2712 jos ee dsp108 04 modeling dsp

Dasar Sistem Pengaturan - 04 1

TE091346 Dasar Sistem Pengaturan

Model Matematik

Ir. Jos Pramudijanto, M.Eng.Jurusan Teknik Elektro FTI ITS

Telp. 5947302 Fax.5931237Email: [email protected]


Objektif:Penyajian Model MatematikModel Sistem MekanikModel Sistem ElektrikModel Sistem Mekatronika

(Elektromekanik)


Model Matematik Sistem Fisik

Model matematik adalah deskripsi matematik dari sistem yang dinyatakan dalam bentuk hubungan matematik dari Input dan Output sistem.


Penyajian Model Matematik Dalam bentuk Persamaan Matematik

! Pers.Differensial, untuk sistem kontinyu ! Pers.Beda, untuk sistem diskrit

Dalam bentuk Fungsi Alih (Transfer Function)! TF dalam fungsi s, untuk sistem kontinyu! TF dalam fungsi z, untuk sistem diskrit

Dalam bentuk Persamaan State! State kontinyu! State diskrit

Dalam bentuk Polinomial! Polinomial dalam s, untuk sistem kontinyu! Polinomial dalam q, untuk sistem diskrit

Dalam bentuk Diagram! Diagram Blok! Signal Flow Graph


Hubungan Penyelesaian Model Matematik

Persamaan Deferensialx(t)

Penyelesaianx(t)

Persamaan AljabarOperator s

Penyelesaian AljabarX(s)perhitungan aljabar

trans

form

asi l

apla

ce

inve

rs tr

ansf

orm

asi l

apla

ce

penyelesaian langsung(analitik)


Model Matematik dalam bentuk PDHubungan Input-Output sistem dapat dituliskan sebagai:

f( , ) = weighting function

Atau dalam bentuk PD dapat pula ditulis sebagai berikut (*):

xcdtdxc

dtxdc

dtxdcyd

dtdyd

dtydd

dtydd m

m

mm

m

mn

n

nn

n

n 011

1

1011

1

1 ...... ++++=++++ −

−

−−

−

−

f( , )x(t) y(t)

∫ −•=t

dtxtfty0

)()()( ττ

)()()( txtfty •=


Model Matematik dalam bentuk TFTransfer Function: hubungan Input-Output sistem yang berasal dari TLbentuk PD dengan asumsi semua kondisi awal=0.

TL dari persamaan di atas (*) dengan semua kondisi awal=0, menjadi:

Transfer Function:

[ ] [ ] )(...)(... 011

1011

1 sXcscscscsYdsdsdsd mm

mm

nn

nn ++++=++++ −

−−

−

011

1

011

1

......

)()()(

dsdsdsdcscscsc

sXsYsG n

nn

n

mm

mm

++++++++

== −−

−−


Model Matematik Sistem Mekanik

Pada sistem mekanik untuk mencari persamaan dinamik sistem banyak menggunakan Hukum Newton.

Gerakan Translasi: ΣF = m a

Gerakan Rotasi: Στ = J α

di mana :F = gaya yang bekerja pada massa mm = massa bendaa = percepatan bendaτ = torsi yang bekerja pada bendaJ = momen inersia bendaα = percepatan sudut


Sistem Mekanik MassaTranslasi: Rotasi:

Persamaan dinamik:

f(t) = m a(t) τ(t) = J α(t)

m

x, v, a

f(t) J

τ(t)

θ, ω, α

dttdvmtf )()( =

2

2 )()(dt

txdmtf =

dttdJt )()( ωτ =

2

2 )()(dt

tdJt θτ =


Sistem Mekanik Pegas

Translasi: Rotasi:

Persamaan dinamik:

f = K x τ = K θ

xf

K

τθ

K


Sistem Mekanik- RodagigiRodagigi n1 diputar oleh torsi Τ1, menghasilkan torsi Τ2 pada rodagigi n2:

di mana:r = jari-jari rodaω = kecepatan sudut rodaα = percepatan sudut rodaΤ = torsi n = jumlah gigi


Sistem Mekanik PengungkitSuatu gaya F1 diberikan pada batang yang mempunyai panjang l, akan diteruskan oleh batang m sebesar F2 :

Persamaan dinamik:

12 FmlF =

F1

F2

x1

x2l m

12 xlmx =

12 vlmv =

12 alma =


Sistem Mekanik- Daspot/DamperTranslasi: Rotasi:

Persamaan dinamik:

B

F

fluida/gas

Fx,y

τθ

B

dttdxBtF )()( =

dttdBt )()( θτ =

dttdyBtF )()( =

Dasar Sistem Pengaturan - 04

Translasi pada Accelerometer

( ) ••

•••••

•••••

==++

=++

+=

−

XUYksbs

xymky

mby

ybkyyxm

''2

LaplaceBentuk

IINewton Hukum

14


Sistem Suspensi Kendaraan


Model Sistem Suspensi


Contoh: Sistem MekanikSistem mekanik seperti gambar berikut:

di mana:f(t) = gaya yang bekerja pada massa mK = konstanta pegasB = konstanta daspot (peredam viscos)y(t) = simpangan pegas

• Carilah model dinamik sistem mekanik tersebut dengan y(t) sebagai output dan f(t) sebagai input.

• Carilah transfer function sistem mekanik tersebut dengan y(t) sebagai output dan f(t) sebagai input.

m

f(t)

y(t)B

K


Model Matematik Sistem Elektrik

Pada sistem elektrik untuk mencari persamaan dinamik sistem banyak menggunakan Hukum-hukum pada rangkaian listrik.

persamaan tegangan Kirchoff, dan arus Mesh

0; == ∑∑∑i

ioutin VII


)()( tRitv RR = ∫= dttiC

tv CC )(1)(

RiR

vR

CiC

vC

L

vL

iL

)()( sRIsV RR = )(1)( sICs

sV CC =

dttdiLtv L

L)()( =

)()( sLsIsV LL =

Komponen Pasif: R-L-CResistor: Kapasitor: Induktor:

Model Dinamik

TL:


Contoh: Sistem Elektrik R-L-C

vi vo

R

C

L

Suatu Filter yang terdiri dari komponen RLC. Tegangan input vi(t) dan tegangan output vo(t).

Carilah model dinamik sistem elektrik tersebut Carilah transfer function sistem elektrik tersebut


)()( 11

22 tv

nntv =

)()( 11

22 sV

nnsV =

n1n2

i1 i2

v1 v2

Komponen Pasif: Transformator Ideal

Model Dinamik

Transformasi Laplace


Transformator tidak ideal

Ada pengaruh induktansi gandeng (M)

Titik menandakan awal lilitan v1 = tegangan input v2 = tegangan output i1 = arus kumparan primer i2 = arus kumparan sekunder n1 = jumlah lilitan kumparan 1 n2 = jumlah lilitan kumparan 2

M

n1n2

i1 i2

v1 v2


0)()()( 2111 =−−

dttdiM

dttdiLtv

Trafo tidak ideal (sisi primer)

Persamaan Dinamik


i1

v1

dtdiM 2

1Lv1L

)()(1)(

0)()()(

1112

2111

ssILsVMs

sI

sMsIssILsV

−=

=−−


Trafo tidak ideal (sisi sekunder)

Persamaan Dinamik


)()()(0)()()(

1222

1222

sMsIssILsVsMsIssILsV

−−==++

0)()()( 1222 =++

dttdiM

dttdiLtv

i2

v2

dtdiM 1

2Lv2L


Contoh: Sistem Elektrik - Trafo

Rangkaian input transformator (trafo) dihubungkan seri oleh kapasitor C, dan rangkaian output diberi beban R1dan R2 secara seri-paralel.

Carilah transfer function sistem elektrik tersebutM

n1 n2

i1 i2

v1 v2C

R2

R1


Komponen Aktif: Operational Amplifier

Sifatsifat Operasional Amplifier:1. Gain sangat besar K= 105 sampai dengan 106

kali.2. Mempunyai dua masukan yaitu masukan positif

(v1) dan masukan negatif (v2).3. Mempunyai impedansi masukan yang sangat

besar sehingga arus input pada masukan positif atau masukan negatif kecil sekali ≈ 0

4. Mempunyai keluaran vo = K (v1 v2)


Non Inverting Amplifier


Inverting Amplifier


Pendekatan Impedansi (Inverting Amplifier)


Tabel Variasi Impedansi 1


Tabel Variasi Impedansi 2


Contoh: Operational AmplifierRangkaian Operational Amplifier dikonfigurasi dengan rangkaian pasif R-C untuk menjadi filter

Carilah transfer function rangkaian Operational Amplifier tersebut.


