logika matematika

BAB 4

Logika MatematikaStandar Kompetensi: Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan

pertanyaan majemuk dan pertanyaan berkuantor.

Kompetensi Dasar: Memahami pernyataan dalam matematika dan ingkaran atau negasinya.

Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor.

Merumuskan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk atau pernyataan

berkuantor yang diberikan.

Menggunakan prinsip logika matematika yang berkaitan dengan pernyataan majemuk

dan pernyataan berkuantor dalam penarikan kesimpulan dan pemecahan masalah.

Pernyataan adalah kalimat yang benar saja atau salah saja, tetapi tidak dapat sekaligus benar dan salah.Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat peubah/ variabel, sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah).

Contoh:

Jika x diganti 3, diperoleh “2(3) + 3 = 11”

Pernyataan, Nilai Kebenaran, dan Kalimat Terbuka

Jika x diganti 4, diperoleh “2(4) + 3 = 11”

Pernyataan SALAH

Pernyataan BENAR

1. Kalimat terbuka dapat diubah menjadi pernyataan dengan cara mengganti peubah pada himpunan semestanya.

2. penyelesaian kalimat terbuka adalah nilai pengganti pada himpunan semesta yang mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan yang benar.

3. Himpunan penyelesaian kalimat terbuka adalah suatu himpunan dengan anggota-anggota merupakan penyelesaian dari kalimat terbuka itu.

Kalimat Terbuka

Jika p adalah pernyataan yang diketahui, maka ingkaran atau negasi dari p dapat ditulis dengan memakai lambang.

dibaca: tidak benar p atau bukan p.

~p

i. Jika p adalah pernyataan yang bernilai benar, maka ~p bernilai salah.

ii. Jika p adalah pernyataan yang bernilai salah, maka ~p bernilai benar.

p ~p B S

S B

Ingkaran atau Negasi

P merupakan penyelesaian kalimat terbuka p(x) dalam semesta S, p merupakan pernyataan yang terbentuk dengan mengganti x S, maka himpunan komplemen dari P (ditulis P’) merupakan penyelesaian kalimat terbuka ~p(x) dalam semesta S yang sama.

P’ = {xl ~p(x)}

Hubungan Antara Ingkaran Pernyataan dengan

Komplemen Himpunan

S

P’

P

p v q

(dibaca: p atau q)

Ada dua macam disjungsi, yaitu disjungsi ekslusif dan disjungsi inklusif.

Disjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung atau.

Disjungsi

• p v q benar, jika salah satu di antara p dan q benar atau p dan q dua-

duanya benar.

Nilai kebenaran disjungsi p v q dapat ditentukan melalui definisi berikut.

Nilai Kebenaran Disjungsi

• p v q salah, jika p dan q dua-duanya salah.

p q p v q

B B

S

S

B S

B

S

B B

B

S

(1)

(1) (2) (3)

(2)

(4)

(3)

Tabel kebenaran disjungsi p v q

Hubungan Antara Disjungsi Dua Pernyataan dengan Gabungan Dua HimpunanJika P dan Q masing-masing merupakan himpunan penyelesaian dari

kalimat terbuka p(x) dan p(x) pada himpunan semesta S, maka P Q

adalah himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka p(x) v p(x) pada

himpunan semesta S.P = {x l p(x)}, p benar jika x P}

Q = {x l q(x)}, q benar jika x Q}

P Q = {x l p(x) v q(x)}, p v q benar jika x (P Q)

S

P QPQ

P Q = {x l p(x) v q(x)}

KonjungsiKonjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung dan.

Konjungsi pernyataan p dan pernyataan q ditulis dengan lambang:

p q

ν

(dibaca: p dan q)

Nilai kebenaran konjungsi p q dapat ditentukan dengan menggunakan definisi berikut:

ν

• p q benar, jika p benar dan q benar ν

• p q salah, jika salah satu p atau q salah atau p salah

dan q salah

ν p q p q

B B

S

S

B S

B

S

B S

S

S

(1)

(1) (2) (3)

(2)

(4)(3)

Tabel kebenaran konjungsi p qν

ν

Jika P dan Q masing-masing merupakan himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka p(x) dan q(x) pada himpunan semesta S, maka P Q adalah himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka p(x) q(x) pada himpunan semesta S yang sama.

ν

P = {x l p(x)}, p benar jika x P}

Q = {x l q(x)}, q benar jika x Q}

P Q = {x l p(x) q(x)}, p q benar jika x (P Q)

ν ν

S

P Q

P Q = {x l p(x) q(x)}

νHubungan antara Konjungsi Dua Pernyataan dengan Irisan Dua Himpunan

Implikasi atau pernyataan bersyarat/kondisional adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan p dan q dalam bentuk jika p maka q.

