identity of trigonometry1.doc

Bab 1

Pendahuluan

1.1 Latar Belakang

Matematika merupakan salah satu ilmu yang penting dalam kehidupan manusia.

Keberadaan matematika memiliki peran memudahkan setiap aktivitas manusia. Tak dapat

dipungkiri, dalam melakukan aktivitas sehari-hari manusia tidak dapat dipisahkan dari

matematika.

Ilmu matematika secara terus menerus mengalami perkembangan dari pencacahan,

perhitungan, dan pengukuran. Salah satu cabang ilmu matematika tersebut adalah trigonometri

yang berhubungan dengan sudut segitiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan

tangen.

Ada banyak aplikasi trigonometri dalam kehidupan manusia, seperti triangulasi dalam

astronomi, sistem navigasi satelit, dan lain-lain.

Dalam ilmu pendidikan matematika, trigonometri terbagi menjadi beberapa submateri di

antaranya identitas trigonometri dan fungsi trigonometri. Dalam makalah ini dibahas fungsi

trigonometri, rumus – rumus identitas trigonometri, pembuktian identitas trigonometri, beberapa

soal latihan, penyelesaiannya.

1.2 Rumusan Permasalahan

1. Bagaimana pengertian identitas trigonometri?

2. Bagaimana pembuktian identitas trigonometri?

3. Apa saja macam Fungsi Trigonometri?

4. Bagaimana cara menggambar Fungsi Trigonometri?

5. Bagaimana cara menentukkan nilai maksimum dan nilai minimum dari suatu Fungsi

Trigonometri?

1.3 Tujuan

1. Mengetahui definisi identitas trigonometri.

2. Mengetahui pembuktian identitas trigonometri.

3. Memahami apa yang dimaksud dengan Fungsi Trigonometri beserta macam-macamnya.

4. Mengetahui cara menggambar berbagai macam Fungsi Trigonometri.

5. Mengetahui cara menentukkan nilai maksimum dan nilai minimum dari suatu Fungsi

Trigonometri.

1

Bab 2

Pembahasan

2.1 Pengertian

Pengertian dan definisi Trigonometri. Trigonometri adalah bagian dari ilmu

matematika yang mempelajari relasi antara sudut dan sisi sebuah segitiga. Trigonometri

2

adalah suatu konsep dalam matematika yang memungkinkan kita menghitung dan

memperoleh nilai dari suatu benda tanpa kita perlu melakukan pengukuran secara manual.

Trigonometri sangat penting dalam kehidupan kita. sebagian besar pengukuran yang tidak

bisa dilakukan secara manual dapat di lakukan dengan menggunakan konsep dan fungsi

trigonometri.

Identitas Trigonometri adalah kesamaan yang memuat bentuk trigonometri dan

berlaku untuk sembarang sudut yang diberikan. Identitas Trigonometri terbagi tiga, yaitu :

a. Identitas Kebalikan

b. Identitas Perbandingan

c. Identitas Phytagoras

Berikut identitas – identitas tersebut :

a. Identitas Kebalikan

csc A = 1

sin A

sec A = 1

cos A

cot A = 1

tan A

b. Identitas Perbandingan

tan A = sin A

cos A

cot A = cos A

sin A

c. Identitas Phytagoras

sin2 A + cos2 A = 1

1 + tan2 A = sec2 A

1 + cot2 A = csc2 A

2.2 Pembuktian

Untuk pembuktian identitas kebalikan dan identitas perbandingan membutuhkan gambar

sudut segitiga siku-siku sebagai berikut :

Dimana = A

3

2.2.1 Identitas Kebalikan

2.2.2 Identitas Perbandingan

2.2.3 Identitas Phytagoras

4

Pada gambar di samping untuk P(X, Y) terletak

pada lingkaran satuan dengan POP’= A.

Segitiga OPP’ merupakan segitiga siku-siku di P’.

Sehingga :

=> y = sin A

=> x = cos A

Dan berlaku hubungan Phytagoras :

(OP’)2 + (PP’)2 = (OP)2

(x)2 + (y)2 = (r)2

(x)2 + (y)2 = 1........ (#)

Dengan x = cos A dan y = sin A, lalu substitusikan ke persamaan (#) maka diperoleh :

(cos A)2 + (sin A)2 = 1 <=> (sin A)2 + (cos A)2 = 1 ........... (*)

Jika kedua ruas dari persamaan (#) dibagi dengan x2, maka diperoleh :

<=> 1 + (y/x)2 = (1/x)2 ........ (##)

Dengan y/x = tan A dan 1/x = sec A. lalu substitusikan ke persamaan (##), maka diperoleh

1 + tan2A = sec2A ................ (**)

5

Jika kedua ruas dari persamaan (#), dibagi y2, diperoleh

<=> (x2/y2) + 1 = (1/y2).............(###)

