barisan_deret_kul

7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL

1/79

05/12/15 Matematika 2 1

Barisan

Barisan Tak Hingga

Kekonvergenan barisan tak hinggaSifat sifat barisan

Barisan Monoton


2/79

Matematika 2 2

Barisan Tak Hingga

Secara sederhana, barisan merupakan susunan dari bilangan

bilangan yang urutannya berdasarkan bilangan asli

Suatu barisan yang terdiri dari n suku biasanya dinyatakan dalam

bentuk a1,a2,,an a1 menyatakan suku ke!, a2 menyatakan sukuke" dan anmenyatakan suku ken

Barisan tak hingga didefinisikan sebagai suatu fungsi real di mana

daerah asalnya adalah bilangan asli #otasi barisan tak hingga

adalah

{ }=1nna


3/79


Barisan Tak Hingga

Contoh contoh barisan

Barisan

Bisa dituliskan dengan rumus

Barisan

Bisa dituliskan dengan rumus

$enentuan antidak memiliki aturan khusus dan hanya bersifat coba

coba

...,8,6,4,2

{ }

=1nn2

...,6

4,

5

3,

4

2,

3

1

= + 1nn2n


4/79


Kekonvergenan barisan

tak hinggaSuatu barisan tak hingga dikatakan konvergen menu%u &, bila

atau

' untuk setiap epsilon positif terdapat # positif sedemikian hingga

untuk n lebih besar atau sama dengan #, selisih antara dan

& akan kurang epsilon(

Lalimnn

=

> La,Nn0N0 n

na


5/79



tak hingga

Contoh 1

Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut

Jawaban

Karena

maka divergen

=

+ 1n

2

1n

n

=+ 1n

nlim

2

n

=

+ 1n

2

1n

n


6/79



tak hingga

Contoh 2


Jawaban

Karena merupakan bentuk tak tentu maka untuk

menyelesaikannya digunakan teorema berikut )

Misal ,bila maka

untukx R.

=

1n

n

2

e

n

n

2

n e

nlim

( )nfan= ( ) Lxflim

x=

( ) Lnflim

n=


7/79



tak hinggaJawaban (lanjtan!

*adi dan dengan menggunakan dalil &+hopital maka

Berdasarkan teorema maka

Karena nilai limitnya menu%u , maka

Konvergen menu%u

xx ex2lim=

( )x

2

e

xxf =

x

2

x e

xlim

0e

nlim

n

2

n=

=

1n

n

2

e

n

0e2lim xx ==


8/79

05/12/15 Matematika 2 "


tak hinggaContoh 3


Jawaban

Bentuk dari suku suku barisannya merupakan bentuk ganti tanda

akibat dari nilai cos n, untuk n gan%il tandanya , untuk n genap

tandanya - #ilai tidak ada tetapi minimal bernilai ! dan

maksimal bernilai ! Sedangkan akibatnya untuk nnilai

, akan mendekati nol *adi deret konvergen menu%u

=

1n

ncos

n

1

ncoslimn

0n

1lim

n=

ncos.n

1


9/79

05/12/15 Matematika 2 #

Sifat sifat barisan

Misal 'an( dan 'bn( barisan.barisan yang konvergen, dan k suatu

konstanta, maka

!"

/

0

1

kklimn =nnnn

alimkaklim

=

( ) nnnnnnn

blimalimbalim

=

( ) nnnnnnn

blimalimbalim

=

0blim,blim

alim

b

alim

nn

nn

nn

n

n

n=


10/79


Barisan Monoton

Kemonotonan barisan 'an( dapat dikelompokkan

men%adi 0 macam )

! Monoton naik bila

" Monoton turun bila

/ Monoton tidak turun bila

0 Monoton tidak naik bila

1nn aa +

1nn aa +1nn

aa+


11/79


Deret Tak Hingga

2eret tak hingga merupakan %umlahan dari yaitu a1+a2++an

#otasi deret tak hingga adalah

Kekonvergenan suatu deret dapat di ketahui dari kekonvergenanbarisan %umlahan parsial yaitu , ,dimana )

2an

{ }

=1nna

=1n na

nn

Slim

11 aS =

3213 aaaS ++=n321n

a...aaaS ++++=

212 aaS +=

{ } ....,S...,,S,SS k211nn =

=


12/79


Deret Tak Hingga

Contoh

Selidiki apakah deret konvergen 3

Jawaban

Karena , maka adalah deret

konvergen yaitu konvergen menu%u ! $enentuan Sn dari suatu

deret %uga tidak memiliki aturan khusus dan bersifat coba coba

+

= 1k

1

k

1

1k

1n

n

1n

11S

n +=

+=

11n

nlimSlim

nnn=

+

= 1k

1

k

1

1k +

=


13/79


Deret Suku Positif

Sebuah disebut deret suku positif, bila semua suku.

sukunya positif Berikut ini adalah deret.deret suku positif yang

sering digunakan )

