ukuran pemusatan data

UKURAN PEMUSATAN DATA

Denny Agustiawan

JURUSAN TEKNIK INFORMATIKASTMIK ASIA MALANG

Ukuran Pemusatan Data

• Ukuran pemusatan adalah suatu ukuran yang menunjukkan dimana suatu data memusat atau suatu kumpulan pengamatan memusat (mengelompok)

• Ukuran pemusatan merupakan penyederhanaan data untuk mempermudah peneliti membuat interprestasi dan mengambil suatu keputusan

• Ukuran pemusatan data meliputi : 1. Rata-rata (average)

a) Rata-rata hitung (arithmetic mean)

b) Rata-rata ukur (geometric mean)c) Rata-rata harmonis (harmonic

mean)2. Median3. Modus

Continue..

1. Rata-rata Hitung

• Dirumuskan :– Rata-rata hitung = jumlah semua nilai data

banyaknya nilai data– Bila data merupakan pengamatan dari n

sampel, maka: atau

– Bila data merupakan pengamatan dari N populasi, katakanlah masing-masing nilai data mengulang dengan frekuensi tertentu, maka:

atau

n

X

n

XXXXX

n

ii

n

1321 ... n

XX

n

nn

ffff

XfXfXfXfX

...

...

321

332211

f

fXX

• Contoh :

– Nilai ujian statistik 5 mahasiswa berikut adalah 80, 60, 75, 70, 65, maka nilai rata-rata hitungnya adalah?

70

5

6570756080

X

X

Continue..

• Contoh :– Nilai ujian statistik 15 mahasiswa berikut

adalah 2 mahasiswa mendapat nilai 95, 4 mahasiswa dengan nilai 80, 5 mahasiswa mendapat nilai 65, 3 mahasiswa dengan nilai 60 dan 1 mahasiswa mendapat nilai 50, maka nilai rata-rata hitungnya adalah?

Continue..

Continue..

71

15

106513542

)501()603()655()804()952(

X

X

xxxxxX

• Solusi :

a) Contoh dalam tabel distribusi frekuensi

– Misalkan modal (dalam jutaan rupiah) dari 40 perusahaan disajikan pada tabel distribusi frekuensi berikut, maka tentukanlah nilai rata-rata hitungnya!

Continue..

a) Contoh dalam tabel distribusi frekuensi Kelas

(Modal)Nilai Tengah

(X)Frekuensi (f) fX

112-120121-129130-138139-147148-156157-165166-174

116125134143152161170

458

12542

464625

10721716760644340

40f 5621fX

525,14040

5621

f

fXX

Continue..

b. Contoh dengan memakai kode (U) – Rumus :

Dimana x adalah nilai tengah kelas yang berhimpit dengan nilai U (0), c adalah lebar kelas, U adalah kode kelas

– Berdasarkan data dari soal a), dengan menggunakan rumus diatas maka tentukanlah nilai rata-rata hitungnya!

f

fUcXX 0

Continue..

b) Contoh dengan memakai kode (U) Kelas

(Modal)Nilai

Tengah (X)U Frekuensi

(f)fU

112-120121-129130-138139-147148-156157-165166-174

116125134143152161170

-3-2-10123

458

12542

-12-10-80586

40f 11fU

525,140475,214340

119143

0

X

f

fUcXX

Continue..

4. Rata-rata Ukur

• Digunakan jika data memiliki ciri tertentu, banyaknya nilai data satu sama lain saling berkelipatan sehingga data berukuran tetap atau hampir tetap.

• Biasa digunakan untuk mengetahui persentase perubahan sepanjang waktu, misalnya rata-rata persentase tingkat perubahan hasil penjualan, produksi, harga, dan pendapatan nasional.

4. Rata-rata Ukur

• Dirumuskan :– Untuk data sampel :

– Untuk data berkelompok :

n

XantiGatau

n

XGatauG n

nxxxxlog

loglog

loglog.....321

f

XfantiG

loglog

• Contoh :– Tentukanlah rata-rata ukur dari 2,4,8!

0,4

)6021,0log(

3

8062,1log

3

9031,06021,03010,0log

3

8log4log2loglog

9031,08log6021,04log3010,02log

G

antiG

antiG

antiG

antiG

Continue..

• Contoh :– Perhatikan tabel data modal perusahaan

pada soal-soal sebelumnya. Tentukanlah rata-rata ukur dari data tersebut!

Kelas (Modal) Nilai Tengah (X) Frekuensi (f) log X f log X

112-120121-129130-138139-147148-156157-165166-174

116125134143152161170

458

12542

2,0642,0972,1272,1552,1822,2072,230

8,25610,48517,01625,86010,910

8,8284,460

40 85,815

757,139)145,2log(40

815,85log

loglog

antianti

f

XfantiG

Continue..

