pertemuan 13

41
MATEMATIKA TEKNIK I Permukaan di Ruang PERTEMUAN MINGGU KEDUA BELAS 1

Upload: lttrkks

Post on 01-Feb-2016

223 views

Category:

Documents


0 download

DESCRIPTION

TEKNIK ELEKTRO

TRANSCRIPT

Page 1: Pertemuan 13

MATEMATIKA TEKNIK IPermukaan di Ruang

PERTEMUAN MINGGU KEDUA BELAS

1

Page 2: Pertemuan 13

PERMUKAAN DI RUANG

• Permukaan dalam bentuk parameter (u dan v)

parameter) (Domain

uv dibidang daerah suatu D,v)dengan(u,

v)(u, zz

v)(u, yy

v)(u,x x

2

Page 3: Pertemuan 13

r0cosθr z

πφ0cosφ sinθr y

2πθ0dengansinφ cosθr x

φ)θ,(r,z)y,(x, bolaKoordinat

3

Page 4: Pertemuan 13

φ cos 1z

cosφ θ sin 1y

sinφ θ cos 1x

satuan"bola"didapat1rjikaKhususnya

),(zzπθ0

),(yy2πθ0

),(xx1r

Domain parameter

4

Page 5: Pertemuan 13

y))g(x,zzy,x,f dimana

0zy,x,f

dari khusus hal ini a(sebetulny y)g(x,z

1zyxzy,x,f disini

satuan bola 1zyx

:contoh

0zy,x,f :dikenal) (sudah

:lain cara ada permukaan menyatakan Untuk

222

222

5

Page 6: Pertemuan 13

y)z(x,z

yy

xx

:berikut sebagaiparameter dalamdibuat dapat disini

yxz

:contoh22

ruang. di permukaan suatu "menggambar" akan

v)(u,R maka parameter) (Domain D di bergerak v)(u, Jika

kv)z(u,jv)y(u,iv)x(u,v)(u,R

:permukaanpadaposisivektor

6

Page 7: Pertemuan 13

berbeda.yangv)(u,hargauntuksamayangtitikpadalagi

kembalitidakv)R(u,jikasederhanadisebutSPermukaan

Vektor normal di P (tegak lurus bidang Singgung di P)

Bidang singgung di P

7

Page 8: Pertemuan 13

S permukaan pada

)vz(u,z

)vy(u,y

)vx(u,x

: C

C kurvadidapat

bergerak:vv ambil

)v,z(u),v,y(u),v,(x(u P

o

o

o

u

u

o

ooooooo

S permukaan pada

v),(u zz

v),(u yy

v),(ux x

:C

C kurvadidapat bergerak v:uu ambil

o

o

o

v

v0

8

Page 9: Pertemuan 13

vR'uR'

P di normalVektor

kv

zj

v

yi

v

xvR'

ku

zj

u

yi

u

xuR'

: singgungVektor

kv),z(ujv),y(uiv),x(uv),(u Rv

dan

k)vz(u,j)vy(u,i)vx(u,)v(u, Ru

:tersebut kurvakurvavektor Persamaan

o

oooo

oooo

N

:

9

Page 10: Pertemuan 13

JACOBIAN

kvu,

yx,j

vu,

xz,i

vu,

zx,N

k

v

y

u

yv

x

u

x

j

v

x

u

xv

z

u

z

i

v

z

u

zv

y

u

y

N

:didapat

10

Page 11: Pertemuan 13

11

1yx

yxzy,yx,x:S

y danx adalahparameter diambil Jika

1yxyxzkerucut Permukaan

:Contoh

22

22

2222

Page 12: Pertemuan 13

12

k 1jyx

yi

yx

xN jadi

111

01

yx,

yx,

yx

y

01yx,

xz,

yx

x10

yx,

zy,

2222

yy

xy

yx

xx

22

yx

y

yx

x

yx

xx

yz

xz

22yx

y

yx

x

yz

xz

yy

xy

2222

2222

Page 13: Pertemuan 13

13

Page 14: Pertemuan 13

14

yx,fz y,y x,x:S

y danx parameter bentuk Dalam D,yx,,yx,fz:S Permukaan

: khusus Hal

k jy

fi

x

f

k10

01j

01i

10

kji

kyx,

yx,j

yx,

xz,i

yx,

zy,N

yf

xf

yf

xf

yy

xy

yx

xx

yx

xx

yf

xf

yf

xf

yy

xy

Page 15: Pertemuan 13

15

kjy

fi

x

fG

zyx,fzy,x,G

yx,fzzy,x,G

atau

.GN diambil normalvektor untuk

0RdGdG

0zy,x,Gyx,fzzy,x,G

:lain cara Dengan

,

Disini diadakan perubahantanda maka Hasilnya akan berlawanan tanda juga

Page 16: Pertemuan 13

16

smothkerucut permukaan

smoth) yang permukaan bagian 6 atas (terdiri

regular kubus permukaan

smothbola permukaan

: contoh

regular.

