utilitas (K3,3), (b) graf persoalan utilitas bukan graf planar.
H 2 H 3
W G E
H 2 H 3
W G E
H 1H 1
Aplikasi Graf Planar
41
Perancangan IC (Integrated Circuit)
Tidak boleh ada kawat-kawat di dalam IC-board yang saling bersilangan dapat menimbulkan interferensi arus listrik malfunction
Perancangan kawat memenuhi prinsip graf planar
Latihan
42
Gambarkan graf (kiri) di bawah ini sehingga tidak ada sisi-sisi yang berpotongan (menjadi graf bidang). (Solusi: graf kanan)
43
Sisi-sisi pada graf bidang membagi bidang datar menjadi beberapa wilayah (region) atau muka (face).
Graf bidang pada gambar di bawah initerdiri atas 6 wilayah (termasuk wilayah terluar):
R1
R2
R3
R5
R4
R6
e2 e3 e4
e1 e5 e6 e7 e8 e9
e10 e11
44
Hubungan antara jumlah simpul (n), jumlah sisi (e), dan jumlah wilayah (f) pada graf bidang:
n – e + f = 2 (Rumus Euler)
Pada Gambar di atas, e = 11 dan n = 7, f = 6, maka 7 – 11 + 6 = 2.
R1
R2
R3
R5
R4
R6
e2 e3 e4
e1 e5 e6 e7 e8 e9
e10 e11
Latihan
45
Misalkan graf sederhana planar memiliki 24 buah simpul, masing-masing simpul berderajat 4. Representasi planar dari graf tersebut membagi bidang datar menjadi sejumlah wilayah atau muka. Berapa banyak wilayah yang terbentuk?
Jawaban:
46
Diketahui n = jumlah simpul = 24, maka jumlah derajat seluruh simpul = 24 4 = 96.
Menurut lemma jabat tangan, jumlah derajat = 2 jumlah sisi,
sehinggajumlah sisi = e = jumlah derajat/2 =
96/2 = 48
Dari rumus Euler, n – e + f = 2, sehingga f = 2 – n + e = 2 – 24 + 48 = 26 buah.
47
Pada graf planar sederhana terhubung dengan f buah wilayah, n buah simpul, dan e buah sisi (e > 2) selalu berlaku:
e 3n – 6
Ketidaksamaan yang terakhir dinamakan ketidaksamaan Euler,
yang dapat digunakan untuk menunjukkan keplanaran suatu graf sederhana
kalau graf planar, maka ia memenuhi ketidaksamaan Euler, sebaliknya jika tidak planar maka ketidaksamaan tersebut tidak dipenuhi.
48
Contoh: Pada K4, n = 4, e = 6, memenuhi ketidaksamaan Euler, sebab
6 3(4) – 6. Jadi, K4 adalah graf planar.
Pada graf K5, n = 5 dan e = 10, tidak memenuhi ketidaksamaan Euler sebab
10 3(5) – 6. Jadi, K5 tidak planar
K4 K5 K3,3
49
Teorema Kuratoswki Berguna untuk menentukan dengan tegas keplanaran suat graf.
(a) (b) (c)
Gambar (a) Graf Kuratowski pertama (K5) (b) Graf Kuratowski kedua (K3, 3) (c) Graf yang isomorfik dengan graf Kuratowski kedua
50
Sifat graf Kuratowski adalah: 1. Kedua graf Kuratowski adalah graf teratur. 2. Kedua graf Kuratowski adalah graf tidak-planar 3. Penghapusan sisi atau simpul dari graf Kuratowski
menyebabkannya menjadi graf planar. 4. Graf Kuratowski pertama adalah graf tidak-planar
dengan jumlah simpul minimum, dan graf Kuratowski kedua adalah graf tidak-planar dengan jumlah sisi minimum.
51
TEOREMA Kuratowski. Graf G bersifat planar jika dan hanya jika ia tidak mengandung upagraf yang isomorfik dengan salah satu graf Kuratowski atau homeomorfik (homeomorphic) dengan salah satu dari keduanya.
G1 G2 G3
Gambar Tiga buah graf yang homemorfik satu sama lain.
v
x
y
52
Contoh: Kita gunakan Teorema Kuratowski untuk memeriksa keplanaran graf. Graf G di bawah ini bukan graf planar karena ia mengandung upagraf (G1) yang sama dengan K3,3.
