AKSIOMATIKA

Apakah sebenarnya hakikat matematika itu?

Definisi tentang matematika yang manakah yang diterima secara mutlak selama ini?

Objek Matematika

1. FAKTA

2. KONSEP

3. OPERASI

4. PRINSIP

ABSTRAK

MERUPAKAN SUMBER KESULITAN GURU UNTUK MENGAJARKANNYA AGAR SESUAI DENGAN PERKEMBANGAN INTELEKTUAL PESERTA DIDIK

TEORI BELAJAR

PIAGET, BRUNER,

VYGOTSKY, AUSUBEL,

1. Matematika memiliki objek kajian yang abstrak

2. Matematika memiliki struktur deduktif-aksiomatik

3. Matematika memiliki simbol-simbol yang kosong arti.

4. Matematika memiliki tumpuan kesepakatan.

5. Matematika memiliki aneka semesta

6. Matematika dijiwai kebenaran konsistensi

1.FAKTA

2.KONSEP

3.OPERASI

4.PRINSIP

Fakta adalah suatu konvensi yang merupakan suatu cara khas untuk menyajikan ide-ide matematika dalam bentuk kata atau simbol.

fakta dalam matematika adalah segala sesuatu yang telah disepakati, dia dapat berupa simbol atau lambang dan dapat pula berupa kata-kata.

SIMBOL BILANGAN “3” SECARA UMUM SUDAH DIPAHAMI SEBAGAI BILANGAN “TIGA”

RANGKAIAN SIMBOL “3+4” DIPAHAMI SEBAGAI “TIGA TAMBAH EMPAT”

Dfdy

dy

Konsep adalah ide abstrak tentang klasifikasi objek atau kejadian.

konsep dalam matematika merupakan suatu ide abstrak yang digunakan untuk melakukan klasifikasi atau penggolongan atau pengelompokan terhadap objek. Dengan adanya suatu konsep, dapat diterangkan apakah sesuatu termasuk atau merupakan contoh atau bukan contoh dari ide tersebut.

Pada umumnya konsep dalam matematika disusun dari konsep-konsep

terdahulu atau fakta. Contoh konsep: segiempat, bilangan, fungsi, vektor,

kubus.

Apakah konsep dalam Matematika itu?

KONSEP

(ide abstrak yang dapat digunakan untuk melakukan klasifikasi atau penggolongan

NAMA KONSEP

CIRI-CIRI KONSEP

DEFINISI KONSEP

(ungkapan yang membatasi konsep)

REPRESENTASI KONSEP

(Wakil/contoh berupa GAMBAR, BENDA)

SIMBOL (tanda)

NAMA KONSEP

CIRI-CIRI KONSEP

(bisa banyak)

DEFINISI KONSEP

(Bisa banyak, harus dipilih satu yang lain

dijadikan teorema)

REPRESENTASI KONSEP

(bisa banyak)

SIMBOL (tanda)

SEGITIGA

Memiliki tepat tiga ruas garis

Jumlah panjang dua sisi lebih panjang dari panjang sisi ke-3

Tiga ruas garis yang dua-dua ujungnya bertemu

ABC

NAMA KONSEP

CIRI-CIRI KONSEP

(bisa banyak)

DEFINISI KONSEP

(Bisa banyak, harus dipilih satu yang lain

dijadikan teorema)

REPRESENTASI KONSEP

(bisa banyak)

SIMBOL (tanda)

JAJARGENJANG

Memiliki empat ruas garis berupa sisi-sisi berhadapan sejajar

Diagonal berpotongan dua sama besar

Sudut-sudut berhadapan sama besar

Segiempat yang sepasang sisi berhadapan sejajar dan sama panjang

NAMA KONSEP

CIRI-CIRI KONSEP

(bisa banyak)

DEFINISI KONSEP

(Bisa banyak, harus dipilih satu yang lain

dijadikan teorema)

REPRESENTASI KONSEP

(bisa banyak)

SIMBOL (tanda)

OPERASI

Dapat menghasilkan elemen tunggal

Memerlukan elemen yang diberi(input), semesta

Aturan untuk memperoleh elemen tunggal dari satu atau lebih elemen yang diberi dalam semesta tertentu

Operasi perkalian

4x3=3+3+3+3=12

, , +

NAMA KONSEP

CIRI-CIRI KONSEP

(bisa banyak)

DEFINISI KONSEP

(Bisa banyak, harus dipilih satu yang lain

dijadikan teorema)

REPRESENTASI KONSEP

(bisa banyak)

SIMBOL (tanda)

FUNGSI

NAMA KONSEP

CIRI-CIRI KONSEP

(bisa banyak)

DEFINISI KONSEP

(Bisa banyak, harus dipilih satu yang lain

dijadikan teorema)

REPRESENTASI KONSEP

(bisa banyak)

SIMBOL (tanda)

LIMIT FUNGSI

NAMA KONSEP

CIRI-CIRI KONSEP

(bisa banyak)

DEFINISI KONSEP

(Bisa banyak, harus dipilih satu yang lain

dijadikan teorema)

REPRESENTASI KONSEP

(bisa banyak)

SIMBOL (tanda)

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

PEMBENTUKAN

KONSEP MATEMATIKA

► Pembentukan Konsep

►Konsep

► Hubungan konsep dan Nama konsep

► Jenis Konsep

► Prinsip dalam mempelajari matematika

Pengabtraksian : aktivitas atau kegiatan sehingga kita menjadi sadar atau tahu atau mengerti tentang kesamaan diantara pengalaman-pengalaman kita.

