1 posisi, perpindahan, jarak · misalkan benda bergerak sepanjang sumbu-x. gambar 1 menggambarkan...

FI1101 Fisika Dasar IAPekan #1: Kinematika Satu Dimensi

Dr. Agus Suroso

1 Posisi, perpindahan, jarak

Tinjau suatu benda yang bergerak lurus pada suatu arah tertentu. Misalnya, ada sebuah mobilyang dapat bergerak maju atau mundur pada suatu jalan lurus. Untuk memudahkan kitamisalkan benda bergerak sepanjang sumbu-x. Gambar 1 menggambarkan bagaimana bendabergerak. Mula-mula berada pada posisi x0, kemudian bergerak maju menuju x1, x2, dan x3,kemudian berhenti dan mundur menuju x4 dan x5. Kita telah mendefisinisikan posisi mobil,yaitu keududukan atau lokasi mobil jika dilihat dari suatu titik acuan tertentu. Pada gambar 1,kita telah mengambil titik O sebagai titik acuan, sehingga posisi x1 sampai x5 diukur terhadaptitik O.

1 2 3

45

xO x

1x

5x

2x

4x

3

0

Gambar 1: Benda bergerak lurus, mula-mula berada pada posisi x0, kemudian bergerak majumenuju x1, x2, dan x3, kemudian berhenti dan mundur menuju x4 dan x5.

Kita dapat juga menggambarkan gerakan mobil dengan cara membuat grafik posisi mobilterhadap waktu t. Kita akan menyebut t1 sebagai waktu saat benda berada di titik x1, danseterusnya sampai t5 yang menyatakan waktu saat benda mencapai x5. Jika mobil bergeraksecara halus (smooth), murva x− t untuk mobil di atas adalah sebagai berikut,

x

t

x1

x5

x2

x4

x3

t1t2

t3t4 t5O

Gambar 2: Grafik posisi benda terhadap waktu.

Perpindahan kita definisikan sebagai perubahan posisi mobil, dan diukur dengan cara men-cari selisih posisi mobil pada dua waktu yang berbeda. Sebagai contoh, perpindahan mobil padaselang t1 hingga t2 kita tulis sebagai

∆x1→2 = x2 − x1. (1)

update: 24 Agustus 2017 halaman 1


Dr. Agus Suroso

Perpindahan dapat bernilai positif maupun negatif, sebagai contoh ∆x1→2 > 0 karena x2 > x1,sedangkan ∆x3→4 < 0 sebab x4 < x3 (atau x4 berada di sebelah kiri x3). Positif atau negatifpada kasus ini menunjukkan arah perpindahan, apakah mobil berpindah ke kanan atau kiri.

Selain perpindahan, dalam kinematika juga terdapat istilah jarak, yaitu panjang lintasanbenda ketika bergerak. Pada gambar 1, jarak yang ditempuh mobil pada rentang [t0, t5] dinya-takan sebagai panjangnya lintasan berwarna merah.

2 Kecepatan

Kecepatan gerak benda kita tentukan dengan mengukur besarnya perpindahan yang dicapai olehbenda dalam selang waktu tertentu. Sebagai contoh, kecepatan mobil saat berpindah dari posisix1 ke x2 adalah

v1→3 =x3 − x1

t3 − t1, (2)

atau ketika berpindah dari x1 ke x4,

v1→4 =x4 − x1

t4 − t1, (3)

dan seterusnya. Jika kita mengacu pada grafik x(t), maka besar v1→3 tidak lain merupakankemiringan (gradien) garis lurus yang menghubungkan titik (t1, x1) dengan (t3, x3). Demikianjuga dengan v1→4 yang nilainya sama dengan kemiringan garis lurus yang menghubungkan titik(t1, x1) dengan (t4, x4).

x

t

x1

x3

t3 t1O

4.57

cm

x

t

x1

x4 x1

O

3.69

cm

x4

x3 x1

2.53 cm

t4 t1

3.81 cm

Gambar 3: Kecepatan rata-rata benda mobil pada selang t1 hingga t3 sama dengan kemiringangaris lurus yang menghubungkan x1 dengan x3 (gambar kiri). Hal yang sama juga berlaku padakecepatan rata-rata pada selang t1 hingga t4.

