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8/19/2019 Eureka Math
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1
1°/ Déterminer, dans le domaine des entiers , la somme de la suite
suivante :
-M Nou
NM
N ,,,
4
1
1 .
M N
M
C
x M
C
x
C
N
x
remarque : dans tout le document ma notation pour la combinaison
est :
nrque tel!-r nr! n! n
r C
a
a
n
a
1a
a
1-n
a
2-n
a
2a
a
1-n
a
1a
a
n
a
a
a
x-an
CCCC...........CCCCCCC.
a
x
a
n
a x
C
1-a
1-a
1n
1a
1-a
1a
n
1
1-a
1-a
1-a
a
n
1a
1n
1a
a
a
n
a
a
1-a
a
a
1-n
1a
a
1-a
a
a
n
1
a
1-a
a
a
1-n
1a
n
1a
1a
a
1-n
a
4-n
1-a
4
a
4a
1a
4-n
1-a
4-n
a
3a
1
4-n
1-a
4-n
a
3a
1a
4a
1a
3-n
a
3a
a
3-n
1-a
3n
a
2a
1a
3-n
1-a
3-n
a
3a
1
3-n
1-a
3-n
a
2a
1a
3a
1a
2-n
a
2a
a
2-n
1-a
2-n
a
2a
1a
2-n
1-a
2-n
a
1a
1
2-n
1-a
2-n
a
1a
1a
2a
1a
1-n
a
1a
a
1-n
1-a
1a
1a
1-n
a
1a
1a
1-n
1-a
1-n
a
a
1a
1a
1a
n
a
a
a
.CC CCC C-CCC
CCCCCCC C-CCC
. . . . .
. . . . .
. . . . .
CCCCCCC C-CCC
CCCCCCC C-CCC
CCCCCCC C-CCC
.CCC.CCC C-CCC
a
a
n
a
a
a
C
C
C
C
C
-
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2
en f aisant la somme, nous observons des termes qui s’annulent
alternativement :
1-a
1a
1n
1a
a
1-a
n
1a
3-n
1-a
3a
1a
2-n
1-a
2a
1a
1-n
1-a
1a
1a
x-anx
CCCC...........CCCCCCC.
aan
a x
C
am: Nm C.C.C.x-an
ma
x-an
1a1
1
1
x-an
a
x
ma
mn
ma x
x
a
n
a x
x
a
n
a x
C C C
01an
12a
x-an
a
n
ax
I CC. :am
x
aC soit
on a donc :
am: Nm CC.1an
12a
x-an
m-a
mn
max
x
maC
-ma m,a m,n N -m,nM : soit
Par conséquent :
-M Nou NM: N,,,
I CC. C.
4
1M
1
M
x
N
x
M N
C C
x M x x M x
1-1/ A partir de relation (I0) on peut déduire :
nJ: NJ.
xan
a
x
a
J
a x
C C
1-an
a
1 j
1a
x-an
1-a
x
1a
1J
1ax
x
1-an
a
1 j
1a
1- j-an
1-a
1J
1a
2-n
1-a
2a
1a
1-n
1-a
1a
1a
x
CC CCC.
CCCC...........CCCCC.
J xan
aa
J
a x
J xan
aa
J
a x
C
C
-
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3
décomposons le terme xan
1-aC et distribuons la sommation :
21-a
22
1a
21
1a
2
1a
2-a2
a1
aa
2-an
1a
2J2a
x-ana
x2a
2J
2ax
1x
1
1
1
2-1an
1a
2J2a
x-1ana
x2a
2J
2ax
11
x1
1
1
2-2an
1a
2J2a
x-2ana
x2a
2J
2ax
21
x1
1
1
1a1
1a2
1a1-a
CCC2C
CCC2C : part'
CC CC C.
CC2 CC2-C.2
CC CC C.
C2C-C C
jan jan jan jan
xan xan xan xan
J xanaa
J
a x
J xanaa
J
a x
J xanaa
J
a x
xan xan xan xan
autred
C
C
C
Alors :
111
2
1
2
222
2
2
jan
a.C j
aC J a-n
a-C J
aC a-xn
a-C x
aC J
a x
xan
a. C x
aC J
a x
systématiquement :
11
1
)1(
2
1
1
-an
1m-a
J
ma
x-an
m-a
x
ma
mJ
ax
x
11
1
)2(
1
2
2
3-an
2-a
3J
3a
x-an
3-a
x
3a
3J
3ax
x
. ....CC CCC.
. .CC CCC.
jan
a
j
a
m jan
ma
m j
ma
m J m
m
xan
aa
J
a x
jan
a
j
a
jan
a
j
a
J xan
aa
J
a x
C C C C C
C C C C C
Tel que : amet N m
Soit m=a :
x J a-n
1a-x
x J
xa
a
1 x
1a j
12a
xan
a
x
a
J
a x
x J a-n
1a-x
x J
xa
a
1 x
x
2a
a J
2a x
xan
a
x
a
J
a x
C C C . C C
C C C . C C
Soit y = j+x
y-an
1- j-n
y
a- j
1a j
1y
y-an
1- j-n
y
a- j
a j
1y
1a j
12a
x
CCCC C C.
j j
xan
aa
J
a x
C
-
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4
Par conséquent :
xan
jna j
a J
j x
xan
aa
J
a x
C C
1x
1
1
x
C.C.
.