Klasifikasi : kumpulan dari pengalaman-pengalaman kita berdasar dari kesamaan-kesamaan suatu obyek.

Abstraksi : sejenis perubahan mental yang kekal, yang merupakan hasil dari kegiatan mengabstraksi

memungkinkan kita untuk mengakui bahwa pengalaman baru memiliki kesamaan dari kelas (kelompok) yang telah terbentuk

Pengabtraksian

ABSTRAKSI

KLASIFIKASI

KONSEP

IDE ABSTRAK YANG DAPAT DIGUNAKAN UNTUK MELAKUKAN KLASIFIKASI

CARA MENDAPATKAN KONSEP DENGAN LEBIH CEPAT DAPAT DILAKUKAN DENGAN MENYAJIKAN CONTOH-CONTOH YANG KONTRAS

SEGITIGA

SEGITIGA

HUBUNGAN KONSEP DAN NAMA KONSEP

KELAS KURVA TERTUTUP SEDERHANA YANG TERSUSUN DARI

TIGA SEGMEN GARIS

SEGITIGA

IDE

BAHASA

ANJING

NAMAKONSEP

MEMILIKI KONSEP ?

BUKAN KARENA DAPAT MENYEBUT NAMA

TERORIS BISA MENYEBUT TERORIS BELUM TENTU TAHU TERORIS ITU APA

MEMILIKI KONSEP

DAPAT MENGKLASIFIKASI CONTOH DAN BUKAN CONTOH

SEGITIGA

BUKAN SEGITIGA

SEGITIGA

CARA PEMBENTUKAN KONSEP

MEMBERIKAN CONTOH KONSEP DAN

NON CONTOH

MENDENGAR, MEMBACA,

MELALUI SIMBUL

JENIS KONSEP

1. DARI SENSORI MOTOR

KONSEP MERAH, BERAT, PANAS, MANIS

2. KONSEP HASIL ABSTRAKSI KONSEP LAIN

KONSEP BILANGAN PRIMA DARI BILANGAN CACAH

KONSEP KEKONTINUAN DARI KONSEP LIMIT

UNTUK MENYAMPAIKAN SUATU KONSEP DAPAT DILAKUKAN DENGAN MEMBERIKAN DEFINISI DARI KONSEP TERSEBUT

BILANGAN PRIMA

BILANGAN YANG FAKTORNYA HANYALAH 1 DAN BILANGAN ITU SENDIRI

Dua prinsip dalam mempelajari matematika:1. Konsep yang lebih tinggi daripada yang telah

dimiliki seseorang, tidak selalu dapat disampaikan melalui suatu definisi, tetapi dengan cara mengarahkannya untuk menemukan sekelompok contoh yang sesuai.

2. Berkenaan dalam matematika konsep-konsepnya hampir selalu disusun dari konsep yang lain, yang pertama kali harus dijamin adalah konsep-konsep ini harus telah dibentuk pada pikiran siswa.

KONSEP PADA TINGKATAN YANG LEBIH TINGGI HIERARKINYA DARI YANG DIMILIKI SESEORANG MUNGKIN TIDAK DAPAT DISAMPAIKAN DENGAN DEFINISI TETAPI HARUS MELALUI CONTOH-CONTOH

FUNGSI FUNGSI SATU-SATU

SATU-SATU BUKAN SATU-SATU

Kesimpulan

1.Salah satu cara untuk mempercepat pembentukan konsep yaitu dengan cara memberikan contoh secara kontras.

2.Banyak pengetahuan sehari-hari yang dapat dipelajari langsung dari lingkungan , namun konsep yang demikian biasanya adalah konsep yang tidak begitu abstrak. Dalam matematika seringkali konsep tidak dapat dipelajari langsung dari lingkungan sehari-hari, namun harus dipelajari melalui ahli matematika lain baik langsung maupun tidak langsung

3. Dua prinsip dalam mempelajari matematika:a. Konsep yang lebih tinggi daripada yang telah dimiliki seseorang, tidak dapat dikomunikasikan(disampaikan) kepadanya melalui suatu definisi, tetapi dapat dikomunikasikan(disampaikan) hanya dengan cara mengarahkannya untuk menemukan sekelompok contoh yang sesuai.

b.Berkenaan dalam matematika konsep-konsepnyanya hampir selalu disusun dari konsep yang lain, yang pertama kali harus dijamin adalah konsep-konsep ini harus telah dibentuk pada pikiran siswa.

Pembentukan suatu konsep bisa melalui:

(1) abstraksi, misalnya : pembentukan bilangan melalui dua kali abstraksi.

(2) idealisasi, misalnya: “kerataan” suatu bidang dan “kelurusan” suatu

garis.

(3) abstraksi dan idealisasi, misalnya: “kubus”, “kerucut”.

(4) penambahan syarat pada konsep terdahulu, misalnya:

“belahketupat” dari “jajargenjang”.

definisi suatu konsep adalah “ungkapan yang dapat digunakan

untuk membatasi suatu konsep”. “Trapesium” adalah suatu konsep.