atau smooth piecewisedisebut S maka smoth, yang

bagian-bagian hingga sejumlah atas tersusun S Jika

titik. hingga

sejumlah pada mungkin kecuali S pada kontinue

Ndan sederhanaSjikasmothdisebutSPermukaan

Page 17: Pertemuan 13

17

S

ds N Fds T F

)N( pemukaan normalVektor )T( kurva singgungVektor

(S) Permukaan(c) Kurva

PERMUKAAN INTEGRALGARIS INTEGRAL

c

Page 18: Pertemuan 13

18

v)(u,v dan u dari fungsi juga N maka

parameter) (Domain D v)(u, untuk

v)z(u,z v),(u, yy v),(u,x x : S Jika

S. normal

vektor N dan ruang, di S smooth permukaan

pada kontinu yangvektor medan z)y,F(x, Misal

PERMUKAANINTEGRAL

NN

Page 19: Pertemuan 13

19

nn

S

11

S S

n21

S D

dSN .F........dSN .F ds N . F

: kandidefinisi maka smooth, yang

S,....,S ,S dari terdiriregular tersebut S permukaan Jika

dv du vu,N .vu,z,vu,y,vu,xF ds N . F

: ADALAHS ATAUF DARI PERMUKAAN INTEGRAL

n1

Page 20: Pertemuan 13

20

s

ds N.F Tentukan

k xy-ji zF dengan

cosz

, sin siny

, sin cosx

(0,0,0) dipusat

dengan satuan bola suatu atas permukaan S

:Contoh

Page 21: Pertemuan 13

21

322

2

φ,02πθ0φθ,D

: disini

cosφ φsin θ sin θ cosφsin θ sinφ cos φsin θcosN.F

:Maka

k φ cosj φ sin θ sini φ sin θ cosSinφθ,N

: untuk

k φsin θ sinθ cos-ji φ cos

k φ sin θ sin φ sin θ cosji φ cosφθ,F

: φθ,parameter Dalam

Page 22: Pertemuan 13

22

S permukaan tertutup,

Maka daerah yang di

lingkupi oleh S disebut

interior dari S, Sedang

kan daerah di luarnya

Disebut exterior dari S

.negatif siterorientadisebut

,sebaliknya normal.outer suatu merupakan N normal

vektor jika positif siterorienta dikatakan S Permukaan

normalouter :NSdariexteriorkemengarahN

normalinner :NSdariinteriorkemengarahNJika

SpadanormalvektorN

Page 23: Pertemuan 13

TEOREMA GAUSS

23

dxdydzz

F

y

F

x

F

dzdydx.Fdiv dsN.F

: maka S oleh lingkupi

di yangV daerah dan S pada kontinu masing-

masing F div dan F misalkan serta positif siterorienta

danregular yang tertutup permukaan SMisalkan

v

321

s v

Page 24: Pertemuan 13

24

s D

dvduvu,N.vu,z,vu,y,vu,xFdsN .F

satuannormalN

Nn

:Note

s s

tsb) teorema pada dsN.F- dengan dsN.F

gantikan normal,inner suatu N ini hal (Dalam

Page 25: Pertemuan 13

25

dvvRdu uRRd

vu,RR

uR

Ru

vR

Rv

Page 26: Pertemuan 13

26

RvxRu

RvxRu

N

Nn

RvxRuN

:sedangkan

ΔvΔuRvxRudA

)(permukaanluaslDiferensia

ΔvΔuRvxRu

ΔvRvxΔuRuΔA

Page 27: Pertemuan 13

27

Contoh :

