Download - Math Tutorial 3.1
WAJ 3105 LITERASI NOMBOR
Tutorial 3.1
Dalam kumpulan, terangkan secara terperinci setiap kaedah pengiraan di
bawah. Seterusnya, senaraikan keberkesanannya dalam pengajaran dan
pembelajaran sekolah rendah beserta dengan contoh-contoh yang relevan.
1) PENSIL DAN KERTAS
KAEDAH PENSIL – KERTAS
Model boleh digunakan bagi menjelaskan algoritma untuk operasi penambahan,
penolakan, pendaraban dan pembahagian. Model digunakan untuk
menggambarkan prosedur bagi setiap operasi. Kemudian, kita applikasikan
prosedur tersebut untuk mengembangkan algoritma setiap operasi
menggunakan pensil dan kertas. Akhirnya, gunakan penaakulan matematik
untuk membuktikan algoritma tersebut.
MENGAJAR OPERASI TAMBAH DAN TOLAK
Pelajar sekolah rendah perlu menguasai kemahiran mengira nombor bulat
selepas memahami konsep asas nombor. Empat operasi asas untuk mengira
ialah tambah, tolak, darab dan bahagi. Dalam tajuk ini kita akan tumpukan
kepada dua operasi asas, iaitu tambah dan tolak yang telah mula diperkenalkan
semasa pra sekolah dan Tahun Satu. Walaubagaimanapun, operasi tambah
dan tolak akan terus diajar setiap tahun dengan melibatkan nilai digit yang lebih
besar.
Membina Algoritma untuk Operasi Penambahan
Dalam bahagian ini, kita akan lihat algoritma untuk operasi tambah dan tolak
melibatkan nombor bulat. Tumpuan kita menggunakan model dan logik untuk
memahami prosedur pengiraan dalam mencari hasil tambah dan tolak.Terdapat
lebih daripada satu algoritma untuk menambah dan menolak nombor
bulat.Kebanyakan algoritma untuk menambah dan menolak nombor bulat
WAJ 3105 LITERASI NOMBOR
mengambilkira nilai tempat, ciri- ciri dan mencari persamaan untuk
mencerakinkan pengiraan kepada yang lebih mudah serta menggunakannya
untuk mencari jumlah ataupun hasiltolak yang dikehendaki.
Bagaimana anda menyelesaikan pengiraan di bawah yang melibatkan operasi
tolak dengan menggunakan kaedah kertas-dan-pensil?
2,004- 1,278
Penggunaan model dalam pengiraan dapat menunjukkansesuatu algoritma
dengan jelas. Sebagai contoh, pergerakan dalam penggunaan blok asas sepuluh
seperti Blok Dienes untuk mencari jumlah dua nombor dapat dihubungkaitkan
dengan langkah- langkah dalam algoritma untuk penambahan. Dari sini kita akan
membina algoritma menggunakan kaedah kertas dan pensil. Akhirnya kita akan
menggunakan ciri- ciri operasi dalam Nombor Bulat untuk membuktikan langkah-
langkah dalam algoritma tambah adalah logik.
Rajah 1 Blok Dienes dengan Nilai Tempat
Contoh 1menunjukkan bagaimana Blok Dienes boleh digunakan untuk
menerangkan algoritma operasi tambah. Nombor- nombor 369 dan 244
diwakilkan menggunakan blok ini dan seterusnya dicantumkan untuk
menunjukkan operasi tambah dilakukan dengan mengambilkira konsep nilai
tempat.
PuRa Sa
WAJ 3105 LITERASI NOMBOR
Contoh 1
Menggunakan Model- Blok Dienes untuk operasi tambah.
Kedua- dua nombor diwakilkan menggunakan blok asas sepuluh: Menggunakan
model ini, cari jumlahnya dan tuliskan persamaan untuk merekod proses
penambahan itu.
Penyelesaian:
Ra Pu Sa
Guna blok asas sepuluh untuk menunjukkan proses penambahan 374 + 128. Tuliskan satu persamaan yang berkaitan.
atau
WAJ 3105 LITERASI NOMBOR
Hasil tambah ini dalam bentuk persamaan seperti berikut:
369+ 244613
Sekarang mari kita lihat cara lain untuk penambahan menggunakan kaedah
kertas dan pensil yang berkait terus dengan penggunaan dalam contoh 1. Kita
akan menggunakan soalan yang sama, 369 + 244 ditambah menggunakan
Expanded Algorithmdi mana semua nombor yang mempunyai nilai tempat yang
sama ditambah dan kemudian dikumpul semula mengikut mengikut nilai tempat.
PenambahanBerkembang (Expanded Addition)
369 + 244
300 + 60 + 9 3 69200 + 40 + 4 + 244500 + 100 + 13 = 613 5 0 0
1 0 0 1 3 6 1 3
WAJ 3105 LITERASI NOMBOR
Membina Algoritma untuk Operasi Penolakan
Model boleh digunakan bagi menjelaskan algoritma untuk operasi tolak
sebagaimana yang telah digunakan dalam algoritma penambahan. Mula-mula,
gunakan model untuk menggambarkan prosedur untuk operasi tolak. Kemudian,
kita aplikasikan prosedur tersebut untuk mengembangkan algoritma tolak
menggunakan pensil dan kertas. Akhirnya, gunakan penaakulan matematik
untuk membuktikan algoritma penolakan.
Contoh 2
Cari hasiltolak dengan menggunakan blok asas-sepuluh bagi 245 – 18 dan tulis
persamaan untuk mencatat penolakan tersebut.