Implikasi “jika p maka q” dapat ditulis dengan lambang sebagai berikut.

p q

(dibaca: jika p maka q)

Implikasi p q dapat dibaca

i. p hanya jika q

ii. q jika p

iii. p syarat cukup bagi q

iv. q syarat perlu bagi p

Implikasi

Nilai kebenaran p q dapat ditentukan dengan menggunakan definisi berikut.

p q dinyatakan salah, jika p benar dan q salah.

Dalam kemungkinan yang lainnya p q dinyatakan benar.

p q p q

B B

S

S

B S

B

S

B S

B

B

(1)

(1) (2) (3)

(2)

(4)(3)

Tabel kebenaran implikasi p q

Hubungan antara Implikasi dengan Himpunan Bagian

Jika P dan Q masing-masing merupakan himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka p(x) dan q(x) pada himpunan semesta S, maka p q benar jika P Q.

P = {x l p(x)}, p benar jika x PQ = {x l q(x)}, q benar jika x QImplikasi p q benar, jika P Q

S

P Q

Biimplikasi atau Implikasi DwiarahPernyataan p dan pernyataan q dapat dirangkai dengan menggunakan kata hubung “jika dan hanya jika”.

Pernyataan yang dirangkai dengan cara tersebut disebut biimplikasi atau implikasi dwiarah.

p q

(dibaca: p jika dan hanya jika q)

i. Jika p maka q dan jika q maka p.

ii. p syarat perlu dan cukup bagi q.

iii. Q syarat perlu cukup bagi p.

p q dinyatakan benar, jika (p) = (q) (dibaca: p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama).

p q dinyatakan salah, jika (p) = (q) (dibaca: p dan q mempunyai nilai kebenaran yang tidak sama).

p q p q

B B

S

S

B S

B

S

B S

S

B

(1)

(1) (2) (3)

(2)

(4)(3)

Tabel kebenaran implikasi p q

Hubungan antara Biimplikasi dengan dua Himpunan yang Sama

Jika P dan Q masing-masing merupakan

himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka

p(x) dan q(x) pada semesta pembicaraan S,

maka p(x) q(x) menjadi biimplikasi p q yang

bernilai benar apabila P =Q.S

P = Q

P = {x l p(x)}, p benar jika x PQ = {x l q(x)}, q benar jika x QImplikasi p q benar, jika P Q

Pernyataan Majemuk dan Nilai Kebenarannya

Pernyataan majemuk adalah pernyataan yang berbentuk dari beberapa pernyataan tunggal (komponen) yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung logika.

Jika sebuah pernyataan majemuk terdiri dari n buah pernyataan tunggal yang berlainan, maka banyak baris pada tabel kebenaran yang memuat nilai kebenaran adalah 2n.

(i) (~p q) p (iii) ~[p (p q)]

(ii) q (p v ~q) (iv) [(p v q) r]ν ν

Contoh Pernyataan Majemuk

Tautologi1. Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang

selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.

p q p q (p q) p [(p q ) p] q

B B S S

B S B S

B S B B

B S S S

B B B B

νν

(1) (2) (4)(3) (5)

[(p q) p] q selalu benar

ν

2. Implikasi logis adalah sebuah tautologi yang memuat pernyataan implikasi.

Dua Buah Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen

1.Tautologi yang berbentuk a b dinamakan ekuivalen logis dan dituliskan dengan lambang a b (dibaca: a ekuivalen b).

2.Dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponennya.

1. Sifat Komutatif

a) p v q p q

b) p q p v q

ν

ν

Ingkaran dan Disjungsi, Konjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi

2. Sifat Asosiatif

a) (p v q) v r p v (q v r)

b) (p q) r p (q r)

ν ν ν ν

3. Sifat Distributif

a) Distributif disjungsi terhadap konjungsi.

p v (q r) (p v q) (p v r)

b) Distributif konjungsi terhadap disjungsi.

p (q v r) (p q) v (p r)

νν

ν ν ν

ν

νa) ~(p v q) (~p ~q)

b) ~(p q) (~p v ~q)Hukum de

Morganc) ~(p q) (p ~q)

d) ~(p q) (p ~q) v (~q ~p)

ν

ν ν

KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI

Implikasi Konvers Invers Kontraposisi

p q q p ~p ~q ~q ~p

B S B B

B B S B

B B S B

B S B B

p q ~p ~q

B B S S

B S B S

S S B B

S B S B

(1) (2) (4)(3)

Kesimpulan dari tabel tersebut:

1. Implikasi tidak ekuivalen dengan konversnya.

2. Implikasi tidak ekuivalen dengan inversnya.

3. Implikasinya ekuivalen dengan kontraposisinya.

4. Konvers ekuivalen dengan invers dari sebuah implikasi

KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI

Kuantor Universal

U B

A

Pernyataan berkuantor universal “Semua A adalah B” ekuivalen dengan pernyataan implikasi “Jika x A, maka x B. Contoh

“Semua penyanyi dangdut berparas cantik”, ekuivalen dengan “jika Eli penyanyi dangdut, maka ia berparas cantik”.