Model Sistem Mekatronik

Untuk mencari persamaan dinamik sistem berikut, digunakan persamaan-persamaan sistem elektrik pada motor dan selenoid (plunger).

motor DC, AC, selenoid


Motor DC penguat medan tetap


Rangkaian Kumparan Jangkar Motor DC


Torsi pada Motor DC (1)


Torsi pada Motor DC (2)


Tegangan GGL Motor DC


Blok Diagram Motor DC

Gambar yang pertama Ω(s) output dan gambar kedua θ(s) output.

KTM

1-----------Js + B

Ia(s) (s)Ea(s) +

-

Kg

1-----------Las + Ra

T(s)

Eggl

KTM

1-----------Js2 + Bs

Ia(s) (s)Ea(s) +

-

s

1-----------Las + Ra

T(s)

Eggl

Kg(s)

atau


Penyederhanaan Blok Diagram Motor DC

Ea(s) input dan Ω(s) output:

Ea(s) input dan θ(s) output:


Motor AC-ServoMotor AC-Servo pada prinsipnya dapat berupa sebuah motor induksi dengan 2-kutub/dua-fasa

Fasa ref.

ec

Fasa kontrol (a)

JTθ

f

ec(t)


Arsitektur Motor AC-Servo

Salah satu dari kumparan medan sebagai lilitan referensi (fase reference) dan kumparan medan yang lainnya sebagai lilitan kontrol (fase control) dengan tegangan AC yang berbeda 90°listrik terhadap tegangan referensi.Hal ini didasarkan bahwa torsi yang dihasilkan pada poros, paling efisien jika sumbu-sumbu kumparan fasa saling tegak lurus dan tegangan kedua fasa tersebut mempunyai beda fasa 90°.


Persamaan Torsi Motor AC-servoTorsi T yang dibangkitkan merupakan fungsi dari kecepatan sudut poros motor dan tegangan kontrol EC , adalah:

T = - Kn + KC ECdi mana: Kn dan KC adalah konstanta positif. Kesetimbangan torsi untuk motor servo dua-fasa adalah:

T = J + fdi mana:J = momen inersia motor dan beban pada poros motorf = koefisien gesekan viskos motor dan beban poros motorGabungan kedua persamaan di atas diperoleh:

J + ( f + Kn ) = KCEC

.θ

.θ

.θ

..θ

..θ


Fungsi Alih Motor AC-servo

Tegangan kontrol EC adalah input dan perpindahan poros motor adalah output, maka fungsi alih (transfer-function) sistem ini diberikan:

di mana :Km = KC /( f + Kn) = konstanta penguatan motorTm = J /( f + Kn) = konstanta waktu motor

)1()()(

2 +=

++=

sTsK

)s K ( f JsK

sEs

m

m

n

c

c

θ


Diagram Kotak Motor AC-servoFungsi alih didasarkan pada anggapan bahwa motor servo linier. Namun dalam praktek, motor servo tidak benar-benar linier. Karena kurva torsi-kecepatan tidak benar-benar sejajar dan berjarak sama, maka harga Kn tidak konstan. Sehingga harga Km dan Tm juga tidak konstan, harga-harga tersebut berubah terhadap tegangan kontrol.Diagram blok dari motor Servo dua-fasa di atas sebagai berikut :

Km------------s(Tms +1)

θ(s)Ec(s)


Model Matematik Selenoid (Plungger)Suatu kumparan yang dililitkan pada media isolator yang mempunyai inti besi yang bebas bergerak. Tegangan vp(t) sebagai input dan x(t) sebagai output. Kp= konstanta plungger ip = arus yang mengalir pada plungger.

)()()()(

)( tiKtxdantiRdt

tdiLtv pppp

ppp =+=


Contoh: Sistem ElektromekanikConsider the temperature control system shown in figure. It is assume that the heat q pumped into the chamber is proportional to the valve opening x and the temperatur y inside the chamber related to q by the differential equation dy/dt = -cy + kcq. Compute transfer function of each blok.

qkcydtdy

c+−=

2712 jos ee dsp108 04 modeling dsp

Documents