Ra Pu Sa
Untuk mencukupkan sa bagi menolak 8, tukarkan 1 puluh untuk 10 sa. Kemudian
ambil 8 sa daripada 15 sa dan tinggalkan 7 sa: Selanjutnya, tolak 1 puluh dari
3 puluh yang tinggal dan sekarang kita ada 2 puluh. Oleh kerana tiada nilai ratus
yang perlu ditolak,maka hasiltolaknya ialah 227, dan ini direkodkan.
seterusnya
WAJ 3105 LITERASI NOMBOR
245- 18
227
Rekodkan sebagai satu persamaan 245 –18 = 227
Sekarang kita lihat expanded subtraction, mulakan penolakkan dengan sa dan
teruskan menolak dengan mengumpul semula, iaitu daripada kanan ke kiri.
PenolakanBerkembang (Expanded Subtraction)
245 – 18 30 10
200 + 40 + 5 200 + 40 + 5 – 10 – 8 – 10 – 8
2 200 + 20 + 7 = 227
MENGAJAROPERASI DARAB DAN BAHAGI
Dalam bahagian ini, kita akan melihat algoritma untuk pendaraban dan
pembahagian nombor bulat. Kita mula dengan menggunakan model-model untuk
membantu menjelaskan algoritma berkaitan dan kemudian menggunakan ciri-
ciri nombor bulat untuk membuktikan algoritma itu.
atau
WAJ 3105 LITERASI NOMBOR
Membina Algoritma untuk Pendaraban
Seperti algoritma penambahan dan penolakan, penggunaan model akan
memberikan asas fizikal untuk menerangkan algoritma untuk pendaraban. Model
yang digunakan ialah blok asas-sepuluh dan model gambar untuk mewakilkan
pendaraban dalam mencari luas segiempat tepat. Menggunakan proses yang
dicadangkan oleh model, kitaakan bina algoritma kertas-dan-pensil untuk
pendaraban. Akhirnya, kita gunakan penaakulan matematik bersama dengan
ciri- ciri untuk membuktikan algoritma pendaraban.
Contoh3
Carihasildarab 215 x 74
KaedahPendaraban Grid (Grid Method of Multiplication)
X 200 10 5
70 14 000 700 350
4 800 40 20
14 800 + 740 + 370
= 15 910
Algoritma pertama berdasarkan model itu memerlukan kita mencerakinkan
nombor mengikut nilai tempat dan darabkan setiap digit mengikut nilai tempat
untuk mendapatkan hasildarab separa. Dalam algoritma ini, yang disebut
2 1 5
x 7 4
2 0
4 0
8 0 0
3 5 0
7 0 0
1 4 0 0 0
1 5 9 1 0
Pilih sama ada expanded atau standard algorithm untuk mencari hasil darab 345 x 6
atau
WAJ 3105 LITERASI NOMBOR
expanded algorithm semua hasil darab separa ditambah untuk mencari jumlah
hasil darab. Manakala algoritma yang kedua, yang dikenali sebagai standard
algorithm, melibatkan hanya dua hasildarab separa.
Adakah anda dapat menyelesaikan semua latihan?
Bagus! Berehat sebentar sebelum meneruskan operasi seterusnya.
Membina Algorithma untuk Pembahagian
Contoh4
KaedahPenolakanad hocuntukPembahagian
574 ÷ 7
574 ÷ 7
50 350
224
30 210
14
2 14
82 0
50
2
30 82
7)574
350
224
210
14
14
0
WAJ 3105 LITERASI NOMBOR
2) KALKULATOR DAN KOMPUTER
Berdasarkan hasil kajian dan penyelidikan yang dijalankan di luar negara dan
juga di Malaysia didapati ratio yang menunjukkan bahawa murid-murid sekolah
rendah yang menggunakan kalkulator adalah lebih bermotivasi dan menunjukkan
pencapaian lebih memberangsangkan daripada mereka yang tidak
menggunakannya. Pemerhatian-pemerhatian yang menyeluruh juga menyokong
penggunaan kalkulator dalam bilik darjah. Terdapat kajian yang menunjukkan
murid-murid takut terhadap matematik akibat daripada penggunaan algoritma
kertas pensel yang panjang lebar dan memerlukan banyak langkah dan
peraturan yang harus diikuti, misalnya dalam operasi pendaraban dan
pembahagian. Telah banyak kajian menunjukkan bahawa penggunaan kalkulator
akan menukar sikap murid terhadap matematik dan juga meningkatkan
keyakinan diri mereka serta minat terhadap matematik. Menurut Bernard R. Yvon
– Compelling case for Calculators – Arithmatic Teacher Volume 381990/91
menyatakan penggunaan kalkulator dalam matematik mempunyai fungsi,
kelebihan dan bonus yang boleh disimpulkan seperti berikut:
v Memberikan motivasi terhadap pembelajaran matematik secara mendalam dan
berterusan;
v Membekalkan pelajar cara yang lebih mudah dan berkesan untuk membuat
penyelesaian masalah;
v Membenarkan soalan yang lebih mencabar dan mendalam yang memerlukan
diberikan kepada murid pada peringkat yanglebih awal;
v Murid berpeluang membuat penerokaan dan aplikasi yang lebih mendalam
tentang topiK-topik yang berkaitan;
v Membolehkan murid mensintesis jawapan melalui ramalan berdasarkan pola-
pola yang diperhatikan;
v Menggalakan murid menguasai saiz dan nilai nombor (bijak nombor)
WAJ 3105 LITERASI NOMBOR
v Murid tidak merasa bosan menyelesaikan ‘problem solving’ malah mahu
menyiapkan walaupun menggunakan masa yang lama.