Kecepatan yang baru saja kita definisikan adalah kecepatan rata-rata. Dalam mendefinisikankecepatan rata-rara, kita mengukur perpindahan (perubahan posisi benda) pada selang waktuyang cukup besar, misalnya v1→3 diukur pada selang waktu t1 sampai dengan t3 yang tidakterlalu singkat. Jadi, kita definisikan kecepatan rata-rata sebagai,

v =∆x

∆t. (4)

Jika kita mengukur kecepatan benda pada selang waktu yang cukup singkat, ∆t→ 0, maka kitaakan mendapatkan keccepatan sesaat benda,

v = lim∆t→0

∆x

∆t=dx

dt. (5)



Dr. Agus Suroso

x

t

x1

x3

O

dt

3.1

8 c

m

dx

x

x1

O t1

tt1

Gambar 4: Kecepatan sesaat pada t1. Gambar kanan adalah perbesaran pada daerah di sekitar(t1, x1). Kecepatan sesaat pada t1 sama dengan kemiringan/gradien garis singgung pada titikt = t1.

Sebagai contoh, jika kita ingin mendapatkan kecepatan saat t1 pada contoh di atas, kita harusmengukur perpindahan yang dicapai benda pada daerah di sekitar t = t1. Nilai kecepatan sesaatsama dengan kemiringan garis singgung pada titik t = t1.

Sebelumnya, kita telah membuat grafik x terhadap t (selanjutnya kita sebut kurva x−t), yangmenunjukkan posisi benda untuk tiap saat. Kita dapat juga membuat grafik kecepatan (v) untuksetiap waktu (t). Untuk membuat kurva v − t tersebut, terlebih dahulu kita harus menentukankecepatan benda setiap saat atau dengan kata lain kita harus menentukan kemiringan garissinggung di setiap titik pada kurva x − t. Pada contoh gerakan mobil di atas, kemiringangaris singgung untuk titik-titik diskrit t1 sampai dengan t5 diberikan pada gambar 5 (kiri). Darigambar gambar tersebut, setidaknya kita bisa simpulkan bahwa kemiringan garis singgung kurvax− t bernilai positif pada t < t3, bernilai nol pada t = t3, dan bernilai negatif pada t3 < t ≤ t5.Sehingga kita perkirakan kurva v − t akan berbentuk seperti pada gambar 5 (kanan).

x

t

x1

x5

x2

x4

x3

t1 t2t3

t4 t5O

v

tt1 t2t3

t4 t5O

Gambar 5: Kiri: Garis singgung di beberapa titik pada kurva x− t. Kanan: perkiraan grafik vterhadap t.

Sekarang, bagaimana jika kita diminta menentukan posisi benda setiap waktu, x(t), untuksebuah benda yang bergerak dengan kecepatan, v(t), yang diketahui? Dengan mengingat definisi



Dr. Agus Suroso

kecepatan pada persamaan 5, kita dapat tuliskan

dx = vdt⇒∫ x(t)

x(t0)dx =

∫ t

t0

vdt⇔ x(t) = x0 +

∫ t

t0

vdt, (6)

dengan x0 = x(t0) adalah posisi benda saat t = t0.

Gerak lurus beraturan

Mari kita tinjau kasus yang paling sederhana, yaitu suatu benda yang bergerak dengan kecepatankonstan, v = v0. Persamaan terakhir menghasilkan

x(t) = x0 + v0 (t− t0)⇔ ∆x = v0∆t, (7)

dengan ∆x = x(t) − x0 dan ∆t = t − t0. grafik x(t) untuk kasus ini akan berbentuk lineardengan kemiringan sebesar v, sementara grafik v(t) berupa garis lurus horizontal.

x

t

x0

t0O

v

tO

v0

θ

Gambar 6: Grafik x(t) (kiri) dan v(t) (kanan) pada gerak lurus beraturan, yaitu gerak sebuahbenda dengan kecepatan konstan. Kemiringan garis x(t) sama dengan kecepatan benda, tan θ =v0

Mengacu pada grafik kecepatan pada gambar di atas, jika kita mengambil daerah padarentang ∆t tertentu, maka kita akan dapati bahwa besar v0∆t tidak lain adalah luas daerah dibawah grafik v(t) = v0 untuk selang ∆t tersebut. Dengan demikian, perpindahan yang dicapaibenda ∆x = v0∆t nilainya sama dengan luas daerah di bawah grafik v(t) = v0 untuk selang ∆ttersebut.