Dengan x/y = cot A dan 1/y = csc A ke persamaan (###), maka diperoleh

cot2A + 1 = csc2A ...................(***)

2.3 Identitas Trigonometri yang lain

Kegunaan dari identitas-identitas triogonometri dasar di atas, untuk menentukan nilai suatu

perbandingan trigonometri apabila nilai perbandingan trigonometri lain telah diketahui. Dapat juga

berfungsi menyederhanakan bentuk-bentuk trigonometri ataupun membuktikan sebagaimana

diperlihatkan pada contoh-contoh berikut :

1. Diketahui sin A = ½ dan A sudut kuadran I. Hitunglah :

a. Cos A

b. Tan A

Jawab :

a. sin2 A + cos2A = 1

(1/2)2 + cos2A = 1

cos2 A = 1 – ¼

cos2 A = ¾

cos A = - ½ atau cos A =+ ½

Karena berada di kuadran I maka cos A bernilai positif yaitu + ½

b. tan A = sin A/cos A

= ½ x ½

= ¼

Karena berada di kuadran I bernilai + ¼

2. Buktikan bahwa 1 + Tan2 A = Sec2 A !

Jawab :

Kita ubah bentuk ruas kiri

1 + Tan2 A = 1 + * identitas perbandingan tan A = sin A/cos A

6

= 1 +

= +

=

=

= sec2 A

3. Buktikan bahwa 1 + Cot2 A = Cosec2 A !

1 + Cot2 A = 1 + *identitas perbandingan cot A = cos A/sin A

= +

= *identitas phytagoras sin2 A+ cos2A = 1

= = cosec2 A

7

8

2.4 Fungsi Trigonometri

2.4.1 Fungsi Trigonometri Sinus

Fungsi yang memetakan himpunan sudut x° ke himpunan bilangan real sin x° disebut

fungsi sinus, dilambangkan dengan:

f : x° → sin x° (f memetakan x° ke sinus x°)

Jadi, rumus untuk fungsi sinus adalah f(x°)= sin x° atau f(x)=sin x atau y=sin x

2.4.2 Fungsi Trigonometri Kosinus

Fungsi yang memetakan himpunan sudut x° ke himpunan bilangan real cos x°

disebut fungsi kosinus, dilambangkan dengan:

f : x° → cos x° (f memetakan x° ke kosinus x°)

Jadi, rumus untuk fungsi kosinus adalah f(x°)= cos x° atau f(x)=cos x atau y=cos x

2.4.3 Fungsi Trigonometri Tangen

Fungsi yang memetakan himpunan sudut x° ke himpunan bilangan real tangen x°

disebut fungsi tangen, dilambangkan dengan:

f : x° → tan x° (f memetakan x° ke tangen x°)

Jadi, rumus untuk fungsi tangen adalah f(x°)= tan x° atau f(x)=tan x atau y=tan x

2.4.4 Fungsi Trigonometri Lainnya

Selain yang disebutkan di atas, ternyata terdapat beberapa fungsi trigonometri

lainnya, yaitu:

- Fungsi Kotangen → f(x°)= cot x° atau f(x)=cot x atau y=cot x

- Fungsi Secan → f(x°)= sec x° atau f(x)=sec x atau y=sec x

- Fungsi Kosekan → f(x°)= cosec x° atau f(x)=cosec x atau y=cosec x

9

2.5. Menggambar Grafik Fungsi Trigonometri Sederhana

2.5.1 Grafik Fungsi Sinus

Y= sin x

X 0 30 60 90 120 150 180

Y=sin x 0 ½ 1 ½ 0

(x,y) (0,0) (30,½)(60, )

(90,1)(120, )

(150,½) (180,0)

X 210 240 270 300 330 360

Y=sin x -½-

-1-

-½ 0

(x,y) (210,-½)(240,- )

(270,-1)(300,- )

(330,-½) (360,0)

2.5.2 Grafik Fungsi Kosinus

10

Y=cos x

X 0 30 60 90 120 150 180

Y=cos x 1 ½ 0 -½-

-1

(x,y) (0,1)(30, )

(60,½) (90,0) (120,-½)(150,- )

(180,-1)

X 210 240 270 300 330 360

Y=cos x-

-½ 0 ½ 1

(x,y)(210,- )

(240,-½) (270,0) (300,½)(330, )

(360,1)

2.5.3 Grafik Fungsi Tangen

Y=tan x

X 0 45 90 135 180 225 270 315 360

Y=tan x 0 1 ~ -1 0 1 ~ -1 0

11

(x,y) (0,0) (45,1) ~ (135,-1) (180,0) (225,1) ~ (315,-1) (360,0)

2.6 Menentukan Nilai Maksimum dan Minimum dari Suatu Fungsi Trigonometri

2.6.1 Fungsi Sinus

memiliki nilai maksimum=1 dan nilai minimum= -1

12

2.6.2 Fungsi Kosinus

memiliki nilai maksimum=1 dan nilai minimum= -1

2.6.3 Fungsi Tangen

.memiliki nilai maksimum= + ~ dan nilai minimum= - ~

Jika kita perhatikan grafik-grafik fungsi trigonometri yang telah kita pelajari sebelumnya, terlihat

bahwa untuk fungsi y = sin xo mempunyai nilai minimum -1 dan nilai maksimum +1, sehingga

, , untuk setiap sudut xo.

