convolution method

04/22/2023 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

Convolution Method

Metode SimulasiSemester Genap 2011/2012


• Dimanfaatkan untuk membangkitan peubah acak dari sebaran dengan:– Fungsi sebaran kumulatif yang tidak dapat diperoleh secara

analitik– Fungsi sebaran tidak terdefinisi pada interval tertutup

• Memanfaatkan struktur jumlah dari iid peubah dengan sebaran yang sudah diketahui

• Contoh:– Sebaran Normal (central limit theorem)– Sebaran Erlang (jumlah dari n peubah dengan sebaran

eksponensial)


Prinsip dasar Untuk Membangkitkan Sebaran Normal

• Berdasarkan Central Limit Theorem – Jumlah dari n peubah acak (apapun sebarannya)– Mendekati sebaran normal

nYY ,...,1

2

1

,~ nnNYn

ii

:mean2:ragam


Convolution Method untuk Sebaran Normal I

1,0~,...,1 URR n

21: REMean

121

: 22

RERERVarRagam



• Jumlah dari n peubah acak uniform tersebut:

:1

n

iiR

nREn

ii 2

11

nRVarn

ii 12

11

Dengan transformasi:

12

21

1

n

nRZ

n

ii

1,0~ NZ



• Berapa n?• Pendekatan semakin baik untuk n →∞

• Dari literatur, dipilih n = 12– Mempermudah perhitungan

12

21

1

n

nRZ

n

ii

6

12

1

i

iR



Algoritma• Untuk membangkitkan satu peubah:

• Bangkitkan 12 peubah uniform:

• Hitung:

• Hitung:

2,~ NX

1,0~,..., 121 URR

612

1

i

iRZ

ZX

diketahui dan , 2


Convolution Method untuk Sebaran Normal II

• Metode I kurang efisien karena membutuhkan 12 bilangan acak untuk setiap 1 peubah normal.

• Metode II lebih efisien: – The Direct Transformation method

• Dari Box dan Muller (1958), mereka membuktikan bahwa:

211 2cosln2 RRZ 1,0~, 21 URR

1,0~, 21 NZZ 212 2sinln2 RRZ


Algoritma:• Untuk membangkitkan peubah acak • Bangkitkan R1 dan R2 dari U(0,1):• Hitung:

Convolution Method untuk Sebaran Normal II

dan 2cosln2 211 RRZ 212 2sinln2 RRZ

2,N

11 ZX 22 ZX


Convolution Method untuk Sebaran Erlang

• Adalah jumlah dari n iid sebaran exponensial.

ExpYY ni ~,...,

1

iYE

2

1

iYVar

,~1

nErlangYYn

ii

nYE

2nYVar


• Untuk masing-masing Yi dengan sebaran eksponensial, dapat digunakan inverse transform method.


niyeyf iy

ii ,...,1,0,

niyeyF iy

ii ,...,1,0,1

iyi eR 1 1,0~URi

ii Ry 1ln1

atau

ii Ry ln1


• Untuk Y dengan sebaran Erlang:


n

ii

n

ii RYY

11

ln1

nRRR ...ln121


Algoritma :• Untuk • Bangkitkan n bilangan acak dari U(0,1):

• Gunakan Ri untuk membangkitkan Y:


,~ nErlangY

nRR ,...,1

nRRRY ...ln121

04/22/2023 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Tugas

• Bangkitkan peubah acak dengan metode konvolusi, untuk fungsi Erlang dengan λ=5, n = 5

• Buat plot untuk fungsi dan sebaran kumulatifnya

• Sebanyak n1=20, n2=50• Buat plot untuk peubah acak yang sudah

dibangkitkan

convolution method

Documents