1.12 pembuktian & hujah

1

1.12 PEMBUKTIAN & HUJAH Bab 1: Mantik

SISTEM MATEMATIK

AKSIOM

(AXIOMS)

TAKRIF

(DEFINITIONS)

BENDA TDK DPT DITAKRIFKAN

(UNDEFINED TERMS)

-Teorem yang selalu

dijangkakan BENAR, digunakan & diterima

tanpa bukti.

-“Hasil darab 2 Z+

menghasilkan Z+

(ini merupakan 1aksiom)

-Digunakan utk mencipta

Konsep baru berdsrkan

Konsep yang sedia ada.

-Sesetgh istilah tidak didefinisikan secara eksplisit (jelas) tetapi didefinisikan secara implisit oleh aksiom.

2

Daripada sistem bermatematik ini, teorem-teorem boleh dihasilkan atau diterbitkan.

Beberapa jenis teorem yang istimewa dirujuk sebagai:– lemmas (lema) dan – corrolary (korolari – akibat).

Lemmas Merupakan teorem yang pada kebiasaannya tidak terlalu

diminati pada dirinya sendiri tetapi berguna dalam membuktikan teorem lain.

Teorem kecil yang gunanya untuk buktikan teorem selepasnya.

1.12 PEMBUKTIAN & HUJAH (~Sambungan)

Bab 1: Mantik

3

Corrollary : Merupakan hasil teorem yang mengikuti secara berturutan

daripada teorem lain cth teorem: tiada integer antara 0 dan 1 melainkan 0 dan 1

sendiri corollary: tiada integer antara b dan b+1 melainkan b dan

b+1 sendiri


Bab 1: Mantik

4

Teorem

-Merupakan hasil pernyataan yang perlu dibuktikan benar.

- Pernyataan ini terdiri daripada apa yang dibuktikan dengan menggunakan: sifat-sifat asas (fundamental properties) pernyataan sebelumnya yang telah dibuktikan kesahihannya kaedah-kaedah mantik (rules of logic)


Bab 1: Mantik

5

-Pembuktian ialah penghujahan (argument) yang membuktikan/menghasilkan kebenaran sesuatu teorem.

-Teorem selalu dinyatakan dalam bentuk rumus:

pq (implikasi 1)

-Dimana:

p : Hipotesis q : Kesimpulan

Untuk menerima teorem yang berbentuk pq ini, ia mesti dibuktikan Benar.


Bab 1: Mantik

6

Terdapat dua cara pembuktian sifat-sifat teorem ini iaitu :

secara langsung secara tidak langsung.


Bab 1: Mantik

7

1.12.1 Pembuktian Secara Langsung (Direct Proof) Dilakukan dengan :i. menganggap p sebagai hipotesis atau pernyataan yang diketahuiii. seterusnya dapatkan kesimpulan pernyataan q.

pq, Jika p maka q Tunjukkan jika p Benar maka q mesti BenarOleh itu, pq dibuktikan teoremnya boleh diterima


Bab 1: Mantik

8

1.12.2 Pembuktian Secara Tidak Langsung

(Indirect Proof)

Terbahagi kepada dua:

i. Kontrapositif

-Bentuk kontrapositif pernyataan asal pq tadi ditukar menjadi q p

-Kemudian buktikan q p dengan secara langsung.

Pernyataan asal : pq

Kontrapositif : q p

Buktikan q p secara langsung


Bab 1: Mantik

9

Contoh:

Jika 3n+2 ganjil, maka n ganjil

p : 3n+2 ganjil

q : n ganjil

Ditulis sebagai p q

Kontrapositif : q p Jika n genap maka 3n+2 genap.


Bab 1: Mantik

10

ii. Percanggahan

Anggap p Benar dan q Palsu, kemudian dengan menggunakan p dan q, terbitkan percanggahan ( p p )

Contoh: Jika 3n+2 ganjil, maka n ganjil

p : 3n+2 ganjil (dianggap BENAR)

q : n ganjil (q PALSU)

q : n genap

n = 2k


Bab 1: Mantik

11

Sebelum ini didapati bahawa n = 2k dan p : 3n+2 Maka,

3(2k)+2 = 6k+2 = 2(3k+1) genap maka p

Sekarang diperoleh percanggahan:

p ganjil dan p genap ( p p )


Bab 1: Mantik

12

Contoh (jangan anggap semua teorem boleh dibuktikan dengan cara yang berbeza-beza)

JIKA g integer genap maka g+7 ganjil

1.Pembuktian secara LANGSUNG1. Oleh kerana g genap, maka g = 2a dengan a suatu integer.

Maka g+7 = 2a+7

= 2a+6+1

= 2(a+3)+1

Oleh kerana a+3 suatu integer maka g+7 ganjil.

(2 x integer =genap dan genap+1=ganjil)


Bab 1: Mantik

13

2. Pembuktian secara KONTRAPOSITIF

1. Anggap g+7 tidak ganjil, iaitu genap, maka g+7=2b, untuk suatu integer b. Kemudian,

Maka b-4 juga integer. Maka g ganjil.

(2 x integer =genap dan genap+1=ganjil)

142

182

72

b

b

bg


Bab 1: Mantik

14

3. Pembuktian secara PERCANGGAHAN1. Anggap g genap dan g+7 genap. g+7=2c, c adalah integer

Maka g = 2c-7 = 2c-8+1 = 2(c-4)+1 c -4 juga integer.Maka g ganjil.Sekarang diperoleh percanggahan: g genap dan g ganjil.Maka g+7 genap tidak benar maka anggapan g+7 genap adalah palsu. g+7 adalah ganjil.


