PELUANG BERSYARATEni Sumarminingsih, SSi, MM

DEFINISI

Peluang bersyarat A bila B diketahui dilambangkan dengan P(A|B) dan didefinisikan sebagai

jika P(B) > 0)(

)()|(

BP

BAPBAP

CONTOH

Melanjutkanke perguruan

tinggi

Tidakmelanjutkanke perguruan

tinggi

Laki – laki 450 50

Perempuan 150 250

Perhatikan kejadian – kejadian berikut :L : kejadian yang terpilih laki - lakiK: kejadian yang terpilih adalah orang

yang melanjutkan ke perguruan tinggi

Dengan menggunakan ruang contoh yang dipersempit K, maka akan didapatkan

P(L|K) = 450/600 = ¾

Misalkan n(A) melambangkan banyaknya unsur dalam himpunan A

,)(

)(

)(/)(

)(/)(

)(

)()|(

KP

LKP

SnKn

SnLKn

Kn

LKnKLP

3

2

900

600)( KP

2

1

900

450)( LKP

4

3

3/2

2/1)|( KLP

CONTOH LAIN

Peluang Kereta Api Gajayana berangkat tepat pada waktunya adalah P(B) = 0.85, peluang Kereta Api Gajayana datang tepat pada waktunya adalah P(D) = 0. 90 dan peluang kereta api tersebut berangkat dan datang tepat pada waktunya adalah P(BD) = 0.75. Hitung peluang bahwa Kereta Api Gajayana itu (a) datang tepat pada waktunya bila diketahui kereta api tersebut berangkat tepat pada waktunya, dan (B) berangkat tepat pada waktunya bila diketahui kereta api tersebut datang tepat pada waktunya.

KAIDAH BAYES

A B Bc

A = (BA) (BcA)P(A) = P [(BA) (BcA)]

= P(BA) + P(BcA)]= P(B)P(A|B) + P(Bc)P(A|Bc)

KAIDAH TOTAL PELUANG

Bila kejadian – kejadian Bi untuk i = 1, 2, …,k, maka untuk sembarang kejadian A yang merupakan himpunan bagian S berlaku

P(A) = P(B1) P(A|B1) + P(B2) P(A|B2) + … + P(Bk) P(A|Bk).

CONTOH 1

Tiga wakil partai A, B dan C mencalonkan diri sebagai presiden. Peluang wakil dari partai A terpilih sebagai presiden adalah 0.4, peluang wakil dari partai B terpilih adalah 0.3 dan peluang wakil dari partai C terpilih adalah 0.3. Seandainya wakil dari partai A terpilih sebagai presiden, peluang terjadinya kenaikan harga BBM adalah 0.7. Seandainya yang terpilih adalah wakil dari partai B, peluang terjadinya kenaikan harga BBM adalah 0.4. Bila yang terpilih adalah wakil dari partai C maka peluang terjadinya kenaikan harga BBM adalah 0.6. Berapa peluang terjadinya kenaikan harga BBM ?

CONTOH 2 Sebuah toko menjual bola lampu.

Empat puluh lima persen dari bola lampu yang dijual toko tersebut diproduksi oleh pabrik A dan sisanya diproduksi oleh pabrik B.Bola lampu yang diproduksi pabrik A mempunyai peluang cacat sebesar 3 persen sedangkan yang diproduksi pabrik B mempunyai peluang cacat sebesar 5 persen. Bila seseorang membeli bola lampu dari toko tersebut, berapa peluang dia akan mendapatkan bola lampu yang cacat?

KAIDAH BAYES

Jika kejadian – kejadian B1, B2, …, Bk merupakan sekatan dari ruang contoh S dengan P(Bi) 0 untuk I = 1, 2, …, k, maka untuk sembarang kejadian A yang bersifat P(A) 0,

)|()(...)|()()|()(

)|()()|(

2211 kk

rrr BAPBPBAPBPBAPBP

BAPBPABP

Untuk masalah dalam Contoh 1 misalkan ada orang yang tidak mengetahui siapa yang menjadi presiden karena dia tinggal di pelosok daerah. Bila beberapa waktu kemudian ternyata harga BBM naik, berapa peluang bahwa yang menjadi presiden adalah wakil dari partai A?

