· web view2p + 3q + r = 11e. 4x – 4y + z = 5 author 001 created date 09/05/2012...

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT

OLEH: RUSBANDI

Persamaan linear adalah persamaan yang variabelnya paling banyak

berpangkat satu.

Persamaan linear satu variabel adalah: persamaan linear yang mengandung

satu variabel.

Contoh:

a. x + 5 = 0 d. 2x = 2(4 – x)

b. 4x – 3 = 3x e. 4 – 5x = 6

c. 2x – 5 = 3 f. 3(x – 2) = 9

Persamaan linear dua variabel adalah: Persamaan Linear yang mengandung

dua variabel.

Contoh:

a. 7x – y = 21 d. 8x – 10y = 16

b. 5 – 6s + 9t = 0 e. s = -(3t – 2) + 6

c. 4r – 6 = 8s f. 2a = 8b - 3

Persamaan linear tiga variabel adalah: Persamaan linear yang mengandung

tiga variabel.

Contoh:

a. x + 4y + 2z = 14 d. 2x + 5y + 3z = 1

b. 2p + 3q + r = 11 e. 4x – 4y + z = 5

c.

2x− 1y−2z=3

f. x – 2y + z = 3

Variabel atau peubah adalah: Lambang yang digunakan untuk mewakili

anggota sembarang dari suatu semesta pembicaraan.

Konstanta pengganti variabel yang menyebabkan atau menjadikan persamaan

linear menjadi benar disebut penyelesaikan persamaan linear.

Himpunan dari semua penyelesaian persamaan linear disebut himpunan

penyelesaian.

Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta

A. SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Sistem Persamaan Linear (SPL) adalah: beberapa persamaan linear yang

saling terkait.

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear adalah: pasangan bilangan yang

memenuhi setiap persamaan linearnya, yang bila digantikan ke

persamaannya akan menghasilkan suatu pernyataan benar.

B. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV)

Sistem persamaan linear dua variabel adalah: sistem persamaan linear

yang terdiri dari dua persamaan linear yang masing-masing mengandung

dua variabel.

Bentuk Umum SPLDV:

Bentuk umum SPLDV x dan y dapat ditulis sebagai berikut:

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

dengan a1, b1, c1, a2, b2, c2 merupakan bilangan-bilangan real.

- Jika c1 = c2 = 0 maka SPLDV tersebut dikatakan homogen.

Contoh: a. 4x – 2y = 0 b. 8x + 2y = 0

2x + 4y = 0 6x – 4y = 0

- Jika c1 0 atau c2 0 maka SPLDV tersebut dikatakan tak homogen.

Contoh: a. 4x + 2y = 10 b. x + 4y = 12

2x - 2y = 9 2x + 3y = 14

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Nilai-nilai pengganti variabel x dan y yang membuat SPLDV bernilai besar

disebut penyelesaian SPLDV. Himpunan yang beranggotakan penyelesaian-

penyelesaian SPLDV disebut Himpunan Penyelesaian SPLDV. Dengan kata

lain:

Jika nilai x = x0 dan y = y0, dalam pasangan terurut ditulis (x0, y0) disebut

penyelesaian SPLDV dan himpunan penyelesaiannya ditulis: { (x0 , y0) }Contoh:


SPLDV : |x + 4y = 12 mempunyai penyelesaian (4,2)

|2x + 3y = 14

Maka himpunan penyelesaiannya ditulis: {(4,2)}

Penyelesaian atau himpunan penyelesaian SPLDV dapat ditentukan dengan

beberapa cara antara lain:

1. Metode Grafik

2. Metode Substitusi

3. Metode Eliminasi

4. Metode Gabungan Substitusi dan Eliminasi

5. Metode Determinan

1. METODE GRAFIK

Untuk menentukan penyelesaian atau himpunan penyelesaian SPLDV

dengan metode grafik. Langkah-langkahnya sebagai berikut:

1) Gambarlah grafik dari masing-masing persamaan pada bidang cartesius.

