math tutorial 3.1

WAJ 3105 LITERASI NOMBOR

Tutorial 3.1

Dalam kumpulan, terangkan secara terperinci setiap kaedah pengiraan di

bawah. Seterusnya, senaraikan keberkesanannya dalam pengajaran dan

pembelajaran sekolah rendah beserta dengan contoh-contoh yang relevan.

1) PENSIL DAN KERTAS

KAEDAH PENSIL – KERTAS

Model boleh digunakan bagi menjelaskan algoritma untuk operasi penambahan,

penolakan, pendaraban dan pembahagian. Model digunakan untuk

menggambarkan prosedur bagi setiap operasi. Kemudian, kita applikasikan

prosedur tersebut untuk mengembangkan algoritma setiap operasi

menggunakan pensil dan kertas. Akhirnya, gunakan penaakulan matematik

untuk membuktikan algoritma tersebut.

MENGAJAR OPERASI TAMBAH DAN TOLAK

Pelajar sekolah rendah perlu menguasai kemahiran mengira nombor bulat

selepas memahami konsep asas nombor. Empat operasi asas untuk mengira

ialah tambah, tolak, darab dan bahagi. Dalam tajuk ini kita akan tumpukan

kepada dua operasi asas, iaitu tambah dan tolak yang telah mula diperkenalkan

semasa pra sekolah dan Tahun Satu. Walaubagaimanapun, operasi tambah

dan tolak akan terus diajar setiap tahun dengan melibatkan nilai digit yang lebih

besar.

Membina Algoritma untuk Operasi Penambahan

Dalam bahagian ini, kita akan lihat algoritma untuk operasi tambah dan tolak

melibatkan nombor bulat. Tumpuan kita menggunakan model dan logik untuk

memahami prosedur pengiraan dalam mencari hasil tambah dan tolak.Terdapat

lebih daripada satu algoritma untuk menambah dan menolak nombor

bulat.Kebanyakan algoritma untuk menambah dan menolak nombor bulat


mengambilkira nilai tempat, ciri- ciri dan mencari persamaan untuk

mencerakinkan pengiraan kepada yang lebih mudah serta menggunakannya

untuk mencari jumlah ataupun hasiltolak yang dikehendaki.

Bagaimana anda menyelesaikan pengiraan di bawah yang melibatkan operasi

tolak dengan menggunakan kaedah kertas-dan-pensil?

2,004- 1,278

Penggunaan model dalam pengiraan dapat menunjukkansesuatu algoritma

dengan jelas. Sebagai contoh, pergerakan dalam penggunaan blok asas sepuluh

seperti Blok Dienes untuk mencari jumlah dua nombor dapat dihubungkaitkan

dengan langkah- langkah dalam algoritma untuk penambahan. Dari sini kita akan

membina algoritma menggunakan kaedah kertas dan pensil. Akhirnya kita akan

menggunakan ciri- ciri operasi dalam Nombor Bulat untuk membuktikan langkah-

langkah dalam algoritma tambah adalah logik.

Rajah 1 Blok Dienes dengan Nilai Tempat

Contoh 1menunjukkan bagaimana Blok Dienes boleh digunakan untuk

menerangkan algoritma operasi tambah. Nombor- nombor 369 dan 244

diwakilkan menggunakan blok ini dan seterusnya dicantumkan untuk

menunjukkan operasi tambah dilakukan dengan mengambilkira konsep nilai

tempat.

PuRa Sa


Contoh 1

Menggunakan Model- Blok Dienes untuk operasi tambah.

Kedua- dua nombor diwakilkan menggunakan blok asas sepuluh: Menggunakan

model ini, cari jumlahnya dan tuliskan persamaan untuk merekod proses

penambahan itu.

Penyelesaian:

Ra Pu Sa

Guna blok asas sepuluh untuk menunjukkan proses penambahan 374 + 128. Tuliskan satu persamaan yang berkaitan.

atau


Hasil tambah ini dalam bentuk persamaan seperti berikut:

369+ 244613

Sekarang mari kita lihat cara lain untuk penambahan menggunakan kaedah

kertas dan pensil yang berkait terus dengan penggunaan dalam contoh 1. Kita

akan menggunakan soalan yang sama, 369 + 244 ditambah menggunakan

Expanded Algorithmdi mana semua nombor yang mempunyai nilai tempat yang

sama ditambah dan kemudian dikumpul semula mengikut mengikut nilai tempat.

PenambahanBerkembang (Expanded Addition)

369 + 244

300 + 60 + 9 3 69200 + 40 + 4 + 244500 + 100 + 13 = 613 5 0 0

1 0 0 1 3 6 1 3


Membina Algoritma untuk Operasi Penolakan

Model boleh digunakan bagi menjelaskan algoritma untuk operasi tolak

sebagaimana yang telah digunakan dalam algoritma penambahan. Mula-mula,

gunakan model untuk menggambarkan prosedur untuk operasi tolak. Kemudian,

kita aplikasikan prosedur tersebut untuk mengembangkan algoritma tolak

menggunakan pensil dan kertas. Akhirnya, gunakan penaakulan matematik

untuk membuktikan algoritma penolakan.

Contoh 2

Cari hasiltolak dengan menggunakan blok asas-sepuluh bagi 245 – 18 dan tulis

persamaan untuk mencatat penolakan tersebut.

