Download - persamaan diferrensial.pdf
Matematika Teknik KimiaOleh:
Ir. Sufriadi Burhanuddin, M.Eng
Persamaan diferensial adalah persamaan matematis yang mengandung satu variabel bebas, variabel terikat dan turunan-turunan variabel terikat terhadap variabel bebasnya.
Jika persamaan diferensial tersebut mengandung peubah tak bebas yang hanya bergantung pada satu peubah bebasnya maka persamaan diferensial tersebut dinamakan persamaan diferensial biasa. Sedangkan jika peubah bebasnya lebih daru satu dinamakan persamaan diferensial parsial. Orde atau tingkat dari suatu persamaan diferensial adalah turunan tertinggi pada persamaan diferensial tersebut.
Sebagai ilustrasi, jika variabel bebas adalah y dan variabel x maka bentuk umum fungsi dari suatu persamaan diferensial ditulis seperti berikut ini.
0...,,,,2
2
=
dx
yd
dx
dyyxF (1)
Bentuk-bentuk persamaan diferensial,
1. Persamaan Diferensial Orde 1
A. Persamaan Diferensial Variabel Terpisah
B. Persamaan Diferensial Variabel Tereduksi
C. Faktor Integral
D. Persamaan Diferensial Linear
E. Persamaan Diferensial Homogen
F. Persamaan Diferensial Bernoulli
G. Persamaan Diferensial Eksak
2. Persamaan Diferensial Orde 2
A. Persamaan Diferensial Linear Homogen ( 0)( =xf )
B. Persamaan Diferensial Linear NonHomogen ( 0)( ≠xf )
C. Fungsi Komplementer
D. Integral Khusus
3. Persamaan Diferensial Orde 3
A. PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE 1
Bentuk umum persamaan diferensial orde satu, yaitu
)(
)(
yg
xf
dx
dy = (2)
A.1 Persamaan Diferensial Variabel Terpisah
Persamaan diferensial orde satu jenis ini, variabel y dan x dapat dipisahkan dengan cara manipulasi aljabar sederhana, sehingga diperoleh:
dxxfdyyg )()( = (3)
Penyelesaian dari persamaan (2) adalah dengan mengintegralkan kedua sisi masing terhadap y dan x, sehingga diperoleh:
∫∫ += cdxxfdyyg )()( (4)
Contoh 1.
Selesaikan persamaan diferensial yxdx
dy2−=
Penyelesaian:
Variabel y dan x dipisahkan dan selanjutnya diintegralkan di kedua sisinya, yaitu:
∫∫ −= dxxy
dy2
Hasilnya adalah:
12ln cxy +−=
12 cxey +−= 1
2
. cx eey −= ; namakan cec =1 , maka hasil akhirnya
menjadi:
2xecy −=
Contoh 2.
Selesaikan persamaan diferensial 0)1( 2
=+
+xx
y
dx
dy
Penyelesaian:
Variabel y dan x dipisahkan dan selanjutnya diintegralkan di kedua sisinya, yaitu:
0)1( 2
=+
+∫∫ xx
dx
y
dy
∫∫∫ =+
−+ 0)1( 2x
dxx
x
dx
y
dy
0)1(lnlnln 12
21 =++−+ cxxy
cxxy ln)1(lnlnln 221 =+−+ dimana 1ln cc −=
cxxy ln)1(lnlnln 212 =+−+ , disederhanakan sehingga diperoleh hasil
akhir dalam bentuk:
x
xcy
21
)1( 2+=
Contoh 3.
Selesaikan persamaan diferensial 1
12
++=
y
x
dx
dyxy
Penyelesaian:
Pisahkan variabel yang sama (x,y), selanjutnya diintegralkan secara langsung dikedua sisinya, yaitu
∫ ∫ +=+
+=+
++=
dxx
xdyyy
dxx
xdyyy
y
x
dx
dyxy
)1
()(
1)1(
1
1
2
2
2
dengan cara integral langsung, maka Cxxyy ++=+ ln223
223
Contoh 4.
Selesaiakan persamaan diferensial xyydx
dyx +=
Penyelesaian:
Sederhanakan persamaan diferensial diatas, pisahkan variabel yang sama, dan selesaikan dengan cara integral langsung, yaitu
Integral Fraksional
)1( xydx
dyx +=
x dy dxxy )1( +=
dxx
x
y
dy +=1 , diselesaikan dengan integral langsung
∫ ∫ += dxxy
dy)1
1(
Cxxy ++=lnln , dapat disederhanakan lebih lanjut
CxCx eeex
y
Cxx
y
Cxxy
.
ln
lnln
⇒=
+=
+=−
+
perhatikan bahwa Ce nilai konstan, kita simbolkan dengan A, maka
xx xAeyAex
y =⇒=
Contoh 5.
Selesaikan persamaan diferensial xydx
dyxy 22 sec)4(tan +=
Penyelesaian;
Pisahkan variabelnya, selesaikan dengan cara interal langsung, yaitu
Cxy
dxx
xdy
y
y
dxx
xdy
y
y
+=+
=+
=+
∫ ∫
tanln)4ln(2
1
tan
sec
4
tan
sec
4
2
2
2
2
2
dapat kita sederhanakan menjadi,
Axy lntanln2)4ln( 2 +=+ , dimana A merupakan C2
Ay =+ 24 x2tan
Ay =2 4tan 2 −x 4tan 2 −=⇒ xAy
Latihan !!
1. Selesaikan persamaan diferensial 563 2 +−= xxdx
dy
2. Selesaikan persamaan diferensial 4=dx
dye x , hitung konstanta jika 3=y
dan 0=x
3. Selesaikan persamaan diferensial )1)(1( yxdx
dy =+=
4. Selesaikan persamaan diferensial x
y
dx
dy
++=2
1
5. Selesaikan persamaan diferensial xdx
dy
y
xcos.
1
sin =+
6. Selesaikan persamaan diferensial 3cos 2 += ydx
dyx
7. Selesaikan persamaan diferensial yxydx
dy −=
8. Selesaikan persamaan diferensial y
x
dx
dy 22 +=
9. Selesaikan persamaan diferensial x4 ydy − dyxdx 2=
10.Selesaikan persamaan diferensial 0)1()1( 22 =−++ xydxyx
A.2 Persamaan Diferensial Variabel Tereduksi
Terkadang dijumpai persamaan diferensial orde satu yang variabelnya tidak terpisah, tetapi dengan teknik “reduksi variabel”, maka persamaan diferensial tersebut menjadi persamaan diferensial variabel terpisah. Persamaan diferensial ini sering digunakan pada persamaan diferensial Homogen (akan dijelaskan nanti).
Persamaan diferensial yang dapat direduksi menjadi variabel terpisah adalah persamaan diferensial yang berbentuk:
)(x
yf
dx
dy = (5)
Artinya, suku yang ada y/x disubtitusikan dengan suatu variabel u, atau ux
y =
dan xuy = . Bentuk persamaan diferensial selanjutnya menjadi:
),( xufdx
du =
(6)
Persamaan (5) adalah persamaan diferensial variabel terpisah untuk selanjutnya diselesaikan seperti cara yang dijelaskan pada A.1. Langkah akhir adalah mengembalikan bentuk hasil f(u,x) kembali ke dalam bentuk f(x,y).
Contoh 6 .
Selesaikan persamaan diferensial yxdx
dyx +=
Penyelesaian:
x
y
dx
dy +=1 (*)
Selanjutnya dinyatakan ux
y = sehingga duxdxudy += dan substitusikan ke
dalam persamaan (*), diperoleh:
∫∫ =x
dxdu
cxu += ln
Gantikan kembali x
yu = dengan demikian penyelesaian akhir adalah:
)(ln cxxy +=
Contoh 7.
Selesaikan persamaan diferensial 02 22 =+− xydx
dyxy .
Penyelesaian:
Persamaan soal dibagi dengan 2x , sehingga diperoleh:
0122
=+
−
x
y
dx
dy
x
y(**)
Selanjutnya dinyatakan ux
y = sehingga duxdxudy += dan substitusikan ke
dalam persamaan (**), diperoleh:
012 2 =+−
+ u
dx
duxuu , atau
012 2 =++udx
duux
Dengan pemisahan variabel, diperoleh bentuk sebagai berikut:
x
dx
u
duu −=+ 21
2(***)
Integralkan persamaan (***) menghasilkan:
cx
u ln1
ln)1ln( 2 +
=+ , atau
x
cu =+ 21
Gantikan kembali x
yu = dengan demikian penyelesaian akhir adalah:
xcyx =+ 22 atau42
22
2c
yc
x =+
−
Tidak selamanya dapat digunakan substitusi ux
y = untuk menyelesaikan
persamaan diferensial variabel tereduksi. Karena sering juga digunakan substitusi variabel dalam bentuk khusus untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang khusus pula. Beberapa contoh dapat dilihat seperti di bawah ini.
Contoh 8 .
Selesaikan persamaan diferensial yedx
dyx yx −= − .
Penyelesaian:Persamaan diferensial tersebut hanya bisa diselesaikan jika disubstitusikan dengan uxy = .
Contoh 9 .
Selesaikan persamaan diferensial 2)( xydx
dy −= .
