GARIS-GARIS ISTIMEWA PADA SEGITIGA

Assalamualaikum.. Good night,Ayo kita belajar tentang garis-garis istimewa pada segitiga. Simak dan perhatikan baik-baik penjelasan bu guru ya..... ^_^

1) Garis BeratGaris berat adalah ruas garis yang ditarik dari sebuah titik sudut segitiga dan membagi sisi dihadapannya menjadi dua sama panjang.

Garis-garis beratnya adalah AD, BE, CF. Titik potong ketiga garis beratnya disebut titik berat (titik P).

Teorema 1Garis-garis berat dalam segitiga berpotongan atas bagian yang perbandingannya 2 : 1.AP : PD = BP : PE = CP : PF = 2 : 1

Bukti:Hubungkan D dan E maka DE//AB.Karena D dan E berturut-turut adalah titik tengah BC dan AC, maka DE = 1/2 AB (AB : DE = 2 : 1).Lihat  dan .              (sudut dalam berseberangan)              (sudut bertolak belakang)         (sebangun)Jadi, AP : PD = BP : PE = CP : PF = 2 : 1   (terbukti).

Teorema 2Jika , ,  berturut-turut adalah garis berat ke sisi a, b, c maka

     

     

     

Bukti:Menurut teorema Stewart,

     

   

                        (terbukti)

2) Garis BagiGaris bagi adalah ruas garis yang ditarik dari sebuah titik sudut segitiga dan membagi sudut menjadi dua sama besar.

Garis-garis baginya adalah AF, BD, CE. Titik potong ketiga garis baginya disebut titik bagi (titik P).

Teorema 1

Garis yang membagi sisi didepannya menjadi dua bagian yang berbanding seperti sisi-sisi yang berdekatan.p : q = b : a

Bukti:Lihat  dan .             (sudut dari garis bagi)                           (berhimpit)              (jelas)         (kongruen)

Tarik garis  dan , maka DE = DF  ( ).

Lihat  dan .

                                                                           

        (ii) Jika garis tinggi dari titik C adalah    (CD).

                                                                                 Jadi,               (terbukti)

Teorema 2

Kuadrat garis bagi dalam sama dengan hasil kali sisi sebelah dikurangi hasil kali bagian sisi dihadapannya.

Bukti:CD adalah garis bagi, maka a : b = q : p atau ap = bq.Menurut teorema Stewart,                                                                       (terbukti)

3) Garis TinggiGaris tinggi adalah ruas garis yang ditarik dari sebuah titik sudut segitiga dan tegak lurus dengan sisi dihadapannya.

Garis-garis tingginya adalah AE, BF, CD. Titik potong ketiga garis tingginya disebut titik tinggi (titik P).

Teorema 1

Dua garis tinggi dalam segitiga berbanding terbalik dengan sisinya. 

Bukti:

Sehingga diperoleh,

                                                    (terbukti)

Teorema 2Jika diketahui , dan , ,  berturut-turut adalah garis tinggi pada sisi a, b, c maka

        

        

        

Bukti:(menunggu update yaa ^_^ . . . . aku capek ngetiknyaaaaa)

4) Garis SumbuGaris sumbu adalah ruas garis yang membagi sisi segitiga menjadi dua bagian sama panjang dan tegak lurus pada sisi tersebut.

Garis-garis sumbunya adalah k, l, dan m. Titik potong ketiga garis sumbunya disebut titik sumbu (titik P).