pertemuan 13
Post on 01-Feb-2016
224 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
MATEMATIKA TEKNIK IPermukaan di Ruang
PERTEMUAN MINGGU KEDUA BELAS
1
PERMUKAAN DI RUANG
• Permukaan dalam bentuk parameter (u dan v)
parameter) (Domain
uv dibidang daerah suatu D,v)dengan(u,
v)(u, zz
v)(u, yy
v)(u,x x
2
r0cosθr z
πφ0cosφ sinθr y
2πθ0dengansinφ cosθr x
φ)θ,(r,z)y,(x, bolaKoordinat
3
φ cos 1z
cosφ θ sin 1y
sinφ θ cos 1x
satuan"bola"didapat1rjikaKhususnya
),(zzπθ0
),(yy2πθ0
),(xx1r
Domain parameter
4
y))g(x,zzy,x,f dimana
0zy,x,f
dari khusus hal ini a(sebetulny y)g(x,z
1zyxzy,x,f disini
satuan bola 1zyx
:contoh
0zy,x,f :dikenal) (sudah
:lain cara ada permukaan menyatakan Untuk
222
222
5
y)z(x,z
yy
xx
:berikut sebagaiparameter dalamdibuat dapat disini
yxz
:contoh22
ruang. di permukaan suatu "menggambar" akan
v)(u,R maka parameter) (Domain D di bergerak v)(u, Jika
kv)z(u,jv)y(u,iv)x(u,v)(u,R
:permukaanpadaposisivektor
6
berbeda.yangv)(u,hargauntuksamayangtitikpadalagi
kembalitidakv)R(u,jikasederhanadisebutSPermukaan
Vektor normal di P (tegak lurus bidang Singgung di P)
Bidang singgung di P
7
S permukaan pada
)vz(u,z
)vy(u,y
)vx(u,x
: C
C kurvadidapat
bergerak:vv ambil
)v,z(u),v,y(u),v,(x(u P
o
o
o
u
u
o
ooooooo
S permukaan pada
v),(u zz
v),(u yy
v),(ux x
:C
C kurvadidapat bergerak v:uu ambil
o
o
o
v
v0
8
vR'uR'
P di normalVektor
kv
zj
v
yi
v
xvR'
ku
zj
u
yi
u
xuR'
: singgungVektor
kv),z(ujv),y(uiv),x(uv),(u Rv
dan
k)vz(u,j)vy(u,i)vx(u,)v(u, Ru
:tersebut kurvakurvavektor Persamaan
o
oooo
oooo
N
:
9
JACOBIAN
kvu,
yx,j
vu,
xz,i
vu,
zx,N
k
v
y
u
yv
x
u
x
j
v
x
u
xv
z
u
z
i
v
z
u
zv
y
u
y
N
:didapat
10
11
1yx
yxzy,yx,x:S
y danx adalahparameter diambil Jika
1yxyxzkerucut Permukaan
:Contoh
22
22
2222
12
k 1jyx
yi
yx
xN jadi
111
01
yx,
yx,
yx
y
01yx,
xz,
yx
x10
yx,
zy,
2222
yy
xy
yx
xx
22
yx
y
yx
x
yx
xx
yz
xz
22yx
y
yx
x
yz
xz
yy
xy
2222
2222
13
14
yx,fz y,y x,x:S
y danx parameter bentuk Dalam D,yx,,yx,fz:S Permukaan
: khusus Hal
k jy
fi
x
f
k10
01j
01i
10
kji
kyx,
yx,j
yx,
xz,i
yx,
zy,N
yf
xf
yf
xf
yy
xy
yx
xx
yx
xx
yf
xf
yf
xf
yy
xy
15
kjy
fi
x
fG
zyx,fzy,x,G
yx,fzzy,x,G
atau
.GN diambil normalvektor untuk
0RdGdG
0zy,x,Gyx,fzzy,x,G
:lain cara Dengan
,
Disini diadakan perubahantanda maka Hasilnya akan berlawanan tanda juga
16
smothkerucut permukaan
smoth) yang permukaan bagian 6 atas (terdiri
regular kubus permukaan
smothbola permukaan
: contoh
regular.
