TUGAS KELOMPOK 7ALJABAR LINIER ELEMENTER

TENTANGBASIS ORTONORMAL; PROSES GRAM-SCHMIDT; DEKOMPOSISI QR

OLEH:NURHALIMAH AULA (NIM F04112055)NURUL HIDAYATIE (NIM F04112075)LISLIANA (NIM F04111044)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKAJURUSAN PENDIDIKAN MIPAFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKANUNIVERSITAS TANJUNGPURAPONTIANAK2014DEFINISI:Suatu himpunan vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasilkali dalam disebut sebagai himpunan ortogonal (orthogonal set) jika setiap pasangan vektor yang berbeda di dalam himpunan tersebut adalah ortogonal. Sebuah himpunan ortogonal yang vektor-vektornya memiliki norma 1 disebut ortonormal (orthonormal).CONTOH 1 Himpunan Ortogonal pada R3Misalkan

dan asumsikan bahwa R3 memiliki hasilkali dalam Euclidean. Berdasarkan hal ini maka himpunan vektor S = {u1, u2, u3} adalah ortogonal karena Jika v adalah sebuah vektor taknol pada sebuah ruang hasilkali dalam, maka berdasarkan Teorema 6.2.2 bagian (c) yaitu , vektor

memiliki norma 1, karena

Proses mengalikan sebuah vektor taknol v dengan nilai resiprok (kebalikan) dari panjangnya untuk memperoleh sebuah vektor dengan norma 1 disebut sebagai menormalisasikan v (normalizing v). Sebuah himpunan ortogonal yang terdiri dari vektor-vektor taknol akan selalu dapat dikonversikan menjadi sebuah himpunan ortonormal dengan cara menormalisasikan setiap vektornya.CONTOH 2 Membentuk sebuah Himpunan OrtonormalNorma-norma Euclidean dari vektor-vektor dalam Contoh 1 adalah

Sebagi konsekuensinya, normalisasi u1, u2, dan u3 akan menghasilkan

Buktikan bahwa himpunan S = {v1, v2, v3} adalah ortonormal dengan cara menunjukkan bahwa

Di dalam sebuah ruang hasilkali dalam, sebuah basis yang terdiri dari vektor-vektor ortonormal disebut sebagai basis ortonormal, dan sebuah basis yang terdiri dari vektor-vektor ortogonal disebut sebagai basis ortogonal. Sebuah contoh basis ortonormal yang cukup kita kenal adalah basis standar untuk R3 yang memiliki hasilkali dalam Euclidean:i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)Basis ini adalah basis yang diasosiasikan dengan sistem koordinat siku-siku. Secara lebih umum, pada Rn yang memiliki hasilkali dalam Euclidean, basis standare1 = (1, 0, 0, . . . , 0),e2 = (0, 1, 0, . . . , 0),. . . ,en = (0, 0, 0, . . . , 1)adalah basis ortonormal.Koordinat-koordinat Relatif terhadap Basis OrtonormalKeinginan untuk melakukan pencarian basis-basis ortonormal untuk ruang hasilkali dalam sebagian dilandasi oleh teorema berikut ini.Teorema 6.3.1Jika S = {v1, v2, . . . , v3} adalah sebuah basis ortonormal untuk sebuah ruang hasilkali dalam V, dan u adalah sebuah vektor sebarang pada V, maka

Bukti.Karena S = {v1, v2, . . . , vn} adalah sebuah basis, sebuah vektor u dapat dinyatakan dalam bentuku = k1v1 + k2v2 + . . . + knvnKita akan melengkapi bukti ini dengan menunjukkan bahwa untuk i = 1, 2, . . . , n. Untuk setiap vektor vi di dalam S kita memperoleh

Karena S = {v1, v2, . . . , vn} adalah sebuah himpunan ortonormal, kita memperoleh