Ra Pu Sa

Untuk mencukupkan sa bagi menolak 8, tukarkan 1 puluh untuk 10 sa. Kemudian

ambil 8 sa daripada 15 sa dan tinggalkan 7 sa: Selanjutnya, tolak 1 puluh dari

3 puluh yang tinggal dan sekarang kita ada 2 puluh. Oleh kerana tiada nilai ratus

yang perlu ditolak,maka hasiltolaknya ialah 227, dan ini direkodkan.

seterusnya


245- 18

227

Rekodkan sebagai satu persamaan 245 –18 = 227

Sekarang kita lihat expanded subtraction, mulakan penolakkan dengan sa dan

teruskan menolak dengan mengumpul semula, iaitu daripada kanan ke kiri.

PenolakanBerkembang (Expanded Subtraction)

245 – 18 30 10

200 + 40 + 5 200 + 40 + 5 – 10 – 8 – 10 – 8

2 200 + 20 + 7 = 227

MENGAJAROPERASI DARAB DAN BAHAGI

Dalam bahagian ini, kita akan melihat algoritma untuk pendaraban dan

pembahagian nombor bulat. Kita mula dengan menggunakan model-model untuk

membantu menjelaskan algoritma berkaitan dan kemudian menggunakan ciri-

ciri nombor bulat untuk membuktikan algoritma itu.

atau


Membina Algoritma untuk Pendaraban

Seperti algoritma penambahan dan penolakan, penggunaan model akan

memberikan asas fizikal untuk menerangkan algoritma untuk pendaraban. Model

yang digunakan ialah blok asas-sepuluh dan model gambar untuk mewakilkan

pendaraban dalam mencari luas segiempat tepat. Menggunakan proses yang

dicadangkan oleh model, kitaakan bina algoritma kertas-dan-pensil untuk

pendaraban. Akhirnya, kita gunakan penaakulan matematik bersama dengan

ciri- ciri untuk membuktikan algoritma pendaraban.

Contoh3

Carihasildarab 215 x 74

KaedahPendaraban Grid (Grid Method of Multiplication)

X 200 10 5

70 14 000 700 350

4 800 40 20

14 800 + 740 + 370

= 15 910

Algoritma pertama berdasarkan model itu memerlukan kita mencerakinkan

nombor mengikut nilai tempat dan darabkan setiap digit mengikut nilai tempat

untuk mendapatkan hasildarab separa. Dalam algoritma ini, yang disebut

2 1 5

x 7 4

2 0

4 0

8 0 0

3 5 0

7 0 0

1 4 0 0 0

1 5 9 1 0

Pilih sama ada expanded atau standard algorithm untuk mencari hasil darab 345 x 6

atau


expanded algorithm semua hasil darab separa ditambah untuk mencari jumlah

hasil darab. Manakala algoritma yang kedua, yang dikenali sebagai standard

algorithm, melibatkan hanya dua hasildarab separa.

Adakah anda dapat menyelesaikan semua latihan?

Bagus! Berehat sebentar sebelum meneruskan operasi seterusnya.

Membina Algorithma untuk Pembahagian

Contoh4

KaedahPenolakanad hocuntukPembahagian

574 ÷ 7

574 ÷ 7

50 350

224

30 210

14

2 14

82 0

50

2

30 82

7)574

350

224

210

14

14

0


2) KALKULATOR DAN KOMPUTER

Berdasarkan hasil kajian dan penyelidikan yang dijalankan di luar negara dan

juga di Malaysia didapati ratio yang menunjukkan bahawa murid-murid sekolah

rendah yang menggunakan kalkulator adalah lebih bermotivasi dan menunjukkan

pencapaian lebih memberangsangkan daripada mereka yang tidak

menggunakannya. Pemerhatian-pemerhatian yang menyeluruh juga menyokong

penggunaan kalkulator dalam bilik darjah. Terdapat kajian yang menunjukkan

murid-murid takut terhadap matematik akibat daripada penggunaan algoritma

kertas pensel yang panjang lebar dan memerlukan banyak langkah dan

peraturan yang harus diikuti, misalnya dalam operasi pendaraban dan

pembahagian. Telah banyak kajian menunjukkan bahawa penggunaan kalkulator

akan menukar sikap murid terhadap matematik dan juga meningkatkan

keyakinan diri mereka serta minat terhadap matematik. Menurut Bernard R. Yvon

– Compelling case for Calculators – Arithmatic Teacher Volume 381990/91

menyatakan penggunaan kalkulator dalam matematik mempunyai fungsi,

kelebihan dan bonus yang boleh disimpulkan seperti berikut:

v Memberikan motivasi terhadap pembelajaran matematik secara mendalam dan

berterusan;

v Membekalkan pelajar cara yang lebih mudah dan berkesan untuk membuat

penyelesaian masalah;

v Membenarkan soalan yang lebih mencabar dan mendalam yang memerlukan

diberikan kepada murid pada peringkat yanglebih awal;

v Murid berpeluang membuat penerokaan dan aplikasi yang lebih mendalam

tentang topiK-topik yang berkaitan;

v Membolehkan murid mensintesis jawapan melalui ramalan berdasarkan pola-

pola yang diperhatikan;

v Menggalakan murid menguasai saiz dan nilai nombor (bijak nombor)


v Murid tidak merasa bosan menyelesaikan ‘problem solving’ malah mahu

menyiapkan walaupun menggunakan masa yang lama.