: N ja,n,3
n ja
cette relation est particulièrement utile ; vu quelque soit la valeur de (j), le
second membre de l’égalité présente Toujours (a+1) termes
Observons :
J=n : on retrouve le résultat précédant
1
121
x1
1 C.
an
a
xan
an
an
n xC C
J=n-1 :
n
a
an
a
xan
aa
n
a xC C C C.
1
12
x1
2°/Démontrer :
)1()1((-1))1(11
0
an
ar
r na
r r an
r
anr
r r C qqC q s
soit y =n-1-r :
R q NxNn)(a,
)1()1(1(-1) )1()1(q(-1) 111
1
1-n11
a-n
0r
aa
y
a
yn yn
a y
aar na
r r C qqC q s
yn yn yn
ynC qq
11
1
0
1)1()1()1()1(
binôme de NEWTON
yn y
a
yn y
a
C C q
C C q s
1
1
a-n
0
-1-n
1-ay
aa
1
1
y-1-n
0
1-n
1-ay
aa
)()1(q(-1)
)()1(q(-1)
na
yn y
aa y
C C C
1
1
-1-n
1- d’après la relation (I)
-
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5
nr
r r n
ar
na
aana C qC qC q s )()1()()1()()1(q(-1)
a-n
0
a-n
0
aa
R q
NxNna, 1111 110
r nar r
an
r aanr r r
n
ar C )(q )( q )( C (q) )(
Observons :
(III) )2( :1
(II) )1()1( :1
11
0
11
r na
r an
r
nr
n
ar
na
anr
r n
ar
C C q
C C q
3°/Résumé : déterminer la somme, dans le domaine des entiers, de la
suite de terme général : Ux =x k C
x
r
soit : Sk = nr : NxNxNr)k,(n,
x
r
k n
r x
C x
11223344xr 3
11
22
33
xr
2
1
1
2
2
x
r
172)1(63)2)(1(C
)1(3)2)(1(C
)1(C
nr
nr
nr
nr
n
r x
nr
nr
nr
n
r x
n
r
n
r
n
r x
C C r C r r C r r r x
C C r C r r x
C C r x
Autre écriture de ce système :
11
22
11
33
22
44
33
3
11
22
11
33
22
2
11
22
11
1
1
!1
!0 .
!2
!114.
!3
!236.
4!
3! 4!
!1!0.
!2!16.
3!2! 3!
!1!0.
2!1! 2!
C
nr
nr
r nr
n
r x
r nr
r xr
nr
nr
n
r x
r nr
r xr
n
r x
nr
nr
r xr
n
r
n
r x
x
r
C C C C C C C C x
C C C C C C x
C C C xC
C
-
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6
le triangle des coefficients correspondant à ce système est :
11:quesachant
k 0:
11
1
1
0
11
)S i( S S
K!k ; S i:C r)(i )( S
iS
k-i-
k-i
k i
k k
ir
k r i-
r
k i
k ik
K
D’une manière général :
nr S C C xk
C x k
xk xk n
r n xk r
r
xk
x
xr
k n
r x
: Nr)k,(n, ...
11 31
11
0
Changement de variable : soit k+1- x=i
1111
1 ...1 )1(
k i
inr n
ir r
i
k
i
k xr
k n
r xS C C
iC x
Observons :
r=0 : in
nk i
ik
i
n
x
k C S
i x
.
1 (-1)
11
1
1k
0
r=1 : innk iik
i
n
x
k C S x
111
1
1k
0
1.1(-1)
ou :in
nk i
ik
i
n
x
k C S x
1
1
k
0.)1((-1) (IV)
r = n : 111
1
1k .
)1((-1)
in
nk i
ik
i
k C S
in
Sk i i
1
1 2
1 6 6
1 14 36 24
. 30 150 240 120
. . . . .
. . . . .
-
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7
4°/ démontrer : 1: 21)1(11
k N K S a
k i
ik ik
i
k i
ik
i
aik est un coefficient que je propose avec certaines de ses propriétés :
soit :
xk R xk R xk
R
k
x
xk R
xk Rk
R
Rk
x
k i
ik
i
xk R
x Rk
x
k x
Rk
x
k x
k Rk
R
Rk
x
k Ri
k Rk
R
k
Ri
k i
ik
i
k Ri
k Ri
R
k
i
k r
k r ii
r
k
i
k i
ik
i
k r
k r i
r
k i
C RC Ra
C C
C RC Ra
C RC r ia
N C r ia
21211
(III)relationlad`apres 2
R -ixavec111
r -iR avec 1111
1a0;ak.i1:i 1
10101
0
1
0
1
10
1
11
1
11
11
011
00
k 0
11
0
xk
R
k
xk
xk xk
R
k R
S C R1
11 : établie .