atau smooth piecewisedisebut S maka smoth, yang
bagian-bagian hingga sejumlah atas tersusun S Jika
titik. hingga
sejumlah pada mungkin kecuali S pada kontinue
Ndan sederhanaSjikasmothdisebutSPermukaan
17
S
ds N Fds T F
)N( pemukaan normalVektor )T( kurva singgungVektor
(S) Permukaan(c) Kurva
PERMUKAAN INTEGRALGARIS INTEGRAL
c
18
v)(u,v dan u dari fungsi juga N maka
parameter) (Domain D v)(u, untuk
v)z(u,z v),(u, yy v),(u,x x : S Jika
S. normal
vektor N dan ruang, di S smooth permukaan
pada kontinu yangvektor medan z)y,F(x, Misal
PERMUKAANINTEGRAL
NN
19
nn
S
11
S S
n21
S D
dSN .F........dSN .F ds N . F
: kandidefinisi maka smooth, yang
S,....,S ,S dari terdiriregular tersebut S permukaan Jika
dv du vu,N .vu,z,vu,y,vu,xF ds N . F
: ADALAHS ATAUF DARI PERMUKAAN INTEGRAL
n1
20
s
ds N.F Tentukan
k xy-ji zF dengan
cosz
, sin siny
, sin cosx
(0,0,0) dipusat
dengan satuan bola suatu atas permukaan S
:Contoh
21
2π
322
2
φ,02πθ0φθ,D
: disini
cosφ φsin θ sin θ cosφsin θ sinφ cos φsin θcosN.F
:Maka
k φ cosj φ sin θ sini φ sin θ cosSinφθ,N
: untuk
k φsin θ sinθ cos-ji φ cos
k φ sin θ sin φ sin θ cosji φ cosφθ,F
: φθ,parameter Dalam
22
S permukaan tertutup,
Maka daerah yang di
lingkupi oleh S disebut
interior dari S, Sedang
kan daerah di luarnya
Disebut exterior dari S
.negatif siterorientadisebut
,sebaliknya normal.outer suatu merupakan N normal
vektor jika positif siterorienta dikatakan S Permukaan
normalouter :NSdariexteriorkemengarahN
normalinner :NSdariinteriorkemengarahNJika
SpadanormalvektorN
TEOREMA GAUSS
23
dxdydzz
F
y
F
x
F
dzdydx.Fdiv dsN.F
: maka S oleh lingkupi
di yangV daerah dan S pada kontinu masing-
masing F div dan F misalkan serta positif siterorienta
danregular yang tertutup permukaan SMisalkan
v
321
s v
24
s D
dvduvu,N.vu,z,vu,y,vu,xFdsN .F
satuannormalN
Nn
:Note
s s
tsb) teorema pada dsN.F- dengan dsN.F
gantikan normal,inner suatu N ini hal (Dalam
25
dvvRdu uRRd
vu,RR
uR
Ru
vR
Rv
26
RvxRu
RvxRu
N
Nn
RvxRuN
:sedangkan
ΔvΔuRvxRudA
)(permukaanluaslDiferensia
ΔvΔuRvxRu
ΔvRvxΔuRuΔA
27
Contoh :
2πθ0
1,r0
1z
θsinry
θcosrx:S
1yx
,yxz:S
SdanSgabunganS
:permukaanS
2
22
221
21
r dan θparameter S
y danx parameter S permukaan untuk
2
1
28
dx dyyx1
dx dyz
dx dy dz1
dx dy dz1
dx dy dz001
dx dy dzz
F
y
F
x
Fdz dydx F
: maka
kj2xiz)y(xF:misal
1
1x
x1
x1y