v Murid merasa yakin bahawa kalkulator dapat membantu memperbaiki
kebolehan untuk menyelesaikan masalah matematik mereka.
v Membina sikap yang positif dalam matematik. Murid akan merasa seronok
dengan matematik “seeing the beauty and enjoying the fun of mathematics”.
v Membina keyakinan diri. Sebagai alat motivasi untuk murid sebagaimana
seorang tukang kayu yang dapat mengukir kayaunya dengan baik dan cepat jika
mempunyai peralatan yang cukup.
v Pelajar yang menggunakan kalkulator dalam matematik mempunyai sikap yang
lebih positif terhadap dirinya sebagai ahki matematik dan berkeupayaan
menyelesaikan masalah yang lebih komolek
v Boleh berdikari. Murid dapat belajar secara penyiasatan sendirian dengan
penggunaan kalkulator.
v Pengukuhan dalam skill jangkaan
v Penyiasatan yang mudah. Murid boleh menyiasat sendiri jawapan dengan
kaedah tanpa perlu bantuan guru.
v Kerjasama dan tanggung jawab. Murid lebih bertanggung jawab apabila diarah
untuk menjaga keselamatan alatan.
Berdasarkan fungsi dan kebaikan seperti yang dinyatakan di atas, ianya sudah
cukup untuk membuktikan serta menggalakkan penggunaan kalkulator dalam
pengajaran matematik di sekolah rendah.
Biasanya murid sekolah rendah terutama yang lambat mengalami kesukaran
semasa menyelesaikan soalan matematik yang melibatkan penggunaan ayat,
bukan kerana mereka tidak faham atau tidak tahu membuat transformasi, tetapi
kerana mereka bermasalah dalam menjalankan algoritma operasi itu. Dengan
WAJ 3105 LITERASI NOMBOR
menggunakan kalkulator, murid-murid di sekolah rendah boleh menumpukan
perhatian kepada aplikasi konsep dan penyelesaian masalah. Mereka tidak akan
diganggu oleh kesukaran membuat kiraan yang panjang lebar. Soalan yang lebih
mencabar dan realistik juga boleh diberikan. Ini secara tidak langsung akan
mejadikan pembelajaran matematik lebih bermakna dan menyeronokan.
Sebenarnya, banyak masalah hanya memerlukan anggaran jawapan dan bukan
jawapan tepat. Oleh itu murid-murid harus diajar cara membezakan dan
menentukan kaedah yang paling berkesan untuk menyelesaikan sesuatu
masalah yang diberikan, sama ada memerlukan hanya anggaran, pengiraan
congak, penggunaan algoritma kertas – pensel ataupun kalkulator. Contohnya
kemahiran mengganggar adalah satu kemahiran yang paling berkuasa sekali
dalam kehidupan seharian kita. Setelah membeli barang-barang di pasar raya,
kita boleh mengganggar sama ada kiraan bil oleh juru wang betul atau tidak.
Seseorang murid yang mahir membuat anggaran akan cepat mengecam
kesilapan kiraan seperti “223 + 489 = 1099” kerana 200 + 400 tidak mungkin
menjadi 1000. Oleh itu, murid digalakan membuat anggaran sebelum mengira.
Setelah mendapat jawapan yang betul dengan kalkulator, galakan murid
menaakul sama ada jawapan yang didapati itu munasabah atau tidak ini akan
menyebabkan motivasi belajar matematik di kalangan murid sekolah rendah
akan meningkat.
Peranan komputer dalam pendidikan di Malaysia memberikan impak yang besar
kepada pendidikan matematik khasnya. Walaubagaimanapun, teknologi
komputer hanya akan memberikan kesan terhadap pembelajaran murid
sekiranya guru yang mengajar diberikan ilmu dan kemahiran untuk
menggunakannya dalam pengajaran.
Seperti yang telah dibincangkan dalam tajuk 2.6, penggunaan komputer dalam
bilik darjah selalunya dikaitkan dengan pakej perisian dan internet. Pelajar boleh
meneroka, menyelidik dan membuat simulasi dan latihan secara interaktif
dengan menggunakan komputer sebagai media pembelajaran.
WAJ 3105 LITERASI NOMBOR
Terdapat pelbagai perisian matematik yang membantu pengajaran dan
pembelajaran matematik. Beberapa kajian mendapati perisian seperti Geometric
Sketch Pad (GSP), Cabri dan Geogebra membantu pelajar mengukuhkan
konsep geometri dan menganalisis masalah dan situasi yang berkaitan dengan
bentuk dan ruang.
Kebanyakan penerbit buku, samada buku teks atau buku rujukan juga
menyisipkan cakera padat (CD) dalam buku yang dibekalkan ke sekolah maupun
yang dijual secara komersil. CD yang dibekalkan selalunya mengandungi
permainan, rancangan pengajaran, masalah matematik dan pakej pembelajaran
interaktif. Walaubagaimanapun guru harus mengambilkira aspek pengajaran dan
teknikal yang telah dibincangkan dalam topik 2.6 untuk menentukan kesesuaian
penggunaan perisian tersebut.
Dalam membincangkan penggunaan komputer dalam pendidikan matematik,
penggunaan internet harus diambilkira memandangkan kelebihannya dalam
mencapai dan menyebarkan maklumat dengan pantas di zaman teknolgi kini.
