fungsi non linear

FUNGSI NON LINEARUNIVERSITAS NEGERI MALANG

FAKULTAS EKONOMIS1 AKUNTANSIOFFERING DD

NAMA ANGGOTA KELOMPOK

Lailatul Khamidah 140422602027M. Abdul Hafiz 140422601116M. Raynaldi Masyruri 140422604219

Pengertian Fungsi Kuadrat

• Fungsi polinom yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua, sering juga disebut fungsi berderajat dua.• Bentuk umum persamaan kuadrat :

y = ao + a1x + a2x

Konstanta

Koefisien a2 ≠ 0

Identifikasi Persamaan Kuadrat• Jika p = 0 dan a = b ≠ 0, kurvanya lingkaran• Jika p2 – 4 ab < 0, kurvanya elips• Jika p2 – 4 ab > 0, kurvanya hiperbola• Jika p2 – 4 ab = 0, kurvanya parabola

• Jika a = b ≠ 0, kurvanya lingkaran• Jika a ≠ b, tetapi bertanda sama, kurvanya elips• Jika a dan b berlawanan tanda, kurvanya hiperbola• Jika a = 0 atau b = 0, tetapi tidak keduanya,

kurvanya sebuah parabola

ax2 + pxy + by2 + cx + dy + e = 0

ax2 + by2 +cx + dy + e = 0

Fungsi Kuadrat - Lingkaran• Lingkaran – secara geometri – ialah tempat kedudukan titik-titik yang

berjarak tetap terhadap sebuah titik tertentu yang disebut jarak.• Bentuk umum persamaan lingkaran:

a = b

• Bentuk baku rumus lingkaran, yaitu:

ax2 + by2 + cx + dy + e = 0

(x – i)2 + (y – j)2 = r2 • i = jarak pusat lingkaran terhadap sumbu –y• j = jarak pusat lingkaran terhadap sumbu –x• r = jari-jari lingkaran

Contoh:

1. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 3x2 + 3y2 – 24x – 18y – 33 = 0. Tentukan juga perpotongannya pada masing-masing sumbu koordinat.

3x2 + 3y2 – 24x – 18y – 33 = 0

x2 + y2 – 8x – 6y = 11

x2 – 8x + y2 – 6y = 11

x2 – 8x + k1 + y2 – 6y + k2 = 11 + k1 + k2

(x2 – 8x + k1) + (y2 – 6y + k2) = 11 + k1 + k2

(x2 – 8x + 16) + (y2 – 6y + 9) = 11 + 16 + 9

(x – 4)2 + (y – 3)2 = 62

Pusat lingkarannya adalah titik (4, 3), jari-jari = 6

Perpotongan dengan sumbu – x : y = 0

3x2 – 24x – 33 = 0

x2 – 8x – 11 = 0

Perpotongannya dengan sumbu – y : x = 0

3y2 – 18y – 33 = 0

y2 – 6y – 11 = 0

3x2 + 3y2 – 24x – 18 – 33 = 0y

x

: 3

i j r2

dengan rumus abc diperoleh

x1 = 9,19 dan x2 = -1,19

dengan rumus abc diperoleh

y1 = 7,47 dan y2 = -1,47

4

3 (4, 3)

- 1,47

- 1,19

9,19

7,47

r = 6

Fungsi Kuadrat - Lingkaran• Persamaan umum lingkaran:

ax2 + by2 + cx + dy + e = 0

ax2 + ay2 + cx + dy + e = 0 (sebab a = b)

• Rumus baku lingkaran:

(x – i)2 + (y – j)2 = r2

x2 – 2ix + i2 + y2 – 2jy + j2 – r2 = 0 x2 – y2 – 2ix – 2jy + (i2 + j2 – r2) = 0

I

II

c/a = - 2i i = c/-2a

𝑖= 𝑐− 2𝑎

d/a = -2j j = d/-2a

𝑗= 𝑑−2𝑎

e/a = i2 + j2 – r2 r2 = i2 + j2 – e/a

𝑟=√𝑖2+ 𝑗2− 𝑒𝑎

Fungsi Kuadrat - Elips• Elips ialah tempat kedudukan titik yang jumlah jaraknya terhadap dua fokus selalu

konstan.