! 2eret geometri

" 2eret harmonis

/ 2eret.p

2eretp akan dibahas secara khusus dalam u%i integral

=1nn

a


14/79


Deret Suku Positif

$eret %eometri

Bentuk umum )

$roses menentukan rumusan Snadalah sebagai berikut )

2ari rumusan tersebut diperoleh bah4a

sehingga untuk r ! Kekonvergenan dari deret

geometri bergantung pada nilai r

....... 1321

1

++++++=

=

nk

k

rarararaara

1n32

n ra...rararaaS +++++=

n1n32

n rara...rararaSr +++++=

n

nn

raaSrS

=( )r1

r1aS

n

n =


15/79


Deret Suku Positif

$eret %eometri(lanjtan!

5da / kasus nilai r yang akan menentukan kekonvergenan deret

geometri )

Bila r 6 1, maka Sn= nasehingga , sehingga deret

divergen

Bila 7 r 78!, maka , sehingga deret konvergen ke

Bila 7 r 7 9!, maka , sehingga deret divergen

=

nalimn

0rlim nn = r1

a

=

n

nrlim


16/79


Deret Suku Positif

$eret harmonis

Bentuk umum )

:ntuk menentukan kekonvergenan, dapat diketahui dari nilai limit dariSnnya, yaitu

=1n n

1

n

1....8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

11Sn +++++++++=

.....16

1....

9

1

8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

11 +

+++

++++

+++=


17/79


Deret Suku Positif

$eret harmonis (lanjtan!

Karena, maka Sehingga deret harmonis divergen

2

1

....2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1 +++++++++=

....16

1....

16

1

8

1

8

1

8

1

8

1

4

1

4

1

2

11S n2

+

+++

++++

+++>

=+ 2

n1lim

n

2

n1+=


18/79

05/12/15 Matematika 2 1"

Kedivergenan

Deret Tak Hingga

Bila deret konvergen, maka

kontraposisinya ;pernyataan lain yang sesuai < adalah

Bila ,maka deret akan divergen

Bila dalam perhitungan limit annya diperoleh nol,

maka deret belum tentu konvergen, sehingga perlu

dilakukan pengu%ian deret dengan u%i.u%i deret positif

=1nna 0alim n

n=

0alim nn

=1nna


19/79

05/12/15 Matematika 2 1#

Kedivergenan

Deret Tak Hingga

Contoh

$eriksa apakah konvergen 3

Jawaban

*adi divergen

n12

1limn +=

+

=1n 1n2

n

1n2

nlimalimn

nn +=

+

=1n 1n2

n

02

1=


20/79


Uji Deret Positif

! :%i integral

" :%i Banding

/ :%i Banding limit

0 :%i =asio

1 :%i 5kar


21/79


Uji Deret Positif

:%i integral

Misal merupakan deret suku positif dan monoton turun,

dimana , maka integral tak 4a%ar dari f(x)

adalah

Bila nilai limit dari integral tak 4a%ar tersebut tak hingga atau

tidak ada, maka deret divergen

Bila nilainya menu%u suatu nilai tertentu;ada


22/79


Deret Suku Positif

Contoh 1& 'ji nte%ral $eret)*

+entk mm &

Kalau diperhatikan maka deret harmonis sebenarnya %uga

merupakan deretp dengan p6! Kekonvergenan deret p akan

bergantung pada nilai p :ntuk menentukan pada nilai p berapa

deret konvergen atau divergen, digunakan integral tak 4a%ar

yaitu

Misal maka

Selan%utnya nilai f;x


23/79


Deret Suku Positif

$eret)* (lanjtan!

>ntegral tak 4a%ar dari f;x< adalah

Kekonvergenan deretp ini akan tergantung dari nilai integral tak 4a%ar

tersebut Bila integralnya konvergen maka deretnya %uga konvergen

Sebaliknya bila integralnya tak hingga atau tidak ada maka deretnya %uga

akan divergen

dx

x

1limb

1

b

=dx

x

1

1

b

1

1

b 1

xlim

=

1

1

1

blim

1

b

=


24/79


Deret Suku Positif

$eret)* (lanjtan!

