1

Oleh Ir. Drs. Faisal RM., MSIE., Ph.D

Program Studi Teknik KimiaFakultas Teknologi Industri Universitas Islam Indonesia

2011

MATEMATIKA TEKNIK KIMIA I

KONTRAK KULIAHKONTRAK KULIAH

1. Tidak boleh nitip tanda tangan kehadiran kuliah, jika ditemukan buat curang nitip tanda tangan, maka yang menitip dan dititip, maka nilai ujian akhir semester diberi nilai E.

2. Tidak boleh buat curang dalam mngerjakan KUIS, UTS dan UAS, seperti nyontek catatan kuliah ketika ujian bersifat tutup buku atau nyontek lembaran jawaban teman atau kerjasama. Jika ditemukan kejadian seperti itu oleh pengawas dan tercatat dalam berita acara ujian, maka nilai ujiannya yang bersangkutan diberi nilai E.

3. Berpakaian rapi, sopan, dan bersepatu, tidak boleh pakai sandal dan kaos oblong tanpa krah.

4. Mahasiswi berpakaian busana muslimah, tidak ketat dan tidak menampakkan kontur tubuh.

SILABUS1. Pendahuluan2. Fungsi Beta, Gama, deret, suku

sisa, Variabel Teknik Kimia Kompleks

3. Teori Residu, Vektor dan Matriks4. Penyusunan dan Penyelesaian

Analitis Persamaan Differensial Ordiner(Deret, Fungsi, Bessel dan Fungsi Legendre).

5. Penyelesaian Analitis Persamaan Differensial Parsial (Metode substitusi, Pemisahan variabel, Laplace Transform,Fourier Transform)

3

LITERATUR

1. Mickley, Sherwood and Reed. 1975.” Applied Mathematics in Chemical Engineering”, McGraw-Hill, New York USA

2. Rice. 1995. “Applied Mathematics and Modelling for Chemical Engineering, New York, John Wiley&Son.

4

NA = 10%xNPR+20%xNKuis+35%xNUTS+35%xNUAS

NORMA PENILAIANNORMA PENILAIAN

Nilai Pekerjaan rumah

Nilai Ujian Akhir

Semester

Nilai Tugas ProyekNilai

Akhir Nilai UjianTengah

Semester

1. A (4.00) 8. C+ (2.25)2. A- (3.75) 9. C (2.00)3. A/B (3.50) 10. C- (1.75)4. B+ (3.25) 11. C/D (1.50)5. B (3.00) 12. D+ (1.25)6. B- (2.75) 13. D (1.00)7. B/C (2.50) 14. E (0.00)

PERINGKAT NILAIPERINGKAT NILAI

NILAI DAN RENTANG ANGKA

No Nilai

Angka No Nilai Angka

1. A 90 - 100 8 C+ 55 - 592. A- 85 - 89 9 C 50 - 543. A/B 80 - 84 10 C- 45 - 494. B+ 75 - 79 11 C/D 40 - 445. B 70 - 74 12 D+ 35 - 396. B- 65 - 69 13 D 30 - 347. B/C 60 - 64 14 E 0 - 29

PERINGKAT KELULUSAN

NO IPK PREDIKET KELULUSA

N1. Kumlaud2. Sangat

memuaskan3. Memuaskan4. Tidak Lulus

4.00 IPK 50.3 ≤<

2.75 IPK 00.2 ≤<

3.50 IPK 75.2 ≤<

2.00 IPK <

PENDAHULUAN1. DASAR : Fisika, Kimia, Matematika dan Kimia Fisika

2. Dalam Matematika Teknik Kimia diharapkan Mahasiswa mampu:

Membaca/memahami berbagai masalah fisika/kimia Menyusun masalah Teknik Kimia dalam bahasa matematika Menyelesaikan masalah Teknik Kimia yang telah tersusun Menginterpretasikan hasilnya

3. Hasil Kuantitatif Model Matematika

4. Tools/Informasi: Hukum Konversi (neraca massa dan Panas) Persamaan Kecepatan Persamaan Kesetimbangan (Distribusi Kesetimbangan Equation of State Persamaan Gerak

PENDAHULUAN5. Cara Penyelesaian : - Analitik - Numeris

6. Asumsi diperlukan dalam penyusunan masalah Teknik Kimia ke dalam bahasa matematika dan persamaan yg disusun/ diperoleh harus dapat menjelaskan pokok persoalannya, dan persamaan persamaan matematika ini merupakan model

T0 T = f(x)

x

Persamaan Matematika

Merupakan model matematika

(Pers. Aljabar, PD Ordiner, PD Parsial, PD Berhingga)

7. Proses yang terjadi dapat: Ajeg (Steady State) Tidak Ajeg (Unsteady State)

T ?