2) a. Jika kedua garis berpotongan pada satu titik, maka himpunan

penyelesaiannya tepat memiliki satu anggota.

b. Jika kedua garis sejajar, maka himpunan penyelesaiannya tidak memilik

ianggota. Dikatakan himpunan penyelesaiannya merupakan himpunan

kosong, ditulis atau { }.

c. Jika kedua garis berimpit, maka himpunan penyelesaiannya memiliki

anggota yang tak hingga banyaknya.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV berikut dengan metode grafik:

(1) x + y = 3

x – y = 0

(2) x + y = -2

x + y = -3

(3) x + y = -1

3x + 3y = -3

Jawab:


x – y = 0

x + y = 3

y

x

x + y = -3

x + y = -2

x-20

-2

-3

-3

1)

x + y = 3

x 0 3

y 3 0

(x,y) (0,3) (3,0)

x - y = 0

x 0 2

y 0 2

(x,y) (0,0) (2,2)

2)

x + y = -2

x 0 -2

y -2 0

(x,y) (0,-2) (-2,0)

x + y = -3

x 0 -3

y 3 0

(x,y) (0,-2) (-3,0)


y

x + y = -1

x + y = -3

y

x

3)

x + y = 1

x 0 -1

y -1 0

(x,y) (0,-1) (-1,0)

3x + 3y = -3

x 0 -1

y -1 0

(x,y) (0,-1) (-1,0)

SPLDV No.3 yaitu: x + y = -1 Jika x = -3 maka y = 2

3x + 3y = -1 x = -2 maka y = 1

x = -1 maka y = 0

x = 0 maka y = -1

x = 1 maka y = -2

x = 2 maka y = -3

x = 3 maka y = -4

Jadi himpunan penyelesaian SPLD tersebut memiliki anggota yang tak

hingga banyaknya. Beberapa diantaranya adalah: (-3,2), (-2,1), (-1,0),

(0,-1), (1,-2), (2, -3), (3,-4). Himpunan penyelesaiannya dapat ditulis:

{ …, (-3,2), (-2,1), (-1,0), (0,-1), (1,-2), (2,-3), (3,-4), …}

Dengan menggunakan sifat-sifat dua garis berpotongan, dua garis berimpit

dan dua garis sejajar, banyaknya anggota dari himpunan penyelesaian

SPLDV: a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

dapat ditentukan sebagai berikut:

1) Jika a1b2 – a2b1 0, maka SPLDV tepat memiliki satu anggota dalam

himpunan penyelesaiannya.


2) Jika a1b2 – a2b1 = 0 dan a1c2 – a2c1 0, atau b2c1 - b1c2 0, maka

SPLDV tidak memiliki anggota dalam himpunan penyelesaiannya.

3) Jika a1b2 – a2b1 = 0 dan a1c2 – a1c1 = 0, atau b2c1 – b1c2 = 0, maka

SPLDV memiliki anggota yang tak hingga banyaknya dalam


LATIHAN 1

1) Dengan metode grafik, tentukan himpunan penyelesaian SPLDV:

a. x + y – 4 = 0

x – 2y – 16 = 0

b. 2x - 3y = 8

3x + y – 1 = 0

c. 4x – y = 2

2x – y = -2

2) Untuk masing-masing SPLDV di bawah ini, carilah banyaknya

anggota dalam himpunan penyelesaiannya (tepat memiliki satu

anggota, tidak memiliki anggota, atau memiliki anggota yang tak

hingga banyaknya).

a. -x + y = 2

x + y = 0

b. x + y = 3

y = 2x

c. 3x - 3y = 3

x - y = 1

d. 2x + 2y = 2

x + y = 1

e. 2x - 2y = 4

x - y = 1

f. x - y – 4 = 0

x + y +2 = 0

g. x - 3 = 0

x - 1 = 0

h. x + y = 0

x + 1 = 0

i. 3x + 6y = 6

x + 2y = 2

j. 4x - 2y = 4

2x - y = 2

k. 2x - 4y = 0

x - 2y = 2

l. 2x - y + 1 = 0

2x + y – 5 = 0

Jawab:


a.

a1 = -1, b1 = 1, c1 = 2 ¿}¿¿ −1−1=−20−2=−22−0=2

SPDV punya satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya

¿

b.

a1 = 1, b1 = 1, c1 = -3 ¿}¿¿ −1−1=−3

0+6=63−0=3

SPDV punya satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya

¿

c.

a1 = 3, b1 =-3, c1 =3 ¿}¿¿ −3+3=03−3=0

-3+3=0

SPDV punya satu anggota tak hingga banyaknya dalam himpunan penyelesaiannya

¿

d.

a1 = 2, b1 =2, c1 =2¿ }¿¿ 2−2=02−2=02-2=0

SPDV punya satu anggota tak hingga banyaknya dalam himpunan penyelesaiannya

¿

e.

a1 = 2, b1 =-2, c1 =4 ¿ }¿¿ +2+2=02−4=−2-4+2=−2

SPDV tak punya anggota dalam himpunan penyelesaiannya

¿

f.

a1 = 1, b1 =-1, c1 =4 ¿ }¿¿ 1+1=2

-2−4=−64-2=2

SPDV tepat mempunyai satu anggota dalam himpunanpenyelesaiannya

¿

g.