Pelbagai laman web boleh diakses untuk membantu guru dan pelajar mencari
bahan dan maklumat berkaitan matematik. Namun, guru harus berhati-hati
dalam menilai maklumat yang sesuai dan wajar dalam pengajarannya.
Internet juga boleh digunakan untuk membuat kajian dan mengumpul data.
Selain itu, kini terdapat manipulatif berbentuk virtual yang boleh digunakan
secara interaktif oleh pelajar-pelajar.
Perisian yang terdapat dalam komputer itu sendiri juga boleh membantu dalam
pengajaran dan pembelajaran matematik di dalam bilik darjah. Satu contoh yang
baik ialah program microsoft excel. Program ini banyak membantu dalam tajuk
pengumpulan dan persembahan data.
WAJ 3105 LITERASI NOMBOR
3) PENGIRAAN MENTAL
Dalam banya kurusan kehidupan harian, pengiraan tepat adalah tidak
diperlukan. Sebagai contoh, dalam urusan jual beli, kita tidak boleh sentiasa
menerima hasil pengiraan kalkulator secara membuta kerana kesilapan
menekan kekunci kalkulator adalah tidak dapat dielakkan. Oleh yang demikian,
kebolehan untuk menganggar ‘reasonableness’ sesuatu hasil pengiraan adalah
sangat berguna untuk membuat keputusan yang bijak dalam situasi jual beli.
Sehubungan itu, kebolehan untuk mengira secara mental adalah sangat berguna
untuk membuat anggaran yang cepat.
Bayangkan anda sedang berada di depan kaunter juruwang di sebuah pasaraya.
Berikut adalahsenarai barang dan harga yang telah anda beli:
Barang Harga Barang Harga
Serbuk Cuci Breeze RM23.90 Ikan Siakap RM18.45
Minyak Masak Natural RM26.90 Kerang RM 3.50
Telur Ayam RM12.50 Biskut Jacobs RM 9.90
Milo RM13.20 Bawang Putih RM 4.30
Setelah juruwang memasukkan harga semua barang dalam mesin wang, anda
melihat skrin mesin itu memaparkan “RM143.45”
Teknik Pengiraan Mental
Hukum tukar tertib (commutative), hukum sekutuan (associative) dan hukum
taburan (distributive) membolehkan nombor disusun dan dicerakinkan supaya
mudah dikira secara mental. Begitu juga,teknik membilang secara menaik dan
Gunakan anggaran secara mental untuk membuat keputusan samada
anda akan terus membayar sejumlah wang itu atau tidak. Jelaskan
justifikasi untuk keputusan anda..
WAJ 3105 LITERASI NOMBOR
membilang secaramenurunadalah kaedah yang cekap untuk menambah jika nilai
yang ditambah (addends) ialah 1, 2, 3, 10, 20, 30, 100, 200, 300 dan
selanjutnya. Contohnya dalam pengiraan 45 + 30, mulakan dengan 45 dan
bilang secara menaik sebanyak 10 untuk mendapatkan hasiltambah: 45, 55, 65
75. Teknik membilang secara menurun merupakan kaedah yang cekap apabila
ditolak 1, 2, atau; 10, 20 atau 30 dan selanjutnya. Misalnya 87 – 2, mulakan
dengan nombor yang lebih besar, 871 dan lakukan proses membilang secara
menurun: 871, 870, 869.
Kombinasi sesetengah nombor membuatkan penambahan mudah
dilakukan contohnya25and175, juga mudah untuk didarab,
contohnya28x10. Nombor yang mudah untuk dikira secara mental dinamakan
nombor serasi (compatible). Teknik inimemerlukan pemilihan pasangan nombor
yang serasi (compatible)untuk dioperasikan dan melibatkan fakta asas.Kebanyakan
orang boleh menambah dan menolak secara mental nombor- nombor gandaan
10atau 100,contohnya 70+20=90, dan boleh mendarab gandaan 10dan
100,contohnya, 34x100=3400. Misalnya, pendaraban (2 x 8) x (5 x 7) lebih
mudah jika (2 x 5) x (8 x 7) kerana 2 x 5 = 10, seterusnya 8 x 7 = 56 dan 10 x 56
= 560.
Cari nilai yang tepat untuk setiap ungkapan berikut dengan membilang secara
menaik atau menurun. Jelaskan proses yang digunakan dalam setiap kes.
a) 286+30 b) 18200 +2300 c) 962 –3
Cari nombor yang serasi (compatible) untuk mencari jawapan yang tepat
bagi ungkapan- ungkapan berikut:
a)(25x 9)x (11x 4) b) (5x 15)x (20x 3)
WAJ 3105 LITERASI NOMBOR
4) PENGANGGARAN
Teknik pengiraan mental atau congak dan pengganggaran adalah komponen
penting dalam matematik. Misalnya seorang ahli biologi yang mengkaji tentang
penguin ingin menganggar populasi penguin. Maka, teknik pengiraan mental
dan pengganggaran nilai tempat diperlukan untuk kajian masalah ini. Terdapat
empat teknik penganggaran yang akan kita perhatikan. Ini memerlukan kepada
pemahaman numerasi dan pengetahuan tentang fakta-fakta asas. Seperti juga
teknik- teknik untuk pengiraan mental yang diterangkan dalam2.7.1, ini juga
melibatkan membuat keputusan samada anggaran itu boleh diterima untuk
situasi yang berkaitan dan teknik mana yang harus digunakan untuk dapatkan
anggaran itu.
