PEMARKAHAN DAN MARKAT

Kepentingan Pemarkahan

• Pemarkahan adalah sangat penting untuk mengkuantitikan sesuatu kemahiran atau unsur bahasa.

• Biasanya, ujian dijalankan bagi menentukan tahap pencapaian seseorang murid.

• Penganalisaan dan pentafsiran keputusan ujian merupakan peringkat penting dalam segala proses penilaian.

• Guru boleh menggunakan keputusan ujian murid untuk membuat analisis, kemudian mendapat kesimpulan tentang pencapaian murid-murid.

• Penganalisaan dan pentafsiran keputusan ujian bergantung kepada penggunaan sistem perangkaan yang melibatkan beberapa proses.

• Penganalisaan dan pentafsiran keputusan ujian bergantung kepada penggunaan sistem perangkaan yang melibatkan aktiviti memungut, menyusun, mengira, membuat analisis atas data.

Kecenderungan Berpusat

• Kekerapan

• Min

• Mod

• Penengah

• Sisihan lazim

Kekerapan

• Kekerapan ialah bilangan kali terdapat dalam sesuatu skor atau skor-skor terkumpul.

• Contoh:Di bawah adalah skor-skor mentah diperolehi dalam satu ujian.

• Skor: 74 = 5 kali; jadi kekerapan bagi 74 adalah 5 kali.

78, 74, 80, 65, 63, 74, 67, 74, 6565, 63,74, 86, 80, 74, 67, 78, 89

Jadual Taburan Kekerapan

• Taburan ialah susunan skor-skor mentah daripada markah-markah ujian.

• Maka jadual taburan kekerapan boleh ditafsirkan sebagai susunan skor mentah secara menaik ataupun menurun dengan kekerapannya dinyatakan dalam jadual.

• Di dalam jadual taburan kekerapan, skor-skor mentah biasanya disusun tegak di bawah skor (x) dan kekerapannya disusun di bawah kekerapan (f).

Jadual Taburan Kekerapan

Skor (x) Kekerapan (f)

89 1

86 1

80 2

78 2

74 5

67 2

65 3

63 2

Jumlah 18

Membentuk Jadual Taburan Kekerapan Himpunan

• Dikira daripada hasil tambah kekerapan bagi skor berkenaan dan jumlah kekerapan bagi skor sebelumnya dalam sesuatu jadual.

• Jadual Taburan Kekerapan:Skor Kekerapan ( X )

89

86

80

78

74

67

65

63

58

50

1

1

2

2

5

2

3

2

1

1

• Jadual Taburan Kekerapan Himpunan:

Skor(x) Hasil Tambah Kekerapan

Kekerapan himpunan(cf)

50

55

60

65

70

75

80

85

90

0

1+0

1+1

2+2

5+4

5+9

2+14

2+16

2+18

0

1

2

4

9

14

16

18

20

• Berdasarkan jadual tadi, satu lengkung kekerapan himpunan, dinamakan sebagai ogif.

• ( Contoh graf ogif sila rujuk papan tulis )• Daripada graf tadi kita dapat: Bilangan calon yang mendapat markah kurang

daripada 74. Bilangan calon yang gagal dalam ujian jika

markah lulus ialah 60 ke atas. Peratus yang mendapat gred A jika markah gred

A ialah 80 ke atas.

Pengumpulan Skor Mentah Dalam Jeda Kelas( selang kelas )

• Saiz jeda kelas boleh ditentukan dengan menggunakan rumus:

• Saiz jeda kelas= skor tertinggi- skor terendah

Bilangan Kelas

• Sebagai contoh, perhatikan skor tertinggi dan terendah daripada skor-skor mentah yang disusun secara menaik.

40, 46, 51, 53, 55, 56, 57, 58, 61, 61, 63, 63, 64, 66, 68, 71, 73, 76, 79

• Jika kita hendak menggunkan 8 bilangan kelas, maka:

• Saiz jeda kelas=79-40 = 39≥ 5

8 8

Jadual Taburan kekerapan Himpunan dan Peratusan

Skor (x)

Jeda Kelas

Skor (x)

Semapadan kelas

Kekerapan Himpunan(f)

Kekerapan himpunan kurang daripada sempadan atas

Kekerapan himpunan peraturan

40-44

45-49

50-54

55-59

60-64

65-69

70-74

75-79

39.5-44.5

44.5-49.5

49.5-54.5

54.5-59.5

59.5-64.5

64.5-69.5

69.5-74.5

74.5-79.5

1

1

2

5

5

2

2

2

1

2

4

9

14

16

18

20

5

10

20

45

70

80

90

100

Jumlah 20

Histogram

• Sejenis graf yang digunakan untuk menggambarkan sesuatu taburan kekerapan dengan skor-skor terkumpul.

