Download - Probabilitas dan Statistika · PDF fileIntroduksi - Joint Probability Peluang Kejadian Bersyarat Jika munculnya A mempengaruhi peluang munculnya kejadian B atau sebaliknya, A dan B

Adam Hendra Brata

Probabilitas dan

Statistika“Teorema Bayes”

Introduksi - Joint Probability

Peluang Kejadian Bersyarat

Jika munculnya A mempengaruhi peluang

munculnya kejadian B atau sebaliknya, A dan B

adalah kejadian bersyarat, sehingga:

Jika A dan B saling bebas, maka A B = ,

sehingga P(A | B) = 0

)(

)()|(

Bp

BApBAp

Introduksi

Teorema

Bayes

Joint Probability – Hukum Perkalian

Contoh Joint Probability – Hukum Perkalian

Berapa peluang terpilih anak berambut lurus

dengan syarat hitam ?

Jenis

RambutWarna

Hitam Tidak hitam

Lurus 2 0

Ikal 2 4

Keriting 1 2

Introduksi

Teorema

Bayes

Introduksi - Diskusi

Diskusi

Bagaimana cara menghitung peluang bersyarat

jika terdapat 2 atau lebih kondisi yang saling

terkait ?

Jika misalkan 1 kejadian dipengaruhi oleh

beberapa kejadian yang lain ?

Introduksi

Teorema

Bayes

Teorema Bayes

Teorema Bayes

Teorema Bayes

Nama teorema Bayes diambil dari nama

penemu teorema tersebut, yaitu Reverend

Thomas Bayes (1702 – 1761)

Teorema Bayes digunakan untuk menghitung

probabilitas terjadinya suatu peristiwa,

berdasarkan pengaruh yang didapat dari hasil

observasi peristiwa sebelumya

Teorema Bayes menyempurnakan teorema

probabilitas bersyarat yang hanya dibatasi

oleh 2 buah kejadian sehingga dapat diperluas

untuk n buah kejadian

Dikembangkan secara luas dalam statistika

inferensia / induktif

Introduksi

Teorema

Bayes

Teorema Bayes

Teorema Bayes

Aplikasi teorema Bayes banyak ditemukan

pada bidang komputer cerdas sebagai salah

satu dasar dari metode machine learning dan

data mining

Introduksi

Teorema

Bayes

Teorema Bayes

Diagram Venn Teorema Bayes

Digunakan bila ingin menghitung

probabilitas P(B1|A), P(B2|A), ….,

P(Bn|A)

Introduksi

Teorema

Bayes

B1

B2

B3

A Bn

A Bn

Teorema Bayes

Konsep Formula Teorema Bayes

Misalkan peristiwa {B1,B2,….,BN} merupakan

suatu sekatan (partisi) dari ruang sampel S

dengan P(Bn) ≠ 0 untuk n = 1,2,…,N

Dan misalkan A suatu kejadian sembarang

dalam S dengan P(A) ≠ 0

Introduksi

Teorema

Bayes

untuk N = 3

N

n

N

n

nnn BAPBPABPAP1 1

)|()()()( (1)

Teorema Bayes


Berdasar teorema Probabilitas Bersyarat :

Probabilitas bersyarat suatu peristiwa A,

dengan syarat peristiwa B didefinisikan sebagai:

P(A|B) = P(A B) / P(B) ; P(B) > 0 (2)

Atau

P(B|A) = P(B A) / P(A) ; P(A) > 0 (3)

Dimana berdasar teori himpunan kita ketahui :

P(A B) = P(B A) (4)

Introduksi

Teorema

Bayes

Teorema Bayes


Berdasarkan hubungan probabilitas A dengan

probabilitas kejadian bersyarat sebagaimana

ditunjukkan persamaan (1), yaitu :

Introduksi

Teorema

Bayes

N

n

nn BPBAPAP )()|()(

Teorema Bayes


Sehingga Probabilitas suatu kejadian yang

dibatasi oleh n buah kejadian sebagai syaratnya

akan kita peroleh dari penurunan rumus sebagai

berikut :