#ilai integral tak 4a%ar tersebut bergantung pada nilai p berikut )

Bila p 6 !, maka deretnya harmonis, sehingga deret divergen

Bila p1, maka ,

sehingga deret konvergen

( ) 1b b11

11lim =

=

11

1blim

1

b

11

1blim

1

b

11=


25/79


Uji Deret Positif

?ontoh "Tentukan kekonvergenan deret

Jawaban

2eret tersebut monoton turun, sehingga dapat digunakan u%i

integral yaitu )

Misal , maka

$erhitungan integral tak 4a%ar )

dxxlnx

1lim

b

2b =

=2n nlnn

1

( )nlnn

1nfan ==

xlnx

1!x"f =

dxxlnx

1

2

( ) ] ==

b2

bxlnlnlim


26/79


Uji Deret Positif

Karena nilai limitnya menu%u tak hingga, maka integral

tak 4a%arnya divergen Sehingga deret %uga

divergen

=2n nlnn

1


27/79


Uji Deret Positif

:%i Banding

Bila untuk n N, berlaku bnan maka

a Bila konvergen, maka %uga konvergen

b Bila divergen, maka %uga divergen

*adi pada u%i banding ini, untuk menentukan kekonvergenan

suatu deret, bila menggunakan sifat a maka deret

pembandingnya adalah yang bersifat konvergen

Sedangkan bila menggunakan sifat nomor " maka deret

pembandingnya adalah yang bersifat divergen

=1n nb

=1n na

=1nna

=1nnb


28/79


Uji Deret Positif

Contoh 1:%i kekonvergenan

Jawaban

2alam u%i banding, pemilihan deret pembanding adalah dipilih

yang paling mirip dengan deret yang akan diu%i

2apat dipilh sebagai deret pembanding

Karena dan merupakan deret

p yang divergen, maka disimpulkan deretnya %uga divergen

= +1n 2n1

=1n n3

1

=1n n3

1

n3

1

2n

1+


29/79


Uji Deret Positif

Contoh 2

:%i kekonvergenan

Jawaban

2engan u%i banding, digunakan deret pembanding ,

dimana Karena merupakan deret

konvergen, maka %uga konvergen

= +1n 2 5n3

=1n

2n

3

22 n

3

5n

3

+

=1n2n

3

= +1n 2 5n

3


30/79


Uji Deret Positif

Contoh 3

:%i kekonvergenan

Jawaban

Karena untuk , maka deret pembanding yang

digunakan adalah Karena dan

merupakan deret konvergen, maka %uga konvergen

=

1

2

1

n n

n#$

2,

1


31/79


Uji Deret Positif

:%i Banding &imit

Misal dan , merupakan deret suku positif dan

, berlaku

Bila 8 & 8 , maka kedua deret bersama.sama konvergen

atau bersama.sama divergen

Bila L = 0, dan adalah deret konvergen, maka

%uga konvergen

Bila L = dan adalah deret divergen maka

%uga divergen

=1nna

=1nnb

n

n

n b

a

limL =

=1nnb

=1nna

=1nnb

=1nna


32/79


Uji Deret Positif

Contoh 1

:%i kekonvergenan deret

Jawaban

2eret pembanding yang digunakan adalah dan

diketahui sebagai deret divergen ; sebagai


33/79


Uji Deret Positif

Contoh 2


Jawaban

2eret pembanding yang digunakan adalah dan

diketahui sebagai deret divergen ;deret harmonis


34/79


Uji Deret Positif

'ji ,asio

Misal merupakan deret suku positif dan

maka berlaku

Bila 8!, maka deret konvergen

Bila 9!, maka deret divergen

Bila 6!, maka u%i gagal

=1n

na

n

1n

n a

alim +

=


35/79


Uji Deret Positif

Contoh


Jawaban

2engan u%i rasio diperoleh

Karena 6 8 ! , maka konvergen

=1

2

!i n

n

0n!1n"

!1n"lim

n

%n

%!1n"

!1n"lim

2

2

n2

2

n=

++

=++

=

=

n

1i

2

%n

n


36/79


Uji Deret Positif

'ji -kar

Misal merupakan deret suku positif dan ,

maka berlaku

Bila r < 1, maka deret konvergen

Bila r > 1, maka deret divergen

Bila r = 1, maka u%i gagal

=1n

na n

nn

alimr

=

=1nna

=1n

na


37/79


Uji Deret Positif

Contoh


Jawaban

2engan u%i akar diperoleh

Karena , maka konvergen

=1

2

i

n

n

e

e

2

e

2limr n

n

n

n==

=

n

1i n

n

e

2

1e

2

r


38/79


Uji Deret Positif

$anduan $emilihan u%i deret

Bila deret suku berbentuk rasional ;fungsi polinom< maka

dapat dipilih ji ban.in% ata ji ban.in% limit

Bila deret suku positif mengandung bentuk pangkat n dan

atau faktorial maka dipilih ji rasio ata ji akar *an%kat n

Bila u%i u%i diatas tidak dapat digunakan dan suku

sukunya monoton turun maka dapat dipilih ji inte%ral


39/79


Deret Ganti Tanda

:%i.u%i kekonvergenan deret positif hanya digunakan untuk

mengu%i deret.deret positif Sedangkan untuk deret.deret yang

suku.sukunya berganti.ganti tanda, yaitu berbentuk

dengan an> 0 untuk semua n dilakukan u%i

tersendiri

#otasi deret ganti tanda adalah atau

2eret ganti tanda dikatakan konvergen, bila

a ;monoton tak naik

barisan_deret_kul

Documents