a1 = 1, b1 =0, c1 =3 ¿}¿¿ 0−0=0

1−3=−20-0=0


¿

h.

a1 = 1, b1 =1, c1 =0 ¿}¿¿ 0−1=−11−0=1

0-1=−1 SPDV punya anggota dalam

himpunan penyelesaiannya¿

i.

a1 = 3, b1 =6, c1 =6 ¿}¿¿ 6−6=06−6=012-12=0

SPDV mempunyai anggota yang tak hingga banyaknya

¿


x – y = 1

x + y = 3

y

x

(2,1)

3

-11 -3

j.

a1 = 4, b1 =-2, c1 =4 ¿ }¿¿ −4+4=08−8=0

-4+4=0 SPDV punya anggota tak hingga

banyaknya¿

k.

a1 = 2, b1 =-4, c1 =0 ¿}¿¿ −4+4=04−0=40+8=8


¿

l.

a1 = 2, b1 =-1, c1 =-1 ¿}¿¿ 2+2=4

10+2=12-1+5=4

SPDV punyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya

¿

Ketidakkonsistenan dan Sistem yang Saling Tergantung

1. SPLDV yang grafik-grafiknya saling berpotongan di satu titik dan

mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya, maka SPLDV

tersebut disebut: sistem pertidaksamaan yang konsisten dan saling lepas.

Contoh:

x – y = 1 disebut SPLDV yang konsisten dan saling lepas

x + y = 3

Bukti:

x - y = 1x 0 1y -1 0

(x,y) (0,-1) (1,0)

x + y = 3x 0 3y 3 0

(x,y) (0,3) (3,0)

2. SPLDV yang grafiknya saling sejajar (tidak berpotongan) dan tidak punya

anggota dalam himpunan penyelesaiannya, maka SPLDV tersebut disebut:

sistem persamaan yang tidak konsisten.


x – y = -2y

x

x – y = 1

2

-2 1-1

2x – 2y = 4

y

x

3x – 3y = 6

2

-2

Contoh:

x – y = 1 merupakan SPLDV yang tidak konsisten

x - y = 2

Bukti:

x - y = 1x 0 1y -1 0

(x,y) (0,-1) (1,0)

x - y = -2x 0 -2y 2 0

(x,y) (0,2) (-2,0)

3. SPLDV yang grafiknya saling berimpit dan mempunyai tak hingga banyak

anggota dalam himpunan penyelesaiannya, maka SPLDV tersebut disebut

sistem persamaan yang saling bergantung.

Contoh:

2x – 2y = 4 merupakan SPLDV yang saling tergantung

3x - 3y = 6

Bukti:

2x - 2y = 4x 0 2y -2 0

(x,y) (0,-2) (2,0)

3x - 3y = 6x 0 2y -2 0

(x,y) (0,-2) (2,0)


LATIHAN 2

1) Dengan metode grafik, tentukan himpunan penyelesaian SPLDV:

berikut, kemudian tentukan mana yang merupakan sistem persamaan

yang konsisten, tidak konsisten atau yang saling tergantung.

a. 3x – 4y = 1

x + y = 0

b. 3x + y = 11

x - y = 5

c. 5x – 2y = 1

2x + y = 4

d. -3x + 4y = 5

5x - 6y = -17

e. 3x – 2y – 8 = 0

x + 3y + 1 = 0

f. x – 4 - 2 = 0

5x + 4y – 20 = 0

g. x + 5y - 5 = 0

5x + 4y – 20 = 0

h. 6x + 7y – 42 = 0

-2x + 4y – 8 = 0

i. 2x + 3y – 6 = 0

2x + y = -2

j. 2x + y = 9

3x + 2y - 15 = 0

k. x + 4y + 1 = 0

2x + 8y = -2

l. y = 2x – 2

y = x + 4

2) Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV berikut ini, kemudian

masing-masing tentukan mana yang konsisten, tidak konsisten, atau

yang saling tergantung:

a. 2y = x + 2

y = x – 2

b. y = x - 1

y = 3x – 9

c. y = 4x - 3

2y = 8x – 6

d. y = 2 - x

y = 1 - x

e. y = 1 - x

y = 2 – x

f. x = -2x + y

x = 1 + y

Menentukan Persamaan Garis dengan Gambar, Jika Titik-titik Potong

Garis dengan Sumbu Koordinatnya Diketahui

a. Persamaan garis pada gambar


y

y

x

3

5

y

x-5

-4

y

x-2

-4

y

x

2

7

disamping adalah:

ax + by = ab

xb+ ya=1

Contoh:

1) Tentukan persamaan garis dari gambar berikut ini:

i) ii)

Jawab:

i) a = 3 Persamaan garisnya adalah: 3x + 5y = (3)(5)

b = 5 3x + 5y = 15 atau

x5+ y

3=1

ii) a = -4 Persamaan garisnya adalah: -4x + (-5y) = (-4)(-5)

b = -5 -4x - 5y = 20 atau

-

x5− y

4=1


i) ii)


l

x

a

0b

y

x

3

-7

x2

-4

y

x-2

4

y

x

-3

7

Jawab:

i) a = 2 Persamaan garisnya adalah: 2x + 7y = 14

b = 7 atau

x7+ y

2=1

ii) a = -4 Persamaan garisnya adalah: -4x + (-2y) = 8

b = -2 atau − x

2− y

4=1


i) ii)

iii) iv)

Jawab:

i)

¿ ¿¿Persamaan garisnya adalah−4x+2y=−8

atau x2− y

4=1

¿ ¿¿


y

a1

0 b1b2

a2

l

g

y

x

y

x-4

1

3

4

g

ly

x

3

4

4

2

g

l

ii)

¿ ¿¿Persamaan garisnya adalah4x-2y=−8

atau- x2+ y

4=1

¿ ¿¿

iii)

¿ ¿¿Persamaan garisnya adalah 3x-7y=−21

atau -x7

+ y3=1

¿ ¿¿

iv)

¿ ¿¿Persamaan garisnya adalah−3x+7 y=−21

atau x7− y

3=1

¿ ¿¿

b. Persamaan garis pada gambar

disamping adalah:

g = a1x + b1y = a1b1 atau

xb1

+ ya1

=1

l = a2x + b2y = a2b2 atau

xb2

+ ya2

=1

Contoh:

1) Tentukan sistem persamaan dari gambar grafik berikut:

i) ii)

Jawab:

i) g = 4x + 4y = 16


y

x2

-5

4

4

lg

y

x-3

-4

-2

g

l

l = 2x – 4y = -8

ii) g = x + 3y = 3

l = 4x – 4y = -16

2) Tentukan sistem persamaan dari gambar grafik berikut ini:

ii) ii)

Jawab:

i) g = -4x - 3y = 12

l = -2x = 4y = -8

ii) g = 4x + 2y = 8

l = -5x + 4y = -20

LATIHAN

1) Keliling sebuah persegi panjang adalah 28 meter, ukuran panjang 4

meter lebih panjang dari ukuran lebarnya.

a. Tentukanlah sistem persamaan yang terbentuk!

b. Selesaikanlah sistem persamaan tersebut!

c. Tentukan luas persegi panjang tersebut!

2) Jumlah dua bilangan adalah 25 dan selisihnya 9. Apabila x dan y

menyatakan kedua bilangan itu.

a. Tentukan sistem persamaan yang terbentuk!

b. Tentukan kedua bilangan tersebut dengan metode grafik!

3) Diketahui SPLDV: x + 3y = 6


y

x

2

2 6

-2

y

x

7½

2

-3 2½

y

4

2

y

4

y = x – 2

a. Gambarlah grafik persamaan tersebut dengan sumbu x dan

sumbu y dari -3 sampai 9 pada kertas berpetak.

b. Tentukan solusi persamaan simultan x + 3y = 6 dan y = x – 2

dari grafik yang telah kamu buat.

4) a. Gambarlah pada sistem koordinator Cartesius garis

y = 2x – 1 dan 4x + 3y – 12 = 0

b. i) Carilah gradient dari garis lurus y = 2x - 1

ii) Carilah gradient dari garis lurus 4x + 3y – 12 = 0

5) Pada sistem koordinat Cartesius lukislah garis-garis berikut dalam

satu gambar

i) 2x + 3y = 9

ii) 4x – 3y = 0

Jika persamaan di atas adalah SPLDV, tentukan akar-akarnya.

