kalkulus 2

INTEGRAL LIPAT 2INTEGRAL LIPAT 2INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN PERSEGI PANJANGINTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN PERSEGI PANJANG

INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN BUKAN PERSEGI PANJANGINTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN BUKAN PERSEGI PANJANGINTEGRAL LIPAT 2 DLM KOORDINAT KUTUBINTEGRAL LIPAT 2 DLM KOORDINAT KUTUB

PENERAPAN INTEGRAL LIPAT 2PENERAPAN INTEGRAL LIPAT 2

INTEGRAL LIPAT 3INTEGRAL LIPAT 3INTEGRAL LIPAT 3 KOORDINAT CARTESIANINTEGRAL LIPAT 3 KOORDINAT CARTESIAN

INTEGRAL LIPAT 3 KOORDINAT TABUNG DAN BOLAINTEGRAL LIPAT 3 KOORDINAT TABUNG DAN BOLA

ca

x

xa

dx

cax

ax

axa

dx

ca

x

aax

dx

cedxe

cxxdx

cxxdx

cxdxx

nkecualicxn

dxx

xx

nn

1

22

22

122

1

sin.8

ln2

1.7

tan1

.6

.5

sincos.4

cossin.3

ln1

.2

1,1

1.1

),( yxfz

Rumus dasar :

dxdyyxfdydxyxfdAyxfb

a

d

c

d

c

b

aR

),(),(),(

dycbxayxR ,:,

Dengan R berupa persegi panjang y

x

d

a b

c

R

Contoh :

2

459

2

39

2

33

33

3164

131232

3

32

32.1

3

0

2

3

0

3

0

3

0

22

2

1

3

0

2

3

0

2

1

3

0

2

1

yy

dyy

dyyy

dyyy

dyyxx

dydxyx

dxdyyx

3

162

3

28

0

2

2

1

3

14

3

14

0

1

3

14

4.2

2

2

0

2

0

3

2

0

1

0

2

yyy

dyy

dyyxxx

dxdyyx

SOAL

R

R

R

R

yxyxRdAxxy

yxyxRdAyx

yxyxRdAyx

yxyxRdAxy

21,30:,;1.4

20,

20:,;sin.3

20,11:,;.2

11,10:,;.1

2

22

3

SOAL

Hitung integral lipat 2 yang ditunjukkan atas R

10

1

1

4

2.1

1

0

2

0

1

0

2

1

0

2

0

y

dy

dyx

dxdyx

Sketsalah benda pejal yang yang volumenya ditunjukkan oleh integral lipat di bawah ini

1

2

1

2

3

2

3

0

1

22

2.2

1

0

2

1

0

1

0

2

1

0

1

0

xx

dxx

dxy

xyy

dydxyx

3

32

3

16

3

16

3

8

3

2

3

82

3

1

.3

2

0

3

2

0

2

2

0

2

0

32

2

0

2

0

22

xx

dxx

dxyyx

dydxyx

3

32

3

16

3

88

3

14

4.4

2

0

2

0

2

0

2

0

3

2

0

2

0

2

x

dx

dxyy

dydxy

7616

62

12

13

2

93

2

1

1

02

1

0

1

0

3

1

1

0

2

1

0

3

1

xx

dxx

dxxx

dxyy

xy

dydxyx

5. Tentukan volume benda pejal di bawah bidang z=x+y+1

atas R={(x,y): 0≤x ≤1, 1≤y ≤3 }

6. Tentukan volume benda pejal di bawah bidang z=2x+3y atas R={(x,y): 1≤x ≤2, 0≤y ≤4 }

362444816244

248

2

32

32

2

12

2

1

4

0

2

1

2

2

1

4

0

xx

dxx

dxy

xy

dydxyx

7. Tentukan volume benda pejal antara z=x2+y2+2 dan z=1

dan terletak di atas R={(x,y): -1≤x ≤1, 0≤y ≤1 }

3

10

3

5

3

5

3

4

3

1

3

4

3

1

3

4

3

1

13

1

3

1

1

12

1

1

3

1

1

2

1

0

1

1

32

1

1

1

0

22

1

1

1

0

22

xx

dxx

dxyyyx

dydxyx

dydxyx

y

S

0x

y=2(x)

y=1(x)

a b

Sebuah himpunan y sederhana Sebuah himpunan x sederhana

y

S

0x

x=2(y)x= 1(y)