v Murid merasa yakin bahawa kalkulator dapat membantu memperbaiki

kebolehan untuk menyelesaikan masalah matematik mereka.

v Membina sikap yang positif dalam matematik. Murid akan merasa seronok

dengan matematik “seeing the beauty and enjoying the fun of mathematics”.

v Membina keyakinan diri. Sebagai alat motivasi untuk murid sebagaimana

seorang tukang kayu yang dapat mengukir kayaunya dengan baik dan cepat jika

mempunyai peralatan yang cukup.

v Pelajar yang menggunakan kalkulator dalam matematik mempunyai sikap yang

lebih positif terhadap dirinya sebagai ahki matematik dan berkeupayaan

menyelesaikan masalah yang lebih komolek

v Boleh berdikari. Murid dapat belajar secara penyiasatan sendirian dengan

penggunaan kalkulator.

v Pengukuhan dalam skill jangkaan

v Penyiasatan yang mudah. Murid boleh menyiasat sendiri jawapan dengan

kaedah tanpa perlu bantuan guru.

v Kerjasama dan tanggung jawab. Murid lebih bertanggung jawab apabila diarah

untuk menjaga keselamatan alatan.

Berdasarkan fungsi dan kebaikan seperti yang dinyatakan di atas, ianya sudah

cukup untuk membuktikan serta menggalakkan penggunaan kalkulator dalam

pengajaran matematik di sekolah rendah.

Biasanya murid sekolah rendah terutama yang lambat mengalami kesukaran

semasa menyelesaikan soalan matematik yang melibatkan penggunaan ayat,

bukan kerana mereka tidak faham atau tidak tahu membuat transformasi, tetapi

kerana mereka bermasalah dalam menjalankan algoritma operasi itu. Dengan


menggunakan kalkulator, murid-murid di sekolah rendah boleh menumpukan

perhatian kepada aplikasi konsep dan penyelesaian masalah. Mereka tidak akan

diganggu oleh kesukaran membuat kiraan yang panjang lebar. Soalan yang lebih

mencabar dan realistik juga boleh diberikan. Ini secara tidak langsung akan

mejadikan pembelajaran matematik lebih bermakna dan menyeronokan.

Sebenarnya, banyak masalah hanya memerlukan anggaran jawapan dan bukan

jawapan tepat. Oleh itu murid-murid harus diajar cara membezakan dan

menentukan kaedah yang paling berkesan untuk menyelesaikan sesuatu

masalah yang diberikan, sama ada memerlukan hanya anggaran, pengiraan

congak, penggunaan algoritma kertas – pensel ataupun kalkulator. Contohnya

kemahiran mengganggar adalah satu kemahiran yang paling berkuasa sekali

dalam kehidupan seharian kita. Setelah membeli barang-barang di pasar raya,

kita boleh mengganggar sama ada kiraan bil oleh juru wang betul atau tidak.

Seseorang murid yang mahir membuat anggaran akan cepat mengecam

kesilapan kiraan seperti “223 + 489 = 1099” kerana 200 + 400 tidak mungkin

menjadi 1000. Oleh itu, murid digalakan membuat anggaran sebelum mengira.

Setelah mendapat jawapan yang betul dengan kalkulator, galakan murid

menaakul sama ada jawapan yang didapati itu munasabah atau tidak ini akan

menyebabkan motivasi belajar matematik di kalangan murid sekolah rendah

akan meningkat.

Peranan komputer dalam pendidikan di Malaysia memberikan impak yang besar

kepada pendidikan matematik khasnya. Walaubagaimanapun, teknologi

komputer hanya akan memberikan kesan terhadap pembelajaran murid

sekiranya guru yang mengajar diberikan ilmu dan kemahiran untuk

menggunakannya dalam pengajaran.

Seperti yang telah dibincangkan dalam tajuk 2.6, penggunaan komputer dalam

bilik darjah selalunya dikaitkan dengan pakej perisian dan internet. Pelajar boleh

meneroka, menyelidik dan membuat simulasi dan latihan secara interaktif

dengan menggunakan komputer sebagai media pembelajaran.


Terdapat pelbagai perisian matematik yang membantu pengajaran dan

pembelajaran matematik. Beberapa kajian mendapati perisian seperti Geometric

Sketch Pad (GSP), Cabri dan Geogebra membantu pelajar mengukuhkan

konsep geometri dan menganalisis masalah dan situasi yang berkaitan dengan

bentuk dan ruang.

Kebanyakan penerbit buku, samada buku teks atau buku rujukan juga

menyisipkan cakera padat (CD) dalam buku yang dibekalkan ke sekolah maupun

yang dijual secara komersil. CD yang dibekalkan selalunya mengandungi

permainan, rancangan pengajaran, masalah matematik dan pakej pembelajaran

interaktif. Walaubagaimanapun guru harus mengambilkira aspek pengajaran dan

teknikal yang telah dibincangkan dalam topik 2.6 untuk menentukan kesesuaian

penggunaan perisian tersebut.

Dalam membincangkan penggunaan komputer dalam pendidikan matematik,

penggunaan internet harus diambilkira memandangkan kelebihannya dalam

mencapai dan menyebarkan maklumat dengan pantas di zaman teknolgi kini.

