teori peluang

Teori Peluang

AdaptifHal.: 2 PELUANG

Peluang Kejadian

Percobaan, Ruang Sampel, Peluang suatu kejadian

)A(frlimn

Kombinatorik Adalah teknik menghitung banyaknya anggota ruang sampel dengan :1.Cara mendatar2.Membuat tabel3.Membuat diagram pohon

Peluang adalah nilai frekuensi relatif munculnya suatu peristiwa dalam suatu eksperimen jika banyaknya percobaan tak terhingga.

P(A)=

AdaptifHal.: 3 PELUANG

Peluang Kejadian

Eksperimen (Percobaan Acak) Ada Obyek Eksperimen Ada Cara Eksperimen Ada Hasil-hasil Yang Mungkin (Titik-titik Sampel)

ObyekEksp.

Cara Eksp.

Hasil-hasilYang Mungkin

s1

s2

s3

s4

s5

S

S = Ruang Sampel = { s1 , s2 , s3 , . . . , s5 }

= Himpunan semua hasil yang mungkin

dalam eksperimen itu

s1 , s2 , s3 , . . . , s5 masing-masing

disebut titik sampels2

Ss1

s3 s4 s5

AdaptifHal.: 4 PELUANG

Peluang Kejadian

sn

S

As3

s2s1sm

S = Ruang Sampel

= Himpunan semua hasil yang mungkin terjadi dalam eksperimen itu

= {s1 , s2 , s3 , . . . , sm , . . . , sn}

A = Suatu peristiwa dalam ruang sampel S

= {s1 , s2 , s3 , . . . , sm}

Prinsip Penjumlahan

P(A) = P({s1}) + P({s2}) + P({s3}) + . . . + P({sm})

= jumlah peluang masing-masing titik sampel

yang ada di dalamnya

AdaptifHal.: 5 PELUANG

Peluang Kejadian

Peluang Berdasar Pengambilan Sampel

Pengambilan Sekaligus → KombinasiPengulangan obyek eksp. tidak

dimungkinkan dan urutan tak

diperhatikan (tak punya makna)

Pengambilan Satu Demi Satu

1. Tanpa Pengembalian → PermutasiPengulangan obyek eksp. tidak

dimungkinkan dan urutan diperhatikan (punya makna)

2. Dengan Pengembalian → Bukan Permutasi dan Bukan Kombinasi

AdaptifHal.: 6 PELUANG

Peluang Kejadian

Banyaknya Eksp.

Frek. Munculnya

s1 =s2 s3

300 kali3.000 kali

15.000 kali30.000 kali

banyak kali

921.0124.989

10.012

Fr (s1) ≈

105991

5.0079.984

Fr (s2) ≈

93997

5.00410.004

Fr (s3) ≈3

1

3

1

1. Pengambilan Sekaligus

Hasil-hasil yang mungkinObyek Eksp

Cara Ekp.

1 2 3

Eksp1: ambil acak

2 bola sekaligus

… s1

… s2

… s3

1 2

1 3

2 3

S

A

Ambil acak 2 bola sekaligus. Hasil-hasil

yang mungkin?

3

1

A

Ss2

s1 s3

P({s1}) = P({s2}) = P({s3}) =

Maka S berdistribusi seragam

3

1

S = {s1, s2 , s3 } = Ruang sampel hasil eksperimen

A = Peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil

= {s1, s3 } , n(A) = 2.

n(S) =

= 3 .32C

P(A)

= )S(n

)A(n3

2

AdaptifHal.: 7 PELUANG

Peluang Kejadian

2. Pengambilan Satu demi Satu Tanpa Pengembalian

Obyek Eksp

Cara Ekp.

1 2 3

Eksp 2 : ambil acak

2 bola 1 – 1 tanpa pengembalian

Ambil acak 2 bola 1 – 1 tanpa pengemb. Hasil-hasil yang

mungkin?

1

2

3

2

3

1

3

1

2

1 2 … s1…

1 3 … s2…

2 1 … s3…

2 3 … s4…

3 1 … s5…

3 2 … s6…

S

A

3 cara2 cara

Hasil-hasil yang mungkin

A

S

s6

s5

s4

s2

s1

s3

P({s1}) = P({s2}) = … = P({s6}) =

Maka S berdistribusi seragam.

6

1

S = {s1, s2 , s3 , . . . ,s6 } = Ruang sampel hasil eksperimen

A = peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil

= {s1, s3, s4 , s6 } P(A) = = = .

n(S) = = =

)S(n

)A(n6

4

3

2

3 × 2 6..ekspobyekdari

obyekP 32

AdaptifHal.: 8 PELUANG

Peluang Kejadian

3. Pengambilan 1 – 1 Dengan Pengembalian

Eksp2:ambil acak2 bola 1-1 dengan

pengemb.

Ambil acak 2 bola 1-1 dengan pengembalian. Hasil-hasil yang

mungkin?