d

c

S={(x,y):1(x)≤y ≤ 2(x), a ≤x ≤ b} S={(x,y): 1(y)≤x ≤ 2(y), c ≤y≤ d}

S

b

a

x

xdydxyxfdAyxf

)(

)(

2

1

),(),(

S

d

c

y

ydxdyyxfdAyxf

)(

)(

2

1

),(),(

RUMUS DASAR

3

13393

33

1335

3

155

3

1

45

5454

54

104

3453455

3

345

5

3

234

5

3

2243

5

3

2

5

3

2

2

xxx

dxxxx

dxyxxx

dxyxy

dydxyx

x

x

x

x

CONTOH 1

2011

22

12

2

2

1

02

1

0

1

0

0

1

0

1

0 0

2

2

2

2

2

ee

ye

dyyye

dyey

dyye

dxdyye

y

y

y

yx

y x

CONTOH 2

441212

16

1

4

33

16

3

2

33

16

3

8

3

2

33

4

124

4

3

8

3

2

3

2

36

2

12

4

3

2

12

4

3

2

123

4

3

4

33

2

3

4

33

4

0

32

4

0

2

4

0

22

4

0

22

4

0

2

2

12

0

4

0

2

4

0

2

12

0

xxx

dxxx

dxxxx

dxxxxxx

dxxxxx

dxyxyy

dydxyx

x

x

x

y

z

3

4

2

xy2

12

CONTOH 3 : Hitunglah volume ‘tetrahedron’ bidang empat di bawah ini

12-3x-6y-4z=0

4

3

4

3

3

03

.1

1

0

4

1

0

3

1

0

2

3

0

1

0

2

1

0

3

0

2

x

dxx

dxxx

dxyx

dydxx

x

x

SOAL

6

1

113

124

3

8

2

1

3

1

2

1

122

1

12

1

2

1

.2

2

1

23

2

1

2

2

1

2

1

0

2

1

2

2

1

1

0

xxx

dxxx

dxx

dxy

ydydx

x

x

24018131333

1239

3

1

.3

443

14

3

1

33

1

33

3

1

3

0

23

3

1

3

0

22

y

dyydyyy

dyxyx

dxdyyx

y

y

5

8

20

32

4

82

20

242

20

243

4

81

20

1

4

1

20

1

4

1

4

1

.4

1

3

54

1

3

43

0

1

3

4412

1

3 0

32

xx

dxxx

dxyyx

dydxyx

x

x

eee

dyey

dyyye

dyex

dxdyxe

y

y

y

y

y

y

y

y

y

273

1

3

1

2

3

1

22

23

1

2

3

1

2 3

2

1

2

1

2

3

42

1

2

1

.5

3

3

3

3

5ln4

3ln

4

3

4

3

0tan1tan3

tan3

3.6

5

1

5

1

5

1

11

0

5

1

1

5

1 0 22

x

dxx

dxx

dxx

y

x

dydxyx

x

x

2

2

4sinsin

1

sin1

cos2

cos

cos.7

1

2/1

2

1

2/1

2

1

2/1

2

02

1

2/1

2

0

2

x

dxxx

dxxy

dydxx

x

x

42

1

2

1

42sin

2

1

2

12sin

2

1

2

1

12cos2

1

2cos22

1

2

1

.8

4/

0

4/

0

4/

0

2

cos2

2

4

0

2

4/

0

cos2

2

d

d

dr

rdrd

92ln

3

1

3secln3

1

13tan

4tan3tan

tan

sec.9

9/

0

9/

0

9/

0

3

4/

9/

0

9/

0

3

4/

2

rr

drr

drr

dr

drd

r

r

211

sin

coscos

cos

.10

2/

0sin

2/

0

sin

sin

0

2/

0

2/

0

sin

0

ee

ye

dyyye

dyye

dxdy

y

y

yx

y

3

8

3

16

2

14

3

20

3

2

2

1

3

144

3

2

2

1

44

42

14

2

1

.11

2

3

2

0

3

2

0

2

32

2

0

22

0

2

2

0

22

2

0

4

0

2

2

0

4

0

2

2

xxx

dxxdxxx

dxxxx

dxyxy

dydxyx

x

x

8

16/cos2/coscos

cossin3

cos3

cos6.12

332/

6/3

2/

6/

2

sin

0

2/

6/

2

2/

6/

sin

0

d

dr

drdr

xydanxyolehdibatasiyangdaerahadalahSS

dAyx 2;)22(.15

23;)2(.16 xxydanxyolehdibatasiyangdaerahadalahSS

dAxyx

)2,0()2,2()0,0(;1

1.17

2dansuduttitikdgsegitigaadalahSdA

xS

3;.18 xydanxyolehdibatasiyangdaerahadalahSxdAS

113 2 ydanxyolehdibatasiyangdaerahadalahSSxydA;.