Oleh karena itu, persamaan di atas untuk dapat disederhanakan menjadi

Dengan menggunakan terminologi dan notasi, skalar-skalar

di dalam Teorema 6.3.1 adalah koordinat-koordinat dari vektor u relatif terhadap basis ortonormal S = {v1, v2, . . . , vn} dan

adalah vektor koordinat dari u relatif terhadap basis ini.CONTOH 3Vektor Koordinat Relatif terhadap Basis OrtonormalMisalkan

Adalah mudah untuk membuktikan bahwa S = {v1, v2, v3} adalah sebuah basis ortonormal untuk R3 yang memiliki hasilkali dalam Euclidean. Nyatakan vektor u = (1, 1, 1) sebagai sebuah kombinasi linear dari vektor-vektor di dalam S, dan tentukan vektor koordinat (u)S.Penyelesaian.

Oleh karena itu, berdasarkan Teorema 6.3.1 kita memperoleh

yaitu,

Vektor koordinat dari u relatif terhadap S adalah

CATATAN.Manfaat Teorema 6.3.1 dapat terlihat jelas dari contoh ini apabila kita mengingat bahwa untuk basis-basis bukan ortonormal, kita selalu harus menyelesaikan sebuah sistem persamaan untuk dapat menyatakan suatu vektor dalam bentuk sebuah basis.Basis ortonormal untuk ruang hasilkali dalam sangat bermanfaat karena sejumlah rumus yang telah kita kenal berlaku untuk basis-basis semacam ini sebagaimana akan diperlihatkan oleh teorema berikut ini.Teorema 6.3.2Jika S adalah sebuah basis ortonormal untuk sebuah ruang hasilkali dalam berdimensi n, dan jika

maka:a) b) c) CATATAN.Perhatikan bahwa sisi kanan kesamaan pada bagian (a) adalah norma dari vektor koordinat (u)S merujuk pada hasilkali dalam Euclidean pada Rn, dan sisi kanan kesamaan pada bagian (c) adalah hasilkali dalam Euclidean dari (u)S dan (v)S. Sehingga, dengan menggunakan basis-basis ortonormal, perhitungan norma dan hasilkali dalam yang umum dapat disederhanakan menjadi perhitungan norma dan hasilkali dalam Euclidean dari vektor-vektor koordinat.CONTOH 4Menghitung Norma dengan Menggunakan Basis OrtonormalJika R3 memiliki hasilkali dalam Euclidean, maka norma dari vektor u = (1, 1, 1) adalah

Akan tetapi, jika kita misalkan R3 memiliki basis ortonormal S seperti yang diberikan di dalam contoh sebelum ini, maka kita dapat mengetahui dari contoh itu bahwa vektor koordinat dari u relatif terhadap S adalah

Norma u juga dapat dihitung dari vektor ini dengan menggunakan bagian (a) Teorema 6.3.2. Perhitungan ini menghasilkan

Koordinat-koordinat Relatif terhadap Basis Ortogonal Jika S = {v1, v2, . . . , vn} adalah sebuah basis ortogonal untuk sebuah ruang vektor V, maka normalisasi tiap-tiap vektor di dalam basis ini akan menghasilkan basis ortonormal

Sehingga, jika u adalah sebuah vektor sebarang di dalam V, berdasarkan Teorema 6.3.1 kita akan memperoleh

yang berdasarkan Teorema 6.1.1 bagian (c) dapat dituliskan kembali sebagai

Rumus ini menyatakan u sebagai sebuah kombinasi linear dari vektor-vektor di dalam basis ortogonal S.Terbukti dengan sendirinya bahwa jika v1, v2, dan v3 adalah tiga vektor taknol pada R3 yang saling tegak lurus satu sama lainnya, maka tidak satu pun dari ketiga vektor ini yang terletak pada bidang yang sama dengan salah satu dari kedua vektor lainnya; sehingga, vektor-vektor ini bebas linear. Teorema berikut ini merupakan generalisasi dari hal tersebut.Teorema 6.3.3Jika S = {v1, v2, . . . , vn} adalah suatu himpunan ortogonal vektor-vektor taknol pada sebuah ruang hasilkali dalam, maka S bebas linear.Bukti.Asumsikan bahwa