Pelbagai laman web boleh diakses untuk membantu guru dan pelajar mencari

bahan dan maklumat berkaitan matematik. Namun, guru harus berhati-hati

dalam menilai maklumat yang sesuai dan wajar dalam pengajarannya.

Internet juga boleh digunakan untuk membuat kajian dan mengumpul data.

Selain itu, kini terdapat manipulatif berbentuk virtual yang boleh digunakan

secara interaktif oleh pelajar-pelajar.

Perisian yang terdapat dalam komputer itu sendiri juga boleh membantu dalam

pengajaran dan pembelajaran matematik di dalam bilik darjah. Satu contoh yang

baik ialah program microsoft excel. Program ini banyak membantu dalam tajuk

pengumpulan dan persembahan data.


3) PENGIRAAN MENTAL

Dalam banya kurusan kehidupan harian, pengiraan tepat adalah tidak

diperlukan. Sebagai contoh, dalam urusan jual beli, kita tidak boleh sentiasa

menerima hasil pengiraan kalkulator secara membuta kerana kesilapan

menekan kekunci kalkulator adalah tidak dapat dielakkan. Oleh yang demikian,

kebolehan untuk menganggar ‘reasonableness’ sesuatu hasil pengiraan adalah

sangat berguna untuk membuat keputusan yang bijak dalam situasi jual beli.

Sehubungan itu, kebolehan untuk mengira secara mental adalah sangat berguna

untuk membuat anggaran yang cepat.

Bayangkan anda sedang berada di depan kaunter juruwang di sebuah pasaraya.

Berikut adalahsenarai barang dan harga yang telah anda beli:

Barang Harga Barang Harga

Serbuk Cuci Breeze RM23.90 Ikan Siakap RM18.45

Minyak Masak Natural RM26.90 Kerang RM 3.50

Telur Ayam RM12.50 Biskut Jacobs RM 9.90

Milo RM13.20 Bawang Putih RM 4.30

Setelah juruwang memasukkan harga semua barang dalam mesin wang, anda

melihat skrin mesin itu memaparkan “RM143.45”

Teknik Pengiraan Mental

Hukum tukar tertib (commutative), hukum sekutuan (associative) dan hukum

taburan (distributive) membolehkan nombor disusun dan dicerakinkan supaya

mudah dikira secara mental. Begitu juga,teknik membilang secara menaik dan

Gunakan anggaran secara mental untuk membuat keputusan samada

anda akan terus membayar sejumlah wang itu atau tidak. Jelaskan

justifikasi untuk keputusan anda..


membilang secaramenurunadalah kaedah yang cekap untuk menambah jika nilai

yang ditambah (addends) ialah 1, 2, 3, 10, 20, 30, 100, 200, 300 dan

selanjutnya. Contohnya dalam pengiraan 45 + 30, mulakan dengan 45 dan

bilang secara menaik sebanyak 10 untuk mendapatkan hasiltambah: 45, 55, 65

75. Teknik membilang secara menurun merupakan kaedah yang cekap apabila

ditolak 1, 2, atau; 10, 20 atau 30 dan selanjutnya. Misalnya 87 – 2, mulakan

dengan nombor yang lebih besar, 871 dan lakukan proses membilang secara

menurun: 871, 870, 869.

Kombinasi sesetengah nombor membuatkan penambahan mudah

dilakukan contohnya25and175, juga mudah untuk didarab,

contohnya28x10. Nombor yang mudah untuk dikira secara mental dinamakan

nombor serasi (compatible). Teknik inimemerlukan pemilihan pasangan nombor

yang serasi (compatible)untuk dioperasikan dan melibatkan fakta asas.Kebanyakan

orang boleh menambah dan menolak secara mental nombor- nombor gandaan

10atau 100,contohnya 70+20=90, dan boleh mendarab gandaan 10dan

100,contohnya, 34x100=3400. Misalnya, pendaraban (2 x 8) x (5 x 7) lebih

mudah jika (2 x 5) x (8 x 7) kerana 2 x 5 = 10, seterusnya 8 x 7 = 56 dan 10 x 56

= 560.

Cari nilai yang tepat untuk setiap ungkapan berikut dengan membilang secara

menaik atau menurun. Jelaskan proses yang digunakan dalam setiap kes.

a) 286+30 b) 18200 +2300 c) 962 –3

Cari nombor yang serasi (compatible) untuk mencari jawapan yang tepat

bagi ungkapan- ungkapan berikut:

a)(25x 9)x (11x 4) b) (5x 15)x (20x 3)


4) PENGANGGARAN

Teknik pengiraan mental atau congak dan pengganggaran adalah komponen

penting dalam matematik. Misalnya seorang ahli biologi yang mengkaji tentang

penguin ingin menganggar populasi penguin. Maka, teknik pengiraan mental

dan pengganggaran nilai tempat diperlukan untuk kajian masalah ini. Terdapat

empat teknik penganggaran yang akan kita perhatikan. Ini memerlukan kepada

pemahaman numerasi dan pengetahuan tentang fakta-fakta asas. Seperti juga

teknik- teknik untuk pengiraan mental yang diterangkan dalam2.7.1, ini juga

melibatkan membuat keputusan samada anggaran itu boleh diterima untuk

situasi yang berkaitan dan teknik mana yang harus digunakan untuk dapatkan

anggaran itu.