Graf G tidak planar karena ia mengandung upagraf yang sama dengan K3,3.
a bc
def
a bc
def
GG 1
53
Graf G tidak planar karena ia mengandung upagraf (G1) yang homeomorfik dengan K5 (dengan membuang simpul-simpul yang berderajat 2 dari G1, diperoleh K5).
G G1 K5
Gambar Graf G, upagraf G1 dari G yang homeomorfik dengan K5.
a
b
c
d
efg
h
a
b
c
d
efg
h
ii
a
c
eg
h
Latihan
54
Perlihatkan dengan teorema Kuratowski bahwa graf Petersen tidak planar.
1
2
3
4
5
6 7
89
1 0
(a) G ra f P eter se n , G (b ) G1
(c) G2
(d ) K3 ,3
1
2 4 6
3 5
Jawaban:
55
1
2
3
4
5
6 7
89
1 0
1
2
3
4
5
6 7
89
1
2
3
4
5
6
(a) G ra f P eter se n , G (b ) G1
(c) G2
(d ) K3 ,3
1
2 4 6
3 5
Gambar (a) Graf Petersen (b) G1 adalah upagraf dari G (c) G2 homeomorfik dengan
G1 (d) G2 isomorfik dengan
K3,3
Lintasan dan Sirkuit Euler
56
Lintasan Euler ialah lintasan yang melalui masing-masing sisi di dalam graf tepat satu kali.
Sirkuit Euler ialah sirkuit yang melewati masing-masing sisi tepat satu
kali..
Graf yang mempunyai sirkuit Euler disebut graf Euler (Eulerian graph). Graf yang mempunyai lintasan Euler dinamakan juga graf semi-Euler (semi-Eulerian graph).
57
Contoh. Lintasan Euler pada graf (a) : 3, 1, 2, 3, 4, 1 Lintasan Euler pada graf (b) : 1, 2, 4, 6, 2, 3, 6, 5, 1, 3 Sirkuit Euler pada graf (c) : 1, 2, 3, 4, 7, 3, 5, 7, 6, 5, 2, 6, 1 Sirkuit Euler pada graf (d) : a, c, f, e, c, b, d, e, a, d, f, b, a Graf (e) dan (f) tidak mempunyai lintasan maupun sirkuit Euler
(a) dan (b) graf semi-Euler (c) dan (d) graf Euler (e) dan (f) bukan graf semi-Euler atau graf Euler
12
3 4
1 2
34
5 6
1
2 3
45
6 7
a
b
e
d
c
f
ba
c d
1 2
3
4 5 e
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
58
TEOREMA. Graf tidak berarah memiliki lintasan Euler jika (graf semi-Euler) dan hanya jika terhubung dan memiliki dua buah simpul berderajat ganjil atau tidak ada simpul berderajat ganjil sama sekali.
TEOREMA. Graf tidak berarah G adalah graf Euler (memiliki sirkuit Euler) jika dan hanya jika setiap simpul berderajat genap.
Lintasan dan Sirkuit Hamilton
59
Lintasan Hamilton ialah lintasan yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali.
Sirkuit Hamilton ialah sirkuit yang melalui tiap simpul di dalam graf
tepat satu kali, kecuali simpul asal (sekaligus simpul akhir) yang dilalui dua kali.
Graf yang memiliki sirkuit Hamilton dinamakan graf Hamilton,
sedangkan graf yang hanya memiliki lintasan Hamilton disebut graf semi-Hamilton.
60
(a) (b) (c)
(a) graf yang memiliki lintasan Hamilton (misal: 3, 2, 1, 4) (b) graf yang memiliki sirkuit Hamilton (1, 2, 3, 4, 1) (c) graf yang tidak memiliki lintasan maupun sirkuit Hamilton
1 2
34
1
3
2
4
1 2
34
61
(a) (b)
(a) Dodecahedron Hamilton, (b) graf yang mengandung sirkuit Hamilton
62
Beberapa graf dapat mengandung sirkuit Euler dan sirkuit Hamilton sekaligus, mengandung sirkuit Euler tetapi tidak mengandung sirkuit Hamilton, dan sebagainya..
(a) (b)
(a) Graf Hamilton sekaligus graf Euler (b) Graf Hamilton sekaligus graf semi-Euler
6
5
4
1
3
2
5
1 2
34