• Bentuk umum persamaan elips:

a setanda tapi tidak sama dengan b• Bentuk baku rumus elips:

Sumbu Minor

Sumbu Mayor

Pusat Elips

ax2 + by2 + cx + dy + e = 0

(𝑥− 𝑖)2

𝑟12 +(𝑦− 𝑗 )2

𝑟 22 =1• i = jarak pusat lingkaran terhadap sumbu –y• j = jarak pusat lingkaran terhadap sumbu –x• r1 dan r2 = jari-jari elips

Fungsi Kuadrat - Elips• Elips ialah tempat kedudukan titik yang jumlah jaraknya terhadap dua fokus selalu

konstan.y

x

y

x

r1

r2

(i, j)

r1

r2

(i, j)

A B

r1 > r2 r1 < r2

Contoh:

Tentukan pusat dan jari-jari elips 8x2 + 2y2 – 32x – 12y + 18 = 0. Tentukan juga perpotongannya, pada masing-masing sumbu koordinat.

8x2 + 2y2 – 32x – 12y = -18

4x2 + y2 – 16x – 6y = -9

4x2 – 16x + y2 – 6y = -9

4x2 – 16x + k1 + y2 – 6y + k2 = -9 + k1 + k2

4x2 – 16x + 16 + y2 – 6y + 9 = -9 + 16 + 9

4(x – 2)2 + (y – 3)2 = 16

i = 2, j = 3

r1 = 2, r2 = 4

Perpotongan dengan sumbu –x: y = 0

8x2 – 32x + 18 = 0

Perpotongan dengan sumbu –y: x = 0

2y2 – 12y + 18 = 0

y2 – 6y + 9 = 0

(𝑥− 2)2

4+(𝑦− 3)2

16=1

(𝑥− 2)2

22 +(𝑦− 3)2

42 =1Pusat elipsnya adalah titik (2, 3). Karena r1 < r2 sumbu mayor elips // sumbu vertical –y

y

xdengan rumus abc diperoleh x1 = 3,32 dan x2 = 0,68

(y – 3)2 = 0

y1 = y2 = 3

: 2 8x2 + 2y2 – 32x – 12y + 18 = 0

(2, 3)3

7

0,68 3,32

Fungsi Kuadrat - Hiperbola• Hiperbola ialah tempat kedudukan titik-titik yang

perbedaan jaraknya terhadap fokus selalu konstan.• Bentuk umum persamaan hiperbola:

a berlawanan tanda dengan b

• Bentuk baku rumus hiperbola:

atau

ax2 + by2 +cx + dy + e = 0

(𝑥− 𝑖)2

𝑚2 − (𝑦− 𝑗 )2

𝑛2 =1 (𝑦− 𝑗 )2

𝑛2 − (𝑥− 𝑖)2

𝑚2 =1

sumbu lintang // sumbu –x sumbu lintang // sumbu –y

Fungsi Kuadrat - Hiperbolay

x

(i, j)

y

x

(i, j)

Sumbu lintang

Sumbu lintangAsimtot Asimtot

sumbu lintang // sumbu –x sumbu lintang // sumbu –y

𝑥−𝑖𝑚 =± 𝑦− 𝑗

𝑛𝑦− 𝑗𝑛 =± 𝑥−𝑖

𝑚

Contoh:

Tentukan pusat dan jari-jari hiperbola 16x2 - 9y2 – 64x + 18y - 89 = 0. Tentukan juga perpotongannya, pada masing-masing sumbu koordinat.

16x2 – 64x - 9y2 + 18y = 89

16x2 – 64x + 64 - 9y2 + 18y – 9 = 89 + 64 – 9

16( x2 – 4x + 4) – 9(y2 – 2y + 1) = 144

i = 2, j = 1

m = 3, n = 4

Asimtot-asimtotnya:

y – 1 =

y = + 1

y1 = y2 =

Jika x = 0, y = -1,67 Jika x = 0, y = 3,67

Jika y = 0, x = 1,25 Jika y = 0, x = 2,75Perpotongan dengan sumbu –x: y = 0

16x2 – 64x – 89 = 0, diperoleh x1 = 5,09 dan x2 = -1,09

Perpotongan dengan sumbu –y: x = 0

9y2 – 18y + 89 = 0, diperoleh y1 = y2 = bilangan khayal

y

x

16x2 - 9y2 – 64x + 18y - 89 = 0

2

1

- 1,67

3,67

1,25 2,75-1,09 5,09

Sumbu lintang(2, 1)