22
1
yx
1
1x
x1
x1y
1
1x
x1
x1y
1
yxz
v
v
32
v
1
v
2
2
22
2
2
2
2 22
29
2
π2πθ
dθ
dθrr
dθdrrrdθdrrr1
polardxdyyx1dvF.Jadi
412π
041
2π
041
1
0
2π
0
4412
21
2π
0
1
0
32π
0
1
0
2
1
1x
x1
x1y
22
v
2
2
RUAS KIRI TEOREMA GAUSS
30
normal)inner (suatu kj2y-i-2xN
kjy
fi
x
f-N
1yx ,yxz
y,y x,x
:parameter Dalam
yxz:S permukaan Pada
dSN.FdSN.FdSN.F
2222
221
S
22
S
11
S 21
31
2π
1θ cos2rθsinθcos2rθcos2r
polar
dxdy1)y2x(x2xy2xN.F Jadi
1)y2x(x2xy2x
12y(2x))yxy2x(xN.F
:maka yxz oleh z anmenggantik dengan aselanjutny
2π
0
1
0
3222
1
1x
x1
x1y
222
S
222
221
22
2
21
drd
32
normal)outer (suatukr
kθr,
yx,j
θr,
xz,i
θr,
zy,N
2πθ0 1,r0
1z θ, sinr y θ, cosr x
:S permukaan untuk
2πberharga haruslahdS N.Fintegralpada
dS N.FkontribusimakanormalinneradalahNKarena
2
2
S
S
11
1
.
33
2
π
π2π
dSN.FdSN.FdSN.F:jadi
πdθdrrdSN.F: sehingga
rN.F :Maka
θ) r,parameter (dalam
kj θ cosr 2i1)θ sinr θ cosr (2F
11
2
S
22
S S
11
2π
0
1
0
2
S
2
2
34
Sebelah kiri sama dengan fluksi
S
dS.n.FfluksiTotal
ΔS.n.Ffluks
35
(0,0,0) melingkupi S Permukaan 2.
(0,0,0) melingkupi tidak S Permukaan 1.
: hal 2 ada positif,
siterorienta regular, tertutup permukaan S Misalkan
k zj yix R
R . R ε π4
qE
listrik medan (0,0,0) titik di q listrik Muatan
:Contoh
3
36
0
dipenuhi) syaratnya-(syarat
Gauss Teorema
dzdydxE.dSN.E
S dilingkupi tidak (0,0,0) titik : 1Hal
S V
37
(0,0,0) di iterdefinis tak E karena
dipakai, bisa tidak Gauss teorema Disini
S. oleh dilingkupi (0,0,0) Titik:2 Hal
38
0dTN.E
: maka garis menjadi T sehinggalimit ambil
dTN.E*dS*N.EdSN.E0dζ N . E
1) hal(lihat : maka
(0,0,0) lingkupi
-me yang baru permukaandidapat maka S*, ke
S dari T kecil "terowongan"buat lalu S. dalam di
terletak seluruhnya *S sehingga kecil cukup yang
rjarijari(0,0,0)melingkupi*SBolaBuatlah
T
T
T
S Sζ
39
π0 konstan),(r 2πθ0
φ cosr z
φ sin θ cosr y
φ sin θ cosr x
bolakoordinat
(konstan)r jarii(0,0,0)jarpusat bola suatu*S
dimanalangsungdihitungdapat E sedangkan
*dS *N.EdSN.E
0dS**N.EdSN.EE
:didapatsehingga
S*
S*S
S*ζ S
40
S jikaSluar)dijika(0,0,0 0
S dalam di (0,0,0)jikaε
gdS N.E
ε
g-dφdθN.EdS**N.E : sehingga
φsin4ππ
g*N.E:didapat
S). dari bagian sebagai
dipandang *S pada normalouter suatu tetapi sendiri,
*Ssudut dari dipandang *S pada normalinner suatu N(
k φ cosrj φ sin θ sinri φ sin θ cosrφ sin*N
:Maka
S
π
0
2π
0
222
41
top related