Bab 1: Mantik

15

-Beberapa pernyataan (hipotesis atau premis) beserta kesimpulan disebut hujah.

Contoh 1:

Jono tidak akan dapat A kecuali dia rajin,

Jono tidak rajin

Jono tidak akan dapat A

1.13 PENGHUJAHAN/PENAAKULANBab 1: Mantik

16

-Penghujahan (penaakulan) ialah proses mendapat kesimpulan daripada premis yang diberi.

Terdapat 2 jenis penghujahan:Penghujahan deduksi Penghujahan induksi (aruhan)

* penghujahan aruhan ini tidak sama dengan aruhan matematik.

1.13 PENGHUJAHAN/PENAAKULAN~Samb.

Bab 1: Mantik

17

Deduksi

- pengambilan keputusan dijamin secara mutlak oleh premis atau hipotesis.

– dapat kesimpulan berdasarkan semua hipotesis yang benar .

- 100% dijamin oleh premis.


Bab 1: Mantik

Aruhan- premis tidak menyokong secara mutlak (tidak 100%) kesimpulan. – dapat kesimpulan secara umum melalui pemerhatian yang terhad.

18

Contoh 2:90% Jono akan dapat A jika dia rajinJono rajinJono mungkin dapat A

Penghujahan yang dibincangkan dalam matematik

dan sains komputer ialah penghujahan deduksi. Peranan mantik dalam penghujahan ini ialah menilai

keabsahan (validity) bentuk hujah tersebut. Penghujahan yang absah ialah jika semua

premisnya benar maka akan menghasilkan kesimpulan yang benar.


Bab 1: Mantik

19

Dari Contoh 1:

Jono tidak akan dapat A kecuali dia rajin,

Jono tidak rajin

Jono tidak akan dapat A


Bab 1: Mantik

dengan p: Jono tidak rajin (contoh) q: Jono tidak dapat A (contoh)

Penghujahan di atas berbentukpqpq

20

Contoh 3:

Kalau Rani Mukerje kuat makan Rani Mukerji gemuk

Rani Mukerje kuat makan

Rani Mukerje gemuk


Bab 1: Mantik

dengan p: Rani Mukerje kuat makan (contoh) q: Rani Mukerje gemuk (contoh)

Penghujahan di atas berbentukpqpq

21

p q

q r

p r

Contoh 4:

Sekiranya hari ini banjir kita tidak akan pergi menangkap ikan hari ini.

Sekiranya kita tidak pergi menangkap ikan hari ini kita akan pergi menangkap ikan esok.

Oleh itu, sekiranya hari ini banjir kita akan pergi menangkap ikan esok.


Bab 1: Mantik

Penghujahan di atas berbentuk:dengan p: Hari ini banjirq: Kita pergi menangkap ikan hari ini.r : Kita pergi menangkap ikan esok.

22

Keabsahan dinilai pada bentuk bukan pada contoh.

Salah satu kaedah untuk menentukan keabsahan sesuatu hujah ialah dengan menggunakan jadual kebenaran.

Kalau terdapat satu baris dalam jadual kebenaran yang semua premisnya benar menghasilkan kesimpulan yang palsu maka hujah tersebut tidak absah.

1.14 KEABSAHAN MENGGUNAKAN JADUAL KEBENARAN

Bab 1: Mantik

23

Dari contoh 1 tadi:

Tidak ada kesimpulan palsu dihasilkan oleh semua premis yang benar, maka penghujahan ini absah

p q p q p q

B B B B B

B P P B P

P B B P B

P P B P P

Bab 1: Mantik

1.14 KEABSAHAN MENGGUNAKAN JADUAL KEBENARAN

PREMIS KESMPLN

24

Contoh 1:

Apakah penghujahan berikut absah?

( p q ) ( p q )

( p q )

( q p )

Boleh juga ditulis seperti

( p q ) ( p q ) , ( p q ) / ( q p )

Bab 1: Mantik

1.14 KEABSAHAN MENGGUNAKAN JADUAL KEBENARAN~Samb.

25

Jadual kebenaran

!

p q ( p q ) ( p q ) ( p q ) ( q p )

B B B B B

B P P P B

P B P B P

P P B B B

Bab 1: Mantik


PREMIS KESMPLN

Maka, Penghujahan ini absah!

26

Contoh 2:

Adakah penghujahan berikut absah?

q ( pr ), ( pq ) ( pr ) / ( pr ) ( pq )

Apakah jadual kebenarannya?

Bab 1: Mantik


27

Jadual kebenaran

Adakah ia absah?

p q r q ( pr ) ( pq ) ( pr ) ( pr ) ( pq )

B B B P B B

B B P P B B

B P B B B P

B P P B P B

P B B P P B

P B P B P B

P P B B P B

P P P B P B

Bab 1: Mantik1.14 KEABSAHAN MENGGUNAKAN JADUAL KEBENARAN~Samb.

28

Soalan:

Apakah penghujahan berikut absah?

p q , ( p q ) p , ( p q ) ( q p )

( p q ) p

Bab 1: Mantik1.14 KEABSAHAN MENGGUNAKAN JADUAL KEBENARAN~Samb.

1.12 pembuktian & hujah

Documents