Sedangkan definisi trapesium misalnya :

“Trapesium adalah segiempat yang terjadi jika sebuah segitiga dipotong

oleh garis yang sejajar salah satu sisinya”.

Inilah ungkapan yang membatasi konsep trapesium itu.

Ada kebebasan dalam menetapkan definisi yang akan dipakai, yang

penting konsisten. Suatu definisi yang belum masuk dalam struktur tertentu

belum dapat dikatakan benar ataupun salah. Tetapi setelah ditetapkan atau

disepakati dalam suatu struktur maka selanjutnya definisi itu memiliki nilai

benar.

Definisi Analitik

Suatu definisi dikatakan bersifat analitis bila definisi tersebut

menyebutkan genus proksimum dan deferensia

spesifika.(Genus: keluarga terdekat; deferensia spesifika :

pembeda khusus).

Perhatikan definisi ini (dalam suatu struktur definisi tertentu).

Belahketupat adalah jajargenjang yang ………..

Belahketupat adalah segiempat yang ……….

Definisi yang pertama menunjukkan genus proksimum yaitu:

jajargenjang”, sedangkan pada definisi kedua tidak menyebutkan

genus proksimum, yang berakibat tidak ekonomis. Sedangkan

deferensia spesifikanya adalah keterangan yang terdapat di

belakang kata “yang”.

Definisi ginetik

Suatu definisi dikatakan bersifat ginetik jika definisi itu menunjukkan

atau mengungkapkan cara terjadinya atau membentuknya konsep

yang didefinisikan.

Perhatikan definisi ini:

Trapesium adalah segiempat yang terjadi jika sebuah segitiga

dipotong oleh sebuah garis yang sejajar salah satu sisinya.

Jaring-jaring limas adalah bangun yang terjadi jika sisi-sisi limas

direbahkan dengan poros rusuk alas hingga sampai ke bidang

pemusat alasnya.

Definisi dengan rumus

Suatu definisi tidak selalu dinyatakan dengan ungkapan berbentuk

kalimat biasa, dapat juga diungkapkan dengan kalimat matematika.

Dengan demikian dapat berbentuk suatu rumus.

Perhatikan definisi ini:

Dalam ilmu bilangan atau field: a – b = a + (-b)

Dalam aljabar atau analisis:

f : A B = {(a,b) A x B (a,b), (a,b’) f b = b’}

Dalam aljabar, n! = 1.2.3. . . . (n-2)(n-1)n., dengan 0! = 1! = 1

(Bentuk terakhir itu ada juga yang menyebut dengan bentuk induksi).

DEFINISI adalah ungkapan yang membatasi KONSEP Perlu dibedakan NAMA KONSEP (berupa istilah) dengan KONSEPNYA (yang abstrak)

KOMPONEN DEFINISI

1. LATAR BELAKANG (INTENSI-EKSTENSI)

2. GENUS

3. ISTILAH YANG DIDEFINISIKAN

4. ATRIBUT

a) Latar belakang

Latar belakang suatu definisi merupakan keterangan atau

penjelasan yang memungkinkan berlakunya definisi tersebut.

b) Genus

Genus suatu definisi merupakan golongan yang melingkupi konsep

yang didefinisikan.

C) Lingkup

Lingkup atau istilah adalah konsep yang didefinisikan

d. Atribut

Atribut merupakan ciri-ciri khusus yang dimiliki konsep yang

didefinisikan.

Perhatikan dua kalimat definisi di bawah ini.

Segitiga samasisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama.

Suatu segitiga adalah samasisi jika dan hanya jika ketiga sisinya

sama.

Definisi tersebut di atas dapat diperhatikan unsur-unsurnya, yaitu:

a) Latar belakangnya, dalam hal di atas adalah “bangun datar”.

b) Genusnya, dalam hal di atas adalah “segitiga”

c) Istilah yang didefinisikan, dalam hal di atas adalah “segitiga

samasisi”

d) Atributnya, dalam hal di atas adalah “ketiga sisinya sama”.

Coba cari unsur-unsur definisi berikut.

Suatu fungsi dikatakan kontinu dalam domain D, jika fungsi itu

kontinu di semua titik D.

CONTOH DEFINISI-konsep trapesium dapat ditulis dengan definisi:

A. Trapesium adalah segiempat yang tepat sepasang sisinya sejajar

B. Segiempat yang terjadi jika sebuah segitiga dipotong oleh sebuah garis sejajar dengan salah satu sisinya adalah trapesium

KEDUA DEFINISI INI MEMILIKI ISI KATA ATAU MAKNA KATA YANG BERBEDA TETAPI MEMPUNYAI JANGKAUAN YANG SAMA

DIKATAKAN

MEMILIKI “INTENSI” BERBEDA TETAPI “EKSTENSI” YANG SAMA

Dua atau lebih definisi yang memiliki ekstensi sama (sering juga

dikatakan jangkauannya sama) disebut definisi yang EKIVALEN.

Definisi limit fungsi pada suatu titik

Misal AR. f : A R , cR titik cluster dari A. L R disebut limit dari f

di c, jika untuk setiap lingkungan - dari LR ( V(L)) , terdapat

lingkungan- dari c (V(c )), sehingga untuk sebarang xc, yang berada

di V(c )A, maka f(x) berada di V(L).