Semua teknik penganggaran nombor melibatkan penukaran nombor dengan

yang paling hampir dan mudah untuk dikira secara mental. Perkaitan dengan

keadaan sebenarmenentukan sama ada jawapan yang tepat atau anggaran

sahaja yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah.

5) BAHAN MANIPULATIF

Definisi bahan manipulatif

Pelaksanaan pengajaran dan pembelajaran (P&P) matematik di sekolah

rendah menggunakan bahan manipulatif seharusnya menjadi suatu kemestian.

Ramai dalam kalangan pendidik khususnya guru matematik mengakui hakikat

bahawa bahan manipulatif adalah kunci penting kepada pengajaran kepada

Anggarkan jawapan bagi ungkapan- ungkapan berikut:

a. 478+223

b. 8x26

c. 578+603 +614 +582d. 36563-8180


kanak-kanak. Perkara ini didasari oleh teori Jean Piaget, seorang ahli psikologi

dan falsafah yang banyak mengkaji dan membahaskan ilmu berkaitan tahap

kognitif kanak-kanak. Menurut Piaget (1952) kanak-kanak memerlukan

pengalaman konkrit untuk memahami istilah matematik dan simbol matematik.

Hal ini kerana, murid-murid sekolah rendah masih berada dalam peringkat

operasi konkrit di mana pemikiran abstrak dan hypotetikal mereka masih belum

terbina sepenuhnya. Peringkat operasi konkrit adalah dalam peringkat umur 7

tahun hingga 11 tahun iaitu julat umur bagi kebanyakan murid-murid sekolah

rendah. Pemikiran hypotetikal ialah pemikiran di mana seseorang itu berfikir

berdasarkan situasi atau idea yang boleh diimaginasi berbanding yang realistik

dan benar. Daya imaginasi pada peringkat kanak-kanak adalah lebih rendah

berbanding orang lebih dewasa.

Menurut Heddens (2005) bahan manipulatif ialah model konkrit yang

melibatkan konsep matematik, menarik kepada beberapa deria serta boleh

disentuh dan digerakkan oleh murid-murid. Pada masa sekarang, bahan

manipulatif digunakan dalam pengajaran matematik telah diterima yang boleh

diguna pakai sebagai satu kaedah yang akan membantu murid-murid belajar

matematik dengan lebih bermakna. Pendek kata, bahan manipulatif membantu

murid-murid membina imej mental yang lebih jelas untuk memahami idea-idea

dan konsep-konsep matematik (Weiss, 2006).

Rajah 1: Guru boleh mengajar konsep menggunakan takrif rajah sebagai perwakilan fizikal atau bahan manipulatif pada peringkat operasi konkrit


Sementara itu, menurut Swan dan Marshall (2010) bahan manipulatif

matematik merupakan objek yang dikendalikan individu melalui deria yang

mana pemikiran matematik dapat dipupuk dalam keadaan individu itu sedar

atau tidak sedar. Deria yang digunakan termasuk deria sentuh dan lihat. Oleh

yang demikian, bahan manipulatif matematik boleh mendorong ke arah

kesedaran, pembangunan konsep dan idea yang dikaitkan dengan matematik

sementara setiap bahan manipulatif yang direka adalah untuk tujuan tersendiri.

Antara bahan manipulatif yang terkenal ialah Attribute Blocks, Base Ten

blocks, Cuisenaire rods, Multilinks cubes, Pattern Blocks,

Polydrons/Geoshapes, square tiles dan Unifix cubes. Kesemua bahan

manipulatif ini mempunyai fungsi tersendiri untuk konsep matematik yang

berlainan.

Terdapat juga sebilangan sarjana yang berpendapat abakus, kalkulator

dan carta pecahan sebagai sebahagian daripada bahan manipulatif matematik.

Hal ini kerana mereka beranggapan bahawa penggunaan kalkulator sebagai

bahan manipulatif dapat meneguhkan sesuatu konsep empat operasi asas yang

telah diajar kepada murid. Simbol-simbol yang terdapat pada kalkulator boleh

mewakili konsep operasi asas seperti tambah, tolak, darab dan bahagi yang

mana dapat mengukuhkan konsepsual matematik. Walaubagaimanapun hal ini

adalah tidak benar kerana abakus dan kalkulator ialah alat pengiraan

manakala carta pecahan (fraction chart) pula diklasifikasikan sebagai alat

bantu mengajar. (Swan dan Marshall, 2010). Namun begitu abakus, kalkulator

dan carta pecahan boleh digunakan bagi menyokong dan membantu pengajaran

dan pembelajaran (P&P) matematik kerana alat-alat tersebut diakui sebagai

sebahagian daripada resos matematik.


Pada tahun 1973, Jerome Seymour Bruner telah melakukan suatu

pemerhatian di sebuah sekolah. Bruner ialah seorang ahli psikologi yang banyak

memberi sumbangan yang signifikan terhadap bidang psikologi kognitif manusia

dan teori pembelajaran kognitif. Dalam kajiannya itu, beliau telah memperhati

kanak-kanak menggunakan bahan manipulatif konkrit dan menyedari terdapat

satu proses di mana murid membina pengetahuan konsep matematik di dalam

pengajaran dan pembelajaran (P&P) tersebut. Pemerhatian beliau bermula

apabila guru menunjukkan contoh-contoh bagaimana untuk menggunakan bahan

manipulatif itu.