i-k avec 21211 101
xS S a
k
i
ik ik
i
k
xk
x xk k
x
k
i
ik
i
(V) 21111
k i
ik ik
i
k i
ik
iS a
-
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8
5°/démontrer :
K : N 1
x xC aS
ik xk
k i
x
i
k x
je suppose que la relation est vraie :
ik
x
k
i
k
i
ik
x
ik
x
k
i
xk
i
k
x
ik
xk
k
i
x
i
k
x
ik xk
k i
x
i
k
j
k j
jk
i
k i
i
jk jk
x
jk x
x x jk
jk
x
k
j
jk x
k j
x x jk jk
i
k i
i
j
jk
x
k
j
jk x
k j
x xk k
x
xk
j
jk x
k j
x xk k
i
k i
i
k
i
k
i
i
j
jk
ik
k j
ik ik i
ik ik i
i
C aC aC a
NxN C a
aa
C
C aa
C aC aa
C aS a
101
1
011
k
x
k
1x
1
k x
11
0
0 11
0 1
1
0 11
1
k
1i 1 1
S
: partd'autre
k x1:x,k VI...... S :consequent par
C.q.f.d11:donc
NEWTONde binome 11221
2111
1- pardiviseonetmultiplieon
21211
xi-k soit
21211
1k : Nk211
k
i
ik k
i
k
x
k
x
aS
-
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9
développement d’ordre 2
6°/Démontrer :
n.r : Nmn,r, . 30
mC C C mn
r mmn
r
22
21
222
21
21
2
11
1
2
1d`ordretdevlopemen
nr
nr
nr
nr
nr
nr
nr
nr
nr
nr
nr
C C C C C C C C
C C C
je fais éclater les termes de chaque nouvelle expression en deux termes :
md'ordreentdeveloppem
:...............
:formeladedoncest
4d`ordreentdeveloppem 464
3333
l`ordre3deentdeveloppem33
22
3322110
44
43
42
41
4
44
43
43
42
42
41
41
4
33
32
31
3
33
32
32
31
31
3
mnmr
mm
mnr
mmnr
mmnr
mmnr
mnr
nr
nr
nr
nr
nr
nr
nr
nr
nr
nr
nr
nr
nr
nr
nr
nr
nr
nr
nr
nr
nr
nr
nr
nr
nr
nr
C C C C C C C C C C C
C
C C C C C
C C C C C C C C C
C C C C
C C C C C C C
r.md`ordreestdelimiteentdeveloppemle nr C
nr m :mn,r, .3
0
N VII C C C mn
r mmn
r
-
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10
y jn
n jk
yk j
y yk
j
jk
y
jk k n
x
jnn
y y y jnn
jk y
y jnn
k j
j yk
j
jk
y
k k n
x
jk ji
inn
k j
ik
j
k
ji
k jk ji
inn
k j
ii
j
k
i
k k n
x
jk ji
k j
i
j
jk
ik
k j
i
j
k i
inn
k i
ik
i
k k n
x
C C C a x
C C C
C C a x
C C aC C a x
C aC aS
C S x
...11
VIIrelationlaaprèsd' .
VIII ..111
: ji-ysoit
..11..11
VIrelationlaaprèsd'
IVrelationlaaprésd' 11
1
0101
1
0
1
1
101
1
1
1
111
11
1
11
7°/Démontrer :
1net1k
: NxNk n, 111
jn
k k j
k
j
k n
x
C a x
jnn
jk jk y jk
k j
j y jk k
j
jk
y
k k n
x C C C a x
1
011 ...111
jn
k
k j
k n
x
C a x
1
k
1 j1
jn
1k
k j
k
1 j
jn
jk 1n
k j
k
1 j
k n
1x
jk θ jk
y jk
y j-k
j-k y
θ jk
y jk
y j-k
θy
. .Ca.Cax
:consequent par
1.C1 : jk θ
0.C1 :1- j-k θ0 : N θ
jk jk y jk
jk y
yC C
y jk y jk
y y
C C
.
!!!
.!!
!.
-
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11/36
11
K
i
remarque : par définition :
.1a,0a.0dont
a' termesdesd'ajouterseraitil puisque,ki: Ni0
00
k 01
n
i
ink
k k i
C
xa
11
111
1
11
1
1
1
1
11
. :donc
..
ink
k i
k
i
ink
ink
k i
k
i
k
k ink
k i
k
i
k k n
x
ink
k i
k
i
k n
x
C aC C an
nC an xC a x
XIII 1:k n,. 11
k NxN C an
ink
k i
k
i
k
7-1/propriétés des coefficients ak
i :
7-1-1/ triangle des coefficients aik : ai
k est le coefficient situé dans le
triangle par son abscisse « i » et son ordonnée « k ».
k=1 1
k=2 1 1k=3 1 4 1
k=4 1 11 11 1
k=5 1 26 66 26 1
k=6 1 57 302 302 57 1
k=7 1 120 1191 2416 1191 120 1
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
Exemple :
45
35
25
15
4
1
1111
nnnnn
x
C C C C x
-
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12/36
12
7-1-2/ symétrie des coefficients ak
i : ak
i = ak
k-i+1
démontrer en premier lieu que :
01 :aon1k ;km:m,k :donc
: 011......32111
3: 011-k k 1
2: 01k -1k 1
Newtonde binome 1:01
1k etkm: Nx Nm,k 01
0
00
22
0
2
0
11
0
11
00
0
0
k r
mr k
r
mk r
r mk
r
mk r
mr k
r
k r
r k
r
k r
r k
r
k r
r k
r
k r
r k
r
k r
r k
r
k r
k
r
k
r
mr k
r
C r NxN
mk N k C mk k k k k C r
k N k C C r
k N k C C C r
k N k C r
C r
1
0
1
11
0
11
1
k r
k r xk
r
k xk
k r
k r i
r
k i
C r xk a
C r ia
or : 0111
0
k r
k r k
r
C r i puisque (i-r)k est une somme de monômes de
degrés inférieurs à (k+1)
k ik k xk xik x
k x
k xik
x
k i
k r k
k r k
ir
k k r
k r k
ir
k k r
k r k
ir
k i
k r
k r k
ir
k i
k r
k r k
r
k r
k r k
ir
k r
k r i
r
k r
k r k
r
aC xik C i xk a
k -xr-rk soit x
C ir C ir C r ia
C r iaC r i
C r iC r iC r i
11
0
1
0
11
1
1
111
1
111
1
11
1
11
0
11
1
11
0
11
0
1111
11
11111
011
0 111
-
8/19/2019 Eureka Math
13/36
13
par conséquent :k
ik
k
i aa 1 1k :ki1: NxN, k i
7-1-3/Expression de récurrence des ak
i:
11
1.1.