Penyelesaian:Persamaan diferensial tersebut hanya bisa diselesaikan jika disubstitusikan dengan uxy =−
A.3 Faktor Integral
Faktor integral ini digunakan untuk penyelesaian persamaan diferensial yang berbentuk linear, persamaan diferensial Bernoulli, dan persamaan diferensial
yang lainnya, dengan catatan memiliki bentuk umum QPydx
dy =+
(7)
Faktor integral ini memiliki bentuk umum , yaitu ∫=Pdx
eFI
Catatan : bahwa dalam menentukan ∫Pdx , kita tidak perlu menyertakan konstanta integrasinya, hal ini dilakukan untuk penyederhanakan saja, karena konstanta integrasi tersebut akan memberikan faktor konstan dikedua ruas persamaan diferensial, yang akhirnya akan saling meniadakan satu sama lain. Ha ini hanya berlaku pada penggunaan faktor integral saja.
A.3 Persamaan Diferensial Linear
Persamaan diferensial dikatakan linear, apabila persamaan tersebut memiliki peubah tak bebas maupun turunannya berifat linear. Bentuk umum dari persamaan diferensial orde pertama dam suatu fungsi )(xy yang dicari adalah
).(' yxfdx
dyy == (8)
Bila dalam persamaan (6) tersebut kita tulis sebagai )()(),( xQyxPyxf +−= , yang memiliki maksud adalah sebagai fungsi dari x dikalikan y , ditambah dengan fungsi dari x . Persamaan diferensial yang seperti itu disebut dengan Persamaan Diferensial Linear, biasanya ditulis dalam bentuk,
QPydx
dy =+ (9)
dimana P,Q merupakan fungsi dari x atau konstanta. Pada umumnya pengerjaan persamaan diferensial linear ini menggunakan faktor integral, yang nantinya dikalikan pada kedua ruas persamaan diferensial tersebut dan mengintegralkannya (terhadap x ) secara langsung. Sehingga akan didapatkan penyelesaian persamaan yang lebih sderhana, yaitu
y ∫=∫ QePdx
dxePdx∫
y ∫= QFI FI dx(10)
Penting untuk diingat bahwa dalam faktor integral terdapat aturan logaritma seperti,
xe
fungsie
xe
xe
x
fungsi
x
x
tanh
sin
ln
tanhln
ln
sinln
ln
==
==
xe
xe
xe
Fe
x
x
x
F
3
sinh3ln
sinhln
2ln
ln
2
==
=
=
Contoh 10.
Selesaikan persamaan diferensial xeydx
dy 25 =+
Penyelesaian :
Kita kerjakan faktor integral atau integrasinya terlebih dahulu,
dengan ∫ ∫ ==⇒= xdxPdxP 555
xPdxee 5=∫ , nilai ini kita kalikan pada kedua
ruas
xx
xxxx
eyedx
d
eeyedx
dye
75
2555
)(
5
=
=+
y dxee xx ∫= 75
y Ce
ex
x +=7
75 x
x
Cee
y 52
7−+=⇒
Catatan : jangan lupa untuk membagi nilai C dengan xe5 !!!!!!
Contoh 11.
Selesaikan persamaan diferensial xydx
dy =−
Penyelesaian ;
yang memiliki nilai xQ
P
=−= 1
kita kerjakan terlebih dahulu faktor integrasinya ∫ ∫ −=−= xdxPdx
maka faktor integrasinya, xeFI −=
dengan menggunakan persamaan (10), maka
y ∫= QFI FI dx
y ∫=− xe xdxe x−
y dxeexe xxx ∫ −−− +−= )(
y Cexee xxx +−−= −−− 1−−=⇒ xCey x
Contoh 12.
Selesaikan persamaan diferensial 3)2(2)2( −+=− xydx
dyx
Penyelesaian :
Ubahlah ke bentuk umum persamaan diferensial linear, dengan cara membagi persamaan tersebut dengan )2( −x , maka
2)2(22
1 −=−
− xyxdx
dy
yang memiliki nilai 2)2(2
2
1
−=−
−=
xQ
xP
kita kerjakan terlebih dahulu faktor integrasinya,
∫ ∫ −−=−
−= )2ln(2
1xdx
xPdx
maka faktor integrasinya,
2
1)2ln(
−==∫= −−
xeeFI xPdx
dengan menggunakan persamaan (10), maka
y ∫= QFI FI dx
dxx
xx
y ∫ −−=
− 2
1)2(2
2
1 2
)2()2()2(2
1
)2(22
1
32 −+−=⇒+−=−
−=− ∫
xCxyCxx
y
dxxx
y
Contoh 13.
Selesaikan persamaan diferensial xecxxxydx
dy2cos22cot212cot2 −−=−
Penyelesaian :
yang memiliki nilai xecxxQ
xP
2cos22cot21
)2cot2(
−−=−=
kita kerjakan faktor integrasinya dahulu, xdxxPdx 2sinln)2cot2( −=−= ∫∫
maka faktor integrasinya, xeceFI x 2cos2sinln == −
dengan menggunakan persamaan (10), maka
y ∫= QFI FI dx
y ∫ −−= dxxecxecxxxec )2)(cos2cos22cot21(2cos
y ∫ −−= dxxecxecxxxecxec )2cos22cos2cot22(cos2cos 2
y Cxxecxxec ++= 2cot2cos2cos
xCxxy 2sin2cos ++=
Contoh 14.
Selesaikan persamaan diferensial 3)2()2( −=−− xydx
dyx , jika 4=x dan 10=y
Penyelesaian :
Sederhanakan persamaan tersebut menjadi,
2)2(2
−=−
− xx
y
dx
dy
yang memiliki nilai 2)2(
2
1
−=−
−=
xQ
xP
kita kerjakan faktor integrasinya dahulu, ∫ ∫ −−=−
−= )2ln(2
1xdx
xPdx
maka faktor integrasinya, 2
1)2ln(
−== −−
xeFI x
dengan menggunakan persamaan (10), maka
y ∫= QFI FI dx
Cxxx
y
dxxdxx
y
dxxx
y
dxx
xx
y
+−=−
−=−
−=−
−−=
−
∫ ∫
∫
∫
22
1
2
1
22
1
)2(2
12
1)2(
2
1
2
2
jika 4=x dan 10=y , maka
5
)2()2)(8()2)(16(2
110
)2()2(2)2(2
1 2
=
+−=
−+−−−=
C
C
xCxxxxy
Latihan !!
1. Selesaikan persamaan diferensial 75 xydx
dyx =−
2. Selesaikan persamaan diferensial 1)1( 2 =−− xydx
dyx
3. Selesaikan persamaan diferensial xxydx
dy42 =+
4. Selesaikan persamaan diferensial xxxydx
dyx 23 23 −++=
5. Selesaikan persamaan diferensial xexydx
dy cos5cot =+
6. Selesaikan persamaan diferensial 323 )32( xxdx
dyx =−+
7. Selesaikan persamaan diferensial xydx
dyx sectan =+
8. Selesaikan persamaan diferensial xxydx
dycoscot =+
9. Selesaikan persamaan diferensial 4
3
22xz
xdx
dz =−
10.Suatu zat radioaktif tertentu diketahui mengalami peluruhan dengan laju yang sebanding dengan jumlah yang ada, Jika awalnya terdapat 100 mg zat dan setelah dua jam diamati bahwa zat tersebut telah kehilangan 20% dari massa awalnya, carilah a. ekspresi matematika untuk massa zat pada setiap waktu t
b. massa zat tersebut setelah 4 jam
c. lamanya waktu yang dibutuhkan zat tersebut luruh untuk menjadi
setengah dari massa awalnya
A.4 Persamaan Diferensial Homogen
Persamaan ini dapat dikayakan homogen apabila pangkat dari variabel yang ada bernilai sama, dalam hal ini pangkat x dan y bernilai sama atau sama derajatnya. Kunci penyelesaian persamaan diferensial homogen ini ialah
dengan cara mensubstitusikan vxy = atau x
yv = , dimana v merupakan
fungsi dari x . Substitusi ini akan mengubah persamaan yang ada menjadi bentuk persamaan yang dapat kita pisahkan variabelnya. Persamaan diferensial homogen ini memiliki bentuk umum,
0),(),( =+ dyyxQdxyxP (11)
bila kita turunkan terhadap x , maka y = v . x
dx
dy= v
dx
dx + x
dx
dv
(12)
dx
dy= v + x
dx
dv(13)
sehingga didapatkan [ ])(),(),( vRxvxPyxP mx =→
(14)
[ ])(),(),( vSxvxQyxQ mx =→ (15)
jika persamaan (12, 14, 15) kita substitusikan ke persamaan (11), maka
0))(()( =++ xdvvdxvSxdxvRx mm
(16)
jika perssamaan 16 kita bagi dengan mx , maka
[ ] 0)()()( =++ xdvvSdxvvSvR (17)
persamaan (17) dapat kita pisahkan berdasarkan variabel x dan y , maka
0)()(
)( =+
+ dvvvSvR
vS
x
dx
0)()(
)( =+
+∫ ∫ dvvvSvR
vS
x
dx
(18)
Bentuk persamaan (18) merupakan bentuk persamaan yang variabelnya sudah terpisah, dan persamaan tersebut menjadi dasar pengerjaan persamaan diferensial homogen.
Contoh 15.