Setelah itu, kanak-kanak mengaplikasikan bahan manipulatif tersebut.

Kemudiannya, kanak-kanak itu diminta untuk tampil ke hadapan melukis gambar

tentang konsep dan menulis penjelasan apa yang difahaminya di papan hitam.

Melihatkan kepada tingkah laku kanak-kanak tersebut, Bruner berpendapat

kanak-kanak tersebut telah memahami konsep matematik yang difahami dalam

mentalnya (abstrak) dan dapat pula menjelaskan dalam bentuk lukisan (konkrit).

(Kosko dan Wilkins, 2010, p. 79). Di sini dapat difahami bahawa bahan

manipulatif ialah bahan yang merapatkan jurang idea matematik abstrak

dengan idea matematik konkrit supaya murid mahir atau matang dalam

ilmu matematik. (Frank, 2012).

Rajah 3: Jerome Seymour BrunerRajah 2: Jean Piaget


Selepas meneliti semua aspek, bahan manipulatif dapat disimpulkan

sebagai alat atau bahan yang bersifat konkrit atau maujud yang melibatkan

penggunaan tangan murid-murid dengan cekap terhadap objek yang dapat

dipegang dan dimanipulasi untuk membantu murid-murid peringkat pra

operasi membina pengetahuan dan konsep matematik secara langsung

atau tidak langsung. Guru boleh membiarkan murid-murid menggunakan bahan

manipulatif secara langsung untuk bermain, meneroka, membina, menguji dan

membilang dengan harapan murid-murid tersebut dapat menguasai konsep

Rajah 4: Dua jenis teknologi yang berbeza tetapi mempunyai fungsi yang sama. Kedua-dua alat untuk pengiraan ini dapat membantu pengajaran dan pembelajaran (P&P) namun begitu kedua-duanya juga tidak diklasifikasikan sebagai bahan manipulatif. Kalkulator (gambar pertama) berperanan sebagai medium kepada bahan manipulatif maya manakala abakus (gambar kedua) berfungsi sebagai medium kepada bahan manipulatif fizikal.

Rajah 5: Attributes block adalah satu jenis bahan manipulatif untuk menyediakan tugas-tugas yang mencabar dan berstruktur yang dikaitkan dengan identifikasi sifat. Murid boleh membentuk sifat seperti muka manusia daripada blok-blok bentuk matematik ini


matematik dengan lebih baik. Contoh lain bahan manipulatif fizikal selain di atas

yang boleh didapati dengan mudah dari persekitaran ialah butang baju, bongkah

kayu, batu, penutup botol, guli dan lain-lain.

Definisi bahan manipulatif maya

Dalam membina ilmu pengetahuan matematik terdapat laluan atau

kaedah alternatif yang boleh digunakan selain bahan manipulatif iaitu

menggunakan bahan manipulatif maya sebagai salah satu kaedah pengajaran

matematik masa kini. Bahan manipulatif maya diakui dapat memberi kesan yang

sama kepada murid iaitu P&P yang lebih bermakna. Bahan manipulatif maya

boleh didefinisikan sebagai satu interaktif, berasaskan laman sesawang yang

menunjukkan visual objek yang dinamik yang digunakan untuk membina

pengetahuan matematik. (Moyer et al., 2002, p.373).

Bahan manipulatif maya juga dapat didefinsikan sebagai replika yang

betul kepada bahan manipulatif konkrit dan diletakkan dalam internet

dalam bentuk aplikasi computer untuk membina pengetahuan matematik

(Moyer, Bolyard & Spikell, 2002). Ramai penyelidik percaya yang bahan

Rajah 6: Gamabar satu ialah contoh Unifix Cubes. Gambar dua menunjukkan kanak-kanak meneroka dan bermain sendiri Unifix Cubes. Unifix Cubes berwarna warni, kiub saling pautan yang dapat membantu kanak-kanak berumur 4 tahun ke atas belajar matematik awal dan membaca konsep matematik.


manipulatif maya mempunyai keupayaan dan potensi untuk menangani

kebanyakan kelemahan utama dalam menggunakan bahan manipulatif fizikal

dalam P&P. (Clemets & Sarama, 2005; Moyer, Niezgoda, & Stanley, 2005; Yuan

Lee, & Wang, 2010). Bahan manipulatif maya mempunyai banyak kelebihan

seperti keupayaan interaktiviti, pengubahan, perwakilan yang fleksibel, sumber

yang tidak terhad, dan mudah untuk dibersihkan. Banyak kajian yang

menunjukkan bahan manipulatif menyediakan kelebihan yang unik dan boleh

menjadi lebih efektif berbanding bahan manipulatif fizikal dalam menyokong

pembelajaran. (Wright, 1994; Clements & Sarama, 1998; Suh & Moyer, 2007).

Sementara itu, tidak semua perisian komputer yang berkaitan dengan

pembelajaran itu adalah bahan manipulatif maya. Hal ini kerana perisian-

perisian seperti Mathdisk, Geogebra dan MathXpert berfungsi sebagai

medium kepada penyampaian bahan manipulatif maya. Perisian-perisian

sebegini adalah platform kepada terbentuknya bahan manipulatif maya melalui

kaedah-kaedah tertentu yang boleh dijadikan bahan dalam pengajaran dan

pembelajaran (P&P) . Penggunaan perisian-perisian ini dalam P&P diperlukan

untuk mencetuskan pengajaran yang lebih bermakna, menarik minat dan

menyeronokkan di samping memudahkan proses pembinaan konsep matematik

dalam mental murid.

