eureka math

8/19/2019 Eureka Math

1/36

1

1°/ Déterminer, dans le domaine des entiers , la somme de la suite

suivante :

-M Nou

NM

N ,,,

4

1

1 .

M N

M

C

x M

C

x

C

N

x

remarque : dans tout le document ma notation pour la combinaison

est :

nrque tel!-r nr! n! n

r C

a

a

n

a

1a

a

1-n

a

2-n

a

2a

a

1-n

a

1a

a

n

a

a

a

x-an

CCCC...........CCCCCCC.

a

x

a

n

a x

C

1-a

1-a

1n

1a

1-a

1a

n

1

1-a

1-a

1-a

a

n

1a

1n

1a

a

a

n

a

a

1-a

a

a

1-n

1a

a

1-a

a

a

n

1

a

1-a

a

a

1-n

1a

n

1a

1a

a

1-n

a

4-n

1-a

4

a

4a

1a

4-n

1-a

4-n

a

3a

1

4-n

1-a

4-n

a

3a

1a

4a

1a

3-n

a

3a

a

3-n

1-a

3n

a

2a

1a

3-n

1-a

3-n

a

3a

1

3-n

1-a

3-n

a

2a

1a

3a

1a

2-n

a

2a

a

2-n

1-a

2-n

a

2a

1a

2-n

1-a

2-n

a

1a

1

2-n

1-a

2-n

a

1a

1a

2a

1a

1-n

a

1a

a

1-n

1-a

1a

1a

1-n

a

1a

1a

1-n

1-a

1-n

a

a

1a

1a

1a

n

a

a

a

.CC CCC C-CCC

CCCCCCC C-CCC

. . . . .

. . . . .

. . . . .

CCCCCCC C-CCC

CCCCCCC C-CCC

CCCCCCC C-CCC

.CCC.CCC C-CCC

a

a

n

a

a

a

C

C

C

C

C


2/36

2

en f aisant la somme, nous observons des termes qui s’annulent

alternativement :

1-a

1a

1n

1a

a

1-a

n

1a

3-n

1-a

3a

1a

2-n

1-a

2a

1a

1-n

1-a

1a

1a

x-anx

CCCC...........CCCCCCC.

aan

a x

C

am: Nm C.C.C.x-an

ma

x-an

1a1

1

1

x-an

a

x

ma

mn

ma x

x

a

n

a x

x

a

n

a x

C C C

01an

12a

x-an

a

n

ax

I CC. :am

x

aC soit

on a donc :

am: Nm CC.1an

12a

x-an

m-a

mn

max

x

maC

-ma m,a m,n N -m,nM : soit

Par conséquent :

-M Nou NM: N,,,

I CC. C.

4

1M

1

M

x

N

x

M N

C C

x M x x M x

1-1/ A partir de relation (I0) on peut déduire :

nJ: NJ.

xan

a

x

a

J

a x

C C

1-an

a

1 j

1a

x-an

1-a

x

1a

1J

1ax

x

1-an

a

1 j

1a

1- j-an

1-a

1J

1a

2-n

1-a

2a

1a

1-n

1-a

1a

1a

x

CC CCC.

CCCC...........CCCCC.

J xan

aa

J

a x

J xan

aa

J

a x

C

C


3/36

3

décomposons le terme xan

1-aC et distribuons la sommation :

21-a

22

1a

21

1a

2

1a

2-a2

a1

aa

2-an

1a

2J2a

x-ana

x2a

2J

2ax

1x

1

1

1

2-1an

1a

2J2a

x-1ana

x2a

2J

2ax

11

x1

1

1

2-2an

1a

2J2a

x-2ana

x2a

2J

2ax

21

x1

1

1

1a1

1a2

1a1-a

CCC2C

CCC2C : part'

CC CC C.

CC2 CC2-C.2

CC CC C.

C2C-C C

jan jan jan jan

xan xan xan xan

J xanaa

J

a x

J xanaa

J

a x

J xanaa

J

a x

xan xan xan xan

autred

C

C

C

Alors :

111

2

1

2

222

2

2

jan

a.C j

aC J a-n

a-C J

aC a-xn

a-C x

aC J

a x

xan

a. C x

aC J

a x

systématiquement :

11

1

)1(

2

1

1

-an

1m-a

J

ma

x-an

m-a

x

ma

mJ

ax

x

11

1

)2(

1

2

2

3-an

2-a

3J

3a

x-an

3-a

x

3a

3J

3ax

x

. ....CC CCC.

. .CC CCC.

jan

a

j

a

m jan

ma

m j

ma

m J m

m

xan

aa

J

a x

jan

a

j

a

jan

a

j

a

J xan

aa

J

a x

C C C C C

C C C C C

Tel que : amet N m

Soit m=a :

x J a-n

1a-x

x J

xa

a

1 x

1a j

12a

xan

a

x

a

J

a x

x J a-n

1a-x

x J

xa

a

1 x

x

2a

a J

2a x

xan

a

x

a

J

a x

C C C . C C

C C C . C C

Soit y = j+x

y-an

1- j-n

y

a- j

1a j

1y

y-an

1- j-n

y

a- j

a j

1y

1a j

12a

x

CCCC C C.

j j

xan

aa

J

a x

C


4/36

4

Par conséquent :

xan

jna j

a J

j x

xan

aa

J

a x

C C

1x

1

1

x

C.C.