Semua teknik penganggaran nombor melibatkan penukaran nombor dengan
yang paling hampir dan mudah untuk dikira secara mental. Perkaitan dengan
keadaan sebenarmenentukan sama ada jawapan yang tepat atau anggaran
sahaja yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah.
5) BAHAN MANIPULATIF
Definisi bahan manipulatif
Pelaksanaan pengajaran dan pembelajaran (P&P) matematik di sekolah
rendah menggunakan bahan manipulatif seharusnya menjadi suatu kemestian.
Ramai dalam kalangan pendidik khususnya guru matematik mengakui hakikat
bahawa bahan manipulatif adalah kunci penting kepada pengajaran kepada
Anggarkan jawapan bagi ungkapan- ungkapan berikut:
a. 478+223
b. 8x26
c. 578+603 +614 +582d. 36563-8180
WAJ 3105 LITERASI NOMBOR
kanak-kanak. Perkara ini didasari oleh teori Jean Piaget, seorang ahli psikologi
dan falsafah yang banyak mengkaji dan membahaskan ilmu berkaitan tahap
kognitif kanak-kanak. Menurut Piaget (1952) kanak-kanak memerlukan
pengalaman konkrit untuk memahami istilah matematik dan simbol matematik.
Hal ini kerana, murid-murid sekolah rendah masih berada dalam peringkat
operasi konkrit di mana pemikiran abstrak dan hypotetikal mereka masih belum
terbina sepenuhnya. Peringkat operasi konkrit adalah dalam peringkat umur 7
tahun hingga 11 tahun iaitu julat umur bagi kebanyakan murid-murid sekolah
rendah. Pemikiran hypotetikal ialah pemikiran di mana seseorang itu berfikir
berdasarkan situasi atau idea yang boleh diimaginasi berbanding yang realistik
dan benar. Daya imaginasi pada peringkat kanak-kanak adalah lebih rendah
berbanding orang lebih dewasa.
Menurut Heddens (2005) bahan manipulatif ialah model konkrit yang
melibatkan konsep matematik, menarik kepada beberapa deria serta boleh
disentuh dan digerakkan oleh murid-murid. Pada masa sekarang, bahan
manipulatif digunakan dalam pengajaran matematik telah diterima yang boleh
diguna pakai sebagai satu kaedah yang akan membantu murid-murid belajar
matematik dengan lebih bermakna. Pendek kata, bahan manipulatif membantu
murid-murid membina imej mental yang lebih jelas untuk memahami idea-idea
dan konsep-konsep matematik (Weiss, 2006).
Rajah 1: Guru boleh mengajar konsep menggunakan takrif rajah sebagai perwakilan fizikal atau bahan manipulatif pada peringkat operasi konkrit
WAJ 3105 LITERASI NOMBOR
Sementara itu, menurut Swan dan Marshall (2010) bahan manipulatif
matematik merupakan objek yang dikendalikan individu melalui deria yang
mana pemikiran matematik dapat dipupuk dalam keadaan individu itu sedar
atau tidak sedar. Deria yang digunakan termasuk deria sentuh dan lihat. Oleh
yang demikian, bahan manipulatif matematik boleh mendorong ke arah
kesedaran, pembangunan konsep dan idea yang dikaitkan dengan matematik
sementara setiap bahan manipulatif yang direka adalah untuk tujuan tersendiri.
Antara bahan manipulatif yang terkenal ialah Attribute Blocks, Base Ten
blocks, Cuisenaire rods, Multilinks cubes, Pattern Blocks,
Polydrons/Geoshapes, square tiles dan Unifix cubes. Kesemua bahan
manipulatif ini mempunyai fungsi tersendiri untuk konsep matematik yang
berlainan.
Terdapat juga sebilangan sarjana yang berpendapat abakus, kalkulator
dan carta pecahan sebagai sebahagian daripada bahan manipulatif matematik.
Hal ini kerana mereka beranggapan bahawa penggunaan kalkulator sebagai
bahan manipulatif dapat meneguhkan sesuatu konsep empat operasi asas yang
telah diajar kepada murid. Simbol-simbol yang terdapat pada kalkulator boleh
mewakili konsep operasi asas seperti tambah, tolak, darab dan bahagi yang
mana dapat mengukuhkan konsepsual matematik. Walaubagaimanapun hal ini
adalah tidak benar kerana abakus dan kalkulator ialah alat pengiraan
manakala carta pecahan (fraction chart) pula diklasifikasikan sebagai alat
bantu mengajar. (Swan dan Marshall, 2010). Namun begitu abakus, kalkulator
dan carta pecahan boleh digunakan bagi menyokong dan membantu pengajaran
dan pembelajaran (P&P) matematik kerana alat-alat tersebut diakui sebagai
sebahagian daripada resos matematik.
WAJ 3105 LITERASI NOMBOR
Pada tahun 1973, Jerome Seymour Bruner telah melakukan suatu
pemerhatian di sebuah sekolah. Bruner ialah seorang ahli psikologi yang banyak
memberi sumbangan yang signifikan terhadap bidang psikologi kognitif manusia
dan teori pembelajaran kognitif. Dalam kajiannya itu, beliau telah memperhati
kanak-kanak menggunakan bahan manipulatif konkrit dan menyedari terdapat
satu proses di mana murid membina pengetahuan konsep matematik di dalam
pengajaran dan pembelajaran (P&P) tersebut. Pemerhatian beliau bermula
apabila guru menunjukkan contoh-contoh bagaimana untuk menggunakan bahan
manipulatif itu.