Introduksi

Teorema

Bayes

Nn

BAPBP

BAPBP

AP

BAPABP

N

n

nn

nnnn ,..2,1;

)|()(

)|()(

)(

)()|(

1

)()|(...)()|()()|(

)()|()|(

2211 nn

nnn

BPBAPBPBAPBPBAP

BPBAPABP

Teorema Bayes

Formula Teorema Bayes

Secara umum formula teorema Bayes adalah

sebagai berikut :

Introduksi

Teorema

Bayes

𝑃 𝐴 𝐵 =𝑃 𝐵 𝐴 𝑃 𝐴

𝑃 𝐵

Peluang Posterior

Peluang PriorPeluang Likelihood

Peluang Evidence

Teorema Bayes

Formula Teorema Bayes

Peluang Posterior adalah prediksi peluang

munculnya satu kejadian berdasarkan informasi

dari kejadian yang lain

Peluang Prior adalah peluang munculnya suatu

kejadian yang sudah kita yakini sebelumnya dan

bisa jadi kejadian ini dipengaruhi kejadian yang

lain

Peluang Likelihood adalah peluang yang

menyatakan derajat kemungkinan pengaruh

suatu informasi kejadian terhadap kejadian yang

lain

Peluang Evidence adalah sebuah ukuran

pembanding konstan berdasarkan peluang

suatu informasi kejadian

Introduksi

Teorema

Bayes

Teorema Bayes

Contoh Soal Teorema Bayes (1)

Sebuah Warnet biasanya membutuhkan koneksi internet yang

cukup agar semua aktivitas pelanggannya terjamin dari adanya

pemutusan aliran paket data internet. Terdapat dua sumber

layanan data internet (ISP) yang digunakan, yaitu ISP A dan

ISP B (untuk backup). Bila koneksi internet ISP A padam maka

secara otomatis ISP B akan aktif dan memberikan aliran data

untuk seluruh PC Client . Masalah yang selama ini menganggu

adalah ketidakstabilan koneksi internet, baik dari ISP A

maupun ISP B, yang akan mengganggu kenyamanan

pelanggan. Selama beberapa tahun terakhir, diketahui bahwa

probabilitas terjadinya koneksi internet mati adalah 0.1,

dengan kata lain peluang bahwa warnet itu menggunakan ISP

A adalah 0.9 dan peluang menggunakan ISP B adalah

0.1.Peluang terjadi ketidakstabilan pada koneksi ISP A

maupun ISP B masing-masing 0.2 dan 0.3.

Teorema Bayes


Pertanyaan :

1. Berapa peluang terjadi ketidakstabilan koneksi internet

(secara keseluruhan, baik dengan ISP A maupun ISP B) ?

2. Bila suatu saat diketahui terjadi ketidakstabilan koneksi

internet , maka berapakah probabilitas saat itu koneksi

internet berasal dari ISP B ?

Teorema Bayes


1. Peluang terjadi ketidakstabilan koneksi internet

Diketahui :

P(B1) = 0.9

P(B2) = 0.1

P(A|B1) = 0.2

P(A|B2) = 0,3

B1 : Peristiwa ISP A digunakan

B2 : Peristiwa ISP B digunakan

A : Peristiwa terjadinya ketidakstabilan

Koneksi Internet

Maka :

P(A) = P(B1).P(A|B1) + P(B2).P(A|B2)

= (0.9).(0.2)+(0.2).(0.3)

= 0.21

Teorema Bayes


2. Peluang terjadi ketidakstabilan koneksi internet jika

koneksi internet berasal dari ISP B ?

Diketahui :

P(B1) = 0.9

P(B2) = 0.1

P(A|B1) = 0.2

P(A|B2) = 0,3

B1 : Peristiwa ISP A digunakan

B2 : Peristiwa ISP B digunakan

A : Peristiwa terjadinya ketidakstabilan

Koneksi Internet

Maka dengan menggunakan rumus probalilitas bersyarat

diperoleh :

P(B2|A) = P(B2 ∩ A) / P(A)

= P(B2).P(A|B2) / P(A)

= 0.03 / 0.21

= 0.143

Teorema Bayes


Suatu sistem komunikasi biner yang transmitter-nya

mengirimkan sinyal hanya dua buah, yaitu sinyal 1 atau 0 yang

dilewatkan kanal (Channel) untuk mencapai penerima.