PENDAHULUAN8. NERACA MASSA:

1) Tanpa reaksi Kimia:

2) Dengan Reaksi Kimia:

3) Neraca Massa dapat dikenakan untuk: Neraca massa Total (komponen A + B + C) Neraca massa Komponen (Komponen A/B/C)

9. NERACA PANAS (Energi)

=

−

System Inside

Mass of Change

System ofOut

Flow Massa

System into

Flow Mass

=

−

+

−

System Inside

Mass of Change

nConsumptio

Mass

Generation

Mass

System ofOut

Flow Massa

System into

Flow Mass

=

−

onAccumulati

Energy of Rate

System ofOut

Energy of Rate

System into

Energy of Rate

PENDAHULUAN9. NERACA PANAS (Energi)

Untuk System Terbuka:

10. PERSAMAAN KESETIMBANGAN

a). Kesetimbangan kimia:

aA + bB cC + dD

K = (C)c (D)d /(A)a (B)b

b). Kesetimbangan Uap dan Cairan

Y = k x = m x

c). Relative Volatility (Campuran Biner)

Y = α x / (1+ (α-1)x)

=

+−

+

+−

+

System InsidePot.Energykinetics,Internal,

Change of Rate

WorkPvk (Shaft Worssuroundingon Syst.

by doneWork

Reaction -Radiation -Convection -Conduction -

:bySyst toaddedHeat

System ofOut Pot.EnKinetics

Internal of Flow

System intoPotensialKinetics

Internal of Flow

PENDAHULUAN11. EQUATION OF STATE Berhubungan dengan berbagai sifat fisika/kimia bahan: density, entalphy Entalphy Cairan h = Cp. T Entalphy Gas/Uap H = Cp. T + λ W ρv , ρg = f(T)

Cp = f(T) = a + bT + cT2

P.V = n.R.T; n/V = P/R.T; ρ = M.P/R.T

12. PERSAMAAN KECEPATAN Untuk Massa Hukum Fick NA = - D. dCA / dx

Untuk Panas Hukum Fourier q = - dT/dx Untuk Momentum Hukum Newton

13.Kinematika Kimia

Kecepatan Reaksi: aA +b B cC

Kecepatan Rekasi

dxdV /.µτ −=

RTE

bB

aA

TfkCkC

/)(reaksikecepatan konstante :k konstante, bdan a ,

−===Γ

α

1. Neraca MassaNeraca Massa adalah hal yang paling mendasar dalam Chemical Engineering Tools, kita belajar pertama kali di pelajaran ATK, secara sederhana dapat dikatakan bahwa massa total yang memasuki suatu sistem akan sama dengan massa keluarnya meskipun jenis senyawanya berbeda beda, sistem di sini adalah alat ataupun overall pabrik. Neraca massa juga dapat didetailkan menjadi neraca unsur bahwa apabila ada senyawa terdiri dari unsur2 misal C,H,O maka massa unsur C masuk = massa unsur C keluar, begitu pula dengan unsur H dan O.

2. Neraca PanasNeraca panas mempelajari tentang energi, kita banyak belajar pada pelajaran heat transfer dan thermodinamika. pada prinsipnya : total energy masuk + energy dibangkitkan -total energy keluar-energy berubah bentuk =akumulasi energy. Energy dapat dibangkitkan dari senyawa kimia seperti pembakaran ataupun reaksi kimia yang lain. Energy dalam suatu sistem dapat dideteksi lewat suhu sistem, Energy boleh saja berubah bentuk dari panas ke gerak, dari listrik ke panas, tetapi hasil akhirnya akan tetap sama jumlahnya.

3. KeseimbanganKeseimbangan adalah salah satu Anugerah Tuhan di Dunia, ada siang ada malam, ada baik pasti ada buruk, ada nikmat pasti ada sedih......Keseimbangan di bidang teknik kimia mengacu kepada titik yang sifatnya seakan akan statis, padahal tidak statis ! kesimbangan adalah apabila kecepatan transfer massa/panas dari kedua sistem memiliki kecepatan yang sama, jumlah kedua sistem yang seimbang tidak harus sama...Keseimabnagn dapat berupa keseimbangan reaksi, keseimbangan fasa, dan lain lain.