Definisi limit fungsi pada suatu titik

Misal AR. f : A R , cR titik cluster dari A. L R disebut limit dari f

di c, jika untuk setiap >0 , terdapat >0, sehingga untuk sebarang |x -c|

< , x di A, maka |f(x) – L | < .

UNTUK MENGUJI APAKAH EKSTENSI SAMA?

DIUJI DENGAN PERTANYAAN “ APAKAH TRAPESIUM MENURUT DEFINISI YANG SATU TERMASUK DALAM DEFINISI YANG KEDUA DAN SEBALIKNYA ?

TEPAT SEPASANG SISI SEJAJAR

Intensi dan ekstensi suatu definisi

Perhatikan beberapa definisi di bawah ini.

1) Segitiga samasisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama.

2) Segitiga samasisi adalah segitiga yang ketiga sudutnya sama.

3) Segitiga samasudut adalah segitiga yang ketiga sudutnya sama.

4) Segitiga samasudut adalah segitiga yang ketiga sisinya sama.

Bagaimanakah himpunan bangun segitiga yang disefinisikan oleh

keempat definisi di atas?

Apakah himpunan bangun itu sama ataukah tidak?

Adakah segitiga samasisi yang bukan segitiga samasudut?

Adakah segitiga samasudut yang bukan segitiga samasisi?

Himpunan bangun segitiga yang didefinisikan oleh keempat definisi itu

adalah sama. Ini dikatakan bahwa keempat definisi itu memiliki

EKSTENSI sama. Dua atau lebih definisi yang memiliki ekstensi sama

(sering juga dikatakan jangkauannya sama) disebut definisi yang

EKIVALEN.

Definisi 1) dan 2) mendefinisikan hal yang sama, yaitu segitiga

samasisi, tetapi atributnya berbeda, yang satu mengutamakan

perhatian kepada “sisi” sedangkan yang lain mengutamakan perhatian

kepada “sudut”.

Demikian juga definisi 3) dan 4), tetapi hal yang didefinisikan adalah

segitiga sama sudut.

Pikirkan pasangan definisi-definisi berikut ini, bagaimana intensi dan

ekstensinya?

1. a. Bidang empat adalah bangun ruang yang bersisikan empat

segitiga.

b. Limas segitiga adalah limas yang alasnya berupa segitiga.

2. a. Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang

mengawankan setiap anggota himpunan A secara tunggal

dengan anggota himpunan B.

b. Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang

mengawankan anggota himpunan A secara tunggal dengan

anggota himpunan B.

CONTOH DEFINISI

A. Sudut adalah bangun geometri yang terjadi bila dua sinar berpangkal sama

mempunyai genus bangun geometri

B. Sudut adalah bangun geometri yang berupa bidang yang dibatasi oleh dua sinar berpangkal sama

mempunyai genus bidang

KEDUANYA MEMPUNYAI ISTILAH YANG SAMA YAITU SUDUT

Yang pertama, memiliki atribut DUA SINAR BERPANGKAL SAMA

Yang kedua , memiliki atribut BAGIAN BIDANG DIBATASI DUA SINAR BERPANGKAL SAMA

JENIS DEFINISI

1. DEFINISI ANALITIK YAITU dengan menyebut genus proximum dan diferensia spesifika

Jajargenjang adalah segiempat yang…..

2. DEFINISI GENETIK dengan menyebut terjadinya

Segiempat yang terjadi jika sebarang segitiga diputar sebesar 180o terhadap titik tengah salah satu sisinya adalah jajaran genjang

3. DEFINISI DENGAN RUMUS

n!=n(n-1)(n-2)…(1) , AB={x|xA dan xB}

Definisi

Misalkan Let I R suatu selang dan fungsi f : I R, dan

misalkan pula c I. Bilangan real L disebut turunan fungsi f

pada titik c jika untuk setiap bilangan 0 terdapat bilangan

0 sedemikian sehingga untuk setiap x I dengan 0 x c

, maka berlaku

ε

Lcx

cf xf

DALAM MATEMATIKA ADA KEBEBASAN

UNTUK MEMILIH MENGGUNAKAN SUATU DEFINISI

NAMUN PILIHAN INI MEMBAWA KONSEKUENSI DALAM PENGERTIAN-PENGERTIAN SELANJUTNYA

CONTOH

SEKURANG-KURANGNYA ADA TIGA CARA MENDEFINISIKAN SUDUT

DUA SINAR DAERAH BIDANG HASIL PUTARAN

SUDUT SEBAGAI:

BOLEH DIPILIH SALAH SATU, ASALKAN SELANJUTNYA BERMANFAAT DAN DAPAT MEMBENTUK STRUKTUR SECARA KONSISTEN

DALAM MATEMATIKA SEKOLAH DIPILIH YANG PERTAMA, JADI SUDUT ADALAH DUA SINAR YANG BERPANGKAL SAMA

PILIHAN TERSEBUT MEMILIKI AKIBAT DALAM PENGERTIAN-PENGERTIAN SEGITIGA, BANGUN DATAR YANG LAIN BAHKAN DALAM PENGERTIAN BENDA RUANG, JUGA TITIK POTONG

SEBUAH LINGKARAN DIPOTONG GARIS LURUS, BERAPA BANYAK TITIK POTONGNYA ?