.

: N ja,n,3

n ja

cette relation est particulièrement utile ; vu quelque soit la valeur de (j), le

second membre de l’égalité présente Toujours (a+1) termes

Observons :

J=n : on retrouve le résultat précédant

1

121

x1

1 C.

an

a

xan

an

an

n xC C

J=n-1 :

n

a

an

a

xan

aa

n

a xC C C C.

1

12

x1

2°/Démontrer :

)1()1((-1))1(11

0

an

ar

r na

r r an

r

anr

r r C qqC q s

soit y =n-1-r :

R q NxNn)(a,

)1()1(1(-1) )1()1(q(-1) 111

1

1-n11

a-n

0r

aa

y

a

yn yn

a y

aar na

r r C qqC q s

yn yn yn

ynC qq

11

1

0

1)1()1()1()1(

binôme de NEWTON

yn y

a

yn y

a

C C q

C C q s

1

1

a-n

0

-1-n

1-ay

aa

1

1

y-1-n

0

1-n

1-ay

aa

)()1(q(-1)

)()1(q(-1)

na

yn y

aa y

C C C

1

1

-1-n

1- d’après la relation (I)


5/36

5

nr

r r n

ar

na

aana C qC qC q s )()1()()1()()1(q(-1)

a-n

0

a-n

0

aa

R q

NxNna, 1111 110

r nar r

an

r aanr r r

n

ar C )(q )( q )( C (q) )(

Observons :

(III) )2( :1

(II) )1()1( :1

11

0

11

r na

r an

r

nr

n

ar

na

anr

r n

ar

C C q

C C q

3°/Résumé : déterminer la somme, dans le domaine des entiers, de la

suite de terme général : Ux =x k C

x

r

soit : Sk = nr : NxNxNr)k,(n,

x

r

k n

r x

C x

11223344xr 3

11

22

33

xr

2

1

1

2

2

x

r

172)1(63)2)(1(C

)1(3)2)(1(C

)1(C

nr

nr

nr

nr

n

r x

nr

nr

nr

n

r x

n

r

n

r

n

r x

C C r C r r C r r r x

C C r C r r x

C C r x

Autre écriture de ce système :

11

22

11

33

22

44

33

3

11

22

11

33

22

2

11

22

11

1

1

!1

!0 .

!2

!114.

!3

!236.

4!

3! 4!

!1!0.

!2!16.

3!2! 3!

!1!0.

2!1! 2!

C

nr

nr

r nr

n

r x

r nr

r xr

nr

nr

n

r x

r nr

r xr

n

r x

nr

nr

r xr

n

r

n

r x

x

r

C C C C C C C C x

C C C C C C x

C C C xC

C


6/36

6

le triangle des coefficients correspondant à ce système est :

11:quesachant

k 0:

11

1

1

0

11

)S i( S S

K!k ; S i:C r)(i )( S

iS

k-i-

k-i

k i

k k

ir

k r i-

r

k i

k ik

K

D’une manière général :

nr S C C xk

C x k

xk xk n

r n xk r

r

xk

x

xr

k n

r x

: Nr)k,(n, ...

11 31

11

0

Changement de variable : soit k+1- x=i

1111

1 ...1 )1(

k i

inr n

ir r

i

k

i

k xr

k n

r xS C C

iC x

Observons :

r=0 : in

nk i

ik

i

n

x

k C S

i x

.

1 (-1)

11

1

1k

0

r=1 : innk iik

i

n

x

k C S x

111

1

1k

0

1.1(-1)

ou :in

nk i

ik

i

n

x

k C S x

1

1

k

0.)1((-1) (IV)

r = n : 111

1

1k .

)1((-1)

in

nk i

ik

i

k C S

in

Sk i i

1

1 2

1 6 6

1 14 36 24

. 30 150 240 120

. . . . .

. . . . .


7/36

7

4°/ démontrer : 1: 21)1(11

k N K S a

k i

ik ik

i

k i

ik

i

aik est un coefficient que je propose avec certaines de ses propriétés :

soit :

xk R xk R xk

R

k

x

xk R

xk Rk

R

Rk

x

k i

ik

i

xk R

x Rk

x

k x

Rk

x

k x

k Rk

R

Rk

x

k Ri

k Rk

R

k

Ri

k i

ik

i

k Ri

k Ri

R

k

i

k r

k r ii

r

k

i

k i

ik

i

k r

k r i

r

k i

C RC Ra

C C

C RC Ra

C RC r ia

N C r ia

21211

(III)relationlad`apres 2

R -ixavec111

r -iR avec 1111

1a0;ak.i1:i 1

10101

0

1

0

1

10

1

11

1

11

11

011

00

k 0

11

0

xk

R

k

xk

xk xk

R

k R

S C R1

11 : établie .

i-k avec 21211 101

xS S a

k

i

ik ik

i

k

xk

x xk k

x

k

i

ik

i

(V) 21111

k i

ik ik

i

k i

ik

iS a


8/36

8

5°/démontrer :