Fungsi Kuadrat - Parabola• Parabola ialah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama

terhadap sebuah titik focus dan sebuah garis lurus yang disebut direktriks.

x

y

x

y

x

y

x

y

A B C D

a > 0a < 0 a < 0a > 0

Fungsi Kuadrat - Parabola

Sumbu simetri // sumbu vertical

Sumbu simetri // sumbu horizontalax2 + by2 +cx + dy + e = 0y = ax2 + bx2 + c

x = ay2 + by2 + c

dimana a ± 0Titik ekstrim parabola (i, j) adalah:

( −𝑏2𝑎 ) ,(𝑏

2 − 4𝑎𝑐− 4 𝑎 )

Jarak titik ekstrim dari sumbu vertical -y

Jarak titik ekstrim dari sumbu horizontal -x

Contoh:

Tentukan titik ekstrim parabola y = -x2 + 6x – 2 dan perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat.

Karena a = -1 < 0, titik ekstrimnya terletak diatas, berupa titik puncak. Koordinat titik puncak:

Perpotongan dengan sumbu –y: x = 0 y = -2

Perpotongan dengan sumbu –x: y = 0 -x2 + 6x – 2 = 0

diperoleh x1 = 5,65; x2 = 0,35

y

x

y = -x2 + 6x – 2

3

7

(3, 7)

-2

0,35 5.65

FUNGSI KUBIK• Fungsi kubik atau fungsi berderajat tiga ialah

fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat tiga. Bentuk umum persamaan fungsi kubik:

• Setiap fungsi kubik setidaknya mempunyai sebuah titik belok, yaitu titik peralihan bentuk kurva dari cekung menjadi cembung atau sebaliknya. Selain titik belok fungsi kubik mungkin pula mempunyai satu titik ekstrim(minimum atau maksimum) atau dua titik ekstrim.

y=a+𝑎𝑏𝑥+𝑐𝑥2+𝑑𝑥2 d ± 0

y y y

Titik belok Titik belok

Titik belok

0 x 0 x 0 xGambar diatas memperlihatkan fungsi kubik yang hanya mempunyai titik belok. Gambar bawah ini memperlihatkan fungsi kudik yang mempunyai titik ekstrim.

y y maksimum maksimum

minimum minimum

x x

Cara mencari kordinat-kordinat titik maksimum dan titik minimum serta titik belok dari suatu fungsi kubik akan diterangkan tersendiri pada bab tentang diferensial (Bab 9)

FUNGSI EKSPONENSIAL

• Fungsi eksponensial ialah fungsi dari suatu konstanta berpangkat variable babas. Bentuk fungsi eksponensial yg paling sederhana ialah :n > 0

Kurvannya terletak di kuadran-kuadran atas (kuadran I dan II) pada sistem koordinat. Dalam hal 0 < n < 1 kurva dari y = nˣ bergerak menurun dari kiri ke kanan, serta asimtotik terhadap sumbu –x dan memotong sumbu –y pada (0,1). Dalam hal n > 1 , kurva dari y = nˣ bergerak menaik dari kiri ke kanan, juga asimtotik terhadap sumbu –x dan memotong sumbu –y pada (0,1). Jika n = 1, kurvanya akan berupa garis lurus sejajar sumbu -x

y = nˣ

n = 0,3

n = 0,6

n = 0,8

(0,1)

0x

y

Kurva eksponensial y = nˣ

n = 9

n = 7

n = 2

(0,1)