6) Selesaikan SPLDV: 2x + y = 5

x – 2y = 0

2x – 5y = -1

7) Grafik SPLDV ditunjukkan pada gambar berikut ini. Tuliskan

sistem persamaannya kemudian selesaikan dan tuliskan himpunan

penyelesaiannya.

a) b)

c) d)


y

x

a1x+b1y = c1

a2x+b2y = c2

a1b2 – a2b1 0SPL mempunyai solusi tunggal

y

x

a1x+b1y = c1

a2x+b2y = c2

2

1

2

1

2

1

cc

bb

aa

y

x

a1x+b1y = c1

a2x+b2y = c2

2

1

2

1

2

1

cc

bb

aa

Karena setiap persamaan linear secara geometri merupakan grafik

sebuah garis pada bidang, maka tafsiran geometri tentang solusi sistem

persamaan linear x dan y adalah sebagai berikut:

SPL mempunyai solusi tunggal beberapa garis berpotongan di

satu titik

SPL tidak mempunyai solusi beberapa garis sejajar

SPL mempunyai banyak solusi beberapa garis berimpit

Pada setiap SPL berlaku salah satu dari tiga kemungkinan berikut:

i. Mempunyai solusi tunggal

ii. Tidak mempunyai solusi

iii. Mempunyai banyak solusi

Situasi geometrinya diperlihatkan seperti gambar berikut:

Sistem Persamaan Linear Garis Lurus

a1x + b1y = c1 g : a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2 g : a2x + b2y = c2


y

x

4

2

½

-½

2x + y = 4

3x - 2y = -1

Cara menentukan x:

a1x + b1y = c1 (x b2) a1b2x + b1b2y = b2c1

a2x + b2y = c2 (x b1) a2b1x + b1b2y = b1c2 _

(a1b2 – a2b1) x =

Jika a1b2 – a2b1 0, maka x =

b2c1−b1c2

a1b2−a2b1

Cara menentukan y:

a1x + b1y = c1 (x a2) a1a2x + a2b1y = a2c1

a2x + b2y = c2 (x a1) a1a2x + a1b2y = a1c2 _

(a2b1 – a1b2) x = a2c1 – a1c2

Jika a2b1 – a1b2 0, maka x =

a2c1−a1c2

a2b1−a1b2

Berdasarkan gradien dari masing-masing persamaan penyusun SPLDV,

maka ada 3 kemungkinan hubungan kedua grafik, antara lain:

1) Kedua grafik/garis akan berpotongan, jika gradient kedua garis

berbeda.

Contoh: 2x + y = 4

3x – 2y = -1

Dari SPLDV di bawah:

a. Gambarlah grafiknya!

b. Tentukan gradien dari masing-masing persamaannya !

a.


y

x30

2x - y = 8

2x - y = 6

4

b. 2x + y = 4

y = -2x + 4 Gradiennya -2

3x – 2y = -1

-2y = -3x – 1

y =

32x

+

12 Gradiennya

32

Terbukti bahwa kedua garis berpotongan, jika gradien

persamaan garis tersebut berbeda.

2) Dua garis/grafik akan sejajar, jika gradien kedua garis sama

Contoh:

Diketahui SPLDV 2x – y = 8

2x – y = 6

a) Tentukan gradiennya!

b) Gambar grafiknya!

Jawab:

a) 2x – y = 8

y = 2x – 8 gradiennya 2

2x – y = 6

y = 2x – 6 gradiennya 2

b)


Terbukti bahwa dua persamaan yang gradiennya sama maka

grafik/garisnya sejajar.

3) Dua garis/grafik akan berimpit, jika persamaan linear yang satu

merupakan kelipatan persamaan linear yang lain.

Contoh:

Diketahui SPLDV x + y = 5

2x + 2y = 10

Gambarlah grafiknya!

Jawab:


y

x

x + y = 5

2x + 2y = 10

Terbukti bahwa, jika persamaan linear yang satu merupakan

kelipatan persamaan linear yang lain, maka kedua grafik berimpit.

KESIMPULAN

Penyelesaian SPLDV: {a1 x + b1 y = c1

a2 x + b2 y = c2 dengan metode grafik, akan

diperoleh hal-hal sebagai berikut:

1) Dua grafik/garis berpotongan di satu titik, hal-hal yang terjadi adalah:

a) Himpunan penyelesaiannya tepat memiliki satu anggota.

b) a1b2 – a2b1 0

c) SPLDV disebut sistem persamaan yang konsisten dan saling lepas.

d) Gradien dari masing-masing persamaan Penyusun SPLDV

berbeda.

2) Dua grafik/garis sejajar (tidak berpotongan), hal-hal yang terjadi

adalah:

a) Himpunan penyelesaiannya tidak memiliki anggota. Dikatakan

bahwa himpunan penyelesaiannya merupakan himpunan kosong.

Ditulis { } atau .

b){a1

a2=b1

b2≠c1

c2 atau {a1b2−a2b1=0 dana1c2−a2c1≠0 ataub2c1−b1c2≠0

c) SPLDV disebut sistem persamaan yang tidak konsisten.

d) Gradien dari masing-masing persamaan Penyusun SPLDV sama.