K : N 1

x xC aS

ik xk

k i

x

i

k x

je suppose que la relation est vraie :

ik

x

k

i

k

i

ik

x

ik

x

k

i

xk

i

k

x

ik

xk

k

i

x

i

k

x

ik xk

k i

x

i

k

j

k j

jk

i

k i

i

jk jk

x

jk x

x x jk

jk

x

k

j

jk x

k j

x x jk jk

i

k i

i

j

jk

x

k

j

jk x

k j

x xk k

x

xk

j

jk x

k j

x xk k

i

k i

i

k

i

k

i

i

j

jk

ik

k j

ik ik i

ik ik i

i

C aC aC a

NxN C a

aa

C

C aa

C aC aa

C aS a

101

1

011

k

x

k

1x

1

k x

11

0

0 11

0 1

1

0 11

1

k

1i 1 1

S

: partd'autre

k x1:x,k VI...... S :consequent par

C.q.f.d11:donc

NEWTONde binome 11221

2111

1- pardiviseonetmultiplieon

21211

xi-k soit

21211

1k : Nk211

k

i

ik k

i

k

x

k

x

aS


9/36

9

développement d’ordre 2

6°/Démontrer :

n.r : Nmn,r, . 30

mC C C mn

r mmn

r

22

21

222

21

21

2

11

1

2

1dòrdretdevlopemen

nr

nr

nr

nr

nr

nr

nr

nr

nr

nr

nr

C C C C C C C C

C C C

je fais éclater les termes de chaque nouvelle expression en deux termes :

md'ordreentdeveloppem

:...............

:formeladedoncest

4dòrdreentdeveloppem 464

3333

lòrdre3deentdeveloppem33

22

3322110

44

43

42

41

4

44

43

43

42

42

41

41

4

33

32

31

3

33

32

32

31

31

3

mnmr

mm

mnr

mmnr

mmnr

mmnr

mnr

nr

nr

nr

nr

nr

nr

nr

nr

nr

nr

nr

nr

nr

nr

nr

nr

nr

nr

nr

nr

nr

nr

nr

nr

nr

nr

C C C C C C C C C C C

C

C C C C C

C C C C C C C C C

C C C C

C C C C C C C

r.mdòrdreestdelimiteentdeveloppemle nr C

nr m :mn,r, .3

0

N VII C C C mn

r mmn

r


10/36

10

y jn

n jk

yk j

y yk

j

jk

y

jk k n

x

jnn

y y y jnn

jk y

y jnn

k j

j yk

j

jk

y

k k n

x

jk ji

inn

k j

ik

j

k

ji

k jk ji

inn

k j

ii

j

k

i

k k n

x

jk ji

k j

i

j

jk

ik

k j

i

j

k i

inn

k i

ik

i

k k n

x

C C C a x

C C C

C C a x

C C aC C a x

C aC aS

C S x

...11

VIIrelationlaaprèsd' .

VIII ..111

: ji-ysoit

..11..11

VIrelationlaaprèsd'

IVrelationlaaprésd' 11

1

0101

1

0

1

1

101

1

1

1

111

11

1

11

7°/Démontrer :

1net1k

: NxNk n, 111

jn

k k j

k

j

k n

x

C a x

jnn

jk jk y jk

k j

j y jk k

j

jk

y

k k n

x C C C a x

1

011 ...111

jn

k

k j

k n

x

C a x

1

k

1 j1

jn

1k

k j

k

1 j

jn

jk 1n

k j

k

1 j

k n

1x

jk θ jk

y jk

y j-k

j-k y

θ jk

y jk

y j-k

θy

. .Ca.Cax

:consequent par

1.C1 : jk θ

0.C1 :1- j-k θ0 : N θ

jk jk y jk

jk y

yC C

y jk y jk

y y

C C

.

!!!

.!!

!.


11/36

11

K

i

remarque : par définition :

.1a,0a.0dont

a' termesdesd'ajouterseraitil puisque,ki: Ni0

00

k 01

n

i

ink

k k i

C

xa

11

111

1

11

1

1

1

1

11

. :donc

..

ink

k i

k

i

ink

ink

k i

k

i

k

k ink

k i

k

i

k k n

x

ink

k i

k

i

k n

x

C aC C an

nC an xC a x

XIII 1:k n,. 11

k NxN C an

ink

k i

k

i

k

7-1/propriétés des coefficients ak

i :

7-1-1/ triangle des coefficients aik : ai

k est le coefficient situé dans le

triangle par son abscisse « i » et son ordonnée « k ».

k=1 1

k=2 1 1k=3 1 4 1

k=4 1 11 11 1

k=5 1 26 66 26 1

k=6 1 57 302 302 57 1

k=7 1 120 1191 2416 1191 120 1

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

Exemple :

45

35

25

15

4

1

1111

nnnnn

x

C C C C x


12/36

12

7-1-2/ symétrie des coefficients ak

i : ak

i = ak

k-i+1

démontrer en premier lieu que :

01 :aon1k ;km:m,k :donc

: 011......32111

3: 011-k k 1

2: 01k -1k 1

Newtonde binome 1:01

1k etkm: Nx Nm,k 01

0

00

22

0

2

0

11

0

11

00

0

0

k r

mr k

r

mk r

r mk

r

mk r

mr k

r

k r

r k

r

k r

r k

r

k r

r k

r

k r

r k

r

k r

r k

r

k r

k

r

k

r

mr k

r

C r NxN

mk N k C mk k k k k C r

k N k C C r

k N k C C C r

k N k C r

C r

1

0

1

11

0

11

1

k r

k r xk

r

k xk

k r

k r i

r

k i

C r xk a

C r ia

or : 0111

0

k r

k r k

r

C r i puisque (i-r)k est une somme de monômes de

degrés inférieurs à (k+1)

k ik k xk xik x

k x

k xik

x

k i

k r k

k r k

ir

k k r

k r k

ir

k k r

k r k

ir

k i

k r

k r k

ir

k i

k r

k r k

r

k r

k r k

ir

k r

k r i

r

k r

k r k

r

aC xik C i xk a

k -xr-rk soit x

C ir C ir C r ia

C r iaC r i

C r iC r iC r i

11

0

1

0

11

1

1

111

1

111

1

11

1

11

0

11

1

11

0

11

0

1111

11

11111

011

0 111


13/36

13

par conséquent :k

ik

k

i aa 1 1k :ki1: NxN, k i

7-1-3/Expression de récurrence des ak

i:

11

1.1.

k i

k i

k i aik aia

k

ik i

k i

ink

k i

k

i

k n

x

ink

k i

k i

k

i

k n

x

ink

k i

k

i

ink

k i

k

i

ink

k i

k

i

ink

k i

k

i

ink

k i

k

i

ink

k i

k

i

ink

k i

k

i

k n

x

ink

k i

k

i

ink

k i

k

i

ink

k i

k

i

k n

x

ink

k i

k

i

ink

k i

k

i

ink

k i

k

i

k n

x

k k i x

k

n

x

ik

ik

ik

ink

ik

ink k

in

ik

in

i

i xk

n

x

k k

k

in

ik

in

ik

in

i

i xk

n

x

i xk

k i

k

i

n

x

k n

x

k n

x

aik iaa

C a x

C aik ia x

iC aiC a

C aik C aik C aik

iC aC aik x

iC aiC aC aik x

C ai

C aiC ak x

C iC k C xC C

C C iC C k C iC k C x

C k C

C iC C iC x

i- x

C a x x x x

11

211

1

1

1

21

1

1

1

1

2

1

1

2

1

21

1

121

1

2

12

1

2

1

12

1

1

1

11

12

1

12

1

1

1

12

1

11

12

1

1

1

in1

1-in2

1

1

112

1112

12

1x

1x

x1

1x

1

1

x1

1x

1x

1x

1x

1x

1x

1x

1

1

1

111

1

1

2:consequent par

: partautred'

2:donc

221

1

1

derniere.cettea/ajoute j'

1:donc

1. alors 0ki puisque

11.

1x:avec

x.x.

11-soit x

...


14/36

14

ou : 1

11

1

k

ik i

k i aik aia k i 1:

7-1-4/ expression de la somme de ak

i

système des récurences locales :

k i

k i

k k i

k k x

k

i x

k k x

k i

k i

k i

k x

k

i x

k x

k i

k x

k

i x

k x

k i

k x

k

i x

k x

k i

k x

k

i x

k x

k k

k k

k k

k k

k k

k k

k

i

k

i

k

i

k i

k i

k i

k i

k i

k i

aik aik C aik C aC a

aik aik k aik k k ak k k a

aik ak a

aik ak a

aik ak a

aak a

aak a

aik aia

aik aia

aik iaa

111

11

21

12

2213

11k

ix

111

21

2211k

ix

21

2211k

ix

11

11k

ix

111k

ix

111

11

12

1

2

111

11

21!1!2!3

211111

:2d'ordreentdeveloppem

1

1

21

d'egalitessystemedumembressecondslessurobliquesommeunefaisanten

.11

.2

........

2

11

2


15/36

15

Développement de l'ordre (m-1)

r 1-i

1-i11

1

111k

ix

r 1-i1-i

11

1

1

11

11k

ix

11

1

11111k

ix

a1!1 !1i-k

a1! 1 !1i-k

i1m-k limite/entdeveloppemler particulie

r 2mi--k ! !

r C r ik C a

r C r ik C a

en

aC r maC ma

k r i

ik

r

k i

k x

k r ik

ik

r

k ik

k x

r mk i

k r m

m

r

mk x

mk

i x

k m

k x

r 1-i1-i

11

0

11k

ix

a1! 1

r C r ik a k

r i

ik

r

k x

Soit x = i + r :

1 1-1-i

11k

ix

a !

1 !1 k

i x

xk x

x

i xk a

11

,

k i

NxN k i

Pour i = 1 :

1k: Nk!k : bien

!1k

k

ii

11k

1x

k i

k

x

aou

a

8°/ de la relation VIII on peut déduire :

jn

k

k j

k

j

jk y

y jn

n

k j

yk

j

jk

y

jk n

x

k C aC C a x

11

1

101

.1 1

Il en résulte :

3

110

N j,k n, 1.1

jn

k

jk jk y

y jn

n

y jk

y

C C C

observons :

j=k-n : NxN n,k 0.1 10

n

y yk

n yn

y

C C


16/36

16

j=k-n+1: NxN n,k 1-.1 n1

0

n y

yk n

yn

y

C C

n=1 :

x C1-1

1 j

1k

j-k

0

jk y

y jk

y

C

9°/démontrer : NxNm,k 110

mk

k k r

mr k

r

S C r

44

0

33

0

22

0

11

0

4

0

33

0

22

0

11

0

3

0

22

0

11

0

11

0

2

0

11

0

11

00

0

1321

121611711

12111311

11111

111

1

k y

yk

y

k y

yk

y

k y

yk

y

k y

yk

y

k r

r k

r

k y

yk

y

k y

yk

y

k y

yk

y

k r

r k

r

k y

yk

y

k y

yk

y

k r

r k

r

k r

r k

r

k y

yk

y

k r

r k

r

k r

r k

r

k r

r k

r

C k k k k

C k k k C k k C k C r

C k k k C k k C k C r

C k k C k C r k C r

C k kC rC

C

Autre écriture du système :

44

0

4

33

0

322

0

211

0

14

0

33

0

322

0

211

0

13

0

22

0

211

0

12

0

11

0

1

0

124...