• Dilukis dengan jalur-jalur berbentuk segiempat tepat dan disusun rapat-rapat secara menegak mulai daripada sempadan kelas terendah hingga kelas tertinggi

• Jadual Taburan Kekarapan dengan skor-skor terkumpul:

• Contoh graf boleh dilihat di papan tulis.

Skor Sempadan atas

50.5-

53.5

53.5-

56.5

56.5-

59.5

59.5-

62.5

62.5-

65.5

65.5-68.5

Kekerapan 3 4 6 10 7 2

Kepentingan Histogram

• Skor ada bilangan calon yang paling ramai.• Dapat mengetahui bilangan calon dalam

sempadan kelas yang mana paling banyak.• Kita dapat mengetahui berapa ramai pelajar

yang mencapai skor yang ditentukan.• Dapat mengetahui pencapaian calon secara

keseluruhan.

Poligon Kekerapan

• Sejenis graf garis yang dibentuk dengan menyambungkan semua titik tengah dalam sesuatu histogram.

• Contoh graf poligon kekerapan boleh dilihat pada papan tulis.

Lengkung kekerapan.

• Graf yang berbentuk lengkung licin.

• Bnetuk lengkung kekrapan ini adalah amat berguna bagi kita membuat tafsiran atas pencapaian calon dalam sesuatu ujian.

• Terdapat tiga jenis lengkung:Lengkung Pencong positifLengkung Taburan NormalLengkung Pencong negatif.

• Kekerapan himpunan bagi skor-skor terkumpul adalah dikirakn berdasarkan sempadan kelas atas.

• Untuk mengira kekerapan himpunan peratusan, gunakan:

=kekerapan himpunan x 100

jumlah kekerapan

Mod

• Mod, di dalam perangkaan asas ialah, ialah skor yang mempunyai kekerapan tertinggi dalam sesuatu taburan skor.

• Simbol yang lazim digunakan ialah, Mo.• Nilai mod boleh didapati dengan menyusun

taburan skor secara menaik atau secara menurun.

• Skor yang mempunyai kekerapan tertinggi adalah modnya.

Contohnya:

• Skor ujian: 52,54,54,54,57,62,63,63,65• Mod, Mo = 54 (skor yang mempunyai kekerapan

paling tinggi dalam taburannya)• Kadangkala, di dalam sesuatu taburan skor,

terdapat dua atau lebih daripada dua nilai mod.• Sesuatu taburan skor yang mempunyai dua nilai

mod dikenali sebagai dwimod.

Contohnya:

• Skor ujian: 48,53,62,62,62,65,70,70,70,75• Dwimod, Mo = 62 dan 70 (keranan kedua-

dua nilai mempunyai kekerapan 3 yang sama serta sama tinggi)

• Bukan setiap taburan skor mempunyai mod.

• Nilai mod tidak akan wujud apabila taburan skor itu mempunyai kekerapan yang sama.

Contohnya:

• Skor ujian: 82,82,77,77,73,73,64,64,58,58

• Mod, Mo = Tidak mempunyai mod

• Ini kerana taburan skor ini mempunyai kekerapan yang sama.

• Di dalam sesuatu jadual kekerapan dengan skor-skor tidak terkumpul, mod ialah nilai skor yang mempunyai kekerapan yang tertinggi.

• Dalam sesuatu jadual kekerapan dengan skor-skor tidak terkumpul, mod ialah skor yang mempunyai kekerapan yang tertinggi.

• Contohnya seperti jadual kekerapan berikut:

Mod=55, skor yang mempunyai kekerapan paling tinggi.

Skor (x) Kekerapan (f)

22 4

38 8

47 15

55 16

60 5

72 2

N = 50

Mengira mod bagi skor-skor terkumpul.

• Mod, Mo = L + ( ) C• L = Sempadan kelas bawah dalam kelas mod

• = Kekerapan kelas mod – kekerapan kelas sebelumnya

• = Kekerapan kelas mod – kekerapan kelas selepasnya

• C = Saiz sempadan kelas• Kelas mod ialah sempadan kelas yang

mempunyai kekrapan tertinggi.