Untuk menunjukkan bahwa S = {v1, v2, . . . , vn} bebas linear, kita harus membuktikan bahwa k1 = k2 = . . . = kn = 0.Untuk setiap vi di dalam S, berdasarkan Rumus (2) kita memperoleh

atau secara ekuivalen,

Dari ortogonalitas S kita memperoleh jika j i, sehingga persamaan ini dapat disederhanakan menjadi

Karena vektor-vektor di dalam S diasumsikan sebagai vektor-vektor taknol, berdasarkan aksioma positivitas untuk hasilkali dalam. Dengan demikian, ki = 0. Karena subskrip i adalah sebarang, kita memperoleh k1 = k2 = . . . = kn = 0; sehingga, S bebas linear.CONTOH 5Menggunakan Teorema 6.3.3Dalam Contoh 2 kita telah menunjukkan bahwa vektor-vektor

Membentuk sebuah himpunan ortonormal dengan merujuk pada hasilkali dalam Euclidean pada R3. Melalui Teorema 6.3.3, vektor-vektor ini merupakan himpunan vektor bebas linear, dan karena R3 berdimensi tiga, S = {v1, v2, v3} adalah sebuah basis ortonormal bagi R3 melalui Teorema 5.4.5 yaituJika V adalah suatu ruang vektor berdimensi n, dan jika S adalah suatu himpunan pada V dengan tepat n vektor, maka S adalah basis untuk V jika salah satu dari hal berikut berlaku, S merentang V atau S bebas linear.Proyeksi OrtogonalSekarang kita akan mengembangkan beberapa hasil yang dapat membantu kita menyusun basis-basis ortogonal dan ortonormal untuk ruang hasilkali dalam.Di dalam ruang R2 dan R3 yang memiliki hasilkali dalam Euclidean, secara geometrik dapat dibuktikan bahwa jika W adalah sebuah garis atau sebuah bidang yang melewati titik asal ruang, maka tiap-tiap vektor u di dalam ruang dapat dinyatakan sebagai jumlah

di mana w1 terletak pada W dan w2 tegak lurus terhadap W.Teorema 6.3.4Teorema ProyeksiJika W adalah sebuah subruang berdimensi terhingga dari suatu ruang hasilkali dalam V, maka setiap vektor u di dalam V dapat dinyatakan dengan tepat satu cara sebagaiu = w1 + w2(3)di mana w1 terletak pada W dan w2 terletak pada W.Vektor w1 pada teorema di atas disebut sebagai proyeksi ortogonal u pada W (orthogonal projection of u on W) dan dinotasikan dengan projWu. Vektor w2 disebut sebagai komponen u yang ortogonal terhadap W (component of u orthogonal to W) dan dinotasikan dengan projWu. Dengan demikian, Rumus (3) di dalam Teorema Proyeksi dapat dinyatakan sebagaiu = projWu + projWu(4)Karena w2 = u w1, kita memperolehprojWu = u - projWusehingga Rumus (4) juga dapat dituliskan sebagaiu = projWu + (u - projWu)(5)Teorema 6.3.5Misalkan W adalah sebuah subruang berdimensi terhingga dari suatu ruang hasilkali dalam V.a) Jika {v1, v2, . . . , vr} adalah sebuah basis ortonormal untuk W, dan u adalah sebuah vektor sebarang pada V, maka (6)b) Jika {v1, v2, . . . , vr} adalah sebuah basis ortogonal untuk W, dan u adalah sebuah vektor sebarang pada V, maka

CONTOH 6Menghitung ProyeksiMisalkan R3 memiliki hasilkali dalam Euclidean, dan W adalah subruang yang direntang oleh vektor-vektor ortonormal . Dari (6), proyeksi ortogonal dari vektor u = (1, 1, 1) pada W adalah

