221829084 bag-1-metode-energi

Bab I METODE ENERGI

Tujuan pembahasan Metode Energi

Energi Hukum konservasi energi Kerja (work) Kerja-luar (external work) Kerja-dalam (internal work) Energi-regangan (strain energy) Kerja riel (real work) Kerja maya (virtual work)

untuk memformulasikan hubungan antara gaya dan perpindahan, kemudian menghitung komponen perpindahan (translasi dan rotasi)

Beberapa kata-kunci

Energi didefinisikan sebagai kapasitas untuk melakukan kerja.

Kerja adalah usaha yang dilakukan oleh gaya pada perpindahan. Kerja didefinisikan sebagai perkalian antara gaya dengan komponen perpindahan yang koresponden di arah gaya tersebut (misalnya gaya P dengan translasi, momen M dengan rotasi, tegangan dengan regangan).

Kerja-luar (external work) adalah kerja yang dilakukan oleh gaya-luar.

Kerja-dalam (internal work) adalah kerja yang dilakukan oleh gaya-gaya dalam. Internal work menimbulkan energi yang tertimbun dalam struktur sebagai energi regangan (strain energy).

Hukum konservasi energi menyatakan bahwa external work sama dengan internal work.

Ilustrasi konsep kerja-luar (external work) pada kasus batang dengan beban aksial

Penjelasan : Batang dengan panjang L dibebani gaya luar (tarik) P. Sifat

pembebanan statis (static load). Ketika dibebani, batang bertambah panjang hingga pada akhirnya diperoleh pertambahan panjang maksimum u pada saat nilai beban P.

Kerja W yang dilakukan oleh beban P pada arah perpindahan u, dapat dihitung menggunakan diagram lendutan-beban.

∫∫

=

=

dPuW

duPW

c .

.

Penjelasan :

Untuk material elastis →

Bila k sebagai kekakuan dari sebuah batang yang dibebani secara aksial didefinisikan sebagai gaya yang dibutuhkan untuk menghasilkan satu satuan perpanjangan, yaitu k = (A.E)/L , maka P = k . u

Diperoleh external work pada batang dengan beban aksial P :

∫== duPWW c .

uPukduukduukW .21.

21... 2∫∫ ====

Energi Regangan (strain energy)

Sebuah elemen kecil dengan tegangan tarik

Diagram tegangan - regangan

Penjelasan : Sebuah elemen kecil (Gb.a) dengan tegangan normal σx.

Gaya pada permukaan (kanan atau kiri) dari elemen adalah σx.dy.dz, dimana dy.dz adalah luasan kecil tak berhingga dari permukaan elemen.

Oleh gaya tsb, elemen bertambah panjang sebesar εx.dx, dimana εx adalah regangan dalam arah x. Bila elemen terbuat dari bahan yang elastis linier, maka tegangan sebanding dengan regangan (Gb.b).

Bila elemen semula bebas dari pengaruh tegangan, maka gaya yang bekerja pada elemen tersebut meningkat secara linier dari nol hingga mencapai nilai penuh.

Penjelasan : Gaya rata-rata yang bekerja pada elemen ketika terjadi

deformasi adalah ½ σx . dy . dz.

Gaya rata-rata dikalikan dengan jarak yang ditempuh selama bekerja merupakan kerja yang dilakukan pada elemen.

Pada struktur dengan beban luar, maka kerja yang dilakukan oleh gaya luar dibarengi dengan kerja yang dilakukan oleh gaya-gaya dalam.

Kerja-dalam akan menimbulkan energi yang tertimbun dalam struktur yang dinamakan energi regangan (strain energy).

Energi regangan U untuk elemen kecil yang mengalami tegangan pada sumbu tunggal adalah :

dVdzdydxdxdzdydU xxxxxx ..21....

21...

21 εσεσεσ ==×=

dV = volume elemen kecil gaya jarak

kerja

Energi regangan per satuan volume bahan disebut kerapatan energi regangan (strain energy density) Uo

xxU εσ .21

0 =

Atau dapat ditafsirkan sebagai luas di bawah garis miring pada diagram tegangan-regangan (Gb.b). Luas yang dibatasi oleh garis miring dan sumbu vertikal dari diagram tersebut disebut energi komplementer Uc Pada material elastis linier, maka :

∫==vol xxc dVUU ..

21 εσ

Energi Regangan pada Kasus Lenturan

∫∫

== dAdx

IyM

EdV

EU x ..1

21

21 22σ

dengan dx adalah panjang elemen , dA adalah luas penampang, dan inersia I = ∫ y2 dA, maka

∫∫∫ ==L

luaspanjang

dxEIMdAydx

EIMU

0

22

2

2

21.

21

Contoh Defleksi pada balok kantilever

P

v L,E,I

Gaya P mengakibatkan terjadinya defleksi v External work akibat gaya P :

vPWe .21=

Momen lentur pada jarak x dari P adalah :

xPM .−=

Energi elastis akibat internal work

∫∫ ====LL

i EILPdxx

EIPdx

EIMUW

0

322

2

0

2

21

62

ie WW =Konservasi Energi

EILPvP

6.