...13611411

161611

1211

11

k y

yk

y

k

k y

yk

y

k k y

yk

y

k k y

yk

y

k k r

r k

r

k y

yk

y

k k y

yk

y

k k y

yk

y

k k r

r k

r

k y yk

y

k k y yk

y

k k r r k

r

k y

yk

y

k k r

r k

r

C C

C C C C C C C r

C C C C C C C r

C C C C C r

C C C r


17/36

17

le triangle des coefficients correspondant à ce système est : k i1: k iS

d’une manière générale :

0...1 :/2

!.1.1...1 : /1

..1.1

Xrelationlad'apres .11

...111

11

1

0

11

1

0

11

1

00

11

0

0

1

00

m yk

k ym

m ym

k m

y

k k k k

k yk

k yk

k yk k

k

y

m yk

k ym

m ym

k m

y

k r

mr k

r

m yk

ymk ymk x

x ymk

x

ymk

x

k

ym

m

ym

ym x ymk

x

m

y

k

r

mr k

r

C C S k m

k S C C S k m

C C S C r

C C

IX C C S C r

3/ m>k :

m

k k m

yk k

ymm

ymk m

y

m yk

k ym

m ym

k k m

k m y

m yk

k ym

m ym

k m

k m y

m yk

k ym

m ym

k m

k m y

m yk

k ym

m ym

k m

y

S C C S

C C S C C S

C C S C C S

1...1donc

Csatisfaire pour...1...1

Csatisfaire pour...1...1

11

1

0

1m1yk

11

11

1

k y-m

11

111

1

0

Conclusion :

XIV 1k :m,k 1..1

0

NxN S C r m

k k k

r mr k

r

deux valeurs particulières :

m


18/36

18

=0

10°/ de la relation (IX) on peut déduire :

IIrelationlad'apres 11

mik : Ni,m,k ..1.1..1

1

31

0

r mk ik

r mir mk y

yr mk

r mi y

r mk y

k r m

mr m

ym yr mk

r mi y

m

r

k r

mr k

ir

C C

C C S C r

1°/mk :

m

k k r mk

yk

r mm

r mr m yr mk

r mi y

m

k mr

k r

mr k

ir

r mk y

k r m

mr m

r m yr mk

r mi y

k

k mr

k r

mr k

ir

S C C S C r

C C S C r

1..11..1

Csatisfaire pour..11..1

1

1

k r -m

1

m

k k r mk

yk

r mm

r mr m yr mk

r mi y

m

imr

r mk y

k r m

mr m

r m yr mk

r mi y

im

k mr

k r

mr k

ir

S C C S

C C S C r

1..11...

.....11..1

1

1

1


19/36

19

m

k k yk

ik

k y

m y

i

y

i

mk

k r mk ik

k r m

mr m

im

imr

k r

mr k

ir

S C C S

S C C S C r

1..1

1..1..1

11

1

11

1

Conclusion :

1ik k m,i,1..1..1 311

N S C C S C r

mk

k yk

ik

k y

m y

y

ik r

mr k

ir

resultatlenullementn`affecte,mou1i- ,1min mi

Observons :

Pour i=k nous retrouvons l’expression :

1

111

1

..1.1

:deduction

XI k m,min.

yk

ik

k y

m y

i

y

ik r

mr i

r

k y

m y

y

m

C C S C r

C S k


20/36

20

=0

=0

11°/ démontrer :

310

N,, 1.1 nC C C n

n

r r nr n

r

IIrelationlad`apres 11

111.1

:mysoit

: .1.1.1

.1...............1

.1.1.1.1

....

....

....

.1..............1

111

1

11

1

11

0

1

0

1

0

1

0

1

10

1

0

1

13412

311

21

11

1

0

1111

23

3413

413

3

12

2312

312

2

01

1211

211

1

11

1

11221111

0

yk yi

yi yk r

r yk

yir

yk r

r yk

yir

yk r

r yk

r

yk r

r yi

r

k r

r i y

r yi

r

mk

r

mr i

m y

r yi

r

k

r

r i

y

r yi

r

k

r

r i

y

r yi

r

k yi

y

y

yik i y

k i y

k i y

i y

k r

r i y

r yi

r

k yi

y y

yik yi

yi y

yik yi

y y

yik yi

y y

yi

k i y

k i y

k i y

k i y

k i y

k i y

k i y

k i y

k i y

k i y

k i y

k i y

i y

i y

i y

k yi y y yik i yk i yi yk r r i yr

yi

r

C C

k yC C C C C

ym N mC C C C C C

C C C C C C C C C C C

C C C C C C C C

C C C C C C C C

C C C C C C C C

C C C C C C C C

C C C

C C C C C C C C C

par conséquent :

k y Nk y,i, XII 1.131

0

yk yi

yik r

r i y

r yi

r

C C C

ou : yk

yi yk

r ir

yr i

yr

C C C

1

1 .1


21/36

21

Aussi :

1--y-k ,

1m-k

m-y

yi-n:soit

ymTelque .1 .1 1-k

0

nmi

C C C yk

yi yim

r mr i

m yr

yi

r

conclusion :

31 0

N,n, .1 . 1

n

nr

r nr n

r

C C C

12°/ relation entre ak

i et Sik:

yk

ik

k y

yii

y

yk yi

k y

yii

y

k i

yk yi

yik r

r i y

r yi

r

k r

r i y

k y

r i

y

yi

r

k r

r i y

k y

r r i

y

i

r

k i

r i y

k y

r i

y

k

k r

k r i

r

k i

C S C S a

C C C

C C S C C S a

C S r i

C r ia

.1.1

XIIrelation.1.1

..1 ..1

XIrelationlad`apres .