Komponen u yang ortogonal terhadap W adalah

Perhatikan bahwa projWu ortogonal terhadap v1 dan v2 sehingga vektor ini ortogonal terhadap setiap vektor di dalam ruang W yang direntang oleh v1 dan v2, sebagaimana yang seharusnya.Menentukan Basis Ortogonal dan Basis OrtonormalKita telah melihat bahwa basis ortonormal memiliki berbagai sifat yang berguna. Teorema kita berikutnya, yang merupakan hasil terpenting dari pengkajian kita pada subbab ini, menunjukkan bahwa setiap ruang vektor taknol berdimensi terhingga memiliki basis ortonormal. Pembuktian mengenai hal ini sangatlah penting, karena akan menyediakan sebuah algoritma atau metode, untuk mengkonversikan suatu basis sebarang menjadi sebuah basis ortonormal.Teorema 6.3.6Setiap ruang hasilkali dalam taknol berdimensi terhingga memiliki sebuah basis ortonormal.Bukti. Misalkan V adalah suatu ruang hasilkali dalam taknol berdimensi terhingga sebarang, dan misalkan {} adalah basis sebarang untuk V. Akan cukup kiranya apabila kita dapat menunjukan bahwa V memiliki sebuah basis ortogonal, karena vektor-vektor di dalam basis ortogonal itu dapat dinormalisasikan untuk menghasilkan sebuah basis ortonormal untuk V . Urutan langkah berikut ini akan menghasilkan sebuah basis ortogonal {} untuk V.Langkah 1. Misalkan = Langkah 2. Kita dapat memperoleh sebuah vektor yang ortogonal terhadap dengan menghitung komponen yang ortogonal terhadap ruang yang direntang oleh . Dengan menggunakan Rumus (7) : = = Tentu saja, jika = 0, maka bukan merupakan sebuah vektor basis. Namun tidak mungkin demikian halnya, karena dari rumus kita memperoleh = = Yang menjelaskan kepada kita bahwa adalah kelipatan dari , sehingga bertentangan dengan kebebasan linear dari basis S = {}Langkah 3. Untuk membuat sebuah vektor yang ortogonal terhadap maupun , kita menghitung komponen yang ortogonal terhadap ruang yang direntang oleh dan . Dari (7)= = Sebagaimana pada langkah (2), kebebasan linear dari {} memastikan bahwa 0. Langkah 4. Untuk menentukan sebuah vektor yang ortogonal terhadap , dan , kita menghitung komponen yang ortogonal terhadap ruang yang direntang oleh , dan . Dari (7) kita memperoleh = = Apabila kita terus melakukan hal ini, setelah langkah ke-n kita akan memperoleh himpunan vektor vektor ortogonal {}. Karena V berdimensi n dan setiap himpunan ortogonal bersifat bebas linear, maka himpunan {} adalah sebuah basis ortogonal bagi V.Langkah langkah diatas yang disusun untuk mengkonversikan suatu basis sebarang menjadi sebuah basis ortogonal disebut sebagai proses Gram-Schmidt.CONTOH 7. Menggunakan Proses Gram-SchmidtPerhatikan ruang vektor yang memiliki hasilkali dalam euclidean. Terapkan proses Gram-Schmidt untuk mengubah vektor vektor basis = (1, 1, 1), = (0, 1, 1), = (0, 0, 1) menjadi sebuah basis ortogonal {}; kemudian normalisasikan vektor vektor basis ortogonal untuk memperoleh sebuah basis ortonormal {}.Penyelesaian :Langakah 1. = = (1, 1, 1)Langkah 2. = = = (0, 1, 1) (1, 1, 1) = Langkah 3. = = = (0, 0, 1) (1, 1, 1) = Sehingga,= (1, 1, 1), = , = Membentuk sebuah basis ortogonal untuk . Norma vektor vektor ini adalah = , = , = Sehingga basis ortonormal untuk adalah = = , = = , = Catatan : pada contoh di atas kita menggunakan proses Gram-Schmidt untuk menghasilkan sebuah basis ortogonal; kemudian, setelah seluruh basis ortogonal diperoleh, kita menormalisasikannya untuk memperoleh sebuah basis ortonormal. Sebagai alternatif lain, kita bisa saja menormalisasikan setiap vektor basis ortogonal segera setelah kita memperolehnya, sehingga dengan cara ini kita menyusun sebuah basis ortonormal melalui langkah per langkah. Akan tetapi, metode ini memiliki sedikit kelemahan karena akan menghasilkan lebih banyak nilai akar yang harus dimanipulasi.Proses Gram-Schmidt yang diikuti dengan normalisasi tidak hanya mampu mengkonversikan sebuah basis sebarang {} menjadi sebuah basis ortonormal {}, namun proses ini melakukan hal itu sedemikian rupa sehingga untuk k 2 berlaku hubungan hubungan sebagai berikut : {} adalah sebuah basis ortonormal untuk ruang yang direntang oleh {}. ortogonal terhadap ruang yang direntang oleh {}.Dekomposisi QRMasalah. Jika A adalah sebuah matriks m x n yang memiliki vektor vektor kolom yang bebas linear, dan jika Q adalah sebuah matriks yang memiliki vektor vektor kolom ortonormal yang dihasilkan dari penerapan proses Gram-Schmidt pada vektor vektor kolom A, hubungan apa, yang terdapat di antara A dan Q?Jawab : misalkan vektor vektor kolom dari A adalah dan vektor vektor kolom ortonormal dari Q adalah ; sehingga,A = dan Q = Kita mengetahui dari teorema 6.3.1 bahwa dapat dinyatakan dalam bentuk vektor vektor sebagai Kita tahu bahwa vektor kolom ke j dari sebuah hasilkali matriks adalah sebuah kombinasi linear dari vektor vektor kolom faktor pertamanya dengan koefisien koefisien yang diturunkan dari kolom ke j faktor keduanya, selanjutnya hubungan ini dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai = Atau secara lebih ringkas sebagaiA= QR (8)Akan tetapi, sifat Gram-Schmidt menggariskan bahwa untuk j 2, vektor ortogonal terhadap ; sehingga, semua entri yang terletak di bawah diagonal utama R adalah nol,R = (9)Dengan demikian (8) adalah faktorisasi matriks A menjadi hasilkali dari matriks Q yang memiliki vektor vektor kolom ortonormal dengan matriks segitiga atas R yang dapat dibalik. Kita menyebut (8) sebagai dekomposisi QR dari A.Teorema 6.3.7Dekomposisi QR Jika A adalah sebuah matriks m x n yang memiliki vektor vektor kolom yang bebas linear, maka A dapat difaktorkan sebagaiA = QRDimana Q adalah sebuah matriks m x n yang memiliki vektor vektor kolom ortonormal, dan R adalah sebuah matriks segitiga atas n x n yang dapat dibalik.Catatan : Teorema 6.2.7 Jika A adalah sebuah matriks n x n, maka keterbalikan matriks A adalah ekuivalen dengan kebebasan linear vektor vektor kolom; sehingga, setiap matriks yang dapat dibalik pasti memiliki suatu dekomposisi QR.CONTOH 8 Dekomposisi QR sebuah Matriks 3 x 3Tentukan dekomposisi QR dari matriksA = Penyelesaian :Vektor vektor kolom dari A adalah = , = , = Dengan menggunakan proses Gram-Schmidt yang diikuti dengan normalisasi pada vektor vektor kolom ini akan menghasilkan vektor vektor ortonormal (contoh 7) = , = , = dan dari (9) matriks R adalah R = = Dengan demikian , dekomposisi QR dari matriks A adalah = AQRBukti teorema 6.3.4 pembuktian ini terdiri dari 2 bagian. Pertama tentukan vektor vektor dan yang memiliki sifat sifat yang ditentukan, dan tunjukkan bahwa tidak ada vektor lain dengan sifat sifat yang sama selain vektor vektor tersebut.Dengan menerapkan proses Gram-Schmidt kita akan memperoleh sebuah basis ortonormal {} untuk W. Misalkan = (10)dan = (11)Dari persamaan di atas kita dapat mengetahui bahwa = () = , kemudian tunjukkan bahwa terletak pada W dan ortogonal terhadap W . Namun terletak pada W karena merupakan sebuah kombinasi linear dari vektor vektor basis untuk W .Untuk membuktikan bahwa ortogonal terhadap W , kita harus menunjukkan bahwa = 0 untuk setiap vektor pada W. Akan tetapi ,jika adalah sebuah vektor sebarang pada W , vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear = dari vektor vektor basis , , , Dengan demikian = = (12)Tetapi = = Berdasarkan teorema 6.3.2 bagian (c) = Maka , dan adalah sama, sehingga (12) menghasilkan = 0.Untuk mengetahui apakah (10) dan (11) memang benar satu satunya pasangan vektor yang memiliki sifat sifat seperti yang dicantumkan di dalam teorema, misalkan kita juga dapat menuliskan = (13)Dimana terletak pada W dan ortogonal terhadap W. Apabila kita mengurangi persamaan = dari (13) kita akan memperoleh0 = atau = (14)Karena dan ortogonal terhadap W , selisih keduanya juga ortogonal terhadap W , karena untuk sebuah vektor sebarang pada W kita dapat menuliskan = = 0 0 = 0Akan tetapi itu sendiri adalah sebuah vektor pada W , karena dari (14) diperoleh hasil bahwa vektor itu adalah selisih dari kedua vektor dan yang terletak di dalam subruang W . Sehingga pastilah ortogonal terhadap dirinya sendiri; jelasnya = 0Hal ini mengimplikasikan bahwa = 0 berdasarkan aksioma 4 untuk hasilkali dalam. Sehingga, = , dan berdasarkan (14), = .