Setelah itu, kanak-kanak mengaplikasikan bahan manipulatif tersebut.
Kemudiannya, kanak-kanak itu diminta untuk tampil ke hadapan melukis gambar
tentang konsep dan menulis penjelasan apa yang difahaminya di papan hitam.
Melihatkan kepada tingkah laku kanak-kanak tersebut, Bruner berpendapat
kanak-kanak tersebut telah memahami konsep matematik yang difahami dalam
mentalnya (abstrak) dan dapat pula menjelaskan dalam bentuk lukisan (konkrit).
(Kosko dan Wilkins, 2010, p. 79). Di sini dapat difahami bahawa bahan
manipulatif ialah bahan yang merapatkan jurang idea matematik abstrak
dengan idea matematik konkrit supaya murid mahir atau matang dalam
ilmu matematik. (Frank, 2012).
Rajah 3: Jerome Seymour BrunerRajah 2: Jean Piaget
WAJ 3105 LITERASI NOMBOR
Selepas meneliti semua aspek, bahan manipulatif dapat disimpulkan
sebagai alat atau bahan yang bersifat konkrit atau maujud yang melibatkan
penggunaan tangan murid-murid dengan cekap terhadap objek yang dapat
dipegang dan dimanipulasi untuk membantu murid-murid peringkat pra
operasi membina pengetahuan dan konsep matematik secara langsung
atau tidak langsung. Guru boleh membiarkan murid-murid menggunakan bahan
manipulatif secara langsung untuk bermain, meneroka, membina, menguji dan
membilang dengan harapan murid-murid tersebut dapat menguasai konsep
Rajah 4: Dua jenis teknologi yang berbeza tetapi mempunyai fungsi yang sama. Kedua-dua alat untuk pengiraan ini dapat membantu pengajaran dan pembelajaran (P&P) namun begitu kedua-duanya juga tidak diklasifikasikan sebagai bahan manipulatif. Kalkulator (gambar pertama) berperanan sebagai medium kepada bahan manipulatif maya manakala abakus (gambar kedua) berfungsi sebagai medium kepada bahan manipulatif fizikal.
Rajah 5: Attributes block adalah satu jenis bahan manipulatif untuk menyediakan tugas-tugas yang mencabar dan berstruktur yang dikaitkan dengan identifikasi sifat. Murid boleh membentuk sifat seperti muka manusia daripada blok-blok bentuk matematik ini
WAJ 3105 LITERASI NOMBOR
matematik dengan lebih baik. Contoh lain bahan manipulatif fizikal selain di atas
yang boleh didapati dengan mudah dari persekitaran ialah butang baju, bongkah
kayu, batu, penutup botol, guli dan lain-lain.
Definisi bahan manipulatif maya
Dalam membina ilmu pengetahuan matematik terdapat laluan atau
kaedah alternatif yang boleh digunakan selain bahan manipulatif iaitu
menggunakan bahan manipulatif maya sebagai salah satu kaedah pengajaran
matematik masa kini. Bahan manipulatif maya diakui dapat memberi kesan yang
sama kepada murid iaitu P&P yang lebih bermakna. Bahan manipulatif maya
boleh didefinisikan sebagai satu interaktif, berasaskan laman sesawang yang
menunjukkan visual objek yang dinamik yang digunakan untuk membina
pengetahuan matematik. (Moyer et al., 2002, p.373).
Bahan manipulatif maya juga dapat didefinsikan sebagai replika yang
betul kepada bahan manipulatif konkrit dan diletakkan dalam internet
dalam bentuk aplikasi computer untuk membina pengetahuan matematik
(Moyer, Bolyard & Spikell, 2002). Ramai penyelidik percaya yang bahan
Rajah 6: Gamabar satu ialah contoh Unifix Cubes. Gambar dua menunjukkan kanak-kanak meneroka dan bermain sendiri Unifix Cubes. Unifix Cubes berwarna warni, kiub saling pautan yang dapat membantu kanak-kanak berumur 4 tahun ke atas belajar matematik awal dan membaca konsep matematik.
WAJ 3105 LITERASI NOMBOR
manipulatif maya mempunyai keupayaan dan potensi untuk menangani
kebanyakan kelemahan utama dalam menggunakan bahan manipulatif fizikal
dalam P&P. (Clemets & Sarama, 2005; Moyer, Niezgoda, & Stanley, 2005; Yuan
Lee, & Wang, 2010). Bahan manipulatif maya mempunyai banyak kelebihan
seperti keupayaan interaktiviti, pengubahan, perwakilan yang fleksibel, sumber
yang tidak terhad, dan mudah untuk dibersihkan. Banyak kajian yang
menunjukkan bahan manipulatif menyediakan kelebihan yang unik dan boleh
menjadi lebih efektif berbanding bahan manipulatif fizikal dalam menyokong
pembelajaran. (Wright, 1994; Clements & Sarama, 1998; Suh & Moyer, 2007).
Sementara itu, tidak semua perisian komputer yang berkaitan dengan
pembelajaran itu adalah bahan manipulatif maya. Hal ini kerana perisian-
perisian seperti Mathdisk, Geogebra dan MathXpert berfungsi sebagai
medium kepada penyampaian bahan manipulatif maya. Perisian-perisian
sebegini adalah platform kepada terbentuknya bahan manipulatif maya melalui
kaedah-kaedah tertentu yang boleh dijadikan bahan dalam pengajaran dan
pembelajaran (P&P) . Penggunaan perisian-perisian ini dalam P&P diperlukan
untuk mencetuskan pengajaran yang lebih bermakna, menarik minat dan
menyeronokkan di samping memudahkan proses pembinaan konsep matematik
dalam mental murid.