Selesaikan persamaan diferensial xy
yx
dx
dy 22 +=
Penyelesaian :
kita kali silang pada persamaan tersebut, maka
xy dxyxdy )( 22 += (*)
substitusikan vxy = dan xdvvdxdy += kedalam persamaan (*)
dxvxxdyvxx 22 )()( +=
vx2 dxxvxxdvvdx )()( 222 +=+
dxxvxvdvxdxvx )( 222322 +=+
032 =− vdvxdxx (**)
Persamaan (**) kita bagi dengan 3x , maka
∫ ∫ =−
=−
0
0
vdvx
dx
vdvx
dx
0ln)(2
1ln
02
1ln
2
12
=+−
=+−
Cx
yx
Cvx
2222
2
2
2
ln22
ln)(2
1lnln Cxxxy
x
yCx
x
yCx +=⇒=⇒=+
Contoh 16.
Selesaikan persamaan diferensial x
yx
dx
dy
2
3+=
Penyelesaian :
terlihat sangat mudah, tapi kita tidak bisa memisahkan variabelnya, caranya dengan
melakukan substitusi vxy = , dengan vmerupakan fungsi dari x , serta substitusikan
persamaan 13 diruas kiri pada persamaan tersebut.
2
312
)31(2
)(32
3
v
dx
dvxv
x
vx
dx
dvxv
x
vxx
dx
dvxv
x
yx
dx
dvxv
+=+
+=+
+=+
+=+
2
1 v
dx
dvx
+= (*)
Persamaan (*) sudah dalam bentuk v dan x , sekarang kita tinggal memisahkan
variabelnya dan langsung mengintegralkannya , yaitu
Axv
Cxv
dxx
dvv
lnln)1ln(2
ln)1ln(2
1
1
2
+=++=+
=+∫ ∫
dimana CA =ln
Axv ln)1ln(2 =+
Axv =+ 2)1( (**)
Persamaan (**) kita substitusikan dengan x
yv = , maka
322 )()1( AxyxAxx
y =+⇒=+
Contoh 17.
Selesaikan persamaan diferensial 2222 yxdx
dyx +=
Penyelesaian :
langkah pengerjaan sama seperti contoh 16, dengan mensubstitusikan vxy = dan
persamaan 13, tapi sederhanakanlah dahulu, maka
2
1
2
)(
2
2
2
22
2
22
v
dx
dvxv
x
vxx
dx
dvxv
x
yx
dx
dy
+=+
+=+
+=
2
)1( 2−= v
dx
dvx (*)
Persamaan (*) dapat diselesaikan dengan cara pemiasahan variabel, maka
∫ ∫=−
dxx
dvv
1
)1(
22
Cxv
+=−
− ln1
12 (**)
Persamaan (**) kita substitusikan dengan x
yv = , maka
Cxyx
xCx
v+=
−⇒+=
−ln
2ln
1
2
Contoh 18.
Selesaikan persamaan diferensial 22
2
yx
xy
dx
dy
−=
Penyelesaian :
Langkah yang sama dilakukan seperti pada contoh 16 dan 17, yaitu
22 )(
)(2
vxx
vxx
dx
dvxv
−=+
1
)1(2
2
−+−=
v
vv
dx
dvx (*)
Persamaan (*) diselesaikan dengan pecahan parsial, maka akan didapatkan
∫ ∫ ∫ +−=
=+
−−
dvv
vdv
vdx
x
dvv
v
vdx
x
1
211
0)1
21(
1
2
2
vCvx
Cvvx
ln)1(ln
ln)1ln(lnln2
2
=+
++−=
vAvx =+ )1( 2 (**)
dimana CA ln=
persamaan (**) kita substitusikan dengan x
yv = , maka
AyyxAx
y
x
yx =+⇒=+ 222 )1)((
Contoh 19.
Selesaikan persamaan diferensial xyx
yxy
dx
dy
2
322
2
++=
Penyelesaian :
langkah pengerjaaan yang sama seperti sebelumnya, yaitu
v
vv
dx
dvxv
vxx
xvvx
dx
dvxv
vxxx
vxvxx
dx
dvxv
21
32
2
32
)(2
)(3)(2
2
22
222
2
2
++=+
++=+
++=+
v
vv
dx
dvx
21
2
++= (*)
Persamaan (*) kita integralkan dengan pemisahan variabel, maka
∫ ∫=++
dxx
dvvv
v 1212
Cxvv +=+ ln)ln( 2
Axvv lnln)ln( 2 +=+ , dimana AC ln=
Axvv =+ )( 2 (**)
Persamaan (**) kita substitusikan dengan x
yv = , maka
Axx
y
x
y =+ )))((( 2
322
2
AxyxyAxx
y
x
y =+⇒=+
Latihan !!
1. Selesaikan persamaan diferensial xydx
dyyx =+ )( 22
2. Selesaikan persamaan diferensial yxdx
dyyx +=− )(
3. Selesaikan persamaan diferensial 22 )( yxydx
dyxyx −=+
4. Selesaikan persamaan diferensial yxdx
dyxy +=− 2)2( , jika 3=y dan
2=x
5. Selesaikan persamaan diferensial 0)()( 22 =−++dx
dyxyxyxy
6. Selesaikan persamaan diferensial 0)34(3 =++−dx
dyxyxy
7. Selesaikan persamaan diferensial 0)3()( 233 =−+ dyxydxyx
8. Selesaikan persamaan diferensial 22 yxydxxdy −−− 0=dx
9. Selesaikan persamaan diferensial 443 2 xydx
dyxy +=
10.Sebuah benda dengan temperatur awal yang tidak diketahui diletakkan dalam sebuah ruangan yang dijaga temperaturnya konstan 30˚F. Jika setelah 10 menit temperatur benda tersebut menjadi 0˚F dan setelah 20 menit temperatur benda tersebut menjadi 15˚F. Carilah temperatur awal benda tersebut
A.5 Persamaan Diferensial Bernoulli
Persamaan diferensial bernoulli ini hampir sama dengan persamaan diferensial linear, hanya berbeda diruas kanan pada persamaan diferensial terdapat pangkat )(n . Dimana n tersebut merupakan sebuah nilai ,.......).3,2,1(
Pesamaan Bernoulli memiliki bentuk umum, yaitu
QPydx
dy =+ ny (18)
dimana P dan Q merupakan fungsi dari x atau konstanta
pada persamaan diferensial bernoulli terdapat beberapa langkah, yaitu
(i). bagi kedua ruas persamaan 18 dengan ny
Pdx
dyy n +− Qy n =−1
(!9)
(ii). kita misalkan nyz −= 1 , sehingga dengan menurunkannya,
dx
dyyn
dx
dz n−−= )1( (20)
(iii). persamaan 19 kita kalikan dengan )1( n− ,
Pndx
dyyn n )1()1( −+− − Qny n )1(1 −=− (21)
(iv). perhatikan persamaan 21, bahwa suku pertama merupakan
dxdz , maka
persamaannya menjadi,
11 QzPdx
dz =+
(22)
(v). persamaan 22 sudah dalam bentuk persamaan diferensial linear dan dapat
diselesaikan dengan faktor integral
Lima langkah diatas harus dipahami dan dimengerti agar pengerjaan persamaan diferensial Bernoulli menjadi lebih mudah, serta persamaan 22 menjadi dasar perngerjaan.
Contoh 20.
Selesaikan persamaan diferensial 21xyy
xdx
dy =+
Penyelesaian :
Ikutilah kelima langkah diatas,
21xyy
xdx
dy =+ , dengan 2=n
xyxdx
dyy =+ −− 12 1
(*)
misalkan 11 −− == yyz n
dx
dyy
dx
dz 2−−=
persamaan (*) kita kalikan dengan 1)1( −=−n ,
xyxdx
dyy −=−− −− 12 1
(**)
xzxdx
dz −=−1 (***)
perhatikan persamaan (***) yang sudah dalam bentuk persamaan 22, maka
langkah selanjutnya mengintegralkannya dengan faktor integral,
dengan nilai xQx
P
−=
−= 1
∫ ∫ −=−= xx
dxPdx ln
xeeFI xPdx 1ln ==∫= −
gunakan persamaan (10),
z ∫= QFI FI dx
∫−= dxx
xx
z11
CxxzCx
x
z
dxx
z
+−=⇒+−=
−= ∫2
dimana 1−=yz , maka
122 )(1 −+−=⇒+−= CxxyCxxy
Contoh 21.
Selesaikan persamaan diferensial xeydx
dyy 3432 =−
Penyelesaian :
Ubah kebentuk umum persamaan diferensial Bernoulli,
33
2 34 xeyy
dx
dy −=−
ikuti kelima langkah untuk pengerjaan persamaan diferensial Bernoulli,
33
2 334
xey
dx
dyy −=− −− (*)
misalkan 31 −− == yyz n , dengan 4=n
dx
dyy
dx
dz 43 −−=
persamaan (*) kita kalikan dengan 3)1( −=−n
xeydx
dyy 334 23 =+− −− (**)
xezdx
dz 32 =+ (***)
kita integralkan dengan faktor integral,
dimana nilai xeQ
P3
2
=
=∫ ∫ == xdxPdx 22
xPdxeeFI 2=∫=
gunakan persamaan (10),
z ∫= QFI FI dx dengan 3−=yz ,
z ∫= dxeee xxx 232 5
5
3
2 Ae
y
e xx +=
z Ce
ex
x +=5
52 3
5
25
Ae
ey
x
x
+=
dimana CA ln=
C ontoh 22.