3 Percepatan

Pada gambar 5 kita lihat bahwa kecepatan mobil berubah terhadap waktu. Kita dapat mengukurlaju perubahan kecepaatan tersebut dengan mendefinisikan percepatan,

a =∆v

∆t, (8)

untuk percepatan rata-rata, dan

a = lim∆t→0

∆v

∆t=dv

dt, (9)

yang kita sebut percepatan sesaat. Penamaan ”rata-rata” dan ”sesaat” untuk percepatan dibe-rikan dengan alasan yang sama persis seperti pada penamaan kecepatan rata-rata dan kecepatansesaat.



Dr. Agus Suroso

A

v

tO

v0

2.54 cmΔt

3.8

1 c

m

v0

Gambar 7: Luas daerah di bawah grafik v(t) = v0 untuk selang ∆t tertentu, yaitu sebesarA = v0∆t sama dengan perpindahan yang dicapai benda, sebab v0∆t = ∆x.

Gerak lurus berubah beraturan

Pada benda yang bergerak dengan kecepatan yang selalu berubah, secara umum nilai perce-patannya dapat pula bervariasi seiring waktu. Jika percepatan benda bernilai konstan, makaakan kita dapati kecepatan benda berubah secara beraturan, yakni kecepatan benda berubahsecara linear terhadap waktu. Hal ini dapat kita lihat dengan cara menentukan nilai v(t) daripersamaan definisi percepatan di atas,

dv = adt⇒∫ v(t)

v(0)dv =

∫ t

0adt⇒ vt = v0 + at. (10)

Pada ruas terakhir, kita telah mengambil t0 = 0 dan menggunakan notasi vt = v(t) dan v0 =v (0).

Setelah mendapatkan v(t), kita dapat lanjutkan perhitungan untuk mendapatkan posisi ben-da,

x(t) = x0 +

∫ t

0v(t)dt = x0 + v0t+

1

2at2. (11)

Grafik posisi dan kecepatan benda yang mengalami gerak lurus berubah beraturan adalah se-bagai berikut.

x

t

x0

O

v

tO

θ

Gambar 8: Grafik x(t) dan v(t) pada gerak lurus berubah beraturan, yaitu gerak sebuah bendadengan percepatan konstan (dan a 6= 0). Kemiringan garis v(t) sama dengan percepatan yangdialami benda, tan θ = a.



Dr. Agus Suroso

Aturan bahwa luas daerah di bawah kurva sama dengan perpindahan, seperti pada geraklurus beraturan, juga berlaku di sini, karena persamaan ∆x =

∫vdt berlaku umum. Untuk

membuktikan ini, kita tinjau kurva v(t) dan kita bagi daerah [0, t] menjadi sejumlah daerahdengan interval waktu yang sangat singkat, ∆t → 0. Pada daerah dengan ∆t yang cukupkecil, kita dapat menganggap kecepatan benda konstan, sebagai contoh untuk daerah pertamakecepatan benda konstan sebesar v1. Luas daerah pertama adalah A1 = v1∆t dan nilainyasama dengan perpindahan yang dicapai benda selama selang ∆t pertama, sehingga A1 = ∆x1.Demikian juga untuk daerah kedua A2 = v2∆t = ∆x2, dan seterusnya hingga daerah ke-n.Secara umum, untuk daerah ke-i, luas daerahnya adalah

Ai = vi∆t = ∆xi. (12)

Jika kita menjumlahkan luas daerah untuk seluruh interval waktu, kita akan dapatkan

n∑i=1

Ai︸︷︷︸Atotal

=

n∑i=1

vi∆t =

n∑i=1

∆xi︸︷︷︸∆xtotal

⇔ Atotal = ∆xtotal. (13)

i

2

v

tO3

1...

0.72 cm Δt

v1

v1

t

A

v

O 5.72 cmΔt

Gambar 9: Daerah di bawah grafik v(t) untuk selang ∆t pada gambar kiri kita bagi-bagi menjadisejumlah (n) persegi panjang dengan lebar masing-masing∆t dan tinggi berbeda-beda, sepertipada gambar kanan. Tinggi tiap persegi panjang menyatakan kecepatan benda saat t tertentu.Jika lebar persegi panjang dibuat semakin kecil, ∆t → 0 maka kecepatan benda pada tiapdaerah dapat dianggap konstan. Luas setiap persegi panjang bersesuaian dengan perpindahanbenda untuk tiap selang waktu, sehingga jumlah luas seluruh persegi panjang sama denganperpindahan total yang dialami benda.