Kanal itu dapat mengakibatkan terjadinya kesalahan

pengiriman. Misalnya pengiriman sinyal 1, ternyata di sisi

penerima menerima sinyal 0 (merupakan kesalahan)

Oleh karena itu ruang sampel berdasarkan kejadian komunikasi

ini hanya mempunyai dua elemen, yaitu sinyal 1 dan sinyal 0

Teorema Bayes


Misalnya himpunan Bn , n=1,2 menyatakan event (kejadian)

munculnya simbol sinyal 1 pada sisi pemancar. Sedangkan

himpunan An , n = 1,2 menyatakan event munculnya sinyal 1

pada sisi penerima sesudah melewati kanal dan sinyal nilai 0

pada sisi penerima.

Jika probabilitas munculnya sinyal nilai 1 dan nilai 0 dianggap

memiliki probabilitas berikut :

0,4 BPdan 0,6 BP 21

Teorema Bayes


Probabilitas bersyarat menggambarkan pengaruh kanal ketika

sinyal-sinyal itu ditransferkan. Sinyal 1 yang dikirimkan dan

diterima sebagai sinyal 1 dengan probabilitas 0,9.

Sedangkan Simbol dengan nilai 0 adalah:

0,1 B|AP

0,9 B|AP

12

11

0,9 B|AP

0,1 B|AP

22

21

Teorema Bayes


Diagram Binary Symmetric Communication System

)|( 22 BAP

)|( 21 BAP

)|( 12 BAP

)|( 11 BAP

0,1

0,9

0,1

0,9

A1

A2

B1

B2

P(B1)=0,6

P(B2)=0,4

Teorema Bayes


Pertanyaan :

1. Berapakah probabilitas sinyal dengan syarat yang dikirimkan

benar pada sisi penerima A1 dan A2 jika dilakukan

perhitungan dengan menggunakan teorema Bayes ?

2. Berapakah probabilitas sinyal dengan syarat yang dikirimkan

salah pada sisi penerima A1 dan A2 jika dilakukan

perhitungan dengan menggunakan teorema Bayes ?

Teorema Bayes


Solusi :

Jumlah probabilitas bersyarat kedua kejadian adalah

berjumlah 1

P(A 1|B1 ) + P(A 2|B1 ) = 1

Jadi probabilitas kejadian A1 dan A2 adalah sebagai berikut :

P(A 1) = P(A 1|B1 ) P(B 1) + P(A 1|B2 ) P(B 2)

= 0,9(0,6) + 0,1(0,4)

= 0,58

P(A 2) = P(A 2|B1 ) P(B 1) + P(A 2|B2 ) P(B 2)

= 0,1(0,6) + 0,9(0,4)

= 0,42

Teorema Bayes


Solusi :

Probabilitas kejadian pada sisi penerima (benar), setelah

melewati kanal

Sedang probabilitas diterima sinyal yang salah pada sisi

penerima setelah pengirim mengirimkan sinyal 1 atau 0 adalah:

0,857 0,42

0,36

0,42

0,9(0,4)

)P(A

))P(BB|P(A )A|P(B

0,931 0,58

0,54

0,58

0,9(0,6)

)P(A

))P(BB|P(A )A|P(B

2

22222

1

11111

0,143 0,42

0,06

0,42

0,1(0,6)

)P(A

))P(BB|P(A )A|P(B

0,069 0,58

0,04

0,58

0,1(0,4)

)P(A

))P(BB|P(A )A|P(B

2

11221

1

22112

Terimakasih dan Semoga

Bermanfaat v^^

Download - Probabilitas dan Statistika · PDF fileIntroduksi - Joint Probability Peluang Kejadian Bersyarat Jika munculnya A mempengaruhi peluang munculnya kejadian B atau sebaliknya, A dan B

Top Related