4. Rate ProcessRate Process ( Proses transfer) adalah pedoman untuk mempelajari dan menganalisa proses kecepatan dalam perpindahan massa maupun perpindahan panas. Kita sudah belajar di pelajaran Proses Transfer dan sejujurnya inilah yang paling sulit dipelajari di Teknik Kimia. Dalam tugas Prarancangan Pabrik Kimia ini tidak akan terlalu banyak digunakan, mungkin dalam tataran pendidikan selanjutnya akan banyak dipelajari.

5. EkonomiDalam urusan kehidupan dunia, kita sepenuhnya harus memperhatikan aspek ekonomi, khusus dalam bidang teknik kima apapun yang kita rancang, kita produksi harus selalu memperhitungkan aspek ekonomi. Teknik kimia adalah ilmu yang sifatnya open minded atau ilmu yang untuk menyelesaikan satu masalah dapat dilakukan dengan berbagai cara, tinggal dioptimasi mana yang paling mudah dan menguntungkan secara ekonomi.Untuk apa kita susah2 merancang kalau jelas jelas kita tahu akan rugi

6. HumanitasHumanitas mengharuskan kita sebagai orang teknik kimia harus selalu mempertimbangkan lingkungan dan aspek sosial dalam menjalankan profesi kita, harus bertanggungjawab terhadap resiko2 sosial dan lingkungan terhadap apapun yang kita berbuat. Kalau ada sarjana teknik kimia yang dijadwal ronda saja ga mau...ya bukan sarjana teknik kimia

PENDAHULUANPENDAHULUANStudi Kasus 2

Untuk menaikan suhu m kg suatu zat cair dengan kalor jenisnya c J.Kg-1.K dari T1 menjadi T2. Bagaimana model perubahan kalornya?.

JawabannyaHukum kekekalan enerjirate of input – rate of output = rate of accumulation

17

Accumulationm, c, T

pemanasan

PENDAHULUAN

∫ ∫=2

1

..T

T

dTcmdQ

] ).(... 122

1TTcmTcmQ T

T −==

18

Jika m = 0.5 Kg dan c = 400 J.Kg-1. K

t1 = 280 C t2 = 400 C. T1 = 273 + 28 = 3010 K;

T2 = 273 + 40 =3130K

Maka Q = m. c (T2 – T1) = 0.5 x 400 x ( 313 - 301)= 2400 J

rate of input – rate of output = rate of accumulationdQ – 0 = m . c . dTdQ = m . c . dT

PENDAHULUAN

19

Studi Kasus 3Jika 75 g air yang suhunya 200C dicampur dengan 50 g air yang suhunya 1000C. Berapa suhu campurannya?.

Jawabannyarate of input – rate of output = rate of accumulation

CtKT

TT

TTcmTTcm

dTcmdTcm

dTcmdTcm

dQdQ

aa

aa

aa

T

T

a

00

2211

T

T

21

21

21

52 atau 325

)-50.1.(373 )293.(1.75

).(. ).(.

.. 0 ..

.. 0 ..

0

2

a1

==

=−−=−

=−

=−=−

∫∫

m1 , c , dT m2 , c , dT

PENDAHULUANStudi Kasus 4

Jika isi tangki berbentuk selinder adalah V. Tentukan model matematik untuk menentukan dimensi tangki minimal?.

Jawabannya

20

h

r

Vh

r..2 π

PENYUSUNAN PERSAMAAN ALJABARContoh Soal

Ekstraksi Asam Benzoat (AB) dalam Toluen menggunakan pelarut air

Berapa proporsi Asam Benzoat yang bisa diambil dalam fase air Toluen R(m3/s) Toluen R (m3/s) Toluen R(m3/s) Air S (m3/s)

AB C (kg/m3 ) AB X (kg/m3 ) AB C (kg/m3) AB 0 (kg/m3)

Air S (m3/s) Air S (m3/s)

Y (kg/m3) AB 0 (kg/m3 ) X

Neraca massaRate of Input – Rate of Output = Rate of Accumulation X R (m3/S) S(m3/s) (R.C+S.0 ) – (R.X+S.Y) = 0 y (kg/m3 )

R.C = R.X+S.Y, dimana Y= mXR.C = R.X+S.mX = X (R+S.m), maka X = (R.C)/(R+S.m) Y = (m.R.C)/(R+S.m) Proporsi AB yang dapat dipungut E = (S.Y)/(R.C)=((m.S)/(R+S.m))*100%