0

y

x

(a) 0 < n (b) n > 1

• Bentuk fungsi eksponensial yang lebih umum :n ± 0 k, c : konstanta

Kurvannya asimtotik terhadap garis y = c. Mengingat bentuk ini mengandung bilangan e, sangat diperlukan untuk menyelesaikan persamaan eksponensial semacam ini. Kurva dari y = neᵏˣ + c untuk nilai-nilai n, k, dan c tertentu dapat dilihat pada gambar

y = neᵏˣ + c

Kurva eksponensial y = neᵏˣ + c untuk n > 0

y = c

x

y

0

a) Jika k > 0, c ≥ 0

y = c

x0

y

b) Jika k < 0, c ≥ 0

y = c

x

y

0

c) k > 0, c ≤ 0, │ c │ < n

y = c

x

y

0

d) k < 0, c ≤ 0, │c │< n

y = c

0

y

x

e) k > 0, c ≤ 0, │c │> n

y = c

0

y

x

f) k < 0, c ≤ 0, │c │> n

a) k > 0, c > 0, c >│n│

y = c

0 x

y

y = c

0 x

y

b) k < 0, c > 0, c >│n│

Kurva eksponensial y = neᵏˣ + c dan n < 0

y = c0

x

y

y = c0

x

y

y = c

0

x

y

c) k > 0, c > 0, c <│n│

y = c

0x

y

d) k < 0, c > 0, c <│n│

e) Jika k > 0, c ≤ 0f) Jika k < 0, c ≤ 0

Titik potong kurva eksponensial y = neᵏˣ + c pada sumbu –x ialah ( ) sedang pada sumbu –y ialah (0, n + c). Hal ini berlaku umum untuk ke 12 kurva di atas.

Contoh Soal :1.Tentukan titik potong kurva eksponensial pada masing-masing sumbu dan hitunglah f(3).

_

_

_

_

_

_

___ __ _

(3; 4,96)

3

(1,39; 0)

5

0

(0;-2)y = 4

y

x

0,5xy = 2e - 4jawab :Pada sumbu –x; y = 0 = 4 = 2ln = ln 20,5x lne = ln 2 (lne 1) 0,5x = 0,69 x = 1,39Titik potongnya (1,39;0)

Pada sumbu –y; x = 0y = - 4y = - 4

y = 2 - 4 = -2Titik potong (0; -2)

Untuk x = 3y = - 4y = - 4

y = 2(4,48) - 4y = 4,96

• Fungsi balik (invers) dari fungsi eksponensial yang variable bebasnya merupakan bilangan logaritmik. Bentuk paling sederhana dari fungsi logaritmik adalah:

n > 0 dan n ± 1• Bentuk fungsi logaritmik yang lebih umum adalah:

x > 1

Fungsi Logaritmik

y = nlog x

y = a In (1 + x) + b y

x

y

x

0 < n < 1n > 1

(1, 0)

n = 0,8n = 0,6

n = 0,3

(1, 0)

n = 2 n = 7

n = 9

• Perpotongan dengan sumbu –x: y = 0

a In (1 + x)= -b

In (1 + x) = -b/a

(1 + x) = e(b/a)

x = e-(b/a) – 1

Perpotongan dengan sumbu –y: x = 0

y = a In (1 + 0) + b = a In 1 + b = a (0) + b = b

Kurva Logaritmik = y = a In (1 + x) + b

e(b/a) – 1 > 0 jika < 0

e(b/a) – 1 = 0 jika = 0

e(b/a) – 1 < 0 jika > 0

e-(b/a) – 1 > 0 e-(b/a) – 1 < 0

x

y

x

y

x

y

x

y

a > 0, b > 0 a < 0, b < 0 a < 0, b > 0 a > 0, b < 0

x –

1

x –

1

x –

1 x –

1

(0, b) (0, b)

(0, b)(0, b)

(e-(b/a) – 1, 0)

(e-(b/a) – 1, 0)

(e-(b/a) – 1, 0)

(e-(b/a) – 1, 0)

Contoh:

Temukan titik potong kurva logaritmik y = 2In (1 + x) + 6 pada masing-masing sumbu dan hitungklah f (4)

Untuk y = 0; 2In (1 + x) = -6

In (1 + x) = -3

1 + x = e-3

1 + x = 0,0498 x = -0,9502

Titik potong dengan sumbu –x: (-0,09502; 0)

Untuk x = 0; y = 6. Titik potong dengan sumbu –y: (0; 6)

Jika x = 4; y = 2 In5 + 6

= 2 (1,6094) + 6

= 9,2188

TERIMA KASIH