1

11

1

0

1

10

1

1

1

0

1

11

0

1ik: NxNi,k .111

yk

ik

k y

yi

y

ik i C S a


22/36

22

13° démontrer :

k M: NMk,m, .13

0

k M k m

k x

x M m

xk

x

C C C

soit :

1.1

1m: Nr,m,XIIIrelation.

XIV relation;1k : Nm,k 1.1

1

01

21

1

2

0

mk

k k r

ir m

mi

r k

r

m

i

ir m

mi

m

i

m

mk

k k r

mr k

r

S C C a s

C ar

S C r s

soit x=k-r :

1

1

1

01

1

01

1

1

1

01

1

1

1

11

1

01

.1 .1

.1

: partd'autre

1.11

ik m

mi

m

k mi

k x

xik m

mi

xk

x

m

k mi

k x

xik m

mi

xk

x

k m

i

ik m

mi

m

k mi

k x

xik m

mi

xk

x

k m

i

ik m

mi

m

k mi

imk m

mim

k

i

imk m

mi

k

i

mk

mk

k k x

xik m

mi

xk k

x

m

i

C aC C aC C a s

C aC C a s

C aC aC a s

S C C a s


23/36

23

311

0

1

1

1

0 1

x-1-ik m

1

01

,, .1 :conséquent par

. .1

:donc

k x0et

k -mi1 : , 0Ckmsoit

ou

k msoit

0.1

N k miC C C

C aC C a s

xi

C C a

ik m

k x

xik m

xk

x

ik m

mi

m

k mi

k x

xik m

mi

xk

x

m

k mi

k

x

xik

m

m

i xk

x

k m

i

Soit : M=k+i-1

k M N C C C k M

k mk

x x M

m xk

x

:Mk,m, .1

3

0


24/36

24

Résumé :

Sur un échantillon de ‘N’éléments ordonnés, C N

K est le nombre de combinaisons

possibles de taille : ‘k’ éléments. Quel est le nombre de combinaisons ayant au moins

un seul groupe de ‘c’éléments successifs strictement ? .:;, 3 N K C N N K C Soit une position arbitraire de ‘c’ éléments successifs sur un axe de ‘N’ éléments

ordonnés. Pour marquer la succession de ‘c’ éléments successifs nous devons écarter

les points ‘i-1’ et ‘i + c’. le groupe ‘c’ est repéré par la variable ‘i’ qui évolue de

1 à (N-c+1)

i - 1 i + c c

1 N

i – 2 i i +c+1 N-c+1

c

1 i-2 i +c+ 1 N

A= i – 2 B = N – c -i

Une fois « C » éléments successifs fixés, le (K – C) restant est combiné

de part et d’autre dans les domaines A et B. soit M (C) le nombre total de

combinaisons ayant « C » éléments successifs.

C.CC :donne 1c Ni

C.CC :donne 1i

CC )c(M

1-c- Nc-K

1-r

1c Nr -c-K

c-K

0r

1-c- Nc-K

1-c- Nr

1r -c-K

c-K

0r

ic Nr

2ir cK

cK

0r

1c- N

1i

.


25/36

25

1c N

cK 1c N

cK 1c N1cK

1c N1cK

2c NcK

c N

2i

2c NcK

ic Nr

cK

0r

2ir cK

c N

2i

C1K - NC2 C1C-K (c)M:résulteenIl

C1cK C1-C- NCCC

(I) C.CM(c):Soit1C N

cK 1K - N

1

Ce résultat est exact uniquement pour (K – C) inférieur à « C »

strictement ou { K- 2 c 0 et N – 1 K } ; autrement nous aurons

commis une répétition. Admettons que (K – c) c, nous devons alors

retrancher à l’expression (I) les répétitions dont voici la schématisation :

La construction des combinaisons autour de « C » à la phase « i » a été

précédée par la construction de combinaisons autour de « C » à la phase

« j ». Nous devons donc fixer « i » et faire varier « j » de 1 à ( i – c – 1).