Bahan manipulatif maya adalah sama dengan bahan manipulatif fizikal
seperti Attribute Blocks, Base Ten blocks, Cuisenaire rods, Multilinks cubes,
Pattern Blocks, Polydrons/Geoshapes, square tiles dan Unifix cubes tetapi direka
dalam bentuk maya dalam komputer. Dalam perkataan yang mudah, bahan
manipulatif maya adalah juga bahan manipulatif fizikal tetapi diterjemah atau
ditukar ke dalam bentuk perisian komputer dan kebanyakkan boleh didapati di
internet.
Rajah 7: Gambar satu ialah rod cuisanaire, gambar dua pula ialah base 10 block, dan gambar ketiga ialah tangram puzzles. Di dalam dunia komputer, ketiga-tiga bahan
WAJ 3105 LITERASI NOMBOR
Dapatlah disimpulkan di sini bahawa bahan manipulatif maya adalah
bahan manipulatif konkrit yang ditransformasikan atau diterjemahkan
dalam bentuk visual iaitu bentuk maya, diletakkan di dalam internet,
digunakan secara fleksibel dalam bentuk perisian komputer dan dapat
dimanfaatkan untuk membina pengetahuan matematik dan membantu
murid memahami idea dan konsep matematik. Contoh bahan manipulatif
maya ialah “Geometry applet” yang menyediakan pengalaman dinamik dalam
geometri 3 dimensi (Joyce, 2005); “Algebra tiles” memberi peluang kepada
pengguna untuk menyiasat konsep dan hubungan dalam algebra (Texas
A.2005); dan “Base ten blocks activities” yang membantu pengguna untuk
mendapat pemahaman tentang nilai tempat dan operasi (Mankus, 2005) secara
interaktif.
Peranan bahan manipulatif dan bahan manipulatif maya dalam
mewujudkan P&P yang bermakna
Apabila seseorang guru menggunakan bahan manipulatif sebagai alat
kognitif seharusnya guru tersebut dapat meningkatkan proses pengajaran dan
pembelajaran (P&P) selain menggalakkan murid untuk sentiasa mengekalkan
Rajah 7: Gambar satu ialah rod cuisanaire, gambar dua pula ialah base 10 block, dan gambar ketiga ialah tangram puzzles. Di dalam dunia komputer, ketiga-tiga bahan
WAJ 3105 LITERASI NOMBOR
maklumat yang diperolehi dalam ingatannya. Ia adalah diakui bahawa
penggunaan bahan manipulatif bukan sahaja dapat meningkatkan pencapaian
murid tetapi meningkatkan kefahaman konsepsual dan kemahiran penyelesaian
masalah mereka. Bahan manipulatif memberikan pengalaman konkrit,
pengalaman hands-on yang mana dapat menfokuskan perhatian dan
menguatkan motivasi murid. (Durmas dan Karakirik, 2006). Apa yang
dimaksudkan di sini ialah bahan manipulatif dianggap sebagai alat yang dapat
memberi murid pembelajaran secara konkrit, menyediakan peluang kepada
murid untuk memanipulasi, menarik perhatian murid dalam P&P dan dapat
meningkatkan minat murid terhadap pengajaran guru sekaligus merangsang
motivasi murid. Di samping itu juga, bahan manipulattif juga dapat meingkatkan
motor halus kanak-kanak dengan aktiviti hands-on.
Selain itu juga, bahan manipulatif juga memberi murid-murid satu
cara untuk memahami konseptual matematik yang abstrak dengan
membolehkan murid-murid menghubungkan konsep tersebut dengan idea
konkrit yang informal. (Uribe-Flo’rez & Wilkins, 2010, p. 363). Apa yang dapat
disimpulkan di sini ialah bahan manipulatif dapat membantu murid memahami
idea-idea matematik yang abstrak dengan membolehkan murid-murid
mengaitkannya dengan perkara atau idea konkrit secara tidak langsung.
Berlakunya perkara ini maka P&P yang dijalankan guru adalah lebih bermakna
kepada murid-murid.
Rajah 8: Bahan manipulatif bukan sahaja memudahkan pemahaman murid terhadap konsep-konsep matematik tetapi meningkatkan motor halus murid kerana melibatkan pengalaman hands-on murid
WAJ 3105 LITERASI NOMBOR
Menurut McKinney, Schiamberg dan Shelton (1998) murid akan berminat
untuk belajar sekiranya mereka berpeluang untuk terlibat secara aktif dalam
aktiviti P&P dan perkara ini hanya akan berlaku jika dalam guru menyediakan
bahan atau alat yang berfungsi sebagai bahan manipulatif. Apabila bahan
manipulatif disediakan pembelajaran aktif akan berlaku dan murid akan terlibat
dalam P&P secara langsung. Melalui cara ini, bahan manipulatif akan dapat
membangkitkan minat, rasa ingin tahu, sekaligus disiplin dan sifat
kerjasama akan terbentuk dalam kalangan murid.