2πθ0

1,r0

1z

θsinry

θcosrx:S

1yx

,yxz:S

SdanSgabunganS

:permukaanS

2

22

221

21

r dan θparameter S

y danx parameter S permukaan untuk

2

1

Page 28: Pertemuan 13

28

dx dyyx1

dx dyz

dx dy dz1

dx dy dz1

dx dy dz001

dx dy dzz

F

y

F

x

Fdz dydx F

: maka

kj2xiz)y(xF:misal

1

1x

x1

x1y

22

1

yx

1

1x

x1

x1y

1

1x

x1

x1y

1

yxz

v

v

32

v

1

v

2

2

22

2

2

2

2 22

Page 29: Pertemuan 13

29

2

π2πθ

dθrr

dθdrrrdθdrrr1

polardxdyyx1dvF.Jadi

412π

041

041

1

0

0

4412

21

0

1

0

32π

0

1

0

2

1

1x

x1

x1y

22

v

2

2

Page 30: Pertemuan 13

RUAS KIRI TEOREMA GAUSS

30

normal)inner (suatu kj2y-i-2xN

kjy

fi

x

f-N

1yx ,yxz

y,y x,x

:parameter Dalam

yxz:S permukaan Pada

dSN.FdSN.FdSN.F

2222

221

S

22

S

11

S 21

Page 31: Pertemuan 13

31

1θ cos2rθsinθcos2rθcos2r

polar

dxdy1)y2x(x2xy2xN.F Jadi

1)y2x(x2xy2x

12y(2x))yxy2x(xN.F

:maka yxz oleh z anmenggantik dengan aselanjutny

0

1

0

3222

1

1x

x1

x1y

222

S

222

221

22

2

21

drd

Page 32: Pertemuan 13

32

normal)outer (suatukr

kθr,

yx,j

θr,

xz,i

θr,

zy,N

2πθ0 1,r0

1z θ, sinr y θ, cosr x

:S permukaan untuk

2πberharga haruslahdS N.Fintegralpada

dS N.FkontribusimakanormalinneradalahNKarena

2

2

S

S

11

1

.

Page 33: Pertemuan 13

33

2

π

π2π

dSN.FdSN.FdSN.F:jadi

πdθdrrdSN.F: sehingga

rN.F :Maka

θ) r,parameter (dalam

kj θ cosr 2i1)θ sinr θ cosr (2F

11

2

S

22

S S

11

0

1

0

2

S

2

2

Page 34: Pertemuan 13

34

Sebelah kiri sama dengan fluksi

S

dS.n.FfluksiTotal

ΔS.n.Ffluks

Page 35: Pertemuan 13

35

(0,0,0) melingkupi S Permukaan 2.

(0,0,0) melingkupi tidak S Permukaan 1.

: hal 2 ada positif,

siterorienta regular, tertutup permukaan S Misalkan

k zj yix R

R . R ε π4

qE

listrik medan (0,0,0) titik di q listrik Muatan

:Contoh

3

Page 36: Pertemuan 13

36

0

dipenuhi) syaratnya-(syarat

Gauss Teorema

dzdydxE.dSN.E

S dilingkupi tidak (0,0,0) titik : 1Hal

S V

Page 37: Pertemuan 13

37

(0,0,0) di iterdefinis tak E karena

dipakai, bisa tidak Gauss teorema Disini

S. oleh dilingkupi (0,0,0) Titik:2 Hal

Page 38: Pertemuan 13

38

0dTN.E

: maka garis menjadi T sehinggalimit ambil

dTN.E*dS*N.EdSN.E0dζ N . E

1) hal(lihat : maka

(0,0,0) lingkupi

-me yang baru permukaandidapat maka S*, ke

S dari T kecil "terowongan"buat lalu S. dalam di

terletak seluruhnya *S sehingga kecil cukup yang

rjarijari(0,0,0)melingkupi*SBolaBuatlah

T

T

T

S Sζ

Page 39: Pertemuan 13

39

π0 konstan),(r 2πθ0

φ cosr z

φ sin θ cosr y

φ sin θ cosr x

bolakoordinat

(konstan)r jarii(0,0,0)jarpusat bola suatu*S

dimanalangsungdihitungdapat E sedangkan

*dS *N.EdSN.E

0dS**N.EdSN.EE

:didapatsehingga

S*

S*S

S*ζ S

Page 40: Pertemuan 13

40

S jikaSluar)dijika(0,0,0 0

S dalam di (0,0,0)jikaε

gdS N.E

ε

g-dφdθN.EdS**N.E : sehingga

φsin4ππ

g*N.E:didapat

S). dari bagian sebagai

dipandang *S pada normalouter suatu tetapi sendiri,

*Ssudut dari dipandang *S pada normalinner suatu N(

k φ cosrj φ sin θ sinri φ sin θ cosrφ sin*N

:Maka

S

π

0

0

222

Page 41: Pertemuan 13

41