k i
k i
k i aik aia
k
ik i
k i
ink
k i
k
i
k n
x
ink
k i
k i
k
i
k n
x
ink
k i
k
i
ink
k i
k
i
ink
k i
k
i
ink
k i
k
i
ink
k i
k
i
ink
k i
k
i
ink
k i
k
i
k n
x
ink
k i
k
i
ink
k i
k
i
ink
k i
k
i
k n
x
ink
k i
k
i
ink
k i
k
i
ink
k i
k
i
k n
x
k k i x
k
n
x
ik
ik
ik
ink
ik
ink k
in
ik
in
i
i xk
n
x
k k
k
in
ik
in
ik
in
i
i xk
n
x
i xk
k i
k
i
n
x
k n
x
k n
x
aik iaa
C a x
C aik ia x
iC aiC a
C aik C aik C aik
iC aC aik x
iC aiC aC aik x
C ai
C aiC ak x
C iC k C xC C
C C iC C k C iC k C x
C k C
C iC C iC x
i- x
C a x x x x
11
211
1
1
1
21
1
1
1
1
2
1
1
2
1
21
1
121
1
2
12
1
2
1
12
1
1
1
11
12
1
12
1
1
1
12
1
11
12
1
1
1
in1
1-in2
1
1
112
1112
12
1x
1x
x1
1x
1
1
x1
1x
1x
1x
1x
1x
1x
1x
1
1
1
111
1
1
2:consequent par
: partautred'
2:donc
221
1
1
derniere.cettea/ajoute j'
1:donc
1. alors 0ki puisque
11.
1x:avec
x.x.
11-soit x
...
-
8/19/2019 Eureka Math
14/36
14
ou : 1
11
1
k
ik i
k i aik aia k i 1:
7-1-4/ expression de la somme de ak
i
système des récurences locales :
k i
k i
k k i
k k x
k
i x
k k x
k i
k i
k i
k x
k
i x
k x
k i
k x
k
i x
k x
k i
k x
k
i x
k x
k i
k x
k
i x
k x
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k
i
k
i
k
i
k i
k i
k i
k i
k i
k i
aik aik C aik C aC a
aik aik k aik k k ak k k a
aik ak a
aik ak a
aik ak a
aak a
aak a
aik aia
aik aia
aik iaa
111
11
21
12
2213
11k
ix
111
21
2211k
ix
21
2211k
ix
11
11k
ix
111k
ix
111
11
12
1
2
111
11
21!1!2!3
211111
:2d'ordreentdeveloppem
1
1
21
d'egalitessystemedumembressecondslessurobliquesommeunefaisanten
.11
.2
........
2
11
2
-
8/19/2019 Eureka Math
15/36
15
Développement de l'ordre (m-1)
r 1-i
1-i11
1
111k
ix
r 1-i1-i
11
1
1
11
11k
ix
11
1
11111k
ix
a1!1 !1i-k
a1! 1 !1i-k
i1m-k limite/entdeveloppemler particulie
r 2mi--k ! !
r C r ik C a
r C r ik C a
en
aC r maC ma
k r i
ik
r
k i
k x
k r ik
ik
r
k ik
k x
r mk i
k r m
m
r
mk x
mk
i x
k m
k x
r 1-i1-i
11
0
11k
ix
a1! 1
r C r ik a k
r i
ik
r
k x
Soit x = i + r :
1 1-1-i
11k
ix
a !
1 !1 k
i x
xk x
x
i xk a
11
,
k i
NxN k i
Pour i = 1 :
1k: Nk!k : bien
!1k
k
ii
11k
1x
k i
k
x
aou
a
8°/ de la relation VIII on peut déduire :
jn
k
k j
k
j
jk y
y jn
n
k j
yk
j
jk
y
jk n
x
k C aC C a x
11
1
101
.1 1
Il en résulte :
3
110
N j,k n, 1.1
jn
k
jk jk y
y jn
n
y jk
y
C C C
observons :
j=k-n : NxN n,k 0.1 10
n
y yk
n yn
y
C C
-
8/19/2019 Eureka Math
16/36
16
j=k-n+1: NxN n,k 1-.1 n1
0
n y
yk n
yn
y
C C
n=1 :
x C1-1
1 j
1k
j-k
0
jk y
y jk
y
C
9°/démontrer : NxNm,k 110
mk
k k r
mr k
r
S C r
44
0
33
0
22
0
11
0
4
0
33
0
22
0
11
0
3
0
22
0
11
0
11
0
2
0
11
0
11
00
0
1321
121611711
12111311
11111
111
1
k y
yk
y
k y
yk
y
k y
yk
y
k y
yk
y
k r
r k
r
k y
yk
y
k y
yk
y
k y
yk
y
k r
r k
r
k y
yk
y
k y
yk
y
k r
r k
r
k r
r k
r
k y
yk
y
k r
r k
r
k r
r k
r
k r
r k
r
C k k k k
C k k k C k k C k C r
C k k k C k k C k C r
C k k C k C r k C r
C k kC rC
C
Autre écriture du système :
44
0
4
33
0
322
0
211
0
14
0
33
0
322
0
211
0
13
0
22
0
211
0
12
0
11
0
1
0
124...