I

Hasil-hasil yang mungkin

S

II A

2

3

1 2 3

1

1 … s11 1…

2 … s21 2…

3 … s31 3…

1 … s73 1…

2 … s83 2…

3 … s93 3… 3 cara

3 cara

A

Ss7

s2s6

s3

s4

s8

s1

s5s9

S = {s1, s2 , s3, ... , s9} = Ruang sampel hasil eksperimen.

n(S) = 3 × 3 = 9

A = peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil. = {s2, s4, s6 , s8 }

P(A) = = .

)S(n

)A(n

9

4

P({s1}) = P({s2}) = … = P({s9}) =

Maka S berdistribusi seragam.

9

1

AdaptifHal.: 9 PELUANG

Peluang Kejadian

Frekuensi Harapan

Frekuensi Harapan suatu kejadian adalah hasil kali peluang kejadian tersebut dengan banyaknya percobaan.

Fr(A) = P(A) . n dengan, Fr(A) = frekuensi harapan kejadian A P (A) = peluang kejadian A n = banyaknya percobaan

Contoh:Peluang seorang anak terkena penyakit polio adalah 0,01, dari 8000 anak. Berapa kira- kira yang terjangkit penyakit polio?Jawab:P(kenapolio) = 0,01, n= 8000Fr(A) = P(kena polio) . n = 0,01 x 8000 = 80 Jadi, dari 8000 anak diperkirakan ada 80 anak yang terkena penyakit polio

AdaptifHal.: 10 PELUANG

Kejadian Majemuk

)( 1 )(

1

)(

'

'

APAP

n

an

a

n

nn

anAP

A’

S

A

Jika A mempunyai a elemen, dan S

mempunyai n elemen maka A’

mempunyai n-a elemen. Maka P(A’)

adalah peluang tidak terjadinya A.

Kejadian bukan A dari himpunan S ditulis

dengan simbol A’ (atau Ac) disebut

komplemen dari A.

1. Komplemen

AdaptifHal.: 11 PELUANG

Kejadian Majemuk

2.Dua Kejadian Saling Lepas

.1.4

A .2 .5 .7 .3 .11

B .6 .8 .9 .10 .12

S

Maka A = {2, 3, 5, 7, 11} dan B = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

Sehingga

S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

A={kejadian mendapatkan bilangan prima}

B={kejadian mendapatkan sedikitnya bilangan 5}

Jika kita melihat hubungan antara , P(A) dan P(B), terdapatirisan antara A dan B, yaitu {5, 7, 11} dan juga diperoleh

6

5

12

10 B) (A P

AdaptifHal.: 12 PELUANG

Kejadian Majemuk

)( BAP

12

3 ) ( BAP dan

)( )( )( )(

12

3

12

8

12

5

12

3 8 5

12

10 ) (

BAPBPAPBAP

BAP

Jika suatu kejadian A dan B tidak bersekutu, dalam hal ini =Ø, maka kita katakan dua kejadian tersebut adalah saling lepas. Untuk kejadian saling lepas (saling asing)

)( )( )( BPAPBAP

Maka = P(Ø) = 0 Maka = P(Ø) = 0

) ( BA

Jika Jika AA dan dan BB kejadian yang saling lepas maka kejadian yang saling lepas maka

AdaptifHal.: 13 PELUANG

Contoh Soal :1. Sebuah dadu dilemparkan satu kali,

Jika A = {kejadian muncul mata dadu lebih dari 2}, tentukan P(A’) ? Jawab : Sebuah dadu dilemparkan satu kali, maka ruang sampelnya adalah:S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Jika A = {kejadian muncul mata dadu lebih dari 2} = {3, 4, 5, 6}Maka P(A) = 4/6 = 2/3 P(A’) = 1 – 4/6 = 2/6 = 1/3

2. Pada pengambilan 1 kartu secara acak dari 1 set kartu bridge, berapa peluang mendapatkan kartu As atau King?

Kejadian Majemuk

AdaptifHal.: 14 PELUANG

Dua Kejadian Saling Bebas

Sekeping uang logam dan sebuah dadu dilempar sekali. Kejadian munculnya sisi angka pada uang logam dan kejadian munculnya mata 3 pada dadu adalah dua kejadian yang tidak saling mempengaruhi.

Peluang dua kejadian A dan B yang yang saling bebas adalah:P (A B) = P (A) . P(B)

Contoh : Misal A = kejadian muncul mata dadu 3 pada pelemparan pertama, maka :n(A) = 1, sehingga P(A) =

Misal B = kejadian muncul mata dadu 5 pada pelemparan kedua, maka: n(B) = 1, sehingga P(B) =

Peluang A dan B: P( A B) = P(A) . P(B) =

6

1

)(

)(

Sn

An

6

1

)(

)(

Sn

Bn

36

1

6

1.

6

1

AdaptifHal.: 15 PELUANG

1. Peluang tidak terjadinya A atau P(A’) adalah P(A’) = 1 – P(A)

)( )( )( BPAPBAP

Rangkuman

2. Jika A dan B kejadian yang saling lepas maka

3. Jika A dan B kejadian yang saling bebas maka

)( )( )( BPAPBAP

AdaptifHal.: 16 PELUANG

SEKIAN

TERIMA KASIH

SAMPAI JUMPA LAGI