Pour chaque valeur de « j », nous combinons les (K – 2c) restant de part

et d’autre des trois domaines D1, D2 et D3.

j-2 j +c +1 i-2 i+c+1c c c

1

N

j i-c-1 i

D1 = j-2 D2 = i – c-2-j D3= N-c-i

L’ex pression à retrancher est :

ic N jc2i

r 2 j

r c2K

c2K

0

c2K

0r

1ci

1 j

1c- N

2ci

C.C.C c'M


26/36

26

Il est évident que la répétition commence à partir de i = C +2.

c c

1 N

j =1 i = c +2

Pour évaluer les quatre sommations de l’expression M’ (c), je dois traiter

à part les conditions limites ou bornes de sommation afin de s’ajuster aux

domaines d’application des formules connues.

i = c +2 donne :

2c2 Nc2K

2c2 N1r

1r c2K

c2K

0

c2K

0r

CC.C.C

i = N- c+1 :

1 jc2 Nr

2c- N

1 j

2c-K

0r

2- j

r -2c-K

11 jc2 Nr

2 j

r c2K

2c-K

0

c2K

0r

c2 N

1 j

CCC.C.C

a) j = 1 :

2c2 N2c-K

2c2 Nr

c2K

0r

1r c2K CC.C

b) j = N-2c :2c2 N

2c-K 1

r

c2K

0r

2c2 Nr c2K CC.C

3c2 N

c2K

1-2c- N

2 j

3c2 Nc2K

1 jc2 Nr

2- j

r -2c-K

c2K

0r

1c2 N

2 j

C2-2c- NCC.C

Donc i = N- c+1 donne:

2c2 N2c-K

3c2 Nc2K C2C2c2 N


27/36

27

j = 1 donne :

3c2 N c2K c N

3ci

3c2 N c2K

ic N c- N

3ci

2c-K

0

3-c-i-2c-K

ic N3cir

1r c2K

2c-K

0

c2K

0r

c N

3ci

C2-2c- NC

CCC.C.C

j = i – c – 1 donne :

3c2 N

c2K iC N1

r 3ci

r c2K

2c-K

0

c2K

0r

c N

3ci

C2-2c- NC.C.C

D’autre part :

ic Nc- N

3ci

2-c-i

2 j

4-c-i-2c-K

2c-K

0

ic N j2cir

2 j

r c2K

2c-K

0

-2c-K

0r

2-c-i

2 j

c N

3ci CCC.C.C

4c2 N c2K

4c2 Nc2K

3c2 N

1i

4c2 Nc2K

c N

4ci

c N

4ci

2ci

2 j

4-2c- Nc2K

ic Nc- N

4ci

2-c-i

2 j

4-c-i-2c-K

c2K

0

3c2 N1c2K

c2K

0

1

2 j

C2c2 N3-2c- N2/1

CiC3ciC

0

C.CC.C

On arrive donc à :

2c2 N

c2K 3c2 N

2c-K 4c2 N

c2K C3C2c2 N3C2c2 N3c2 N21c'M

Tout arrangement fait :

2c2 N

c2K 1K N

22c2 N

c2K C.CC1K NK N

2

1c'M

Par conséquent :

: N NK,c, II C.CC.CcM32c2 N

c2K 1K N

21c N

cK 1K N

1

c2c-K

NKc


28/36

28

Observons que si N – 1 K et K-2c 0 M’(c) = 0 aucune répétition

commise.

Observons que K-2C 0 K – c c M’ (c) = 0 aucune répétition

commise.

Nous déduisons aussi que la relation (II) est exacte uniquement pour

K-2c c ou { N – 2 K et K – 3c 0}.

Admettons maintenant que ( K – 2c) c et { (N-2) K ou K – 3c =0}, il

se trouve alors que j’ai trop retranché dans l’étape (II), je dois donc

réadditionner ce qui n’aurait pas dû être retranché. En voici la

schématisation :

j-2 j +c +1 z-2 z+c+1 i-2 i+c+1

c c c

1

N

D1 D2 D3 D4

c c c

N

i -2

z = i-c-1

j = i – 2c-2

Une fois les variables « i » et « j » respectivement fixées, le groupe « c »

de variable « z » évolue de (j + c+ 1) à ( i – c – 1). Pour chaque valeur de

« z », je combine les ( K – 3c) restants de part et d’autre des domaines D1,

D2, D3 et D4.

Soit M’’ (c) le nombre de combinaisons à réadditionner.


29/36


30/36

30

(IV) C.C1........................

C.CC.CC.CC.CcM

c NcK

1K N1

4c4 Nc4K

1K N4

3c3 Nc3K

1K N3

2c2 Nc2K

1K N2

1c NcK

1K N1

On aura donc :

NK c: NcK, N, C.C1cM31K N

xxxc N

xcK

1x

1x

entière valeurcK

Nous devons conclure dans l’expression (IV) que les termes de

retranchement et de réaddition c’est à direxxc N

xcK 1K N

x C.C

constituent

en eux même des solutions quant au nombre de combinaisons ayant au

moins « x » groupes de « c » éléments successifs tel que K – xc < c ce

problème est traité dans un autre document.

AUTEUR :

Nom: BOUKHARI

Prénom: DRISS

e-mail : [email protected]

CONSTANTINE.

mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]


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31

1 C1 C2 C3 Cm N

D0 D1 D2 Dm-1 Dm

Résume:

Sur un échantillon de '' N" éléments ordonnés, N K C est le nombre de combinaisons

possibles de tailles : ‘K’ éléments. Quel est le nombre de combinaisons ayant au

moins 'm' groupes de 'c' éléments successifs strictement?:

2,,,, 4 m N N K C m N K mc

Sachant que pour « m» groupes de «c » éléments successifs (c1 = c2 = c3

=....= cm = c), les (K - mc) restants sont pris de part et d'autre des

intervalles D0, D1, D2,...., Dm-1, Dm, le nombre résultant de combinaisons

de «K» éléments est le même quelques soient les positions prises par les

«m» groupes de «c» éléments successifs sur un axe de «N » éléments

ordonnés. K et N sont des paramètres donnés. Nous pouvons exploiter la relation IV du précédent document pour

déterminer le nombre total de combinaisons ayant au moins «m» groupes

de «c » élément successifs.