1

1

1

2

2

Contohnya:

Skor (x) sempadan kelas

Kekerapan (f)

39.5 – 49.5 3

49.5 – 59.5 6

59.5 – 69.5 7

69.5 – 79.5 10

79.5 – 89.5 12

89.5 – 99.5 4

N = 42

Daripada jadual, kita dapati:

• L = 79.5

• Kekerapan kelas mod = 12

• Kekerapan sebelum kelas mod = 10

• Kekerapan selepas kelas mod = 4

• Saiz sempadan kelas, C = 89.5 – 99.5 =10

Melalui rumus:

• Mod, Mo = 79.5 + (12 – 10) x 10

(12-10) + (12-4)

• 79.5 + 2

• 81.5

MEDIAN

• Merujuk kepada nilai tengah dalam satu taburan markah.

• Median ialah markah yang membahagikan satu taburan markah kepada dua bahagian yang mempunyai bilangan markah yang sama.

• Contohnya bagi markah 2,4,7,8,9, median ialah 7.• Jelas bahawa 50 peratus daripada markah itu

(8,9) lebih besar daripada 7, dan 50 peratus daripada markah itu (2,4) pula lebih kecil daripada 7.

• Jadi, median adalah markah yang berada pada pangkatan persentil ke-50.

Bagi data diskrit, langkah berikut diambil untuk menentukan median:

1. Susun markah secara menaik atau menurun.2. Untuk bilangan markah yang ganjil, terdapat

satu markah di tengah. Markah itu ialah median.

Contohnya: 2,3,5,6,7 Median=53. Untuk bilangan markah yang genap, terdapat

dua markah di tengah. Nilai purata dua markah itu ialah median.

Contoh: 2,3,4,5,6,7 Median=( 4+5 ) = 4.5 2

Dengan data terkumpul, median ditentukan dengan mengambil langkah

berikut:1. Membina satu jadual kekerapan

himpunan.

2. Melukis ogif.

3. Menentukan markah yang berada pada pangkatan persentil ke-50. markah itu ialah median.

Jadual

Skor Kekerapan Kekerapan himpunan

Peratus kekerapan himpunan

0-9 6 6 12

10-19 12 18 36

20-29 20 38 76

30-39 7 45 90

40-49 5 50 100

• Skor dalam jadual tersebut dipindahkan kepada graf dengan menggunakan titik tengah untuk mewakili setiap selang kelas.

• Jadi, selang kelas 0-9 diwakili oleh 4.5, 10-19 oleh 14.5 dan seterusnya.

• Ogif.

• Median taburan 50 markah itu ialah 23.

Formula 1

Median= L + N – n1 × i

2

f

L = had bawah sebenar kelas median

N = jumlah kekerapan atau bilangan murid

n1= jumlah kekerapan di bawah L

f = kekerapan kelas median

i = sela kelas

Dengan taburan markah dalam jadual, langkah pengiraan ialah:a. Kelas median ialah kelas yang mengandungi

markah ke-25. Jadi, kelas median ialah 20-29.b. L = 19.5c. N =50d. n1 = 18e. f = 20f. i = 10g. Median = 19.5 + 25-18 × 10 = 19.5 + 3.5 = 23 20

Formula 2

• Median = N - nu

U- 2 × i

f

N= jumlah kekerapan atau bilangan murid

i = sela kelas

f = kekerapan kelas median

U = had atas sebenar kelas median

nu = jumlah kekerapan di atas U

Langkah pengiraannya:

a. Kelas median ialah 20-29

b. U = 29.5

c. N = 50, i = 10, f = 20

d. nu = 12

e. Median=29.5 - 25-12 ×10 =29.5– 6.5=23

20

MIN

• Dianggap sebagai purata.• Min bagi satu taburan markah diperoleh dengan

membahagikan jumlah kesemua markah dalam taburan itu dengan bilangan markah yang ada.

• Contoh, bagi kumpulan markah 3,5,8,9,10, min ialah (3+5+8+9+10)÷5=7.

• Min 7, sungguhpun bukannya salah satu nombor dalam kumpulan markah itu, merupakan wakil untuk lima markah itu.

• Min tidak semestinya salah satu markah dalam taburan.