...13611411
161611
1211
11
k y
yk
y
k
k y
yk
y
k k y
yk
y
k k y
yk
y
k k r
r k
r
k y
yk
y
k k y
yk
y
k k y
yk
y
k k r
r k
r
k y yk
y
k k y yk
y
k k r r k
r
k y
yk
y
k k r
r k
r
C C
C C C C C C C r
C C C C C C C r
C C C C C r
C C C r
-
8/19/2019 Eureka Math
17/36
17
le triangle des coefficients correspondant à ce système est : k i1: k iS
d’une manière générale :
0...1 :/2
!.1.1...1 : /1
..1.1
Xrelationlad'apres .11
...111
11
1
0
11
1
0
11
1
00
11
0
0
1
00
m yk
k ym
m ym
k m
y
k k k k
k yk
k yk
k yk k
k
y
m yk
k ym
m ym
k m
y
k r
mr k
r
m yk
ymk ymk x
x ymk
x
ymk
x
k
ym
m
ym
ym x ymk
x
m
y
k
r
mr k
r
C C S k m
k S C C S k m
C C S C r
C C
IX C C S C r
3/ m>k :
m
k k m
yk k
ymm
ymk m
y
m yk
k ym
m ym
k k m
k m y
m yk
k ym
m ym
k m
k m y
m yk
k ym
m ym
k m
k m y
m yk
k ym
m ym
k m
y
S C C S
C C S C C S
C C S C C S
1...1donc
Csatisfaire pour...1...1
Csatisfaire pour...1...1
11
1
0
1m1yk
11
11
1
k y-m
11
111
1
0
Conclusion :
XIV 1k :m,k 1..1
0
NxN S C r m
k k k
r mr k
r
deux valeurs particulières :
m
-
8/19/2019 Eureka Math
18/36
18
=0
10°/ de la relation (IX) on peut déduire :
IIrelationlad'apres 11
mik : Ni,m,k ..1.1..1
1
31
0
r mk ik
r mir mk y
yr mk
r mi y
r mk y
k r m
mr m
ym yr mk
r mi y
m
r
k r
mr k
ir
C C
C C S C r
1°/mk :
m
k k r mk
yk
r mm
r mr m yr mk
r mi y
m
k mr
k r
mr k
ir
r mk y
k r m
mr m
r m yr mk
r mi y
k
k mr
k r
mr k
ir
S C C S C r
C C S C r
1..11..1
Csatisfaire pour..11..1
1
1
k r -m
1
m
k k r mk
yk
r mm
r mr m yr mk
r mi y
m
imr
r mk y
k r m
mr m
r m yr mk
r mi y
im
k mr
k r
mr k
ir
S C C S
C C S C r
1..11...
.....11..1
1
1
1
-
8/19/2019 Eureka Math
19/36
19
m
k k yk
ik
k y
m y
i
y
i
mk
k r mk ik
k r m
mr m
im
imr
k r
mr k
ir
S C C S
S C C S C r
1..1
1..1..1
11
1
11
1
Conclusion :
1ik k m,i,1..1..1 311
N S C C S C r
mk
k yk
ik
k y
m y
y
ik r
mr k
ir
resultatlenullementn`affecte,mou1i- ,1min mi
Observons :
Pour i=k nous retrouvons l’expression :
1
111
1
..1.1
:deduction
XI k m,min.
yk
ik
k y
m y
i
y
ik r
mr i
r
k y
m y
y
m
C C S C r
C S k
-
8/19/2019 Eureka Math
20/36
20
=0
=0
11°/ démontrer :
310
N,, 1.1 nC C C n
n
r r nr n
r
IIrelationlad`apres 11
111.1
:mysoit
: .1.1.1
.1...............1
.1.1.1.1
....
....
....
.1..............1
111
1
11
1
11
0
1
0
1
0
1
0
1
10
1
0
1
13412
311
21
11
1
0
1111
23
3413
413
3
12
2312
312
2
01
1211
211
1
11
1
11221111
0
yk yi
yi yk r
r yk
yir
yk r
r yk
yir
yk r
r yk
r
yk r
r yi
r
k r
r i y
r yi
r
mk
r
mr i
m y
r yi
r
k
r
r i
y
r yi
r
k
r
r i
y
r yi
r
k yi
y
y
yik i y
k i y
k i y
i y
k r
r i y
r yi
r
k yi
y y
yik yi
yi y
yik yi
y y
yik yi
y y
yi
k i y
k i y
k i y
k i y
k i y
k i y
k i y
k i y
k i y
k i y
k i y
k i y
i y
i y
i y
k yi y y yik i yk i yi yk r r i yr
yi
r
C C
k yC C C C C
ym N mC C C C C C
C C C C C C C C C C C
C C C C C C C C
C C C C C C C C
C C C C C C C C
C C C C C C C C
C C C
C C C C C C C C C
par conséquent :
k y Nk y,i, XII 1.131
0
yk yi
yik r
r i y
r yi
r
C C C
ou : yk
yi yk
r ir
yr i
yr
C C C
1
1 .1
-
8/19/2019 Eureka Math
21/36
21
Aussi :
1--y-k ,
1m-k
m-y
yi-n:soit
ymTelque .1 .1 1-k
0
nmi
C C C yk
yi yim
r mr i
m yr
yi
r
conclusion :
31 0
N,n, .1 . 1
n
nr
r nr n
r
C C C
12°/ relation entre ak
i et Sik:
yk
ik
k y
yii
y
yk yi
k y
yii
y
k i
yk yi
yik r
r i y
r yi
r
k r
r i y
k y
r i
y
yi
r
k r
r i y
k y
r r i
y
i
r
k i
r i y
k y
r i
y
k
k r
k r i
r
k i
C S C S a
C C C
C C S C C S a
C S r i
C r ia
.1.1
XIIrelation.1.1
..1 ..1
XIrelationlad`apres .