Gerak dalam pengaruh medan gravitasi bumi

Salah satu contoh gerak lurus berubah beraturan adalah gerak benda-benda di permukaan bumi.Setiap benda di permukaan bumi akan mengalami percepatan ke bawah sebesar g yang nilainyasekitar 9,8 m/s2.

Tinjau sebuah benda yang mula-mula berada di permukaan bumi, kemudian dilemparkanke atas dengan kecepatan awal v0. Saat bergerak ke atas, benda mengalami perlambatan sebabarah percepatan yang dialami benda (ke bawah) berlawanan dengan kecepatannya (ke atas).Benda yang bergerak ke atas terus menerus mengalami perlambatan hingga akhirnya kecepa-tannya nol, dan akhirnya benda berbalik arah dan bergerak ke bawah. Saat bergerak ke bawah,benda mengalami percepatan karena arah percepatan benda (ke bawah) searah dengan arahkecepatannya (ke atas). Grafik kecepatan dan posisi benda yang bergerak vertikal dalam medan



Dr. Agus Suroso

z

tO

v

tOθ

zm

tm

tm

v0

zA

zB

t1 t2 t3 t4

Gambar 10: Grafik kecepatan dan posisi benda yang dilempar ke atas dari permukaan bumi.Pada gambar kiri terlihat bahwa saat t = tm benda berhenti sesaat di udara (v (tm) = 0) sebelumakhirnya berbalik arah (v menjadi negatif) menuju permukaan bumi. Pada gambar kanan,terlihat bahwa benda mencapai ketinggian maksimum saat t = tm (tentu di saat yang samadengan ketika benda berbalik arah). Ketinggian tertentu (misalnya zA dan zB pada gambar),masing-masing dicapai oleh benda pada dua waktu yang berbeda (t1, t4 untuk ketinggian zBdan t2, t3 untuk ketinggian zA.

gravitasi diberikan pada gambar 10. Pada gambar tersebut, arah vertikal diwakili oleh sumbu-zdengan arah positif ke atas.

Jika kita misalkan benda dilempar dengan kecepatan awal v0 ke atas dari permukaan bumi(z = 0) saat t0 = 0, posisi dan kecepatan untuk setiap waktu adalah

z(t) = v0t−1

2gt2, (14)

v(t) = v0 − gt. (15)

Dari persamaan di atas, kita dapat menentukan selang waktu sejak benda dilemparkan hinggamencapai ketinggian maksimumnya (kita sebut selang waktu tersebut sebagai tm). Ketinggianmaksimum dicapai oleh benda saat kecepatan benda tersebut bernilai nol, sehingga

v (tm) = v0 − gtm = 0⇒ tm =v0

g. (16)

Dari sini, kita bisa dapatkan ketinggian maksimum yang dapat dicapai benda,

zm = z (tm) =v2

0

2g. (17)

Dari persamaan 14 (yang merupakan persamaan kuadrat dalam t) kita juga mendapati bah-wa untuk ketinggian (z) tertentu, terdapat dua solusi untuk nilai t. Dengan rumus ABC (yangbiasa kita gunakan untuk menentukan akar-akar dari sebuah persamaan kuadrat), diperoleh

t± =v0 ±

√v2

0 − 2gz

g. (18)

Tanda ”±” pada persamaan di atas menjamin adanya dua solusi untuk t, yang menunjukkanbahwa benda melewati titik z tertentu sebanyak dua kali, yaitu saat bergerak naik (yaitu saatt = t−) dan turun (t = t+). Sebagai contoh, benda melewati ketinggian z = zB pada gambar10 saat t = t1 dan t = t4. Jika ada seorang pengamat berada pada ketinggian z = zB maka diaakan melihat benda melewatinya sebanyak dua kali, dengan selang waktu

∆tB = t4 − t1 =2√v2

0 − 2gzBg

. (19)



Dr. Agus Suroso

Demikian juga dengan pengamat lain yang berada pada ketinggian z = zA, dia melihat bendamelewatinya dua kali dengan selang waktu

∆tA = t3 − t2 =2√v2

0 − 2gzAg

. (20)

Jika beda ketinggian kedua pengamat kita tuliskan sebagai h = zA − zB, maka dari dua persa-maan terakhir dapat kita peroleh

g =8h

∆t2B −∆t2A. (21)

Persamaan terakhir ini bisa kita manfaatkan untuk mengukur besarnya percepatan gravitasi disuatu tempat.


1 posisi, perpindahan, jarak · misalkan benda bergerak sepanjang sumbu-x. gambar 1 menggambarkan...

Documents