• Min bagi satu taburan markah boleh dihitung dengan menggunakan formula berikut:

Min = Jumlah markah Jumlah bilangan markah

@

Min = X1 + X2 + X3 + X4 + X5

n

• Bagi bilangan markah yang besar, formula bagi pengiraan min haruslah ditulis semula sebagai:

Min= f1x1 + f2x2 + f3x3 + … + fnxn

n n

@ Min= ∑ f1x1 x = markah

i=1 f = kekerapan markah

n

Pengiraan min dengan menggunakan titik tengah

Skor Kekerapan (f) Titik tengah (x) fx

40-44 2 42 84

45-49 5 47 235

50-54 6 52 312

55-59 8 57 456

60-64 12 62 744

65-69 7 67 469

70-74 5 72 360

75-79 3 77 231

80-84 1 82 82

85-89 1 87 87

50 3060

• Min = 3060 = 61.2

50

Pengiraan min dengan nilai min anggapan

Skor ( f ) Titik tengah (x)

Sisihan (d) (x-62)

fd

40-44 2 42 -20 -40

45-49 5 47 -15 -75

50-54 6 52 -10 -60

55-59 8 57 -5 -40

60-64 12 62 0 0

65-69 7 67 5 35

70-74 5 72 10 50

75-79 3 77 15 45

80-84 1 82 20 20

85-89 1 87 25 25

50 -40

• Min = A + ∑fd

N

= 62 + -40

50

= 62-0.8 = 61.2

Pengiraan min dengan min anggapan secara mudah

Skor f x d U = d/5 fu

40-44 2 42 -20 -4 -8

45-49 5 47 -15 -3 -15

50-54 6 52 -10 -2 -12

55-59 8 57 -5 -1 -8

60-64 12 62 0 0 0

65-69 7 67 5 1 7

70-74 5 72 10 2 10

75-79 3 77 15 3 9

80-84 1 82 20 4 4

85-89 1 87 25 5 5

50 -8

• i = sela kelas

• A= anggapan

Min = A + ∑fu × i

N

= 62 + -8 × 5

50

= 62 + (-0.8) = 61.2

Sisihan Piawai

• Konsep:merupakan ukuran kebolehan yang biasa digunakan untk memberi gambaran yang lebih lengkap tentang pencapaian calon-calon dalam sesuatu ujian.

• Kepentingan: Guru dapat membuat analisis terhadap taburan-taburan markah yang mempunyai min yang sama, tetapi sebarannya berbeza.

• Ukuran sisihan piawai berkait rapat dengan taburan markah yang berbentuk lengkung taburan normal.

• σ:Simbol sisihan piawai.• Bagi skor-skor yang tidak terkumpul, kita mengira nilai

sisihan piawai menggunkan rumus:• (Sila rujuk papan tulis)

Sambungan

• Bagi skor yang melibatkan beberapa kekerapan, kita biasanya gunakan rumus berikut untuk mencari sisihan piawai:

• Rumus: ( Sila Rujuk papan tulis )• Rumus ini juga boleh digunakan untuk mengira sisihan

piawaian dalam taburan skor terkumpul, kecuali nilai x hendaklah dikirakan sebagai nilai tengah.

• Bagaimanapun, rumus mencari sisihan piawaian berikut hendaklah lebih sesuai digunkan kerana angka besar dalam kiraannya dapat dikurangkan.

• Rumus: ( sila Rujuk papan tulis )

Kegunaan Min, Median, Mod dan Sisihan Piawai.

• Min yang paling kerap digunakan.

• Nilai Min dikira dengan mengambil setiap markah murid dalam ujiannya, iaitu min mengambil kira semua skor dalam satu-satu taburan.

• Ukuran Min memberi gambaran secara keseluruhan, manakala ukuran median dan mod tidak mengambil kira setiap skor dalam sesuatu taburan markah.

• Bagaimanapun sekiranya markah antara murid jauh berbeza maka ukuran median lebih sesai digunakan.

Kumpulan skor Min Median

A 0,45,50,60,

7045 50

B 40, 48, 50, 62,100

60 50

• Nilai min yang didapati dalam kedua-dua kumpulan A dan B adalah jaug berbeza, maka ukuran min kurang sesuai digunakan.

• Penggunaan median lebih sesuai kerana nilainya adalah sama atau hampir sama.

Bibliografi

• Abdul Aziz Abdul Talib.(1993). Menguji Kemahiran Bahasa: Prinsip, Teknik dan Contoh. Kuala Lumpur:

Dewan Bahasa dan Pustaka.• Mokhtar Ismail.(1995).Penilaian di Bilik Darjah. Kuala

Lumpur: Dewan Bahasa dan Pustaka,KPM.• Mok Soon Sang.(1994). Penilaian, Pemulihan dan

Pengayaan dalam Pendidikan. Selangor Darul Ehsan: Kumpulan Budiman Sdn. Bhd.

• Tan Hui Ling, Ee Ah Meng.(1996). Penilaian Dalam Proses Pendidikan: Asas Pendidikan 3. Selangor Darul Ehsan: Penerbit Fajar Bakti Sdn. Bhd.