Demikian pula fungsi trigonometri y = cos xo, sehingga

untuk setiap sudut xo

Contoh :

Carilah nilai minimum dan nilai maksimum dari tiap fungsi berikut ini:

13

a. y = 2sin xo c. y= sin xo+2

b. y = -2cos xo

Jawab :

a. y = 2sin xo

-1 sin xo 1

-1 (2) (2)sin xo 1(2)

-2 2sin xo 2

-2 y 2

yminimum = -2 dan ymaksimum = 2

b. y = -2cos xo

-1 cos xo 1

-1 (2) (2)cos xo (2)1

-2 2 cos xo 2

-2 y 2

yminimum =-2 dan ymaksimum = 2

c. y = sin x0+2

-1 sin xo 1

-1 +2 sin xo +2 1+2

-1 sin xo +2 3

-1 y 3

Latihan Soal

14

Soal Identitas Trigonometri

Buktikan bahwa

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. sin2A tan2A = tan2A – sin2A

8.

9.

10. Diketahui sin A = - 4/5 dan A sudut di kuadran I. Hitunglah :

a. Cos A

b. Tan A

Soal Fungsi Trigonometri

Tentukan nilai minimum dan maksimum dari masing-masing fungsi trigonometri berikut

a. y = -3 sin xo+1

b. y = 2 cos x0-1

Jawaban

Jawaban Identitas Trigonometri

1. Kita ubah bentuk ruas kiri

=

= tan A – sec A(terbukti)

2. Kita ubah ruas kiri

15

=

=

=

= x

= x

= x x

= cos A(terbukti)

3. Kita ubah ruas kiri

=

=

= x

= x

= (terbukti)

4. Kita ubah ruas kiricos A (csc A – sec A) = cos A (csc A – sec A)

= cos A

=

= cot A (terbukti)

5. Kita ubah ruas kiri

16

(terbukti)

6. Kita ubah ruas kiri

(terbukti)

7. Kita ubah ruas kiri

sin2A tan2A =

(terbukti)

8. Kita ubah ruas kiri

17

(terbukti)

9. Kita ubah ruas kiri

=

10. Kita ubah ruas kiri

(terbukti)

11. Diketahui sin A = 4/5 dan A sudut di kuadran II. Hitunglah :

a. Cos A

sin2A + cos2 A = 1

( 4/5 )2 + cos2A =1

cos2A = 1 – 16/ 25

cos2A = 9/25

cos A = - 3/5 atau cos A = + 3/5

karena berada di kuadran II maka cos A = - 3/5

b. Tan A

Tan A = sin A/ cos A

Tan A = 4/5 x – 3/5

Tan A = -12/25

Bernilai negatif karena berada di kuadran II.

Jawaban Fungsi Trigonometri

18

a. y = -3 sin xo+1

-1 sin xo 1

3+1 -3sin xo +1 -3+1

4 -3sin xo +1 -2

4 y -2

b. y = 2 cos x0-1

-1 sin xo 1

-2-1 2sin xo -1 2-1

-3 2sin xo -1 1

-3 y 1

Bab 3

Simpulan dan Saran

3.1 Simpulan

Identitas trigonometri adalah kesamaan yang memuat bentuk trigonometri dan berlaku

untuk sembarang sudut yang diberikan. Identitas Trigonometri terbagi tiga, yaitu :

a. Identitas Kebalikan

b. Identitas Perbandingan

c. Identitas Phytagoras

3.2 Saran

Pembelajaran trigonometri dengan cara menghapal akan terasa sulit. Sebaiknya

pembelajaran trigonometri dilakukan dengan memahami materi trigonometri secara

mendalam dan intens.

19

Daftar Pustaka

Suwah Sembiring, dkk. 2008. MATEMATIKA BILINGUAL untuk SMA/MA, Kelas X Semester 1 & 2.

Bandung: Yrama Widya.

Kariadinata, Rahayu. 2013. Trigonometri Dasar. Bandung: Pustaka Setia.

Anonim. http://matemakita.com. (diakses tanggal 11 Maret 2013, 10:14)

Triputra, Sutardi. http://simplewrote.wordpress.com. (diakses tanggal 11 Maret 2013,10:25)

Anneahira. http://www.anneahira.com. (diakses tanggal 11 Maret 2013, 22:18)

Anonim. http://www.kamusq.blogspot.com. (diakses tanggal 11 Maret 2013, 22:26)

20