Relasi merupakan suatu aturan untuk mengawankan anggota suatu himpunan dengan anggota himpunan lain, yang dapat sama dengan himpunan semula.

Operasi adalah aturan untuk mendapatkan elemen tunggal dari satu atau lebih elemen yang diketahui. Elemen yang diketahui disebuh elemen yang dioperasikan.

Relasi menyukai dari himpunan orang ke himpunan buah-buahan.

Operasi tambah merupakan suatu operasi yang bermakna bila ada dua

elemen yang dioperasikan, misal 2 + 3 = 5.

Bilangan 2 dan 3 adalah elemen yang dioperasikan, dan 5 adalah

hasil operasi.

suatu operasi memerlukan 2 buah elemen untuk pemberlakuannya, operasi tersebut dinamakan operasi biner.

Suatu operasi yang hanya memerlukan satu elemen untuk memberlakukannya disebut operasi uner

Prinsip adalah objek matematika yang paling kompleks. Kekompleksan tersebut dikarenakan adanya sekelompok konsep yang dikombinasikan dengan suatu relasi.

prinsip merupakan hubungan antara 2 atau lebih konsep matematika.

Jumlah dua bilangan gasal adalah bilangan genap.

Konsep apa saja yang terlibat?

Segiempat

Segiempat Talibusur

Segiempat Garis singgung Jajargenjang

Trapesium

Layang-layang

Persegipanjang Belahkrtupat

Persegi

Peta Konsep Segiempat I:

Bisa dibuat hubungan

lebih lanjut?

Belahketupat

Segiempat

TRAPESIUM Layang-layang

Jajargenjang

PersegiPersegipanjang

Peta Konsep segiempat II:

Segitiga

Peta Konsep Segitiga I: Peta Konsep Segitiga II:

Segitiga

Segitiga samakaki

Segitigasamasisi

Segitigasamasisi

Segitiga samakaki

Peta Konsep Segitiga III:

Segitiga

Segitigatumpul

SegitigaSiku-siku

Segitigalancip

Segitigatumpul

samakaki

Segitigasiku-siku samakaki

Segitigalancip

samakaki

Segitigalancip

samasisi

POLA PIKIR INDUKTIF DAN DEDUKTIF a. Pola pikir induktif

Seseorang menggunakan penalaran induktif jika orang tersebut berpikir dari hal-hal yang bersifat khusus ke hal-hal yang bersifat umum.

1) Dalam penarikan kesimpulan

Pak Dani seorang guru, gajinya kurang dari 5 juta rupiah (KHUSUS)

Bu Susi seorang guru, gajinya kurang dari 5 juta rupiah (KHUSUS)

Semua guru gajinya kurang dari 5 juta rupiah (UMUM)

Perlukah pola pikir deduktif dalam matematika?

Pola pikir induktif dalam matematika biasanya digunakan untuk

menerka suku umum suatu barisan bilangan.

Berikut ini akan diberikan beberapa contoh

a) Perhatikan kedudukan titik-titik yang tercetak berderet seperti

tampak pada gambar di bawah ini. Tentukan bilangan yang

menunjukkan banyak titik yang akan akan tercetak berikutnya

yang sesuai dengan pola!

Buat gambar ke-9 di pojok kanan bawah sehingga sesuai dengan

kedelapan gambar yang lain.

?

c) Jika n suatu bilangan asli ganjil maka n + 2 juga bilangan

ganjil.

Apa yang dapat anda katakan tentang n + (n + 2)?

Jawab :

Perhatikan pola berikut.

Untuk n = 1, n + 2 = 3, n + (n+2) = 1 + 3 = 4

n = 3, n + 2 = 5, n + (n + 2) = 3 + 5 = 8

n = 5, n + 2 = 7, n + (n+2) = 5 + 7 = 12

n = 7, n + 2 = 9, n + (n+2) = 7 + 9 = 16

………………..

Dari hasil di atas, diperoleh barisan bilangan n + (n + 2) sebagai

berikut: 4, 8, 12, 16, . . .

Kita dapat menyatakan bahwa barisan bilangan tersebut

merupakan barisan bilangan yang habis dibagi 4.

Pola pikir deduktif

Seseorang mengadakan pola pikir deduktif jika orang

tersebut berpikir dari hal-hal yang bersifat umum ke hal-hal yang

bersifat khusus. Pada pola pikir deduktif, harus diperhatikan bahwa

kebenaran suatu pernyataan haruslah didasarkan pada kebenaran

pernyataan-pernyataan lain.

sifat-sifat atau prinsip-prinsip dalam matematika dibentuk atau ditemukan melalui pola pikir deduktif ataupun induktif. Dengan kata lain sifat-sifat atau prinsip-prinsip dalam matematika ada yang ditemukan melalui pengalaman lapangan, ada pula yang tanpa pengalaman lapangan ataupun malah secara intuitif.

Dibangunnya teorema Pythagoras, dibangunnya teorema Euler adalah dari

kenyataan-kenyataan di lapangan. Melalui suatu abstraksi tertentu dicapai

generalisasi. Namun kemudian dengan menggunakan pola pikir deduktif

dapat dibuktikan teorema-teorema tersebut. Dalam proses itulah jelas

adanya daya kreativitas para penemunya. Berikut ini ditunjukkan contoh

bagaimana daya kreativitas dan intuisi bekerjasama untuk menemukan

suatu sifat dalam geometri.