Selesaikan persamaan diferensial 2
)1(
2
1 3yxy
xdx
dy +−=−
Penyelesaian :
Ikuti kelima langkah untuk pengerjaan persamaan diferensial Bernoulli,
2
)1(
2
1 23 +−=− −− xy
xdx
dyy (*)
misalkan 21 −− == yyz n , dengan 3=n
dx
dyy
dx
dz 22 −−=
persamaan (*) kita kalikan dengan 2)1( −=−n ,
)1(1
2 23 +=+− −− xyxdx
dyy (**)
)1(1 +=+ xzxdx
dz(***)
kita integralkan dengan faktor integral,
dimana nilai )1(
1
+=
=
xQX
P ∫∫ == xdx
xPdx ln
1
xeeFI xPdx==∫= ln
gunakan persamaan (10),
z ∫= QFI FI dx dengan 2−=yz , maka
z ∫ += )1(xx x dx 6
32 23
2
Axx
y
x ++=
z ∫ += dxxxx )( 2 Axx
xy
++=
23 32
6
z x Cxx ++=23
23
Contoh 23.
Selesaikan persamaan diferensial xydx
dyxyx cos432 =−
Penyelesaian :
Ubah ke bentuk persamaan diferensial Bernoulli,
3
4 cos1
x
xyy
xdx
dy −=−
334 cos1
x
xy
xdx
dyy −=− −− (*)
misalkan 31 −− == yyz n , dengan 4=n
dx
dyy
dx
dz 43 −−=
persamaan (*) kita kalikan dengan 3)1( −=−n ,
334 cos33
3x
xy
xdx
dyy =+− −− (**)
3
cos33
x
xz
xdx
dz =+ (***)
persamaan (***) kita integralkan dengan faktor integral,
dimana nilai
3
cos3
3
x
xQ
xP
=
=
∫ ∫ == xdxx
Pdx ln33
3ln3 xeeFI xPdx==∫=
gunakan persamaan (10),
z ∫= QFI FI dx dengan 3−=yz
z ∫=3
3 cos3
x
xx dxx3 Cx
y
x += sin33
3
z ∫= xx cos33 dx 3
3
sin3 Cx
xy
+=
z Cxx += sin33
Untuk persamaan diferensial Bernoulli ini terlihat sangat mudah tapi tidak ada salahnya jika sering latihan agar lebih paham.
Latihan !!
1. Selesaikan persamaan diferensial 3xyydx
dy =+
2. Selesaikan persamaan diferensial xeyydx
dy 4=+
3. Selesaikan persamaan diferensial xyxydx
dy 43 sectan =+
4. Selesaikan persamaan diferensial xyxydx
dy 22 tantan2 =−
5. Selesaikan persamaan diferensial 3)1(2 yxxdx
dyxy +=−
6. Selesaikan persamaan diferensial 4)21(3
1
3
1yxy
dx
dy −=+
7. Selesaikan persamaan diferensial )sin(cos2 xxyydx
dy −=+
8. Selesaikan persamaan diferensial x { } 0)ln1(3 =++− dxxxyydy
9. Selesaikan persamaan diferensial 02 =+− xxydx
dyy
10.Selesaiakan persamaan diferensial 0cos2 3 =+− yxy
x
dx
dy
A.6 Persamaan Diferensial Eksak
Persamaan diferensial eksak adalah persamaan diferensial orde satu yang berbentuk:
0),(),( =+ dyyxNdxyxM
(23)
Persamaan (6) disebut persamaan diferensial eksak jika:
x
N
y
M
∂∂=
∂∂
(24)
Didefinisikan bentuk umum penyelesaian persamaan (23) adalah:
cyxz =),( (25)
Selanjutnya diferensialtotalkan persamaan (25) akan menghasilkan:
0),(),( =
∂∂+
∂∂= dy
y
yxzdx
x
yxzdz atau 0
),(),( =∂
∂+∂
∂dy
y
yxzdx
x
yxz
(26)
Analog dengan persamaan (23), maka dapat diambil kesimpulan:
x
yxzM
∂∂= ),(
(27)
y
yxzN
∂∂= ),(
(28)
Dari sini akan diperoleh cara menyelesaikan persamaan diferensial eksak, yaitu dengan mengintegralkan persamaan (27):
∫ += )(ykdxMz (29)
Catatan: y dianggap konstan dalam proses integrasi, dan k(y) adalah konstanta integrasi yang selanjutnya harus ditentukan nilainya yaitu dengan cara mendiferensialparsialkan z terhadap y dengan anggapan x konstan.
( )∫ +∂∂=
∂∂
)(ykdxMyy
z(30)
Karena Ny
yxz =∂
∂ ),(, maka diperoleh hubungan ( )∫ +
∂∂= )(ykdxMy
N
(31)
Hasil integrasi persamaan (31) memberikan:
( ) )(' ykdxMy
N +∂∂= ∫ (32)
Dari persamaan (32) dapat dicari nilai k(y), yaitu:
( )∫∂∂−== dxMy
Ndy
ykdyk
)()('
(33)
( ) dydxMy
Nykykd ∫ ∫∫
∂∂−== )()(
(34)
Maka rumus umum penyelesaian persamaan diferensial eksak merujuk ke persamaan (29) adalah:
( ) dydxMy
NdxMyxz ∫ ∫∫
∂∂−+=),(
Contoh 24 . Buktikan persamaan diferensial 0)3cos32(3sin2 2 =++ dyyxydxyx ekasak atau tidak
Penyelesaian:
Identifikasi: yxM 3sin2= dan )3cos32( 2 yxyN +=
Cek syarat eksak, yaitu: yxy
M3cos6=
∂∂
yxx
N3cos6=
∂∂
Terkadang persamaan diferensial yang kita temukan tidak berbentuk persamaan diferensial eksak, namun dalam bentuk persamaan diferensial non eksak (tidak eksak). Persamaan diferensial tidak eksak dapat dipecahkan dengan menggunakan faktor integral. Faktor integral ini dapat kita cari atau sudah ada beberapa faktor integral yang tersedia berdasarkan kelompok suku-suku dalam persamaan difrensial tersebut. Bila dengan faktor integral penyelesaian persamaan diferensial yang ada tidak dapat diselesaikan, maka gunakanlah cara lain untuk menyelesaikannya.
Proses pencarian faktor integral, jika
a. )(xf
NX
N
Y
M
=∂∂−
∂∂
, merupakan fungsi x saja, maka ∫=dxxf
eFI)(
b. )(xg
MX
N
Y
M
−=∂∂−
∂∂
, merupakan fungsi y saja, maka ∫=dyyg
FI)(
c. persamaan diferensial non eksak menjadi persamaan diferensial homogen dan
0≠+NyMx , maka faktor integralnya adalah NyMx +
1
d. persamaan diferensial non eksak berbentuk y xdxxyf +)(0)( =dyxyg , dimana )()( xygxyf ≠ , maka faktor integralnya adalah
NyMx −1
Contoh 25.
Selesaikan persamaan diferensial 0)3()24( 22433 =−+− dyxyxdxxyyx
Terbukti Eksak
Penyelesaian :
Kita cek dahulu apakah persamaan tersebut eksak atau tidak?
xyyxM 24 33 −= dan 2243 xyxN −=
xyxx
N
xyxy
M
212
212
23
23
−=∂∂
−=∂∂
terbukti eksak
dengan cara menyederhanakan dan mengintegralkan pada suku )(xM dan )(xN ,
xydyyxdxyx 2()34( 2433 −+ )2dyxdx + 0=
=− )()( 234 yxdyxd C
maka hasilnya ialah Cyxyx =− 234
Contoh 26.
Selesaikan persamaan diferensial 0)sin(sin)cos(cos =−++ dyyxxdxxyy
Penyelesaian :
Kita cek dahulu apakah persamaan tersebut eksak atau tidak?
xyyM coscos += dan yxxN sinsin −=
yxx
N
xyy
M
sincos
cossin
−=∂∂
+−=∂∂
terbukti eksak
dengan menyederhanakan dan mengintegralkan pada suku )(xM dan )(xN ,
y(cos yxdx sin− xydy cos()+ xdx sin+ 0) =dy
Cxydyxd =+ )sin()cos(
maka hasilnya ialah Cxyyx =+ sincos
Contoh 27.
Selesaikan persamaan diferensial 0)13()32( 3 =−+++ dyyxdxyx
Penyelesaian :
Kita cek dahulu apakah persamaan tersebut eksak atau tidak?
yxM 32 3 += dan 13 −+= yxN
3
3
=∂∂
=∂∂
x
N
y
M
terbukti eksak
cara lain dengan menggunakan persamaan (29),
∫ +=x
dxyxyxz )32(),( 3
)(32
1),( 4 ykxyxyxz ++= (*)
kita integralparsilkan z persamaan (*) terhadap y , maka
)('3 ykxy
z +=∂∂
(**)
13),( −+= yxyxN (***)
perhatikan persamaan (***), terlihat nilai )(' yk ialah 1−y
maka nilai ∫ −=⇒= yyykdyykyk 2
2
1)()(')(
kembali ke persamaan (*), maka hasilnya yyxyx −++ 24
2
13
2
1=C
Contoh 28.