3) Dua grafik/garis berimpit (berpotongan di sepanjang garis), hal-hal

yang terjadi adalah:

a) Himpunan penyelesaiannya memiliki tidak hingga banyak anggota.

b){a1

a2=b1

b2=c1

c2 atau {a1b2−a2b1=0 dana1c2−a2c1=0 ataub2c1−b1c2=0

c) SPLDV disebut sistem persamaan yang saling menguntungkan


d) Persamaan linear yang satu merupakan kelipatan dari persamaan

linear yang lain.

2. METODE SUBSTITUSI

Substitusi artinya menggantikan/menyatakan salah satu variabel dalam

variabel yang lain.


dengan metode substitusi langkah-langkahnya sebagai berikut:

1) Pilihlah salah satu persamaan yang paling sederhana, kemudian

nyatakan dalam bentuk y = ax + b atau x = cy + d

2) Substitusikan x atau y pada langkah (1) ke dalam persamaan yang

lainnya.

3) Selesaikan persamaan yang diperoleh pada langkah (2) untuk

mendapatkan nilai x = x0 atau y = y0.

4) Substitusikan nilai x = x0 yang diperoleh untuk mendapatkan y0 atau

substitusikan nilai y0 yang diperoleh untuk mendapatkan x0.

5) Himpunan penyelesaiannya adalah {(x0, y0)}.

Contoh:

1) Dengan metode substitusi tentukan himpunan penyelesaian SPLDV!

a)

2 x− y=42 x+3 y=12 b)

12 x− y−5=0

x+ 13 y−3=0

Jawab:

a){ 2 x− y=42x+3 y=12 ⇒{ y=2x−4 . .. . .. .. . .(1)

2x+3 y=12 .. . .. .. .(2)

- Substitusi (1) ke (2), sehingga diperoleh

2x + 3(2x – 4) = 12

2x + 6x – 12 = 12

8x = 24

x = 3


- Substitusikan x = 3 ke (1), diperoleh

y = 2x – 4 = 2(3) – 4 = 6 – 4 = 2

- Himpunan Penyelesaiannya: { (3,2) }

b){1

2 x− y−5=0

x+ 13 y−3=0 diubah menjadi

{12 x− y=5 . .. . .. .. .(1)

x+ 13 y=3 .. . .. .. . .(2)

- Persamaan (1): 12 x – y = 5, tiap ruas dikalikan 2

x – 2y = 10

- Persamaan (2): x + 13 y = 3, tiap ruas dikalikan 3.

3x + y = 9

Dengan demikian, SPLDV semula ekuivalen dengan SPLDV

{x−2 y=103x+ y=9 ⇒ {x=2 y+10 .. . .. .. .. .(1)

3 x+ y=9 . .. . .. .. .. . .(2)

- Substitusikan (1) ke (2), sehingga diperoleh:

3(2y + 10) + y = 9

6y + 30 + y = 9

7y = 9 – 30 = -21

y = -3

- Substitusikan y = -3 ke (1) diperoleh

x = 2y + 10 = 2(-3) + 10 = -6 + 10 = 4

- Himpunan Penyelesaiannya {(4,-3)}

LATIHAN 4

Dengan metode substitusi, tentukan himpunan penyelesaian dari masing-

masing SPLDV berikut:

a.{3 x+4 y+2=0

2x− y+5=0

b.{2x+3 y=13x+2 y=10

c.{3 x−4 y−30=0

2 x+3 y+14=0

d.{2x+4 y=1x+ y=1


e.{ 5x+ y=62x+3 y=5

f.{5x−3 y−7=0

2x+5 y=9

g.{ 4 x−3 y=143 x+4 y−23=0

h.{3x−2 y−5=06x+5 y−7=0

i.{ 3 x+4 y=242x+5 y−23=0

j.{ 7 x−3 y=−26 x+7 y+40=0


3. METODE ELIMINASI

Eliminasi artinya penghapusan atau pelenyapan/penghilangan salah satu

variabel untuk menentukan nilai variabel lainnya dan sebaliknya.


dengan metode eliminasi, langkah-langkahnya sebagai berikut:

1) Perhatikan koefisien dari variabel (misal x atau y). Jika koefisien salah

satu variabel dari kedua SPLDV belum sama maka samakan dengan

mengalikan atau membagi dengan suatu bilanga.

2) Jika koefisien dari salah satu variabel (misal x atau y) sudah sama,

maka:

- Jika tandanya sama, kurangi persamaan (1) dari persamaan (2) atau

sebaliknya.

- Jika tandanya berbeda, tambahkan persamaan (1) dari persamaan

(2) atau sebaliknya.