M

B

● ● ●

A C

P A

Q A

R A

g A

h A

X

A

Y

A Z

A

● ● ●

P Q

R

C B

A

X Y Z

h

g

● ●

●

C B A

R

Q P

Z Y

g

X h

g = h

P

Q

C

B

R

A

● ● ● X Y Z

Mula–mula diamati dua buah garis sejajar g dan h, titik A, B, dan C

di garis g, sedangkan titik P, Q, dan R di garis h. Kemudian masing-masing

titik dihubungkan dengan setiap titik di garis lain. Ternyata tampak bahwa

ada tiga titik potong garis-garis hubung itu yang terletak pada satu garis

lurus, yaitu X, Y dan Z.

Bagaimanakah halnya bila kedua garis g dan h tidak sejajar?

Bagaimanakah halnya jika garis g dan h itu tidak lurus?

Bagaimanakah halnya jika kedua garis tak lurus itu merupakan bagian dari

sebuah lingkaran?

Ternyata selalu ditemukan tiga titik semacam X, Y, dan Z yang segaris.

Selanjutnya temuan itu harus dapat dibuktikan kebenarannya

menggunakan kesepakatan-kesepakatan atau sifat-sifat yang sudah ada.

Jadi akhirnya haruslah digunakan pola pikir deduktif.

garis besar “Struktur Deduktif Aksiomatik matematika (tidak tunggal):

KONSEP PRIMITIF (Pengertian Pangkal/

Undefined Term)

AKSIOMA (Pernyataan Pangkal)

TEOREMA 1

TEOREMA 2 KONSEP 1

(DefinisI 1)

TEOREMA 3

KONSEP 2 (DefinisI 2)

KONSEP 3 (DefinisI 3)

TEOREMA 4

DST.

DST.

Dalam suatu struktur matematika disepakati terdapat “pernyataan pangkal” atau biasa disebut “aksioma” dan “pengertian atau unsur pangkal” atau sering disebut “unsur primitif atau undefined term”.

Aksioma diperlukan dalam suatu struktur matematika agar dapat dihindarkan “berputar-putar dalam pembuktian” atau “circulus in probando”. Sedangkan unsur primitif dalam suatu struktur matematika perlu untuk menghindarkan “berputar-putar dalam pendefinisian” atau “circulus in definiendo”.

menunjukkan bahwa kebenaran suatu pernyataan dalam matematika sangat tergantung pada kebenaran pernyataan-pernyataan dan unsur-unsur terdahulu yang telah diterima sebagai benar/disepakati. Ini jelas menunjukkan bahwa dalam matematika dianut kebenaran koherensi atau kebenaran konsistensi.

Contoh yang mudah diingat dan dipahami dapat diambil dari Geometri

Euclides, misalnya:

(1) titik, garis dan bidang dipandang sebagai unsur primitif;

(2) melalui dua buah titik ada tepat sebuah garis lurus yang dapat dibuat,

sebagai salah satu aksioma.

Dari unsur-unsur primitif dan aksioma tertentu dapat diturunkan suatu

pernyataan lain yang sering disebit sebagai “teorema”. Demikian juga

dapat dibuat definisi tentang suatu konsep lain.

Postulates

1. It is possible to draw a straight line from any point to any other point.

2. It is possible to produce a finite straight line continuously in a straight line.

3. It is possible to describe a circle with any center and any radius.

4. It is true that all right angles are equal to one another.

5. ("Parallel postulate") It is true that, if a straight line falling on two straight lines make the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, intersect on that side on which are the angles less than the two right angles.

Common notions1. Things which are equal to the same thing are also equal to one another.

2. If equals be added to equals, the wholes are equal.

3. If equals be subtracted from equals, the remainders are equal.

4. Things which coincide with one another are equal to one another.

5. The whole is greater than the part.

The Peano axiomatization of natural numbers

The mathematical system of natural numbers 1, 2, 3, 4, ... is based on an axiomatic system that was first written down by the mathematician Peano in 1901. He chose the axioms (see Peano axioms), in the language of a single unary function symbol S (short for "successor"), for the set of natural numbers to be:

1. There is a natural number 0.

2. Every natural number a has a successor, denoted by Sa.

3. There is no natural number whose successor is 0.

4. Distinct natural numbers have distinct successors: if a ≠ b, then Sa ≠ Sb.

5. If a property is possessed by 0 and also by the successor of every natural number it is possessed by, then it is possessed by all natural numbers.

MEMBEDAKAN BEBERAPA AKSIOMA a. Sistem aksioma dan syaratnya

Untuk suatu struktur matematika biasanya didahului dengan beberapa unsur primitif dan beberapa pernyataan atau aksioma. Beberapa aksioma tersebut sering juga disebut sistem aksioma.

(1) Konsisten (taat asas)

(2) Independen (bebas)

(3) Komplit atau lengkap

(4) Ekonomis

Dari ketiga syarat tersebut yang utama adalah nomor (1), (2) dan (3),

sebab nomor (4) seringkali dapat juga dipandang sebagai akibat syarat

nomor (2).

Suatu sistem aksioma dikatakan memenuhi syarat “konsisten” bila

pernyataan-pernyataan dalam kumpulan aksioma itu tidak kontradiktif.