1
11
1
0
1
10
1
1
1
0
1
11
0
1ik: NxNi,k .111
yk
ik
k y
yi
y
ik i C S a
-
8/19/2019 Eureka Math
22/36
22
13° démontrer :
k M: NMk,m, .13
0
k M k m
k x
x M m
xk
x
C C C
soit :
1.1
1m: Nr,m,XIIIrelation.
XIV relation;1k : Nm,k 1.1
1
01
21
1
2
0
mk
k k r
ir m
mi
r k
r
m
i
ir m
mi
m
i
m
mk
k k r
mr k
r
S C C a s
C ar
S C r s
soit x=k-r :
1
1
1
01
1
01
1
1
1
01
1
1
1
11
1
01
.1 .1
.1
: partd'autre
1.11
ik m
mi
m
k mi
k x
xik m
mi
xk
x
m
k mi
k x
xik m
mi
xk
x
k m
i
ik m
mi
m
k mi
k x
xik m
mi
xk
x
k m
i
ik m
mi
m
k mi
imk m
mim
k
i
imk m
mi
k
i
mk
mk
k k x
xik m
mi
xk k
x
m
i
C aC C aC C a s
C aC C a s
C aC aC a s
S C C a s
-
8/19/2019 Eureka Math
23/36
23
311
0
1
1
1
0 1
x-1-ik m
1
01
,, .1 :conséquent par
. .1
:donc
k x0et
k -mi1 : , 0Ckmsoit
ou
k msoit
0.1
N k miC C C
C aC C a s
xi
C C a
ik m
k x
xik m
xk
x
ik m
mi
m
k mi
k x
xik m
mi
xk
x
m
k mi
k
x
xik
m
m
i xk
x
k m
i
Soit : M=k+i-1
k M N C C C k M
k mk
x x M
m xk
x
:Mk,m, .1
3
0
-
8/19/2019 Eureka Math
24/36
24
Résumé :
Sur un échantillon de ‘N’éléments ordonnés, C N
K est le nombre de combinaisons
possibles de taille : ‘k’ éléments. Quel est le nombre de combinaisons ayant au moins
un seul groupe de ‘c’éléments successifs strictement ? .:;, 3 N K C N N K C Soit une position arbitraire de ‘c’ éléments successifs sur un axe de ‘N’ éléments
ordonnés. Pour marquer la succession de ‘c’ éléments successifs nous devons écarter
les points ‘i-1’ et ‘i + c’. le groupe ‘c’ est repéré par la variable ‘i’ qui évolue de
1 à (N-c+1)
i - 1 i + c c
1 N
i – 2 i i +c+1 N-c+1
c
1 i-2 i +c+ 1 N
A= i – 2 B = N – c -i
Une fois « C » éléments successifs fixés, le (K – C) restant est combiné
de part et d’autre dans les domaines A et B. soit M (C) le nombre total de
combinaisons ayant « C » éléments successifs.
C.CC :donne 1c Ni
C.CC :donne 1i
CC )c(M
1-c- Nc-K
1-r
1c Nr -c-K
c-K
0r
1-c- Nc-K
1-c- Nr
1r -c-K
c-K
0r
ic Nr
2ir cK
cK
0r
1c- N
1i
.
-
8/19/2019 Eureka Math
25/36
25
1c N
cK 1c N
cK 1c N1cK
1c N1cK
2c NcK
c N
2i
2c NcK
ic Nr
cK
0r
2ir cK
c N
2i
C1K - NC2 C1C-K (c)M:résulteenIl
C1cK C1-C- NCCC
(I) C.CM(c):Soit1C N
cK 1K - N
1
Ce résultat est exact uniquement pour (K – C) inférieur à « C »
strictement ou { K- 2 c 0 et N – 1 K } ; autrement nous aurons
commis une répétition. Admettons que (K – c) c, nous devons alors
retrancher à l’expression (I) les répétitions dont voici la schématisation :
La construction des combinaisons autour de « C » à la phase « i » a été
précédée par la construction de combinaisons autour de « C » à la phase
« j ». Nous devons donc fixer « i » et faire varier « j » de 1 à ( i – c – 1).