)4,1()4,0()0,0(;)(.14 dansuduttitikdgsegitigaadalahSS

dAyx

Sketsalah benda pejal yang ditunjukkan dan hitung volumenya dengan integral lipat dua

19. Caturtira yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang z=6-2x-3y

20. Caturtira yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang 3x+4y+z-12=0

21. Baji yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang-bidang x=5 dan

y+2z-4=0

22. Benda pejal di oktan pertama yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan

bidang-bidang 2x+y-4=0 dan 8x+y-4z=0

23. Benda pejal di oktan pertama yang dibatasi oleh permukaan 9x2+4y2=36 dan

bidang 9x+4y-6z=0

24. Benda pejal di oktan pertama yang dibatasi oleh permukaan z=9-x2-y2 dan

bidang-bidang koordinat

25. Benda pejal di oktan pertama yang dibatasi oleh tabung y=x2 dan bidang-bidang

x=0, z=0 dan y+z=1

26. Benda pejal yang dibatasi oleh tabung parabola x2=4y dan bidang-bidang z=0 dan 5y+9z-45=0

27. Benda pejal di oktan pertama yang dibatasi oleh tabung z=tanx2 dan bidang-bidang x=y, x=1 dan y=0

28. Benda pejal di oktan pertama yang dibatasi oleh permukaan z=ex-y, bidang x+y=1 dan bidang-bidang koordinat

29. Benda pejal di oktan pertama yang dibatasi oleh permukaan 9z=36-9x2-4y2 dan bidang-bidang koordinat

30. Benda pejal di oktan pertama yang dibatasi oleh tabung bulat x2+z2=16 dan y2+z2=16 dan bidang-bidang koordinat

19. z=6-2x-3y 20. 3x+4y+z-12=0

INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN BUKAN PERSEGIPANJANG

INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN BUKAN PERSEGIPANJANG

21. Baji yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang-bidang x=5 dan y+2z-4=0

INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN BUKAN PERSEGIPANJANG

22. Benda pejal di oktan pertama yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang-bidang 2x+y-4=0 dan 8x+y-4z=0

INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN BUKAN PERSEGIPANJANG

23. Benda pejal di oktan pertama yang dibatasi oleh permukaan 9x2+4y2=36 dan bidang 9x+4y-6z=0

INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN BUKAN PERSEGIPANJANG

24. Benda pejal di oktan pertama yang dibatasi oleh permukaan z=9-x2-y2 dan bidang-bidang koordinat

INTEGRAL LIPAT 2 KOORDINAT POLAR

R

r=b

r=a

=

=

0 sumbu kutub

RUMUS

R

dAyxfV ),(

RR

rdrdrrfdAyxfV )sin,cos(),(

R adalah persegipanjang kutub :

R={(r, ):a≤r ≤b, ≤ ≤ }

Z=f(x,y)=f(rcos ,rsin )=F(r, )

Sehingga :

INTEGRAL LIPAT 2 KOORDINAT POLAR

CONTOH SOAL:

12

1

12

10

12

cos

cos3

cos

sin3

cos

sin3

sin.1

2/

0

4

2/

0

3

2/

0

3

cos

0

2/

0

3

2/

0

cos

0

2

d

d

dr

drdr

INTEGRAL LIPAT 2 KOORDINAT POLAR

84

02/

4

2sin21

4

2cos1

2

sin

2

.2

2/

0

2/

0

2/

0

2

sin

0

2/

0

2

2/

0

sin

0

d

d

dr

rdrd

INTEGRAL LIPAT 2 KOORDINAT POLAR

3

4102102

3

1

cos)sin2(3

1

3

sin

3

.3

02

0

3

sin

00

3

0

sin

0

2

d

dr

drdr

INTEGRAL LIPAT 2 KOORDINAT POLAR

3

4

3

1

3

7

2

1

3

1111

3

111

2

1

cos3

1coscos

2

1

)(cos2

coscos21

sin2

cos1

sin2

sin.4

32

0

32

0

2

0

2

cos1

00

2

0

cos1

0

d

d

dr

drdr

INTEGRAL LIPAT 2 KOORDINAT POLAR

Seketsalah daerah asal S dan hitung luasnya dengan rumus :

S

rdrd

1. S adalah daerah di dalam lingkaran r=4cos dan diluar lingkaran r=22. S adalah daerah yang dibatasi oleh=/6 dan r=4 sin3. S adalah satu daun dari mawar daun empat r=a sin(2)4. S adalah daerah didalam kardioid r=6-6 sin5. S adalah daerah (loop) yang lebih besar dari limason r=2-4sin

r=cos r=sin

r=1-cos r=1+cos

r=2 dan r=4cos =/6 dan r=4sin

r=sin2 r=6-6sin

r=2-4sin r=2 dan r=sqrt(9cos2)

INTEGRAL LIPAT 2 KOORDINAT POLAR

QUIZ

1. 4/

0

cos2

2.

rdrda

2/

0

cos

0

2 sin.

drdrb

0

cos1

0sin. drdrc

0

sin

0

2. drdrd

2. Hitunglah luas daerah S dengan menghitung dan buatlah sketsanyas

rdrda. S adalah daerah di dalam lingkaran r=4cos dan diluar lingkaran r=2

b. S adalah satu daun dari mawar daun empat r=a sin(2)

dAyxaS 224.

S

dAyx

b224

1.

S adalah sektor kuadran pertama dari lingkaran

x2+y2=4 antara y=0 dan y=x

S seperti soal a

3.