Non-kontradiktif itu bukan hanya dalam makna pernyataannya saja, tetapi

juga dalam hal istilah serta simbol yang digunakan.

Perhatikan contoh berikut ini.

Aksioma 1: 2 * 6 = 4

Aksioma 2: 4 * 1 = 1

Aksioma 3: Jumlah dua hal yang sama akan menghasilkan sesuatu yang

sama.

Aksioma 4: (2 * 6) * (4 * 1) = 5

Keempat aksioma tersebut tidak konsisten, sebab berdasarkan aksioma 1,

2, dan 3 didapat: (2 * 6) * (4 * 1) = 4 * 1 = 1 yang bertentangan dengan

aksioma 4.

Suatu sistem aksioma dikatakan memenuhi syarat “independen” bila

masing-masing pernyataan dalam kumpulan aksioma itu tidak saling

bergantung, artinya pernyataan atau aksioma yang satu harus tidak

diturunkan atau diperoleh dari aksioma-aksioma yang lain.

Perhatikan contoh berikut.

Aksioma 1: Jumlah dua bilangan genap adalah bilangan genap.

Aksioma 2: Jumlah dua bilangan gasal adalah bilangan genap.

Aksioma 3: 1 + 7 = 8

Sistem aksioma tersebut tidak independen, sebab aksioma 3 dapat

diturunkan dari aksioma 2.

Suatu sistem aksioma dikatakan “lengkap” bila setiap pernyataan

yang diturunkan dari sistem itu dapat dibuktikan kebenaran atau

kesalahannya. (Tentu dalam lingkup logika dikotomis). Bila aksioma dalam

suatu sistem aksiomatik tidak lengkap, maka tidak dapat diperoleh

teorema-teorema. Misal salah satu aksioma dalam geometri Euclides

dihilangkan, maka tidak akan diperoleh teorema-teorema dalam sistem

tersebut.

Suatu sistem aksioma dikatakan memenuhi syarat “ekonomis” bila

simbol-simbol atau istilah-istilah yang digunakan tidak berlebihan (tidak

redundan), selain itu juga pernyataan dalam kumpulan aksioma itu tidak

ada yang memiliki makna sama.

Perhatikan contoh berikut.

Aksioma 1: 2 * 6 = 4

Aksioma 2: 4 * 1 = 1

Aksioma 3: Jumlah dua hal yang sama akan menghasilkan sesuatu yang

sama.

Aksioma 4: (2 * 6) * (4 * 1) = 1

Keempat aksioma tersebut bersifat redundan atau tidak ekonomis sebab

(2 * 6) * (4 * 1) = 4 * 1 = 1

Sebenarnya aksioma 4 tidak perlu ada, cukup aksioma 1, 2 dan 3 saja.

Dalam matematika dikenal beberapa klasifikasi aksioma. Berikut ini

diperkenalkan dua cara klasifikasi, yakni:

a. aksioma yang “self evident truth” dan yang “non-self evident truth”

b. aksioma “material”, “formal” dan “diformalkan”.

Klasifikasi a

Suatu aksioma dikatakan “self evident truth” bila dalam

pernyataannya memang telah langsung tergambar kebenarannya. Ini

tampak jelas pada aksioma dari Geometri Euclides, misalnya dalam

planimetri: “Melalui dua buah titik berlainan hanya dapat dibuat tepat satu

garis”.

Suatu aksioma dikatakan “non-self evident truth” akan terlihat sebagai pernyataan yang mengaitkan fakta, dan konsep (dapat lebih dari satu) dengan menggunakan suatu relasi tertentu, sehingga lebih terlihat sebagai suatu kesepakatan saja.

Ingat sistem aksioma Ruang Metrik, Grup, Topologi, Poset,

Klasifikasi b

Suatu aksioma dikatakan aksioma “material”, bila unsur-unsur serta relasi yang terdapat dalam aksioma itu masih dikaitkan langsung dengan realitas atau dikaitkan dengan materi tertentu atau dianggap ada yang sudah diketahui.

Suatu aksioma dikatakan aksioma “formal” bila unsur-unsurnya dikosongkan dari arti, namun masih dimungkinkan adanya unsur atau relasi yang dinyatakan dengan bahasa biasa antara lain terlihat dengan masih bermaknanya kata “atau”, “dan” dan sebagainya dalam logika..

Suatu aksioma dikatakan aksioma “diformalkan” bila semua unsur

termasuk tanda logika dikosongkan dari makna, sedemikian hingga semua

unsur diperlakukan sebagai simbol belaka.

1. a+b=p

2. a+b+c+d=r

3. c+d=q

4. p+q=s

(a,b,c,d,p,q,r, dan s dalam semesta S

Apakah kumpulan aksioma berikut membentuk sistem ?

(Renungkan pernyataan ini: “Hakim tertinggi dalam matematika yang

dapat menentukan apakah suatu pernyataan benar atau salah adalah

STRUKTURNYA. Sedangkan hakim tertinggi dalam IPA adalah

REALITAS”).

TEOREMA(pernyataan yang diturunkan dari aksioma atau teorema terdahulu dan dapat dibuktikan kebenarannya)

Bentuk lain : Lemma, Corollary, Kriteria

KOMPONEN TEOREMA

1. Latar Belakang

2. Hipotesis

3. Konsekuen

SUATU TEOREMA UMUMNYA BERBENTUK IMPLIKASI yang secara simbolik dapat ditulis a b

Unsur-unsur suatu teorema adalah:

1) Latar belakang

Latar belakang suatu teorema merupakan keterangan atau

penjelasan yang memungkinkan teorema tersebut berlaku.