Contoh:

1) Dengan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian SPLDV

berikut:

a) 2x – y = 2 b. x + y = 2

3x – 2y = 1 3x + 2y = 8

Jawab:

a) 2x – y = 2 ………. (1)

3x – 2y = 1 ……… (2)

Misalnya kita akan mengeliminasi variabel y, karena

koefisiennya tidak sama, maka kita menyamakan dulu dengan

mengalikan persamaan (1) dan (2) dengan konstanta yang

bersesuaian, sehingga koefisien y menjadi sama.

2x – y = 2 | x 2 4x – 2y = 4

3x– 2y= 1 | x 1 3x – 2y = 1 _ (koefisien sama, kurangi)

x = 3

Mengeliminasi variabel x

(samakan koefisien x)

2x – y = 2 | x 3 6x – 3y = 6

3x– 2y= 1 | x 2 6x – 4y = 2 _ (koefisien sama, kurangi)

y = 4

HP = {(3,4)}


b) x + y = 2

3x + 2y = 8

Mengeliminasi variabel y, diperoleh nilai x

x + y = 2 | x 2 2x + 2y = 4 (koefisien sama,

3x+2y= 8 | x 1 3x + 2y = 8 _ kurangkan!)

-x = -4

x = 4

Mengeliminasi variabel x, diperoleh nilai y

x + y = 2 | x 3 3x + 3y = 6 (koefisien sama,

3x+2y= 8 | x 1 3x + 2y = 8 _ kurangi!)

y = -2

HP = {(4,-2)}

Untuk menyelesaikan soal-soal SPLDV yang belum bentuk baku, maka

kita ubah SPLDV belum baku menjadi SPLDV yang baku.

Contoh:

2) Carilah Himpunan Penyelesaian dari SPLDV:

{ x−24 + y=3 . .. . .. .. . .. .. .(1)

x+ y+ 43 =8 . .. . .. .. . .. ..(2 )

Jawab:

Persamaan (1) :

x−24

+ y=3 , tiap ruas dikalikan 4

x – 2 + 4y = 12

x + 4y = 14 ………. (1)

Persamaan (2) : x +

x+43

=8 , tiap ruas dikalikan 3

3x + y + 4 = 24

3x + y = 20 ………. (2)

Selanjutnya persamaan yang terakhir diselesaikan dengan metode

eliminasi.

Mengeliminasi variabel y diperoleh nilai x

x + 4y = 14 | x 1 x + 4y = 14 (koefisien sama,

3x + y = 20 | x 4 12x + 4y = 80 _ dikurangi)

-11x = -66

x = 6


Mengeliminasi variabel x, diperoleh nilai y

x + 4y = 14 | x 3 3x + 12y = 42 (koefisien sama,

3x + y = 20 | x 1 3x + y = 20 _ kurangi!)

11y = 22

y = 2

HP = {(6,2)}

3) Carilah himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut:

a){ x4 + y

2=1

x2− y

2=5

b){ x+8=2( y+3 )x−4 y=4 ( x−2 y+2)

c){−2x+ 6y=−1

4x+ 1y=−2 1

3

d){ x+8

2 + y3 =2

x+ y−25 + x− y+1

4 =−3

Jawab:

a) - Persamaan (1):

x4+ y

2=1

, tiap ruas dikalikan 4

x + 2y = 4 ………. (1)

- Persamaan (2):

x2− y

2=5

, tiap ruas dikalikan 2

x – y = 10 ………. (2)

- Selanjutnya persamaan yang terakhir diselesaikan dengan

metode eliminasi.

- Mengeliminasi variabel y, diperoleh nilai x

x + 2y = 4 | x 1 | x + 2y = 4 (koefisien beda,

x – y = 10 | x 2 | 2x–2y = 20 _ ditambah)

3x = 24

x = 8


- Mengeliminasi variabel x, diperoleh nilai y

x + 2y = 4 (Koefisien sama, dikurangi)

x – y = 10 _

3y = -6

y = -2

HP = {(8, -2)}

b) - x + 8 = 2(y + 3)

x – 2y = -2 ……. (1)

- x – 4y = 4(x – 2y + 2)

-3x + 4y = 8 ….. (2)


x – 2y = -2 | x -3 | -3x + 6y = 6 (koefisien sama

-3x+4y= 8 | x 1 | -3x + 4y = 8 _ kurangi)2y = -2

y = -1


x – 2y = -2 | x 2 | 2x - 4y = -4 (koefisien sama

-3x+4y= 8 | x 1 | -3x + 4y = 8 _ kurangi)-x = 4

y = -4

HP = {(-4,-1)}

c){−2x+ 6y=−1 . .. .. . .. .. . .(1 )