Selesaikan persamaan diferensial 0)32()4( 232 22
=−++ dyyxyedxxey xyxy
Penyelesaian :
Kita cek dahulu apakah persamaan tersebut eksak atau tidak?
32 42
xeyM xy += dan 2322
yxyeN xy −=
22
22
3
3
22
22
xyxy
xyxy
exyyex
N
exyyey
M
+=∂∂
+=∂∂
terbukti eksak
dengan menggunakan persamaan (29),
)(),(
)4(),(
4
32
2
2
ykxeyxx
dxxeyyxz
xy
x xy
++=
+= ∫
kita integralparsialkan persamaa diatas, maka
)('22
ykxyey
z xy +=∂∂
(**)
232),(2
yxyeyxN xy −= (**)
perhatikan persamaan (**), terlihat bahwa nilai 23)(' yyk −=
maka nilai ∫ −=⇒= 3)()(')( yykdyykyk
kembali ke persamaan (*), maka hasilnya Cyxe xy =−+ 342
Contoh 29.
Selesaikan penyelesaian persamaan diferensial
0)(2)2242( 2342223 =+++++++ dyxyxydxyxyxyyxyx
Penyelesaian :
Kita cek dahulu apakah persamaan tersebut eksak atau tidak?
yxyxyyxyxM 2242 42223 ++++= dan )(2 23 xyxyN ++=
)12(2
24444 323
+=∂∂
++++=∂∂
xyx
N
xyxyxyxy
M
tidak eksak
ternyata persamaan tersebut tidak eksak, maka langkah yang dilakukan ialah
dengan mencari faktor integralnya terlebih dahulu, kemudian kita kalikan dengan
kedua ruas pada persamaan tersebut dan mengelompokkannya berdasarkan
pangkat tertinggi,
xxyxy
xyxyxyxyx
Nx
N
y
M
2)(2
)12(2)24444(23
323
=++
+−++++=∂∂−
∂∂
22 xxdx eeFI ==
maka persamaan awalnya menjadi
0)(2)2242(22 2342223 =+++++++ dyexyxydxeyxyxyyxyx xx (*)
persamaan (*) sudah pasti eksak (buktikan !!)
gunakan persamaan (29),
dxeyxyxyyxyxyxz xx 2
)2242(),( 42223 ++++=∫
dxexydxeyxydxeyxxyyxzx xx xx x ∫∫∫ ++++=
222 42232 )42()22(),(
)(2
12),(
222 422 ykeyxyeeyxyxz xxx +++=
(**)
kita integralparsialkan persamaan (**),
)('222222 32 ykeyxyeyex
y
z xxx +++=∂∂
(***)
222 32 222),( xxx eyxyeyexyxN ++=(****)
perhatikan persamaan (****), terlihat bahwa nilai 0)(' =yk
maka nilai ∫ =⇒= takonsykdyykyk tan)()(')(
kembali ke persamaan (***), maka hasilnya Ceyxyeyex xxx =++222 32 222
Contoh 30.
Selesaikan persamaan diferensial 0)3()22( 224234 =−−+++ dyxyxeyxdxyxyexy yy
Penyelesaian :
Kita cek dahulu apakah persamaan tersebut eksak atau tidak?
yxyexyM y ++= 34 22 dan xyxeyxN y 32242 −−=
322
1628
24
243
−−=∂∂
+++=∂∂
xyexyx
N
xyexyexyy
M
y
yy
tidak eksak
kita cari faktor integralnya terlebih dahulu,
yyxyxy
xyexy
M
x
N
y
My 4
22
48834
23
=++++=∂
∂−∂∂
⇒ merupakan fungsi y ,
maka faktor integralnya ialah 4ln4 1
yeeFI yy
dy
==∫= −−
maka persamaan awalnya menjadi,
0)3()1
22(42
22
3=−−+++ dy
y
x
y
xexdx
yy
xxe yy (*)
persamaan (*) sudah eksak (buktikan !!)
gunakan persamaan (29),
∫ ++=x y dx
yy
xxeyxz )
122(),(
3
)(),(3
22 yk
y
x
y
xexyxz y +++= (**)
kita integralparsialkan persamaan (**),
)('342
22 yk
y
x
y
xex
y
z y +−−=∂∂
42
22 3),(
y
x
y
xexyxN y −−= (***)
perhatikan persamaan (***), terlihat bahwa nilai takonsykyk tan)(0)(' =⇒=
kembali ke persamaan (**), maka hasilnya
Cy
x
y
xex y =++
3
22
Contoh 31.
Selesaikan persamaan diferensial 0)( 344 =−+ dyxydxyx
Penyelesaian :
Perhatikan persamaan tersebut, persamaan tersebut ialah persamaan diferensial
homogen, jika kita membuktikan eksak atau tidak, sudah pasti tidak eksak,
oleh karena itu, kita cari faktor integralnya terlebih dahulu. Faktor integral
bila persamaan diferensial homogen, ialah
5
11
xNyMx=
+
faktor integral yang kita dapatkan kita kalikan pada persamaan tersebut menjadi,
0)(1
)(1 3
544
5=−+ dyxy
xdxyx
x
0)1(
4
3
5
4
=−+ dyx
ydx
x
y
x(*)
persamaan (*) sudah pasti eksak (buktikan !!)
gunakan persamaan (29),
∫ +=x
dxx
y
xyxz )
1(),(
5
4
)(4
1ln),(
4
4
ykx
yxyxz +−= (**)
persamaan (**) kita integralparsialkan, maka
)('4
3
ykx
y
y
z +−=∂∂
4
3
),(x
yyxN −= (***)
perhatikan persamaa (***) terlihat bahwa nilai 0)(' =yk
maka nilai takonsdyykyk tan)(')( ==∫kembali ke persamaan(**), maka hasilnya ialah
14
4
4
1ln C
x
yx =− atau 444 ln4 Cxxxy +=
Contoh 32.
Selesaikan persamaan diferensial 0)22()2( 2222 =−++ dyyxxdxyxy
Penyelesaian :
Perhatikan baik-baik persamaan diatas, persamaan tersebut berbentuk
y xdxxyf +)( 0)( =dyxyg
maka tentulah persamaan tersebut tidak eksak, oleh karena itu kita cari
faktor integralnya terlebih dahulu. Faktor integral bila bentuk persamaannya
seperti itu, maka
333
11
yxNyMx=
+
faktor integral yang kita dapatkan kita kalikan pada persamaan tersebut, menjadi
03
22
3 32
22
23
22
=−+ dyyx
yxdx
yx
yx(*)
persamaan (*) sudah pasti eksak (buktikan!!)
gunakan persamaan (29),
∫=x
dxyx
yxyxz )
3(),(
23
22
∫ +=x
dxyxx
yxz )3
2
3
1(),(
23
)(3
1ln3
1),(
22yk
yxxyxz +−= (**)
kita integralparsialkan persamaan (**), maka
)('3
232
ykyxy
z +=∂∂
yyxyx
yxyxN
3
2
3
2
3
22),(
3232
22
−=−= (***)
perhatikan persamaan (***), terlihat bahwa nilai yyk 32)(' −=
maka nilai ∫ −== ydyykyk ln3
2)(')(
kembali ke persamaan (**), maka hasilnya
122lnln
3
2
3
1ln3
1Cy
yxx =−− atau 22
1
2 yxeCyx =
Latihan !!
1. Selesaikan persamaan diferensial 0)1(2 2 =++ dyxxydx
2. Selesaikan persamaan diferensial 0)2()2( =−++ dyyxdxyx
3. Selesaikan persamaan diferensial 0)sin(sin)cos(cos =−++ dyyxxdxxyy
4. Selesaikan persamaan diferensial 0)53()46( 44265335 =+++ dyyxyxdxyxyx
5. Selesaikan persamaan diferensial 0)( 222 =−−+ dyyxyxdxy
6. Selesaikan persamaan diferensial 0)21()12( 33 =−+++ dyyxxyxdxxyy
7. Selesaikan persamaan diferensial dxexydxxdy x2=−
8. Selesaikan persamaan diferensial 0)3(43 322 =−+ dyyxdxyx
9. Selesaikan persamaan diferensial 0)2( 3 =+− xdydxxy
10.Selesaikan persamaan diferensial 0)1( 2 =−+ dyyxxydx
B. PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE DUA
Persamaan diferensial orde dua merupakan persamaan diferensial yang turunan
pangkat tertingginya orde dua. Persamaan diferensial orde dua memiliki bentuk
umum, yaitu
)(2
2
xfcydx
dyb
dx
yda =++ (35)
Dimana cba ,, merupakan koefisien-koefisien konstan dan )(xf merupakan
fungsi x yang diketahui. Nilai )(xf pada persamaan (35) dapat bernilai 0)( =xf
atau 0)( ≠xf .
Persamaan diferensial orde dua ini dibagi dua bagian berdasarkan nilai )(xf
tersebut yaitu, persamaan diferensial orde dua homogen dan persamaan diferensial
orde dua non homogen.