Bahan manipulatif maya adalah sama dengan bahan manipulatif fizikal

seperti Attribute Blocks, Base Ten blocks, Cuisenaire rods, Multilinks cubes,

Pattern Blocks, Polydrons/Geoshapes, square tiles dan Unifix cubes tetapi direka

dalam bentuk maya dalam komputer. Dalam perkataan yang mudah, bahan

manipulatif maya adalah juga bahan manipulatif fizikal tetapi diterjemah atau

ditukar ke dalam bentuk perisian komputer dan kebanyakkan boleh didapati di

internet.

Rajah 7: Gambar satu ialah rod cuisanaire, gambar dua pula ialah base 10 block, dan gambar ketiga ialah tangram puzzles. Di dalam dunia komputer, ketiga-tiga bahan


Dapatlah disimpulkan di sini bahawa bahan manipulatif maya adalah

bahan manipulatif konkrit yang ditransformasikan atau diterjemahkan

dalam bentuk visual iaitu bentuk maya, diletakkan di dalam internet,

digunakan secara fleksibel dalam bentuk perisian komputer dan dapat

dimanfaatkan untuk membina pengetahuan matematik dan membantu

murid memahami idea dan konsep matematik. Contoh bahan manipulatif

maya ialah “Geometry applet” yang menyediakan pengalaman dinamik dalam

geometri 3 dimensi (Joyce, 2005); “Algebra tiles” memberi peluang kepada

pengguna untuk menyiasat konsep dan hubungan dalam algebra (Texas

A.2005); dan “Base ten blocks activities” yang membantu pengguna untuk

mendapat pemahaman tentang nilai tempat dan operasi (Mankus, 2005) secara

interaktif.

Peranan bahan manipulatif dan bahan manipulatif maya dalam

mewujudkan P&P yang bermakna

Apabila seseorang guru menggunakan bahan manipulatif sebagai alat

kognitif seharusnya guru tersebut dapat meningkatkan proses pengajaran dan

pembelajaran (P&P) selain menggalakkan murid untuk sentiasa mengekalkan

Rajah 7: Gambar satu ialah rod cuisanaire, gambar dua pula ialah base 10 block, dan gambar ketiga ialah tangram puzzles. Di dalam dunia komputer, ketiga-tiga bahan


maklumat yang diperolehi dalam ingatannya. Ia adalah diakui bahawa

penggunaan bahan manipulatif bukan sahaja dapat meningkatkan pencapaian

murid tetapi meningkatkan kefahaman konsepsual dan kemahiran penyelesaian

masalah mereka. Bahan manipulatif memberikan pengalaman konkrit,

pengalaman hands-on yang mana dapat menfokuskan perhatian dan

menguatkan motivasi murid. (Durmas dan Karakirik, 2006). Apa yang

dimaksudkan di sini ialah bahan manipulatif dianggap sebagai alat yang dapat

memberi murid pembelajaran secara konkrit, menyediakan peluang kepada

murid untuk memanipulasi, menarik perhatian murid dalam P&P dan dapat

meningkatkan minat murid terhadap pengajaran guru sekaligus merangsang

motivasi murid. Di samping itu juga, bahan manipulattif juga dapat meingkatkan

motor halus kanak-kanak dengan aktiviti hands-on.

Selain itu juga, bahan manipulatif juga memberi murid-murid satu

cara untuk memahami konseptual matematik yang abstrak dengan

membolehkan murid-murid menghubungkan konsep tersebut dengan idea

konkrit yang informal. (Uribe-Flo’rez & Wilkins, 2010, p. 363). Apa yang dapat

disimpulkan di sini ialah bahan manipulatif dapat membantu murid memahami

idea-idea matematik yang abstrak dengan membolehkan murid-murid

mengaitkannya dengan perkara atau idea konkrit secara tidak langsung.

Berlakunya perkara ini maka P&P yang dijalankan guru adalah lebih bermakna

kepada murid-murid.

Rajah 8: Bahan manipulatif bukan sahaja memudahkan pemahaman murid terhadap konsep-konsep matematik tetapi meningkatkan motor halus murid kerana melibatkan pengalaman hands-on murid


Menurut McKinney, Schiamberg dan Shelton (1998) murid akan berminat

untuk belajar sekiranya mereka berpeluang untuk terlibat secara aktif dalam

aktiviti P&P dan perkara ini hanya akan berlaku jika dalam guru menyediakan

bahan atau alat yang berfungsi sebagai bahan manipulatif. Apabila bahan

manipulatif disediakan pembelajaran aktif akan berlaku dan murid akan terlibat

dalam P&P secara langsung. Melalui cara ini, bahan manipulatif akan dapat

membangkitkan minat, rasa ingin tahu, sekaligus disiplin dan sifat

kerjasama akan terbentuk dalam kalangan murid.