Kuantor Universal

S AB

Pernyataan berkuantor eksistensial “Berapa A adalah B” ekuivalen dengan “Sekurang-kurangnya ada sebuah x A, maka x B”.

Contoh

“Beberapa kuda berwarna coklat”, ekuivalen dengan “Sekurang-kurangnya ada sektor kuda yang berwarna coklat”.

Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor Universal

~ [ x, p(x)] x, ~p(x)

Dibaca: ingkaran dari “untuk semua x yang berlaku p(x)” ekuivalen “ ada x yang bukan p(x)”.

Contoh

Pernyataan x R, x + 3 = 4 merupakan pernyataan salah.Ingkarannya ditentukan dengan menggunakan hubungan

~( x R, x + 3 = 4) x R, x + 3 4

Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor Ekstensial

~ [ x, p(x)] x, ~p(x)

Dibaca: ingkaran dari “ada x yang berlaku p(x)” ekuivalen dengan “untuk semua x yang

bukan p(x)”.

~( x R, x + 4 = 1) x R, x + 4 1

Pernyataan x R, x + 4 = 1 merupakan pernyataan benar.

Contoh

PERNYATAAN BERKUANTOR

INGKARAN

x, ~p(x) x, ~p(x)

Semua X adalah Y Beberapa X bukan YatauTidak semua X adalah Y

x, ~p(x) x, ~p(x)

Beberapa X adalah Y Semua X bukan YatauTidak ada (tiada) X yang merupakan YatauJika x adalah X, maka x bukan Y

SILOGISME, MODUS PONENS, DAN

MODUS TOLLENS

1. Silogisme, modus ponens, dan modus tollens adalah metode atau cara yang digunakan dalam penarikan kesimpulan.

2. Proses penarikan kesimpulan terdiri atas beberapa pernyataan yang diketahui nilai kebenarannya (disebut premis).

3. Kemudian, dengan menggunakan prinsip-prinsip logika dapat diturunkan pernyataan baru (disebut kesimpulan/konklusi) yang diturunkan dari premis-premis semula.

4. Penarikan kesimpulan seperti itu sering juga disebut argumentasi.

Prinsip-prinsip Logika dalam Proses Penarikan Kesimpulan

1. Argumentasi dikatakan berlaku atau sah:

jika konjungsi dari premis-premisnya berimplikasi konklusi.

Suatu argumentasi dikatakan sah jika premis-premisnya benar, maka konklusinya juga benar.

2. Argumentasi dikatakan tidak berlaku atau tidak sah:

jika konjungsi dari premis-premisnya tidak berimplikasi konklusi.

Silogismep q …………. premis 1q r ………... premis 2

p r …………. kesimpulan/konklusi

ν ν

p q r p q q r p r (p q) q r (p q) (q r) (p r )

B B B B S S S S

B B S S B B S S

B S B S B S B S

B B S S B B B B

B S B B B S B B

B S B S B B B B

B S S S B S B B

B B B B B B B B

[(p q) (q r)] (p r)

ν

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

Modus PonensMisalkan diketahui premis-premis p q dan p. Dari premis-premis itu dapat diambil konklusi q. Pengambilan kesimpulan seperti itu disebut modus ponens atau kaidah pengasingan.

p q …………. premis 1p …………. premis 2

q …………. kesimpulan/konklusi

[(p q) p] q

ν

p q p q p q p [(p q) p] q

B B S S

B S B S

B S B B

B S S S

B B B B

ν ν

(1) (2) (3 (4) (5)

Modus TollensMisalkan diketahui premis-premis p q dan ~q. Dari premis-premis itu dapat diambil konklusi ~p. Pengambilan kesimpulan seperti itu disebut modus tollens atau kaidah penolakan akibat.

[(p q) ~q] ~pν

p q …………. premis 1~q …………. premis 2

~p …………. kesimpulan/konklusi

p q ~p ~q p q p q ~q [(p q) ~q] ~p

B B S S

B S B S

S S B B

S B S B

B S B B

S S S B

B B B B

ν ν

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)