B.1 Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen
Dalam persamaan diferensial orde dua homogen ini nilai 0)( =xf , maka persamaan (35) menjadi
02
2
=++ cydx
dyb
dx
yda (36)
Misalkan dalam persamaan (36) nilai 0=a , maka kita dapatkan persamaan diferensial orde pertama , yaitu
0=+cydx
dyb (37)
0=+kydx
dy(38)
dengan bck = pada persamaan (38),
dengan menggunakan cara pemisahan variabel, maka persamaan (38) dapat kita pecahkan, yaitu
∫ ∫−= ky
dydx
Ckxy +−=ln
CkxCkx eeey .−+− == , karena Ce nilai konstan, maka
kxAey −= (39)
jika k− pada persamaan (39) kita nyatakan dengan m , maka solusinya ialah
mxAey = (40)
persamaan (40) tersebut akan menjadi dasar pengerjaan persamaan diferensial orde dua homogen. Jika mxAey =
mxAmedx
dy = (41)
mxeAmdx
yd 22
2
=
(42)
persamaan (41) dan (42) kita substitusikan kedalam persamaan (36), akan diperoleh
02 =++ mxmxmx cAebAmeeaAm (43)
persamaan (43) kita bagi dengan mxAe , maka didapatkan
02 =++ cbmam (44)
persamaan (44) merupakan persamaan kuadrat yang akan memberikan nilai,
1mm = dan 2mm =
xmAey 1= dan xmBey 2= (43)
jadi pemecahan persamaan diferensial orde dua homogen pada persamaan (36) ialah
xmxm BeAey 21 += (44)
dengan BA, merupakan dua konstanta sembarang dan 1m , 2m merupakan
akar-akar persamaan kuadrat 02 =++ cbmam ,
persamaan ini dapat disebut dengan persamaan karakteristik, yang dapat diperoleh langsung dari persamaan (36), dengan menggantikan
22
2
mdx
yd = , mdx
dy = , 1=y
persamaan (43) dan (44) juga menjadi dasar pengerjaan persamaan diferensial orde dua homogen.
Contoh 33.
Selesaikan persamaan diferensial 01272
2
=+− ydx
dy
dx
yd
Penyelesaian :
Pemecahan persamaan tersebut sangat mudah sekali, yaitu dengan membuat
persamaan kuadrat terlebih dahulu dari persamaan tersebut,
01272 =+− mm
0)3)(4( =−− mm
maka akan diperoleh 41 =m dan 32 =m
berdasarkan persamaan (44), maka hasilnya xx BeAey 34 +=
Contoh 34.
Selesaikan persamaan diferensial 01032
2
=−+ ydx
dy
dx
yd
Penyelesaian :
Langkah yang sama seperti contoh 35 diatas,
01032 =−+ ymm
0)5)(2( =+− mm
maka akan diperoleh 21 =m dan 52 −=m
berdasarkan persamaan (44), maka hasilnya xx BeAey 52 −+=
Persamaan (36) memiliki pemecahan persamaan kuadrat (karakteristik), persamaan kuadrat pasti memiliki nilai-nilai akarnya ( 1m dan )2m . Nilai akar tersebut memiliki sifat, yaitu
(i). jika kedua akarnya real dan berbeda
1mm = dan 2mm =
xmxm BeAey 21 += (45)
(ii). jika kedua akarnya real dan sama
21 mmm ==
)( BxAey mx += (46)
persamaan (46) tersebut ada atas dasar persamaan diferensial orde dua
akan selalu memberikan dua konstanta sembarang, jadi harus ada suku lain
yang memuat konstanta kedua.
(iii). jika kedua akarnya kompleks
βα jm ±=
)sincos( xBxAey x ββα += (47)
persamaan (47) tersebut ada atas dasar jika βα jm +=1 dan βα jm −=2 ,
maka pemecahannya berbentuk,
xjxj DeCey )()( βαβα −+ +=
xjxxjx eDeeCey βαβα −+=
{ }xjxjx DeCeey ββα −+=
[ ])sin(cos()sin(cos xjxDxjxCey x ββββα −++=
[ ]xDCjxDCey x ββα sin)(cos)( −++=
)sincos( xBxAey x ββα +=
Yang perlu diketahui dalam akar kompleks, yaitu
xjxe
xjxe
xjxe
xjxe
xj
xj
jx
jx
ββββ
β
β
sincos
sincos
sincos
sincos
−=+=
−=+=
−
−
Contoh 35.
Selesaikan persamaan diferensial 0442
2
=++ ydx
dy
dx
yd
Penyelesaian :
Kita buat persamaan kuadrat dahulu dari persamaan tersebut,
0442 =++ ymm
0)2)(2( =++ mm
maka akan diperoleh 221 −==mm
berdasarkan persamaan (46), maka hasilnya )(2 BxAey x += −
Contoh 36.
Selesaikan jika dalam suatu persamaan terdapat 32 jm ±−=
Penyelesaian :
Pengerjaannya sangat mudah, dengan menggunakan persamaan (47), maka akan
diperoleh )3sin3cos(2 xBxAey x += −
Contoh 37.
Selesaikan persamaan diferensial 01022
2
=+− ydx
dy
dx
yd
Penyelesaian :
Kita buat terlebih dahulu persamaan kuadratnya,
01022 =+− ymm
dengan menggunakan rumus CBA ,, ,
2
4042 −±=m
312
362
2
362j
jm ±=±=−±= (*)
perhatikan persamaan (*), nilai m tersebut merupakan akar bilangan kompleks,
maka hasilnya akan diperoleh )3sin3cos( xBxAey x +=
B.1.1. Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen Berbentuk
022
2
=± yndx
yd
Kita perhatikan pada persamaan (36), jika nilai 0=b , maka akan didapatkan persamaan
02
2
=+cydx
yda atau 0
2
2
=+ ya
c
dx
yd
(48)
persamaan (48) diatas dapat kita tulis
022
2
=± yndx
yd
(49)
nilai y pada persamaan (49) kemungkinan dapat bernilai positif atau negative. Kita akan meninjau bila y positif dan y negatif.
(i). jika 022
2
=+ yndx
yd
022 =+ nm , 22 nm −= , jnm ±=
pemecahan ini dapat dilakukan dengan sifat akar kompleks, dengan
penyelesaian, yaitu nxBnxAy sincos += (50)
(ii). jika 022
2
=− yndx
yd
022 =−nm , 22 nm = , nm ±=
penyelesaiannya dapat berupa nxnx DeCey −+=(51)
persamaan (51) dapat dituliskan dalam bentuk lain, dengan mengunakan
fungsi hiperbolik, yaitu
nxnxnxnx
eenxee
nx −−
+=⇒+= cosh22
cosh (52)
nxnxnxnx
eenxee
nx −−
−=⇒−= sinh22
sinh (53)
bila persamaan (52) dan (53) kita jumlahkan, maka
nxnxenx sinhcosh += (54)
bila persamaan (52) dan (53) kita kurangkan, maka
nxnxe nx sinhcosh −=− (55)
persamaan (54) dan (55) kita substitusika kedalam persamaan (51), maka akan
didapatkan suatu penyelesaian, yaitu
)sinh(cosh)sinh(cosh nxnxDnxnxCy −++=
nxDCnxDCy sinh)(cosh)( −++=
nxBnxAy sinhcosh += (56)
Contoh 38.
Selesaikan persamaan diferensial 092
2
=− ydx
yd
Penyelesaian :
persamaan tersebut memiliki nilai 3±=m
maka hasilnya ialah xBxAy 3sinh3cosh +=
Contoh 39.
Selesaikan persamaan diferensial 072
2
=+ ydx
yd
Penyelesaian :
persamaan tersebut memiliki nilai 7jm ±=
maka hasilnya ialah xBxAy 7sin7cos +=
Contoh 40.
Selesaikan persamaan diferensial 032
2
=− ydx
yd
Penyelesaian :
persamaan tersebut memiliki nilai 3jm ±=
maka hasilnya ialah xBxAy 3sin3cos +=
Latihan !!
1. Selesaikan persamaan diferensial 0652
2
=++ ydx
dy
dx
yd
2. Selesaikan persamaan diferensial 02562
2
=+− ydx
dy
dx
yd
3. Selesaikan persamaan diferensial 01682
2
=++ ydx
dy
dx
yd
4. Selesaikan persamaan diferensial 0942
2
=++ ydx
dy
dx
yd
5. Selesaikan persamaan diferensial 0162
2
=+ ydx
yd
6. Selesaikan persamaan diferensial 052
2
=+ ydx
yd
7. Selesaikan persamaan diferensial 036122
2
=+− ydx
dy
dx
yd
8. Selesaikan persamaan diferensial 0322
2
=−+ ydx
dy
dx
yd
9. Selesaikan persamaan diferensial 0342
2
=++ Idt
dI
dt
Id
10.Selesaikan persamaan diferensial 0201002
2
=+− Ndt
dN
dt
Nd
B.2 Persamaan Diferensial Orde Dua Non Homogen
Persamaan diferensial orde dua non homogen memiliki bentuk umum yang sama dengan bentuk umum pada persamaan (35), yaitu
)(2
2
xfcydx
dyb
dx
yda =++ (57)
dimana )(xf tidak sama dengan nol. Jika pemecahan yang digunakan seperti pada persamaan diferensial orde dua homogen yaitu, xmxm BeAey 21 += akan membuat ruas kanan pada persamaan itu akan sama dengan nol. Oleh karena itu penyelesaiannya akan berbentuk XBeAey xmxm ++= 21
(58)
dengan X merupakan fungsi tambahan yang harus kita cari.