Ekstraksi Asam Benzoat 2 Tahap R, C R, X1 R, X2

S, Y1 S, Y2 S, 0

Simbol dan asumsi sama dengan contoh diatasPersamaan kesetimbangan y1= mx1 dan y2= mx2

Neraca Massa AB Tahap 1 Tahap 2Input AB (kg/s) R.c + S.y2 R.x1 + 0Output AB (kg/s) R.x1+ S.y1 R.x2 +S.y2

Input - Output = AccumulationTahap 1 (R.c + S.y2) - (R.x1+ S.y1) = 0Tahap 2 (R.x1 + 0) - (R.x2 +S.y2 ) = 0Tahap 1 (R.c + S.y2) = (R.y1/m+ S.y1) Tahap 2 (R.y1/m) = (R.x2 +S.mx2 ) y1 = (m.R.x2/R) + (m2.S.x2/R) y1 = (m.x2) + (m2.S.x2/R)

PENYUSUNAN PERSAMAAN ALJABAR

Tahap 1 Tahap 2

FUNGSI GAMMA DAN BETA

∫∫∞

−− ===00

12

)( Jika ,2

)(22

βπ

βπ

ββ dexerfdexerfx

Bentuk Umum Fungsi Gamma:

)!1()1().1()(

)(.)1(

0 ,)(0

1

−=−−==+

>= ∫∞

−−

nnnn

xxx

xdtetx tx

ττττ

τ

Bentuk Umum Fungsi Beta :

)(

)().(),(

0 ,0 ,)1(),(1

0

11

yx

yxyx

yxdtttyx yx

+=

>>−= ∫ −−

τττβ

β

Teorema Fungsi Gamma :

Teorema Fungsi Beta :

FUNGSI GAMMA ∫∫∞

−− ===00

12

)( Jika ,2

)(22

βπ

βπ

ββ dexerfdexerfx

Contoh Soal :

X 0 0.01 0.1 0.5 1.0 1.5 2.0

Erf(x) 0 0.01128 0.11246 0.52049 0.84270 0.96610 0.99532 1

∞

∫ ∫∫

∫

∫

∫

∞ ∞−−

∞−−

∞−−

∞−−

∞−−

====

=

=→=

=

>=

0 00

1

0

2

12

2

0

12

1

0

1

222

2

222)

2

1(

2)()2

1(

menjadisikan disubstitu Ini .2 misal

)2

1( Jika

0 ,)(

πππ

τ

τ

τ

τ

duedueudueu

udueu

ududtut

dtet

xdtetx

uuu

u

t

tx

FUNGSI GAMMA DAN BETA Contoh Soal Fungsi Gamma:

61.2.3)!14()4( maka ),4( Jika 3).

8

15)

2

1(3).-

2

7(2

2

71

2

7

2

7 maka ),

2

7( Jika ).2

2

1

2

1

2

11

2

1

2

3 maka ,)

2

3( Jika 1).

==−=

=−−=

==+=

ττ

πττ

τ

))(()τ(

π.).ττ)τ()τ(

Contoh Soal Fungsi Beta :

60

1

1.2.3.4.5.6

2.6

)!17(

)!13)!.(14(

)34(

)3().4()3,4( maka ),3,4( Jika 3).

945

96

32945

3

)2

11(

6 .21

)423

(

)4()23

(4,

2

3 maka ,4),

2

3( Jika ).2

7

1

)429

)(329

)(229

)(129

(

815

.21

)29

(

815

.21

)27

23

(

)27

().23

(

2

7,

2

3 maka ,)

2

7,

2

3( Jika 1).

==−

−−=+

=

===+

=

=−−−−

==+

=

τττββ

π

π

τ

π

τ

ττββ

ππ

ππ

τ

ππ

τ

ττββ

)(

)(

TRANSFORMASI LAPLACEUmumnya persamaan differensial homogen untuk sistem berorde-n ditulis:

Persamaan differensial ini disebut sebagai persamaan differensial linear: jika koefisien a1, a2,..., an+1. bukan fungsi dari y(t).

Alih Ragam Laplace

Alih ragam Laplace merupakan salah satu alat bantu matematika yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial. Bila dibandingkan dengan metode klasik dalam menyelesaikan persamaan differensial, alih ragam Laplace memiliki keuntungan dua hal :

1. Penyelesaian persamaan homogen dan integral khusus diperoleh dalam satu operasi.

2. Alih ragam Laplace mengubah persamaan differensial ke persama-an aljabar dalam s. Hal ini memungkinkan dapat memanipulasi per-samaan aljabar dengan aturan aljabar sederhana untuk memepero-leh solusi dalam wawasan s. Solusi akhir diperoleh dengan melaku-kan alih ragam Laplace balik.