5. Rata-rata Harmonis

• Digunakan jika data memiliki ciri tertentu, data dalam bentuk pecahan atau desimal

• Dirumuskan :– Untuk data tidak berkelompok :

– Untuk data berkelompok :

X

nRH 1

Xf

fRH

• Contoh :– Tentukanlah rata-rata harmonis dari 2,4,8!

– Tentukanlah rata-rata harmonis dari 1/3,2/5,3/7,4/9!

43,3

873

81

41

213

1

X

nRH

40,0397,008,10

4

49

37

25

3

41

X

nRH

Continue..

• Contoh :– Perhatikan tabel data modal perusahaan

pada soal-soal sebelumnya. Tentukanlah rata-rata harmonisnya!Kelas (Modal) Nilai Tengah (X) Frekuensi (f) f/X

112-120121-129130-138139-147148-156157-165166-174

116125134143152161170

458

12542

0,0340,0400,0600,0840,0330,0250,012

40 0,288

889,138288,0

40

Xf

fRH

Continue..

2. Median• Median adalah nilai tengah dari

kelompok data yang telah diurutkan• Dirumuskan :– Untuk data sampel :

Median data ganjil = nilai yang paling tengahMedian data genap = rata-rata dari dua nilai tengah

– Untuk data berkelompok :

f

Fn

cLMed 20

• Contoh :– Median dari data 3,4,4,5,6,8,8,9,10 adalah?

Nilai ke-5, yaitu 6– Himpunan bilangan 11,12,5,7,9,5,18,15,

memiliki median?Bilangan terurut : 5,5,7,9,11,12,15,18Mediannya adalah

101192

1

542

1

kenilaikenilai

Continue..

• Contoh :– Perhatikan tabel data modal perusahaan

pada soal-soal sebelumnya. Tentukanlah median dari data tersebut!

Kelas (Modal) Frekuensi (f)

112-120121-129130-138139-147148-156157-165166-174

458

12542

75,14012

172095,138

95,1385,147

17854125,138

14713920

,2

40

2

0

Med

c

FfLmaka

kelasPadakenilaiyaitu

keataun

kenilaipadaterletakMedian

Continue..

3. Modus

• Modus menyatakan gejala yang paling sering terjadi atau paling banyak muncul.

• Dirumuskan :– Untuk data sampel :

Modus = nilai yang paling sering muncul– Untuk data berkelompok :

21

10 bb

bcLMod

uskelassesudahkelassatutepatfrekuensi

denganuskelasfrekuensiantaraselisihb

uskelassebelumkelassatutepatfrekuensi

denganuskelasfrekuensiantaraselisihb

kelaslebarc

uskelasbawahbatasL

usMod

mod

mod

mod

mod

mod

mod

2

1

0

• Contoh :– Modus dari data 3,4,4,5,6,8,8,8,9 adalah?

Mod = 8– Himpunan bilangan 3,4,4,6,8,8,9,10,

memiliki modus?Memiliki 2 modus yaitu Mod = 4 dan Mod = 8

– Data 3,4,5,6,8,9,10 memiliki modus?Tidak mempunyai modus

– Data 3,3,3,3,3,3,3 memiliki modus?Tidak mempunyai modus

Continue..

• Contoh :– Perhatikan tabel data modal perusahaan pada

soal-soal sebelumnya. Tentukanlah modus dari data tersebut!

Kelas (Modal) Frekuensi (f)

112-120121-129130-138139-147148-156157-165166-174

458

12542

77,14174

495,138

7512481295,1385,1475,138

12,147139

210

Mod

bbcLmaka

terbesarfrekuensidengankelaspadaterletakModus

Continue..

Ukuran Letak Data

• Ukuran letak data meliputi : 1. Kuartil2. Desil3. Persentil

1. Kuartil

• Dirumuskan :– Konsep median diperluas dengan membagi

data yang telah terurut menjadi empat bagian sama banyak, dengan tiga bilangan pembagi yaitu kuartil (Q1,Q2,Q3)

– Bila data tidak berkelompok, maka:

– Bila data berkelompok, maka:

3,2,1,4

)1(

i

nikeyangNilaiQi

3,2,1,40

i

f

Fin

cLQi

i

i

Qkuartilkelasfrekuensif

QkuartilkelassebelumkelassemuafrekuensijumlahF

kelaslebarc

kuartilkelasbawahbatasL

manadi

0

:

• Contoh untuk data tak berkelompok:– Tentukanlah kuartil 1, 2 dan 3 dari data

upah bulanan 13 karyawan (dalam ribuan rupiah) berikut!40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100

Continue..