21 32

=

EIPLv3

3

=diperoleh

Metode Kerja Maya (Virtual Work)

Jika struktur dalam keadaan seimbang akibat beban luar, maka menghasilkan deformasi dan gaya dalam.

Bila diaplikasikan tambahan perpindahan maya (virtual displacement) atau gaya luar maya (virtual force), maka akan terjadi penambahan perpindahan dan gaya dalam.

Kerja dari real force pada virtual displacement atau virtual force pada real displacement disebut virtual work (kerja maya).

Virtual work dari gaya luar dan gaya dalam adalah sama.

Aplikasi untuk batang dengan beban aksial

uδ udxdu δδ +

U2 U1

x dx

L

Akibat beban aksial U, maka displacement pada suatu penampang x adalah u

dx

Metode kerja maya (lanjutan)

( )120 0)()( uuUuUdxu

dxdUdxu

dxdUW

L L

i δδδδδδ −==== ∫ ∫

)( 121122 uuUuUuUWe δδδδδ −=−=

Internal virtual work pada batang tersebut adalah :

External virtual work :

Diperoleh bahwa external dan internal virtual work adalah sama → merupakan prinsip virtual work

dxAvolddxud

AU

=

=

=

)(

)(δδε

σ

∫=vol

i voldW )(δεσδ

Internal virtual work yang dinyatakan dalam bentuk tegangan dan regangan:

maka:


es WU δδ =dari persamaan terakhir dapat digeneralisir bahwa internal virtual work adalah sama dengan energi elastik pada suatu struktur.


Pada struktur dengan n beban nyata Pi menyebabkan terjadinya tegangan σ. Bila pada struktur tersebut diberikan virtual displacement yang menyebabkan displacement δvi searah dengan arah beban maka persamaan menjadi:

∫ ∑=

=vol

n

iii vPvold

1)()( δδεσ

∫ ∑=

=vol

n

iii Pvvold

1)()( δδσε

Dengan cara yang sama, bila struktur dalam kondisi seimbang oleh beban maya δPi yang menyebabkan tegangan δσ , dikenai beban Pi menyebabkan displacement vi di lokasi dan arah gaya maya, akan memberikan persamaan :


DEFLEKSI RANGKA BATANG (TRUSS) dengan prinsip VIRTUAL WORK

P1 P2 P3

1 satuan (beban maya)

C

X

Plane Truss (rangka batang bidang) dengan gaya riel P1, P2, P3 → akan dihitung defleksi vertikal pada titik X

Beban maya 1 satuan dikerjakan pada titik X (pada arah defleksi yang akan dihitung)

(beban riel)

DEFLEKSI RANGKA BATANG (lanjutan)

∑ ∆i

ii lf

External virtual work yang dikerjakan oleh beban satuan adalah = v×1

Internal virtual work yang dikerjakan oleh gaya-dalam batang maya fi adalah =

Persamaan virtual work menjadi : ∑ ∆=i

ii lfv

∆li adalah perubahan panjang setiap batang akibat gaya-batang Fi (akibat gaya luar Pi), diperoleh dari persamaan berikut :

i

iii AE

lFl =∆


Substitusi ke persamaan virtual work menjadi :

∑=i i

iii

AlfF

Ev 1

v = defleksi vertikal pada titik yang ditinjau Fi = gaya-dalam masing-masing batang akibat beban riel (beban luar) fi = gaya-dalam masing-masing batang akibat beban maya 1 satuan pada titik yang ditinjau li = panjang masing-masing batang Ai = luas penampang masing-masing batang E = modulus elastisitas batang

1) Hitung gaya batang akibat beban luar (beban riel) → Fi

2) Beban luar diambil, kemudian pada titik yang ditinjau diberikan beban maya sebesar 1 satuan gaya pada arah defleksi yang akan dihitung. Selanjutnya hitunglah gaya batang akibat beban satuan tersebut → fi

3) Gunakan rumus virtual work


Jadi, tahapan menghitung defleksi pada struktur rangka batang (truss) adalah sebagai berikut (metode ini juga disebut dengan metode beban satuan)

∑=i i

iii

AlfF

Ev 1

Tabel Hitungan Defleksi Truss metode Beban Satuan

No Batang i

Fi fiX Li Ai Fi . fiX . Li / Ai

1 2 . n

Jumlah ∑

i i

iii

AlfF

∑=i i

iiiX A

lfFE

v 1Perpindahan pada titik X pada arah yang ditetapkan

∫ ∫ ∫==vol

L

Ai dAydxEImMvold

Imy

EIMy

0

22)(υ

∫=L

i dxEI

mM

0

υ

DEFLEKSI BALOK (BEAM) dengan prinsip VIRTUAL WORK Analogi pada plane truss, hitungan defleksi pada balok juga dilakukan dengan metode beban satuan. Hanya saja, external maupun internal force yang dihitung adalah momen lentur.