Pour chaque valeur de « j », nous combinons les (K – 2c) restant de part
et d’autre des trois domaines D1, D2 et D3.
j-2 j +c +1 i-2 i+c+1c c c
1
N
j i-c-1 i
D1 = j-2 D2 = i – c-2-j D3= N-c-i
L’ex pression à retrancher est :
ic N jc2i
r 2 j
r c2K
c2K
0
c2K
0r
1ci
1 j
1c- N
2ci
C.C.C c'M
-
8/19/2019 Eureka Math
26/36
26
Il est évident que la répétition commence à partir de i = C +2.
c c
1 N
j =1 i = c +2
Pour évaluer les quatre sommations de l’expression M’ (c), je dois traiter
à part les conditions limites ou bornes de sommation afin de s’ajuster aux
domaines d’application des formules connues.
i = c +2 donne :
2c2 Nc2K
2c2 N1r
1r c2K
c2K
0
c2K
0r
CC.C.C
i = N- c+1 :
1 jc2 Nr
2c- N
1 j
2c-K
0r
2- j
r -2c-K
11 jc2 Nr
2 j
r c2K
2c-K
0
c2K
0r
c2 N
1 j
CCC.C.C
a) j = 1 :
2c2 N2c-K
2c2 Nr
c2K
0r
1r c2K CC.C
b) j = N-2c :2c2 N
2c-K 1
r
c2K
0r
2c2 Nr c2K CC.C
3c2 N
c2K
1-2c- N
2 j
3c2 Nc2K
1 jc2 Nr
2- j
r -2c-K
c2K
0r
1c2 N
2 j
C2-2c- NCC.C
Donc i = N- c+1 donne:
2c2 N2c-K
3c2 Nc2K C2C2c2 N
-
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27
j = 1 donne :
3c2 N c2K c N
3ci
3c2 N c2K
ic N c- N
3ci
2c-K
0
3-c-i-2c-K
ic N3cir
1r c2K
2c-K
0
c2K
0r
c N
3ci
C2-2c- NC
CCC.C.C
j = i – c – 1 donne :
3c2 N
c2K iC N1
r 3ci
r c2K
2c-K
0
c2K
0r
c N
3ci
C2-2c- NC.C.C
D’autre part :
ic Nc- N
3ci
2-c-i
2 j
4-c-i-2c-K
2c-K
0
ic N j2cir
2 j
r c2K
2c-K
0
-2c-K
0r
2-c-i
2 j
c N
3ci CCC.C.C
4c2 N c2K
4c2 Nc2K
3c2 N
1i
4c2 Nc2K
c N
4ci
c N
4ci
2ci
2 j
4-2c- Nc2K
ic Nc- N
4ci
2-c-i
2 j
4-c-i-2c-K
c2K
0
3c2 N1c2K
c2K
0
1
2 j
C2c2 N3-2c- N2/1
CiC3ciC
0
C.CC.C
On arrive donc à :
2c2 N
c2K 3c2 N
2c-K 4c2 N
c2K C3C2c2 N3C2c2 N3c2 N21c'M
Tout arrangement fait :
2c2 N
c2K 1K N
22c2 N
c2K C.CC1K NK N
2
1c'M
Par conséquent :
: N NK,c, II C.CC.CcM32c2 N
c2K 1K N
21c N
cK 1K N
1
c2c-K
NKc
-
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28
Observons que si N – 1 K et K-2c 0 M’(c) = 0 aucune répétition
commise.
Observons que K-2C 0 K – c c M’ (c) = 0 aucune répétition
commise.
Nous déduisons aussi que la relation (II) est exacte uniquement pour
K-2c c ou { N – 2 K et K – 3c 0}.
Admettons maintenant que ( K – 2c) c et { (N-2) K ou K – 3c =0}, il
se trouve alors que j’ai trop retranché dans l’étape (II), je dois donc
réadditionner ce qui n’aurait pas dû être retranché. En voici la
schématisation :
j-2 j +c +1 z-2 z+c+1 i-2 i+c+1
c c c
1
N
D1 D2 D3 D4
c c c
N
i -2
z = i-c-1
j = i – 2c-2
Une fois les variables « i » et « j » respectivement fixées, le groupe « c »
de variable « z » évolue de (j + c+ 1) à ( i – c – 1). Pour chaque valeur de
« z », je combine les ( K – 3c) restants de part et d’autre des domaines D1,
D2, D3 et D4.
Soit M’’ (c) le nombre de combinaisons à réadditionner.
-
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(IV) C.C1........................
C.CC.CC.CC.CcM
c NcK
1K N1
4c4 Nc4K
1K N4
3c3 Nc3K
1K N3
2c2 Nc2K
1K N2
1c NcK
1K N1
On aura donc :
NK c: NcK, N, C.C1cM31K N
xxxc N
xcK
1x
1x
entière valeurcK
Nous devons conclure dans l’expression (IV) que les termes de
retranchement et de réaddition c’est à direxxc N
xcK 1K N
x C.C
constituent
en eux même des solutions quant au nombre de combinaisons ayant au
moins « x » groupes de « c » éléments successifs tel que K – xc < c ce
problème est traité dans un autre document.
AUTEUR :
Nom: BOUKHARI
Prénom: DRISS
e-mail : [email protected]
CONSTANTINE.
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]
-
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1 C1 C2 C3 Cm N
D0 D1 D2 Dm-1 Dm
Résume:
Sur un échantillon de '' N" éléments ordonnés, N K C est le nombre de combinaisons
possibles de tailles : ‘K’ éléments. Quel est le nombre de combinaisons ayant au
moins 'm' groupes de 'c' éléments successifs strictement?:
2,,,, 4 m N N K C m N K mc
Sachant que pour « m» groupes de «c » éléments successifs (c1 = c2 = c3
=....= cm = c), les (K - mc) restants sont pris de part et d'autre des
intervalles D0, D1, D2,...., Dm-1, Dm, le nombre résultant de combinaisons
de «K» éléments est le même quelques soient les positions prises par les
«m» groupes de «c» éléments successifs sur un axe de «N » éléments
ordonnés. K et N sont des paramètres donnés. Nous pouvons exploiter la relation IV du précédent document pour
déterminer le nombre total de combinaisons ayant au moins «m» groupes
de «c » élément successifs.