Soit comme fonction entière M(m,c) où il est évident que M(m,c)< N K C .

Le raisonnement fait pour obtenir la relation IV était pour (m=l), nous

pouvons l'exercer pour «m» quelconque avec quelques égards. m =2 et m

= 3 nous suffisent pour marquer la nuance avec m =1 et donc pour

généraliser.

J D i

1 J-2 C i-2 C N


32/36

32

D1 J D2 i D3

1 C C N

1 C C C N

d 1 j d2 z d3 i d4

1 C C C N

d 1 z d2 j d3 i d4

Fig (1)

Les figures (1) nous donnent la première étape, les deux groupes «c» sont

respectivement désignés par leurs variables propres « j» et «i».

Le groupe «c» de variable «i» se translate pour des valeurs de «i» allant

entre 1et N. une fois «i» fixée, le groupe «c » de variable «j» se meut

dans le domaine D. pour chaque valeur de «j», nous combinons les (K –

2c) restants de part et d'autre dans les domaines D1, D2 et D3.

2: NC,K, .,2 322212 N K c N C C c M C N C K K N

c2c-K

D2

Fig-2-

Fig-3-

D1


33/36

33

Si (K -2c) c, les figures (2) et (3) montrent le sens de retranchement

cumulé sur les domaines D2 et D1 par rapport aux variables «i» et «j»

respectivement.

Le retranchement sur D2 se fait en fixant respectivement «i» et «j» et en

faisant translater le groupe «c» de variable «z» sur le domaine D2. Donc

pour chaque valeur de «z », nous combinons les (K-3c) restants sur les

domaines d1, d2, d3 et d4. Raisonnement pareil sur le domaine D1.

La réaddition et le retranchement s'opèrent en y plaçant dans chacune de

ces deux situations une nouvelle variable à l'amont des variables qui

précédent.

La position de la variable « z » dans la figure (2) a été déjà prise par la

variable

« i» au cours de son évolution en voyant « z » dans sa position actuelle.

Pareil dans la figure (3) où « z » a été déjà précédé par «j».

.2CK, N, .2.,2 33331322212 N K C N C C C C c M C N C K K N C N C K K N C C K 3

Nous nous intéressons à (K - c) qui a suffit auparavant à déterminer la

limite du développement. Si ( K -3 c) < c le processus s'arrête là et la

relation est exacte.

Mais Si (K - 3c) c nous devons réadditionner ce qu' il ne fallait pas

retrancher sur D2 et D1. Les figures (4), (5) et (6) nous indiquent le sensde la réaddition cumulée.


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34

g2 g4

1 C C C C N

g1 j z g3 y i g5

1 C C C C N

j y z i

1 C C C C N

y j z i

Fig – 4-

Fig – 5-

Fig-6-

Les (K- 4c) restant sont combinés de part et d’autre sur les domaines g1,

g2, g3, g4 et g5* Sur la figure (4), les variables « i», « j » et « z» sont fixés

respectivement et la variable «y » prend ses valeurs sur le domaine d3.

* sur la figure (5), la variable « y » prend ses valeurs sur le domaine d2.

* sur la figure (6), la variable « y » prend ses valeurs sur le domaine d1.

3444143331322212 C N,K, .3.2.,2 N C C C C C C c M C N C K K N C N C K K N C N C K K N

N K c 2 cc K 4


35/36

35

entiere.vaeur

3

,,3

C K

N K c

N C K N

Si maintenant (K-4c) < c, le processus s arrête là et le résultat est exact;

autrement on doit faire un autre retranchement et le processus continue

Entre le plus et le moins jusqu’à ce que la condition suffisante (k -c) soit

inférieur à (c) strictement.

....C4C.C3C.C2C.CCc2,M55C N

5CK

1K N

5

44C N

4CK

1K N

4

33C N

3CK

1K N

3

22C N

2CK

1K N

2

C N C K C .C11 1K - N

x xc N

xc K K N

x x

x

c N c K

K N C C xC C c M

.11.),2(

11

3

222

12

Même raisonnement et développement pour (m=3) on trouve :

.....C5C.C4C.C3C.CCc3,M 66C N 6CK 1K N655C N 5CK 1K N544C N 4CK 1K N433C N 3CK 1K N3

c N c K K N C C .11 1

1

x xc N xc K K N x x

x

c N c K

K N C C xC C c M

.11.),3( 12

4

333

13

d’une manière générale :

x xc N

xc K K N

xm x

m x

mmc N mc K

K N m C C xC C cm M

.11.),(

11

1

1

entièrevaleurCK

2

,,3

N K c

N C K N

,2

,,,4

C

K m

N K mc

N mC K N


36/36

Observons :

1/ si K = mc : M( m,c ) = 1 K N mC (m,c,K,N)4

N : K N ; m 1

c’est à dire le nombre de combinaisons ayant exactement « m » groupe de« c » éléments successif .

2/ M(K,1) = M(K – 1 ,1 ) = 1 K N K C

AUTEUR :

Nom :BOUKHARI

Prénom : DRISS

e-mail : [email protected]

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