Contoh 1: Menghitung rotasi di A (θA) pada simple beam akibat beban terbagi rata q

L

A B

∫=L

A dxIEmM

0 ..θ

Prinsip Beban Satuan

Dengan : M adalah momen lentur dalam fungsi (x) akibat beban riel q. m adalah momen lentur dalam fungsi (x) akibat beban satuan (beban maya) berupa momen sebesar 1 satuan di titik A (karena rotasi selaras dengan momen).

q

Menghitung rotasi di A (lanjutan)

).(...)( 2212

21

21 xxLqxqxLqxM −=−=M(x)

Persamaan M(x) akibat beban q x

Persamaan m(x) akibat beban maya berupa momen 1 satuan di A

1

0

x

m(x)

Lx

LxLxm −=

−= 1)(

Substitusi ke persamaan θA diperoleh :

Menghitung rotasi di A (lanjutan)

EIqL

LxxLx

EIq

dxLxxLx

EIq

dxLxxLxq

EI

dxIEmM

L

L

L

L

A

30

4

213

322

21

0

32

0

221

0

241

2

)2(2

)1)((1

.

.

=

+−=

+−=

−−=

=

∫

∫

∫θ

Contoh 2: Menghitung defleksi di tengah bentang pada simple beam akibat beban terbagi rata q

L

A B

∆C ∫=∆L

C dxIEmM

0 ..

Prinsip Beban Satuan

dengan : M adalah momen lentur dalam fungsi (x) akibat beban riel q. m adalah momen lentur dalam fungsi (x) akibat beban satuan (beban maya) berupa beban terpusat P sebesar 1 satuan di titik C (karena defleksi selarans dengan beban terpusat P).

q

defleksi di tengah bentang …. (lanjutan)

).(...)( 2212

21

21 xxLqxqxLqxM −=−=M(x)

Persamaan M(x) akibat beban q x

x P=1

L41 Persamaan m(x) akibat beban

maya P=1 di C →dibagi 2 bagian :

xxmLx 21

21 )(0 =⇒<<

)()( 21

21 xLxmLxL −=⇒<<

defleksi di tengah bentang …. (lanjutan)

EIqLatau

EIqL

dxxLxLxqEI

dxxxLxqEI

dxIEmM

L

L

L

L

C

44

212

21

212

021

0

3845013021,0

)()(1))((1

.

.

21

21

==

−−+−=

=∆

∫∫

∫

Substitusi ke persamaan ∆C diperoleh :

Contoh 3

q= 3 t/m P = 2 t

8 m 4 m

A B C 30/70 (cm)

Hitung : a) Defleksi vertikal di C b) Rotasi di C Bila diketahui E = 2.000.000 t/m2 Dimensi ABC = 30/70 (cm)

(a) Penyelesaian menghitung ∆C

Langkah 1 : susunlah persamaan momen lentur pada sepanjang ABC akibat beban riel P dan q (seperti gambar di atas) → menyusun M(x)

Σ MB = 0 → RA = 8 ton Σ MA = 0 → RB = 30 ton

Untuk 0 < x < 8 → 2221 5,18)( xxxqxRxM A −=−=

Untuk 8 < x < 12 → 2405,138)8()( 2221 −−=−−+= xxxqxRxRxM BA

Langkah 2 : susunlah persamaan momen lentur pada sepanjang ABC akibat beban maya P = 1 satuan di C → menyusun m(x)

P = 1

8 m 4 m

B A C

Σ MB = 0 → rA = - 0,5 ton Σ MA = 0 → rB = 1,5 ton

Untuk 0 < x < 8 → xxrxm A 5,0)( −==

Untuk 8 < x < 12 → 12)8()( −=−+= xxrxrxm BA

Langkah 3 : Gunakan persamaan untuk menghitung ∆C

EI

dxxxxEI

dxxxxEI

dxIEmML

C

224

)12)(2405,138(1)5,0)(5,18(1

.

.

12

8

28

0

2

0

=

−−−+−−=

=∆

∫∫

∫

Dengan (EI) = (2.000.000) x (1/12 x 0,3 x 0,73) = 17.150 diperoleh :

mC 01306,017150

224==∆

Langkah 2 : susunlah persamaan momen lentur pada sepanjang ABC akibat momen = 1 satuan di C → menyusun m(x)

1

8 m 4 m

B A C

Untuk 0 < x < 8 → xxm 81)( =

Untuk 8 < x < 12 → 1)( =xm

(b) Penyelesaian menghitung rotasi θC

Langkah 1 : susunlah persamaan momen lentur pada sepanjang ABC akibat beban riel, menyusun M(x) → sama seperti kasus (a)

1 m(x)

Langkah 3 : Gunakan persamaan untuk menghitung θC

...

)1)(2405,138(1))(5,18(1

.

.

12

8

28

0812

0

dst

dxxxEI

dxxxxEI

dxIEmML

C

=

−−+−=

=

∫∫

∫θ

Beberapa formula perpindahan pada balok statis tertentu dan fixed end moment yang diturunkan dengan prinsip metode energi

221829084 bag-1-metode-energi

Technology