2) Hipotesis/anteseden

Hipotesis biasanya terdapat di belakang kata “jika”. Hipotesis

merupakan pernyataan yang menjadi landasan untuk dapat

membuat simpulan yang berupa pernyataan lain.

3) Konklusi/konsekuen.

Konklusi biasanya terdapat di belakang kata “maka”. Konklusi adalah

pernyataan yang merupakan analisis atau hasil telaah dari hipotesis.

Perhatikan teorema di bawah ini.

(1) Sudut-sudut alas suatu segitiga samakaki sama besarnya

Pernyataan tersebut dapat diubah menjadi:

(2) Jika sebuah segitiga samakaki maka sudut-sudut alasnya sama.

Dengan bentuk pernyataan “Jika …. maka …..” ini lebih mudah

menentukan unsur-unsur teorema tersebut, yaitu:

1) Latar belakangnya adalah segitiga.

2) Hipotesisnya adalah segitiga samakaki

3) Konklusinya adalah sudut-sudut alasnya sama.

Dari contoh di atas jelas bahwa hipotesis suatu teorema adalah

bagian yang dianggap diketahui, sedangkan konklusi suatu teorema

adalah bagian yang akan dibuktikan kebenarannya.

Lemma

Misalkan fungsi f : I R terbatas, Untuk sebarang partisi P, selalu

berlaku ),(),( fPUfPL

Teorema

Misal I=[a,b] dan fungsi f : I R terbatas pada I. Maka integral bawah

L(f) dan integral atas U(f) selalu ada pada selang I dan L(f) U(f).

Lemma

Misalkan fungsi f : I R terbatas, Jika P1, P2 sebarang partisi pada I

maka berlaku

fPUfPL ,2,1 .

Lemma

Misalkan fungsi f : I R terbatas, dan P dan Q suatu partisi dengan Q

merupakan penghalusan dari P berlaku, maka berlaku

),(),( fPLfQL dan fQUfPU ,,

Kriteria Barisan untuk limit

Teorema Misal AR. f : A R , cR titik cluster dari A. Lfcx

lim

jika hanya jika untuk setiap barisan (xn) di A yang konvergen ke c, xnc

untuk setiap n anggota N, barisan (f(xn)) konvergen ke L.

Teorema

Misalkan I =[a, b] dan bilangan c, memenuhi a< c < b . Misalkan pula

fungsi

f : I R terbatas pada I. Maka f terintegralkan pada I jika hanya jika

fungsi f terintegralkan pada [a ,c] dan [ c, b] dan c

af

b

af

b

cf .

SIFAT-SIFAT INTEGRAL REIMANN

Misalkan I = [a, b], s R dan fungsi-fungsi f, g : I R terintegralkan

pada selang I. Maka fungsi-fungsi sf dan f+g terintegralkan pada I, dan

( 1) b

a

sf = b

a

fs

( 2) b

a

gf )( = b

a

f + b

a

g

Misalkan I = [a, b], dan fungsi f : I R terintegralkan pada selang I.

Jika f(x) 0 untuk setiap x di I, maka b

a

f 0.

Geometri Finit

Geometri finit merupakan suatu geometri yang mempunyai objek

kajian yang berhingga (finit). Perhatikan, misalkan diketahui aksioma-

aksioma berikut.

Diketahui : Geometri 4 titik

Aksioma 1: Terdapat tepat 4 buah titik, dan tidak ada tiga di antaranya

yang segaris.

Aksioma 2: Melalui dua buah titik dapat dibuat tepat sebuah garis.

a. Susunlah Teorema 1 yang menyatakan banyaknya garis lurus, dan

buktikan.

b. Jika kemudian disisipkan Definisi 1: Melalui tiga buah titik dapat dibuat

sebuah segitiga, maka susunlah Teorema 2 yang menyatakan

banyaknya segitiga.

c. Jika kemudian disisipkan Definisi 2: Dua garis dikatakan sejajar jika

tidak mempunyai titik serikat, maka susunlah Teorema 3 yang

menyatakan banyaknya pasangan garis sejajar.

d. Susunlah Teorema 4 yang menyatakan banyaknya diagonal.

geometri 5 titik.

Diketahui aksioma-aksioma berikut.

Aksioma 1: Terdapat tepat 5 buah titik, dan tidak ada tiga di antaranya

yang segaris.

Aksioma 2: Melalui dua buah titik dapat dibuat tepat sebuah garis.

a. Susunlah Teorema 1 yang menyatakan banyaknya garis lurus, dan

buktikan.

b. Jika kemudian disisipkan Definisi 1: Melalui tiga buah titik dapat dibuat

sebuah segitiga, maka susunlah Teorema 2 yang menyatakan

banyaknya segitiga.

c. Jika kemudian disisipkan Definisi 2: Dua garis dikatakan sejajar jika

tidak mempunyai titik serikat, maka susunlah Teorema 3 yang

menyatakan banyaknya pasangan garis sejajar.

d. Susunlah Teorema 4 yang menyatakan banyaknya diagonal.