LATIHAN1. Manakah di antara himpunan-himpunan vektor berikut ini yang merupakan himpunan ortogonal, merujuk pada hasilkali dalam Euclidean pada R2?(a) (c)(b) (d)(0, 0), (0, 1)2. Manakah di antara himpunan-himpunan vektor pada nomor 1 yang merupakan himpunan ortonormal, merujuk pada hasilkali dalam Euclidean pada R2?3. Manakah di antara himpunan-himpunan vektor berikut ini yang merupakan himpunan ortogonal, merujuk pada hasilkali dalam Euclidean pada R3?(a) (c)(b) (d)4. Manakah di antara himpunan-himpunan vektor pada nomor 3 yang merupakan himpunan ortonormal, merujuk pada hasilkali dalam Euclidean pada R3?5. Manakah di antara himpunan-himpunan polinomial berikut ini yang merupakan himpunan ortonormal, merujuk pada hasilkali dalam pada P2?(a) (b) 6. Manakah di antara himpunan-himpunan matriks berikut ini yang merupakan himpunan ortonormal, merujuk pada hasilkali dalam pada M22?(a) (b) 7. Buktikan bahwa himpunan-himpunan vektor yang diberikan di bawah ini adalah himpunan ortogonal, merujuk pada hasilkali dalam Euclidean, kemudian konversikan setiap himpunan menjadi sebuah himpunan ortonormal dengan menormalisasikan vektor-vektornya.(a) (c)(b) 8. Buktikan bahwa himpunan vektor-vektor [(1, 0), (0, 1)] adalah ortogonal, merujuk pada hasilkali dalam pada R2; kemudian konversikan himpunan ini menjadi sebuah himpunan ortonormal dengan menormalisasikan kedua vektornya.9. Buktikan bahwa vektor-vektor membentuk sebuah basis ortonormal untuk R3 yang memiliki hasilkali dalam Euclidean; kemudian gunakan Teorema 6.3.1 untuk menyatakan tiap-tiap vektor di bawah ini sebagai kombinasi linear dari v1, v2, dan v3.(a) (c)(b)