TRANSFORMASI LAPLACE

Definisi Alih-ragam Laplace

Diberikan suatu fungsi nyata f(t) yang memenuhi kondisi

untuk bilangan nyata terbatas, maka alih-ragam Laplace didefinisikan sebagai

atau F(s) = alih ragam Laplace dari f(t) = [f(t)]

Peubah s disebut sebagai operator Laplace, berupa peubah kompleks, s = s + jw.

σ

TRANSFORMASI LAPLACEContoh:

Misalkan f(t) merupakan fungsi tangga satuan yang didefinisikan sebagai

f(t) = us(t) = 1 , t > 0

= 0 , t < 0

Alih ragam Laplace f(t) ini diperoleh sebagai berikut

Untuk memudahkan penerapan alih-ragam Laplace, dibawah ini diberikan tabel teorema alih-ragam Laplace:

Tabel Teorema alih-ragam Laplace :

Perkalian dengan konstanta [kf(t)] = kF(s)

Penjumlahan dan beda [f1(t) + f2(t)] = F1(s)+F2(s)

TRANSFORMASI LAPLACEUmumnya persamaan differensial homogen untuk sistem berorde-n ditulis:

Persamaan differensial ini disebut sebagai persamaan differensial linear: jika koefisien a1, a2,..., an+1. bukan fungsi dari y(t).

Alih Ragam Laplace

Alih ragam Laplace merupakan salah satu alat bantu matematika yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial. Bila dibandingkan dengan metode klasik dalam menyelesaikan persamaan differensial, alih ragam Laplace memiliki keuntungan dua hal :

1. Penyelesaian persamaan homogen dan integral khusus diperoleh dalam satu operasi.

2. Alih ragam Laplace mengubah persamaan differensial ke persama-an aljabar dalam s. Hal ini memungkinkan dapat memanipulasi per-samaan aljabar dengan aturan aljabar sederhana untuk memepero-leh solusi dalam wawasan s. Solusi akhir diperoleh dengan melaku-kan alih ragam Laplace balik.

PERSAMAAN DIFFERENSIAL DENGAN METODE SERIES

Untuk penyelesaian PD dengan metode series akan diberikan dua metode yang banyak digunakan pada Teknik Kimia, yaitu Persamaan Bessel dan Laplace (banyak dipakai pada pengendalian proses/kontrol).Persamaan Bessel

Persamaan umum persamaan Bessel adalah :

Penyelesaian umum PD Bessel

[ ] [ ] 0)1(2 2222

22 =+−−−++++ yxbxrabdxc

dx

dybxax

dx

ydx rPsr

+= −

−− sp

sp

rbxa xs

dzCx

s

dzCexy

!!()

!!( 21

)/(2/)1(

ca

sP −

−=

2

2

11

PERSAMAAN DIFFERENSIAL DENGAN METODE SERIES

Beberapa kasus :

1. a. Jika adalah real dan P atau bilangan bulat maka Zp dinyatakan dengan Jp dan Z-p dinyatakan dengan J-p

b. Jika P = 0 atau bilangan bulat maka Zp dinyatakan dengan Jn dan Z-p dinyatakan dengan Yn

2. a. Jika adalah imajiner dan P atau bilangan bulat maka Zp dinyatakan dengan Ip dan Z-p dinyatakan dengan I - p

b. Jika P = 0 atau bilangan bulat maka Zp dinyatakan dengan In dan Z-p dinyatakan dengan Kn

s

d

PERSAMAAN DIFFERENSIAL DENGAN ME TODE SERIES

Studi Kasus 1Selesaikan PD di bawah ini:

Penyelesaian :Jika disesuaikan dengan PD Bessel :a.1 - 2β = a + 2bxr jadi ; b = 0

a = 1 - 2β b. jadi ; c = 0

d = β2

s = β

[ ] 02 222

22 =+−+ yx

dx

dyax

dx

ydx βββ

[ ]rPs xbxrabdxcx 22222 )1( +−−−+=ββ

PERSAMAAN DIFFERENSIAL DENGAN ME TODE SERIES

Jadi; P =

=

=

Karena = bilangan real dan P adalah bilangan bulat, maka

ca

s−

− 2

2

11

02

21112

−

+− β

β

111 2 == ββ

ββ

12

==ββ

s

d