Soit comme fonction entière M(m,c) où il est évident que M(m,c)< N K C .
Le raisonnement fait pour obtenir la relation IV était pour (m=l), nous
pouvons l'exercer pour «m» quelconque avec quelques égards. m =2 et m
= 3 nous suffisent pour marquer la nuance avec m =1 et donc pour
généraliser.
J D i
1 J-2 C i-2 C N
-
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D1 J D2 i D3
1 C C N
1 C C C N
d 1 j d2 z d3 i d4
1 C C C N
d 1 z d2 j d3 i d4
Fig (1)
Les figures (1) nous donnent la première étape, les deux groupes «c» sont
respectivement désignés par leurs variables propres « j» et «i».
Le groupe «c» de variable «i» se translate pour des valeurs de «i» allant
entre 1et N. une fois «i» fixée, le groupe «c » de variable «j» se meut
dans le domaine D. pour chaque valeur de «j», nous combinons les (K –
2c) restants de part et d'autre dans les domaines D1, D2 et D3.
2: NC,K, .,2 322212 N K c N C C c M C N C K K N
c2c-K
D2
Fig-2-
Fig-3-
D1
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Si (K -2c) c, les figures (2) et (3) montrent le sens de retranchement
cumulé sur les domaines D2 et D1 par rapport aux variables «i» et «j»
respectivement.
Le retranchement sur D2 se fait en fixant respectivement «i» et «j» et en
faisant translater le groupe «c» de variable «z» sur le domaine D2. Donc
pour chaque valeur de «z », nous combinons les (K-3c) restants sur les
domaines d1, d2, d3 et d4. Raisonnement pareil sur le domaine D1.
La réaddition et le retranchement s'opèrent en y plaçant dans chacune de
ces deux situations une nouvelle variable à l'amont des variables qui
précédent.
La position de la variable « z » dans la figure (2) a été déjà prise par la
variable
« i» au cours de son évolution en voyant « z » dans sa position actuelle.
Pareil dans la figure (3) où « z » a été déjà précédé par «j».
.2CK, N, .2.,2 33331322212 N K C N C C C C c M C N C K K N C N C K K N C C K 3
Nous nous intéressons à (K - c) qui a suffit auparavant à déterminer la
limite du développement. Si ( K -3 c) < c le processus s'arrête là et la
relation est exacte.
Mais Si (K - 3c) c nous devons réadditionner ce qu' il ne fallait pas
retrancher sur D2 et D1. Les figures (4), (5) et (6) nous indiquent le sensde la réaddition cumulée.
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g2 g4
1 C C C C N
g1 j z g3 y i g5
1 C C C C N
j y z i
1 C C C C N
y j z i
Fig – 4-
Fig – 5-
Fig-6-
Les (K- 4c) restant sont combinés de part et d’autre sur les domaines g1,
g2, g3, g4 et g5* Sur la figure (4), les variables « i», « j » et « z» sont fixés
respectivement et la variable «y » prend ses valeurs sur le domaine d3.
* sur la figure (5), la variable « y » prend ses valeurs sur le domaine d2.
* sur la figure (6), la variable « y » prend ses valeurs sur le domaine d1.
3444143331322212 C N,K, .3.2.,2 N C C C C C C c M C N C K K N C N C K K N C N C K K N
N K c 2 cc K 4
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entiere.vaeur
3
,,3
C K
N K c
N C K N
Si maintenant (K-4c) < c, le processus s arrête là et le résultat est exact;
autrement on doit faire un autre retranchement et le processus continue
Entre le plus et le moins jusqu’à ce que la condition suffisante (k -c) soit
inférieur à (c) strictement.
....C4C.C3C.C2C.CCc2,M55C N
5CK
1K N
5
44C N
4CK
1K N
4
33C N
3CK
1K N
3
22C N
2CK
1K N
2
C N C K C .C11 1K - N
x xc N
xc K K N
x x
x
c N c K
K N C C xC C c M
.11.),2(
11
3
222
12
Même raisonnement et développement pour (m=3) on trouve :
.....C5C.C4C.C3C.CCc3,M 66C N 6CK 1K N655C N 5CK 1K N544C N 4CK 1K N433C N 3CK 1K N3
c N c K K N C C .11 1
1
x xc N xc K K N x x
x
c N c K
K N C C xC C c M
.11.),3( 12
4
333
13
d’une manière générale :
x xc N
xc K K N
xm x
m x
mmc N mc K
K N m C C xC C cm M
.11.),(
11
1
1
entièrevaleurCK
2
,,3
N K c
N C K N
,2
,,,4
C
K m
N K mc
N mC K N
-
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Observons :
1/ si K = mc : M( m,c ) = 1 K N mC (m,c,K,N)4
N : K N ; m 1
c’est à dire le nombre de combinaisons ayant exactement « m » groupe de« c » éléments successif .
2/ M(K,1) = M(K – 1 ,1 ) = 1 K N K C
AUTEUR :
Nom :BOUKHARI
Prénom : DRISS
e-mail : [email protected]