Tambahan pula, secara tidak langsung juga bahan manipulatif dapat

mengatasi pelbagai masalah disiplin murid semasa di dalam kelas seperti

mengganggu rakan semasa belajar, tidak menumpukan perhatian dan membuat

salah laku yang lain. Bahan manipulatif berperanan secara tidak langsung dalam

hal ini apabila murid mula menunjukkan minat dan fokus apabila mereka

memanipulasi bahan manipulatif. Hal ini terjadi disebabkan bahan manipulatif itu

adalah menarik kerana mempunyai warna yang pelbagai sebagai contoh

Cuisanaire Rods. Cuisanaire rods memberi peluang kepada murid belajar secara

hands-on tentang konsep matematik seperti 4 operasi aritmetik asas dan perkara

berkaitan dengan pecahan.

Menurut Mok Soon Sang (1996), bahan manipulatif memberi peluang

kepada pelajar memperoleh pengetahuan melalui penggunaan pelbagai

deria, iaitu deria penglihatan, deria sentuh dan deria pendengaran. Bahan

manipulatif merupakan bahan yang boleh merangsang deria manusia dan

diaplikasikan dalam konsep pembelajaran. Kanak-kanak peringkat operasi

Rajah 9: Pembelajaran secara aktif tidak membosankan selain dapat meningkatkan rasa ingin tahu (inkuiri), disiplin dan kerjasama antara murid. Semua ini dapat dicapai dengan penggunaan bahan manipulatif dalam pengajaran dan pembelajaran.


konkrit sangat memerlukan bahan manipulatif sebagai bahan rangsangan dalam

pembelajaran.

Bahan manipulatif maya juga berperanan seperti bahan manipulatif fizikal

kerana bahan manipulatif maya adalah model sebenar bahan manipulatif fizikal.

(Dorwand & Heal, 1999). Bahan manipulatif maya juga menyediakan

persekitaran yang interaktif di mana murid dapat mencari dan

menyelesaikan masalah yang mereka hadapi untuk membentuk hubungan

antara konsep matematik dan operasi. Bahan manipulatif maya juga

memberikan maklum balas segera terhadap jawapan murid-murid yang

mendorong murid-murid untuk memberi reaksi dan reflek bagi membentuk

kekonseptualan matematik mereka. Walaupun bahan manipulatif maya juga

adalah simulasi kepada bahan manipulatif fizikal tetapi ia adalah abstrak kerana

tidak berlaku aktiviti hands-on untuk bahan manipulatif maya. Bahan manipulatif

maya juga boleh digunakan secara bergilir-gilir dengan bahan manipulatif fizikal

kerana bahan manipulatif tidak diharapkan untuk menjadikan konsep matematik

boleh ‘disentuh’ tetapi untuk menyorot (highlight) ciri-ciri yang menonjol dan

penting tentang konsep.

Jadi, ia adalah diperlukan untuk merekacipta bahan manipulatif matematik

yang khusus untuk konsep matematik yang berbeza. Bahan manipulatif maya

juga menyediakan kelebihan yang lebih berbanding bahan manipulatif

fizikal dengan menyingkirkan sekatan dan halangan yang mungkin akan

ditempuhi dalam menjalankan tugasan matematik ketika bahan manipulatif

fizikal digunakan. Sebagai contoh bahan manipulatif maya adalah fleksibel

boleh digerak-gerak dalam pelbagai cara dan kita boleh melakukan apa sahaja

tanpa halangan. Apa yang dapat disimpulkan kebanyakan bahan manipulatif

maya adalah lebih bermanfaat berbanding bahan manipulatif fizikal walaupun

kedua-duanya mempunyai fungsi yang sama. (Yuan, 2012).

Guru perlu bijaksana dan kreatif dalam memilih bahan manipulatif fizikal

dan bahan manipulatif maya kerana kedua-duanya memiliki kekuatan dan

kelemahan tersendiri. Bahan manipulatif maya menjadi pelengkap kepada


kelemahan bahan manipulatif fizikal yang terbatas penggunaannya dan

juga tidak fleksibel. Nanum begitu, bahan manipulatif maya pula tidak dapat

menyediakan pengalaman yang hands-on kepada murid dan perkara ini

adalah salah satu kekuatan bahan manipulatif fizikal.

Kesimpulan

Pada era globalisasi dan teknologi seperti zaman sekarang, guru perlu

memperbanyakkan pembacaan, kajian dan mengambil inisiatif bagaimana untuk

meningkatkan mutu pendidikan negara. Penggunaan bahan manipulatif fizikal

dan bahan manipulatif maya adalah contoh bahawasanya guru perlu proaktif

dalam memainkan peranan sebagai pendidik. Pengajaran dan pembelajaran

yang bermakna bermula daripada seorang guru dan bahan manipulatif hanya

dapat membantu guru tersebut. Selain itu juga guru perlu bijak memilih bahan

manipulatif fizikal atau bahan manipulatif maya kerana kedua-dua bahan perlu

digunakan secra bergilir-gilir bagi melengkapi kelemahan dan kekuatan masing-

masing.

Dapat disimpulkan bahawa banyak peranan bahan manipulatif dalam

mewujudkan suasana proses pengajaran dan pembelajaran yang bermakna dan

berkesan. Guru perlu sedar dan sentiasa memastikan pendidikan yang dibawa

adalah ketinggalan zaman dengan mengamalkan pembelajaran pasif dan

mengabaikan bahan manipulatif sebagai resos matematik yang membantu

pengajaran dan pembelajaran.

Disediakan oleh : Chong Wai Mun

Chu Lee Ming

Teoh Jing Shan

Yap Tsin Huey

math tutorial 3.1

Documents