• Urutan data : 30,35,40,45,50,55,60,65,75,80,85,95,100

5,82)8085(2

180

)1011(2

110

2

110

4

42

4

)113(3

6074

28

4

)113(2

5,42)4045(2

140

)34(2

13

432

13

4

14

4

)113(1

:,,

13,4

)1(

3

2

1

321

kenilaikenilaikenilai

kenilainilaikekenilaiQ

kenilaikenilaikenilaiQ

kenilaikenilaikenilai

kenilaidankenilaiantara

kenilaikenilaikenilaiQ

adalahQQQkuartilnilaiMaka

nmanadini

kenilaiQi

Continue..

• Contoh untuk data berkelompokTentukanlah kuartil 1, 2 dan 3!

Kelas (Modal) Nilai Tengah (X) Frekuensi (f)

112-120121-129130-138139-147148-156157-165166-174

116125134143152161170

458

12542

156148147139,138130,40

%25%75,

%50%50,

%75%25,

321

3

2

1

padaQdanpadaQkelaspadaQmakanKarena

ataskedanbawahkemenjadidatamembagiQ

ataskedanbawahkemenjadidatamembagiQ

ataskedanbawahkemenjadidatamembagiQ

Continue..

3,1495

293095,147

5295,147

:

75,14012

172095,138

12178545,138

:

625,1308

91095,129

8

9440

95,129

89545,129

:

3

0

3

2

0

2

1

0

1

Q

fFL

UntukQ

Q

fFL

UntukQ

Q

fFL

UntukQ

Continue..

• Dirumuskan :– Desil adalah sekelompok data yang dibagi

menjadi 10 bagian sama banyak – Bila data tidak berkelompok, maka:

– Bila data berkelompok, maka:9,...,3,2,1,

10

)1(

i

nikeyangNilaiDi

9,...,3,2,1,100

i

f

Fin

cLDi

i

i

Ddesilkelasfrekuensif

DdesilkelassebelumkelassemuafrekuensijumlahF

kelaslebarc

desilkelasbawahbatasL

manadi

0

:

Desil

• Contoh untuk data tak berkelompok:– Tentukanlah desil 3, dan 7 dari data upah

bulanan 13 karyawan (dalam ribuan rupiah) berikut!40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100

Continue..

• Urutan data : 30,35,40,45,50,55,60,65,75,80,85,95,100

78)7080(10

870

)910(10

89

10

89

10

98

10

)113(7

46)4550(5

145

)45(5

14

5

14

10

42

10

)113(3

:,

13,10

)1(

7

3

73

kenilaikenilaikenilai

kenilainilaikekenilaiD

kenilaikenilaikenilai

kenilaikenilaikenilaiD

adalahDDdesilnilaiMaka

nmanadini

kenilaiDi

Continue..

• Contoh untuk data berkelompok. Tentukanlah desil 3 dan 7!

Kelas (Modal) Nilai Tengah (X) Frekuensi (f)

112-120121-129130-138139-147148-156157-165166-174

116125134143152161170

458

12542

147139,138130,40

%30%70,

%70%30,

73

7

3

padaDkelaspadaDmakanKarena

ataskedanbawahkemenjadidatamembagiQ

ataskedanbawahkemenjadidatamembagiD

Continue..

75,14612

172895,138

12

1710)40(7

95,138

:

875,1328

91295,129

8

910)40(3

95,129

:

7

7

3

3

D

UntukD

D

UntukD

Continue..

• Dirumuskan :– Persentil adalah sekelompok data yang

dibagi menjadi 100 bagian sama banyak – Bila data tidak berkelompok, maka:

– Bila data berkelompok, maka:99,...,3,2,1,

100

)1(

i

nikeyangNilaiPi

99,...,3,2,1,1000

i

f

Fin

cLPi

i

i

Ppersentilkelasfrekuensif

PpersentilkelassebelumkelassemuafrekuensijumlahF

kelaslebarc

persentilkelasbawahbatasL

manadi

0

:

Persentil

Contoh Soal 1

• Dari data berikut:38 67 85 95 96 76 125 150 158 12038 36 47 49 89 70 120 80 85 93Buatlah:1. Tabel Distribusi Frekuensi, Frek. Relatif,

Frekuensi Komulatif2. Hitung Rata-rata hitung, Rata-rata ukur,

Rata-rata harmonis, median, modus (data terkelompok)

3. Hitung Q2, D8, P63 (data terkelompok)

Tugas 2

Buku “Statistika Deskriptif & Induktif”, penulis Meilia Nur Indah Susanti, Hal. 115 No. 5 & 8

Terima kasih