Berdasarkan persamaan (58), kita dapat melihat ada dua hal yang harus kita cari, yaitu
(i). Fungsi Komplementer (complementary function) FK⇒
Fungsi komplementer ini dapat diperoleh dengan cara yang sudah kita pelajari
sebelumnya dengan berbagai pemecahan. Fungsi komplementer ini dapat
disebut dengan penyelesaian cara homogen , 0)( =xf
a. xmxm BeAey 21 += d. )( BxAey mx +=
b. )sincos( xBxAey x ββα += e. nxBnxAy sincos +=
c. nxBnxAy sinhcosh +=
(ii). Integral Khusus (particular integral) IK⇒
Integral khusus ini diperoleh dengan menggunakan bentuk umum dari fungsi
diruas kanan dari persamaan yang diberikan, yaitu dengan mensubstitusikan
bentuk umum tersebut ke dalam persamaan yang diberikan pada soal, dan
kemudian menyamakan koefisien-koefisiennya. Bentuk umum dari fungsi
diruas kanan pada persamaan yang ada dapat bermacam-macam bentuknya
seperti dibawah ini,
a. jika kxf =)( , kita misalkan dengan Cy =
b. jika kxxf =)( , kita misalkan dengan DCxy +=
c. jika 2)( kxxf = , kita misalkan dengan EDxCxy ++= 2
d. jika kxexf =)( , kita misalkan dengan kxCey =
e. jika xkxf sinh)( = atau xkxf cosh)( = , kita misalkan dengan
xDxCy sinhcosh +=
f. jika xkxf sin)( = atau xkxf cos)( = , kita misalkan dengan
xDxCy sincos +=
Integral khusus ini dapat disebut dengan penyelesaian cara non homogen 0)( ≠xf
Bentuk-bentuk umum diatas, dapat mewakili fungsi )(xf yang sering ada dalam permasalahan persamaan diferensial orde dua non homogen. Bila dalam pemecahan bentuk umum yang kita mau tidak ada dalam ke enam daftar diatas, kalian cari sendiri.
Yang harus diingat bahwa penyelesaian persamaan diferensial orde dua non homogen ini ialah dengan menjumlahkan antara penyelesaian dengan fungsi komplementer dan integral khusus.
Contoh 41.
Selesaikan persamaan diferensial 24652
2
=+− ydx
dy
dx
yd
Penyelesaian :
Kita selesaikan dengan cara FK dan IK
a. dengan FK, misalkan 0)( =xf
24652 =+− mm
0)3)(2( =−− mm
sehingga didapatkan 21 =m dan 32 =m
dan hasilnya ialah xx BeAey 32 += (*)
b. dengan IK, dimana 24)( =xf
kita misalkan Cy = (**)
0=dx
dy dan 0
2
2
=dx
yd(***)
persamaan (**) dan (***) kita substitusikan ke persamaan soal diatas, maka
24652
2
=+− ydx
dy
dx
yd
4246)0.5()0( =⇒=+− CC
kembali ke persamaan (**), maka 4=y (****)
sehingga hasil total merupakan penjumlahan antara FK dan IK, yaitu
432 ++= xx BeAey
Contoh 42.
Selesaikan persamaan diferensial xeydx
dy
dx
yd 52
2
44914 =++
Penyelesaian :
Kita selesaikan dengan cara FK dan Ik
a. dengan FK, misalkan 0)( =xf
049142 =++ mm
0)7)(7( =++ mm
sehingga didapatkan 721 −==mm
dan hasilnya ialah )(7 BxAey x += − (*)
b. dengan IK, dimana xexf 54)( =
kita misalkan xCey 5= (**)
xCedx
dy 55= dan xCedx
yd 52
2
25= (***)
persamaan (**) dan (***) kita substitusikan ke persamaan soal diatas, maka
049142
2
=++ ydx
dy
dx
yd
xxxx eCeCeCe 5555 4495.1425 =++
sederhanakan persamaan diatas menjadi,
4497025 =++ CCC
3614144 =⇒= CC
kembali ke persamaan (**), maka 36
5xey = (****)
sehingga hasil total merupakan penjumlahan antara FK dan IK, yaitu
36)(
57
xx e
BxAey ++= −
Contoh 43.
Selesaikan persamaan diferensial 22
2
65 xydx
dy
dx
yd =+−
Penyelesaian :
Kita selesaiakan dengan cara FK dan IK
a. dengan FK, misalkan 0)( =xf
0652 =+− mm
0)3)(2( =−− mm
sehingga didapatkan 21 =m dan 32 =m
dan hasilnya ialah xx BeAey 32 += (*)
b. dengan IK, dimana 2)( xxf =
kita misalkan EDxCxy ++= 2 (**)
DCxdx
dy +=2 dan Cdx
yd2
2
2
= (***)
persamaan (**) dan (***) kita substitusikan ke persamaan soal diatas, maka
22
2
65 xydx
dy
dx
yd =+−
22 )(6)2(52 xEDxCxDCxC =++++−
22 6665102 xEDxCxDCxC =+++−−
22 )652()106(6 xEDCxCDCx =+−+−+
dengan menyamakan koefisien dari x yang memiliki pangkat sama
diperoleh untuk 61162 =⇒=⇒ CCx
untuk 185
3560106 =⇒=⇒=−⇒ DDCDx
untuk 10819
181960652tan =⇒=⇒=+−⇒ EEEDCtakons
kembali ke persamaan (**), maka 108
19
18
5
6
2
++= xxy (****)
sehingga hasil total merupakan penjumlaan antara FK dan IK, yaitu
108
19
18
5
6
232 ++++= xx
BeAey xx
Contoh 44.
Selesaikan persamaan diferensial xydx
dy
dx
yd2sin2
2
2
=−−
Penyelesaian :
Kita selesaikan dengan cara FK dan IK
a. dengan FK, misalkan 0)( =xf
022 =−−mm
0)2)(1( =−+ mm
sehingga didapatkan 11 −=m dan 22 =m
dan hasilnya ialah xx BeAey 2+= − (*)
b. dengan IK, dimana xxf 2sin)( =
kita misalkan xDxCy 2cos2sin += (**)
xBxAdx
dy2sin22cos2 −= dan xBxA
dx
yd2cos42sin4
2
2
−−=
kita substitusikan ke persamaan soal, maka
xydx
dy
dx
yd2sin2
2
2
=−−
xxDxCxDxCxDxC 2sin)2cos2sin(2)2sin22cos2()2cos42sin4( =+−−−−−xxCDxDC 2sin2cos)26(2sin)26( =−−++−
dengan menyamakan koefisien dari suku-suku yang sama
diperoleh 062
126
=−−=+−
DC
DC
20
3−=⇒C dan 20
1=D
kembali ke persamaan (**), maka xxy 2cos20
12sin
20
3 +−=
sehingga hasil total merupakan penjumlahan antara FK dan IK, yaitu
xxBeAey xx 2cos20
12sin
20
32 +−+= −
Contoh 45.
Selesaikan persamaan diferensial 2
cos2
sin22562
2 tty
dx
dy
dx
yd −=+−
Penyelesaian :
Kita selesaikan dengan FK dan IK
a. dengan FK, misalkan 0)( =xf
02562 =+− mm (akar kompleks) (*)
pemecahan persamaan (*) tersebut ialah
)4sin4cos(3 xBxAey x += (**)
b. dengan IK, dimana 2
cos2
sin2)(tt
xf −=
kita misalkan 2
cos2
sint
Dt
Cy += (***)
2
sin22
cos2
tDtC
dx
dy −= dan 2
cos42
sin42
2 tDtC
dx
yd −−=
(****)
persamaan (***) kita substitusikan ke persamaan soal diatas, yaitu
2cos
2sin2)
2cos
2sin(25)
2sin
22cos2(6)
2cos
42sin4
(ttt
Dt
CtDtCtDtC −=++−−−−
2cos
2sin2
2cos)
4
993(
2sin)3
99(
tttDA
tB
C−=+−++
dengan menyamakan koefisien dari suku-suku yang sama,
diperoleh 11
4
993
234
99
−=+−
=+
DC
DC
663
56=⇒C dan 663
20−=D
kembali ke persamaan (***), maka 2
cos663
20
2sin
663
56 tty −=
sehingga hasil total merupakan penjumlahan antara FK dan IK, yaitu
2cos
663
20
2sin
663
56)4sin4cos(3
ttxBxAey x −++=
Contoh 46.
Selesaikan persamaan diferensial xeydx
dy
dx
yd 32
2
1354 =++ jika 0=x , 21=dx
dy ,
25=y
Penyelesaian :
Kita selesaikan dengan FK dan IK
a. dengan FK, misalkan 0)( =xf
0542 =++ mm (akar kompleks)
pemecahannya ialah )sincos(2 xBxAey x += − (*)
b. dengan IK, dimana xexf 313)( =
misalkan xCey 3= (**)
xCedx
dy 33= dan xCedx
yd 32
2
9= (***)
substitusikan persamaan (***) ke persamaan soal diatas, yaitu
xxxx eCeCeCe 3333 1353.49 =++
2
11326 =⇒= CC
kembali ke persamaan (**), maka 2
3xey =
sehingga hasil total merupakan penjumlahan antara FK dan IK, yaitu
2)sincos(
32
xx e
xBxAey ++= −
kita substitusikan batas kondisi pada soal diatas,
untuk 0=x dan 2
5=y ⇒ 22
1
2
5 =⇒+= AA
diperoleh 2
)sincos2(3
2x
x exBxey ++= −
2
)sincos2(2)cossin2(2
22x
xx exBxexBxe
dx
dy ++−+−= −−
untuk 0=x dan 2
1=dx
dy, maka
32
34
2
1 =⇒+−= BB
Jadi hasilnya adalah 2
)sin3cos2(3
2x
x exxey ++= −
Latihan !!