Untuk masalah pada contoh 2, misalkan ada seseorang yang membeli bola lampu dari toko tersebut. Setelah sampai rumah dan dicoba, ternyata lampu tersebut cacat. Berapa peluang bahwa lampu tersebut diproduksi oleh pabrik A?

SOAL - SOAL

1. Proses produksi bola lampu dalam suatu pabrik dibagi dalam empat shift. Pada suatu hari, 1% dari bola lampu yang diproduksi oleh shift pertama rusak, 3% dari yang diproduksi shift kedua rusak, 2% dari yang diproduksi shift ketiga rusak dan 1% dari yang diproduksi oleh shift keempat rusak. Bila produktivitas keempat shift tersebut sama, berapa peluang bola lampu yang diproduksi pada hari itu rusak?

2. Kantong A berisi 3 bola biru, 2 bola merah dan 5 bola hijau. Kantong B berisi 1 bola biru, 4 merah dan 3 hijau. Sebuah bola diambil dari kantong A dan tanpa dilihat warnanya kemudian dimasukkan ke kantong B. Lalu dari kantong B diambil 1 bola. Berapa peluang terambilnya bola hijau.

3. Suatu produk yang dijual oleh toko A, 30% - nya diproduksi oleh pabrik X dan sisanya diproduksi oleh pabrik Y. Produk yang diproduksi oleh pabrik X mempunyai peluang cacat sebesar 0.05 dan produk yang diproduksi pabrik Y mempunyai peluang cacat sebesar 0.07. Bila Dion membeli produk tersebut dari toko A dan ternyata produk tersebut cacat, berapa peluang bahwa produk tersebut adalah produk yang diproduksi oleh pabrik X?

4. Suatu percobaan pelemparan dadu dilakukan. Misalkan F adalah kejadian munculnya mata dadu 6 dan E adalah kejadian munculnya mata dadu > 4. berapa peluang munculnya mata dadu 6 jika diketahui bahwa mata dadu yang muncul adalah >4

5. Dalam Tabel kehidupan diketahui bahwa dalam populasi yang terdiri dari 100,000 wanita, 89.835% dapat hidup sampai usia 60 tahun dan 57.067% dapat hidup sampai usia 80 tahun. Berapa peluang seorang wanita yang berusia 60 tahun dapat hidup sampai usia 80 tahun?

6. Saya memiliki 2 kantong, I dan II. Kantong I berisi 2 bola hitam dan 3 bola putih. Kantong II berisi 1 bola hitam dan 1 bola putih. Satu kantong diambil secara acak dan satu bola diambil dari kantong tersebut. Bila yang terambil adalah bola hitam, berapa peluang kantong yang terambil adalah kantong I

7. Sebuah dadu dilempar dua kali. Berapa peluang jumlah mata dadu yang muncul adalah 8 jika

a. pada lemparan pertama muncul 4? b. pada lemparan pertama lebih dari 3

8. Suatu kuliah Pengantar Teori Peluang diikuti oleh 50 mahasiswa tahun ke-2, 15 mahasiswa tahun ke-3 dan 10 mahasiswa tahun ke-4. Diketahui mahasiswa yang mendapat nilai A adalah 10 orang dari mahasiswa tahun ke-2, 8 orang dari mahasiswa tahun ke-3 dan 5 orang dari mahasiswa tahun ke-4. Bila seorang mahasiswa dipilih secara acak, berapa peluang dia : Mendapat nilai A, bila diketahui dia mahasiswa dari

tahun ke-3? Mendapat nilai A? Mahasiswa tahun ke-2, bila diketahui dia mendapat

nilai A?