Tambahan pula, secara tidak langsung juga bahan manipulatif dapat
mengatasi pelbagai masalah disiplin murid semasa di dalam kelas seperti
mengganggu rakan semasa belajar, tidak menumpukan perhatian dan membuat
salah laku yang lain. Bahan manipulatif berperanan secara tidak langsung dalam
hal ini apabila murid mula menunjukkan minat dan fokus apabila mereka
memanipulasi bahan manipulatif. Hal ini terjadi disebabkan bahan manipulatif itu
adalah menarik kerana mempunyai warna yang pelbagai sebagai contoh
Cuisanaire Rods. Cuisanaire rods memberi peluang kepada murid belajar secara
hands-on tentang konsep matematik seperti 4 operasi aritmetik asas dan perkara
berkaitan dengan pecahan.
Menurut Mok Soon Sang (1996), bahan manipulatif memberi peluang
kepada pelajar memperoleh pengetahuan melalui penggunaan pelbagai
deria, iaitu deria penglihatan, deria sentuh dan deria pendengaran. Bahan
manipulatif merupakan bahan yang boleh merangsang deria manusia dan
diaplikasikan dalam konsep pembelajaran. Kanak-kanak peringkat operasi
Rajah 9: Pembelajaran secara aktif tidak membosankan selain dapat meningkatkan rasa ingin tahu (inkuiri), disiplin dan kerjasama antara murid. Semua ini dapat dicapai dengan penggunaan bahan manipulatif dalam pengajaran dan pembelajaran.
WAJ 3105 LITERASI NOMBOR
konkrit sangat memerlukan bahan manipulatif sebagai bahan rangsangan dalam
pembelajaran.
Bahan manipulatif maya juga berperanan seperti bahan manipulatif fizikal
kerana bahan manipulatif maya adalah model sebenar bahan manipulatif fizikal.
(Dorwand & Heal, 1999). Bahan manipulatif maya juga menyediakan
persekitaran yang interaktif di mana murid dapat mencari dan
menyelesaikan masalah yang mereka hadapi untuk membentuk hubungan
antara konsep matematik dan operasi. Bahan manipulatif maya juga
memberikan maklum balas segera terhadap jawapan murid-murid yang
mendorong murid-murid untuk memberi reaksi dan reflek bagi membentuk
kekonseptualan matematik mereka. Walaupun bahan manipulatif maya juga
adalah simulasi kepada bahan manipulatif fizikal tetapi ia adalah abstrak kerana
tidak berlaku aktiviti hands-on untuk bahan manipulatif maya. Bahan manipulatif
maya juga boleh digunakan secara bergilir-gilir dengan bahan manipulatif fizikal
kerana bahan manipulatif tidak diharapkan untuk menjadikan konsep matematik
boleh ‘disentuh’ tetapi untuk menyorot (highlight) ciri-ciri yang menonjol dan
penting tentang konsep.
Jadi, ia adalah diperlukan untuk merekacipta bahan manipulatif matematik
yang khusus untuk konsep matematik yang berbeza. Bahan manipulatif maya
juga menyediakan kelebihan yang lebih berbanding bahan manipulatif
fizikal dengan menyingkirkan sekatan dan halangan yang mungkin akan
ditempuhi dalam menjalankan tugasan matematik ketika bahan manipulatif
fizikal digunakan. Sebagai contoh bahan manipulatif maya adalah fleksibel
boleh digerak-gerak dalam pelbagai cara dan kita boleh melakukan apa sahaja
tanpa halangan. Apa yang dapat disimpulkan kebanyakan bahan manipulatif
maya adalah lebih bermanfaat berbanding bahan manipulatif fizikal walaupun
kedua-duanya mempunyai fungsi yang sama. (Yuan, 2012).
Guru perlu bijaksana dan kreatif dalam memilih bahan manipulatif fizikal
dan bahan manipulatif maya kerana kedua-duanya memiliki kekuatan dan
kelemahan tersendiri. Bahan manipulatif maya menjadi pelengkap kepada
WAJ 3105 LITERASI NOMBOR
kelemahan bahan manipulatif fizikal yang terbatas penggunaannya dan
juga tidak fleksibel. Nanum begitu, bahan manipulatif maya pula tidak dapat
menyediakan pengalaman yang hands-on kepada murid dan perkara ini
adalah salah satu kekuatan bahan manipulatif fizikal.
Kesimpulan
Pada era globalisasi dan teknologi seperti zaman sekarang, guru perlu
memperbanyakkan pembacaan, kajian dan mengambil inisiatif bagaimana untuk
meningkatkan mutu pendidikan negara. Penggunaan bahan manipulatif fizikal
dan bahan manipulatif maya adalah contoh bahawasanya guru perlu proaktif
dalam memainkan peranan sebagai pendidik. Pengajaran dan pembelajaran
yang bermakna bermula daripada seorang guru dan bahan manipulatif hanya
dapat membantu guru tersebut. Selain itu juga guru perlu bijak memilih bahan
manipulatif fizikal atau bahan manipulatif maya kerana kedua-dua bahan perlu
digunakan secra bergilir-gilir bagi melengkapi kelemahan dan kekuatan masing-
masing.
Dapat disimpulkan bahawa banyak peranan bahan manipulatif dalam
mewujudkan suasana proses pengajaran dan pembelajaran yang bermakna dan
berkesan. Guru perlu sedar dan sentiasa memastikan pendidikan yang dibawa
adalah ketinggalan zaman dengan mengamalkan pembelajaran pasif dan
mengabaikan bahan manipulatif sebagai resos matematik yang membantu
pengajaran dan pembelajaran.
Disediakan oleh : Chong Wai Mun
Chu Lee Ming
Teoh Jing Shan
Yap Tsin Huey