1. Selesaikan persamaan diferensial xydx
dy
dx
yd4sin265
2
2
=+−
2. Selesaikan persamaan diferensial xydx
dy
dx
yd2sin2106
2
2
=++
3. Selesaikan persamaan diferensial 22
2
23 xydx
dy
dx
yd =+−
4. Selesaikan persamaan diferensial xeydx
dy
dx
yd 22
2
382 −=−−
5. Selesaikan persamaan diferensial xeydx
dy
dx
yd =−+ 22
2
6. Selesaikan persamaan diferensial texdt
dx
dt
xd 32
2
34 −=++
7. Selesaikan persamaan diferensial xydx
dy
dx
ydsin323
2
2
=++ , jika 0=x ,
9,0=y , 7,0−=dx
dy
8. Selesaikan persamaan diferensial xxdx
dy
dx
ydsin23
2
2
=+− , jika 0=x ,
25=y , 1=
dx
dy
9. Selesaikan persamaan diferensial 18633650256 232
2
+−−=+− tttydx
dy
dx
yd
10.Selesaikan persamaan diferensial 129 22
2
−+= xxdx
yd
C. FUNGSI GAMMA
Fungsi gamma disimbolkan dengan )(nΓ , didefinisikan untuk setiap bilangan real
positif n sebagai,
dxexn xn −∞ −∫=Γ0
1)(
(58)
oleh karena itu, 1)1( =Γ dan untuk setiap bilangan real positif n , yaitu
)()1( nnn Γ=+Γ (59)
maka fungsi gamma merupakan perpanjangan dari fungsi faktorial yang
terdefinisikan pada semua bilangan real positif, dengan kata lain fungsi
gamma memiliki sifat rekursif (persamaan 59).
dengan kata lain )()1( nnn Γ=+Γ ; 0>n
secara umum nn =+Γ )1( ! n( faktorial)
persamaan (59) dapat dinyatakan dengan
n
nn
)1()(
+Γ=Γ (60)
persamaan (60) mendefinisikan fungsi gamma untuk semua bilangan negatif, tapi
)0(Γ tetap tidak akan terdefinisikan.
Contoh 47.
Hitunglah )3(2
)6(
ΓΓ
Penyelesaian :
30!2.2
!5
)3(2
)6( ==ΓΓ
Contoh 48.
Hiutnglah
)(
)(
21
25
ΓΓ
Penyelesaian :
4 2 3,0!
)(
)( 23
21
25
==ΓΓ
πContoh 49.
Hitunglah integral ∫∞ −
0
3 dxex x
Penyelesaian :
Berdasarkan fungsi gamma bahwa ∫∞ −−=Γ0
1)( dxexn xn
berarti nilai 4=n , maka hasil integral diatas adalah
6!3)4(0
3 ==Γ=∫∞ − dxex x
Contoh 50.
Hitung integral dxex x∫∞ −
0
23
Penyelesaian :
Kita misalkan dxdy
yy
2
2
==
dan d yd x
yx
21
21
==
Persamaannya menjadi dyeydyey yx ∫∫
∞ −−∞=
0
670
6
2
1
2
1)2(
8
45
2
!6)7(
2
177
==Γ=
Contoh 51.
Hitung integral ∫∞ −
0
4 dxex x
Penyelesaian :
Berdasarkan fungsi gamma bahwa ∫∞ −−=Γ0
1)( dxexn xn
berarti nilai 5=n , maka hasil integral diatas adalah
∫∞ − ==Γ=0
4 24!4)5(dxex x
Latihan !!
1. Hitung integral ∫∞ −
0
36 dxex x
2. Hitung integral ∫∞ −
0
22 2
dxex x
3. Hitunglah )5,5(
)5,2()3(
ΓΓΓ
4. Hitunglah
)(5
)(6
32
38
ΓΓ
5. Buktikan jika π=Γ )( 21
6. Hitung integral ∫∞ −
0
313 dxex x
7. Hitung integral ∫∞ −
0
29
dxex x
8. Hitunglah )(
)5,2()3(
29Γ
ΓΓ
9. Hitung integral ∫∞ −
0
69 dxex x
10.Hitung integral ∫∞ −
0
15 dxex x
D. FUNGSI BETA
Fungsi beta ini merupakan perluasan dari fungsi gamma yang sudah kita pelajari
sebelumnya. Langkah pengerjaan untuk fungsi beta tidak berbeda jauh dengan
fungsi gamma. Fungsi beta ini umumnya dinyatakan dengan ),( nmB , dimana
memiliki persamaan umum, yaitu
∫ −− −=1
0
11 )1(),( dxxxnmB nm
(61)
yang konvergen untuk 0>m dan 0>n , maka dapat dirumuskan hubungan antara
fungsi beta dan fungsi gamma, yaitu
)(
)()(),(
nm
nmnmB
+ΓΓΓ=
(62)
Fungsi beta memiliki bentuk-bentuk umum, seperti
berdasarkan persamaan ∫ −− −=1
0
11 )1(),( dxxxnmB nm
(i). dengan substitusi )1( ωω
+=x
maka akan diperoleh ∫ +
−
+=
1
0
1
)1(),( ω
ωω
dnmBnm
m
(63)
(ii). dengan substitusi Θ= 2cosx
maka akan diperoleh ∫ ΘΘΘ= −−π2
0
1212 sincos2),( dnmB nm
(64)
(iii). dengan substitusi Θ= 2sinx
maka akan diperoleh ∫ ΘΘΘ= −−2
0
1212 cossin2),(π
dnmB nm
(65)
Contoh 52.
Hitunglah integral ∫ −1
0
34 )1( dxxx
Penyelesaian :
Berdasarkan fungsi beta, bahwa ∫ −− − dxxx nm 11 )1(
berarti nilai 5=m dan nilai 4=n
hasilnya ialah 00357,0!8
!3!4
)45(
)4()5()4,5( ==
+ΓΓΓ=B
Contoh 53.
Hitunglah jika )5,3(),( BnmB =
Penyelesaian :
Dengan menggunakan persamaan (62) secara langsung, maka didapatkan
hasilnya ialah 00952,0!7
!4!2
)53(
)5()3()5,3( ==
+ΓΓΓ=B
Contoh 54.
Hitunglah jika )2,(),( 23BnmB =
Penyelesaian :
Dengan menggunakan persamaan (62) secara langsung, maka didapatkan
hasilnya ialah 6 6 6 7,0!
1.
)2(
)2()()2,(
25
21
23
23
23 ==
+ΓΓΓ=B
Contoh 55.
Hitung integral ∫ ΘΘ2
0
4cosπ
d
Penyelesaian :
Dengan menggunakan persamaan (65), kita dapat mencari nilai m dan n untuk
persamaan tersebut, maka
012 =−m 412 =−n
21=m 2
5=nsecara langsung dapat kita gunakan persamaan (62) untuk
mendapatkan hasilnya,
3 3 2 5,02
1
)(
)()(),(
25
21
25
21
25
21 =
+ΓΓΓ=B
Contoh 56.
Hitung integral ∫ ΘΘΘ2
0
54 cossinπ
d
Penyelesaian :
Langkah yang sama dilakukan seperti pada contoh (55) diatas, kita dapat mencari
nilai m dan n untuk persamaan tersebut, maka
412 =−m 512 =−n
25=m 3=n
secara langsung dapat kita gunakan persamaan (62) untuk mendapatkan hasilnya,
. . . . . . . . .!
!2!
)3(
)3()()3,(
29
23
25
25
25 ==
+ΓΓΓ=B
Latihan !!
1. Hitunglah ),( 21
21B
2. Hitunglah ),( 32
31B
3. Hitung integral ∫ ΘΘΘπ2
0
75 sincos d
4. Hitung integral ∫ ΘΘΘπ2
0
97 sincos d
5. Hitung integral ∫ ΘΘπ2
0
13sin d
6. Hitung integral ∫ ΘΘπ2
0
11cos d
7. Hitung integral ∫ ΘΘ2
0
6sinπ
d
8. Hitung integral ∫ ΘΘ2
0
12cosπ
d
9. Hitung integral ∫ ΘΘΘ2
0
87 cossinπ
d
10.Hitung integral ∫ ΘΘΘπ2
0
45 sincos d
DAFTAR PUSTAKA
Ayres, Frank.1999.Persamaan Diferensial.Erlangga :Jakarta
Bronson, Richard.2007.Persamaan Diferensial Edisi Ketiga.Erlangga :Jakarta
Stroud, K.A.1996. Matematika Untuk Teknik.Erlangga:Jakarta
A.4 Persamaan Diferensial yang Penyelesaiannya dengan Menggunakan Faktor Integral
penyele
Persamaan Diferensial Ordiner dengan IVP (Initial Value Problem)
Sering kali masalah-masalah dalam bidang teknik kimia dapat diformulasikan dalam bentuk persamaan differensial, seperti misalnya masalah dalam hal diffusi-reaksi, mass-heat transfer dan aliran fluida.