4x+ 1y=−2 1

3. .. . .. .. . ..(2 )

Misal:

1x=A

maka SPLDV di atas menjadi:

1y=B

{−2 A+6B=−1 .. .. . .. .. . .. .(1)

4 A+B=−2 13

. . .. .. . .. .. . .(2)

- Mengeliminasi variabel B, diperoleh nilai A

-2A + 6B = -1 | x 1 | -2A + 6B = -1

4A + B = -73 | x 6 | 24A + 6B = -14 _

-26A = 13


A = -12

- Mengeliminasi variabel A, diperoleh nilai B

-2A + 6B = -1 | x 2 | -4A+12B = -2

4A + B = -73 | x 1 | 4A + B = -

73 +

13B = -2 - 73 =

−63 -

73 =− 13

3

B= -133 : 13

1 =− 13

Jika A = −1

2 maka

1x=−1

2 x = -2

Jika B = − 1

3 maka

1y=−1

3 y = -3

HP = {(-2,-3)}

d) - x+8

2 + y3 =2 , kedua ruas dikalikan 6, diperoleh:

6( x+8

2 )+6 ( y3 )=6(2 )

3(x + 8) + 2(y) = 12

3x + 24 + 2y = 12

3x + 2y = -12 …………… (1)

-x+ y−2

5 + x− y+14 =−3 , kedua ruas dikalikan 20, diperoleh:

20((x+ y−2

5 )+20 ( x− y+14 )=20(−3 )

4(x + y – 2) + 5 (x – y + 1) = -60

4x + 4y – 8 + 5x – 5y + 5 = -60

9x – y = -57 ………….. (2)


3x + 2y = -12 | x1 | 3x + 2y = -12

9x – y = -57 | x2 | 18x – 2y = -114 +

21x = -126

x = 6


3x + 2y = -12 | x3 | 9x + 6y = -36

9x – y = -57 | x1 | 9x – y = -57 _

7y = 21

y 3 6

HP = {(6,3)}


LATIHAN 5

1) Tentukan himpunan penyelesaian dari tiap SPLDV berikut:

a){x5− y

6=2

35x+ 2

3y=−1

b){x4+ y

7=−23

x14x+ y

8=−6

c){ 0 ,25 x+0 ,25 y=3

0 ,75x−0 ,125 y=2

d){0,5 x−0,6 y=−2

1,5x−0,8 y=7

e){ 0,5 x−0,2 y=90,6 x−0 ,25 y=1

2) Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut:

a){

1x+ 8y=1 1

2

4x− 4y=3

b){

4x− 3y=1

6x+ 4y=6

c){10 x−5 y=2xy

5x+10 y=1 12xy

d){ 4 x+3 y=xy48 x−6 y=5xy


e){12x+3 y=xy9 x−4 y=7 xy

3) Tentukan HP dari SPLDV berikut ini:

x+52

+3 y+93

=9

2 x+3 y4

+6=9

4) Diketahui SPLDV 100x + 3y = 106

25x – 7y = 11

Maka nilai dari 3x + y adalah …

5) Dua buah bilangan x dan y mempunyai perbandingan 2 : 3. Jika

jumlah 2 kali bilangan x ditambah 1,5 kali bilangan y sama dengan 68,

maka bilangan tersebut berturut-turut adalah …

6) Keliling suatu persegi panjang 50 cm, dan panjangnya lebih 7 cm dari

lebarnya, maka lebarnya adalah …

7) Jika x dan y memenuhi SPLDV : { 3x+ y=95x+2 y=16 maka nilai x + y

adalah …

8) SPLDV: 6x + 8y = 19

3x + 4y = 13

memiliki ….

a) banyak penyelesaian

b) empat penyelesaian

c) dua penyelesaian

d) satu penyelesaian

e) tak ada penyelesaian

9) Diberikan persamaan

a−23

+ b+16

=2 dan

a+34

−2b−12

=1

Nilai

1a+b

=.. ..

10) Nilai x + y yang memenuhi persamaan

2x+3 y+43 x− y−10

=3 dan

x− y+7−2x+ y+5

=−3 adalah ….


11) Himpunan penyelesaian dari SPLDV: {

9x−14y

=0

6x+ 2y=1

adalah {(x,y)}.

Nilai x + y = ….

12) Himpunan penyelesaian dari SPLDV: { a+8 x=2(b+3)a−4b=4( a−2b+2 )

adalah…

13) Jika penyelesaian dari SPLDV : {3 p+4q+2=0

2 p−q+5=0 adalah p dan q,

maka nilai p + q adalah …

14) Pada sistem persamaan {4 x−3 y+3=02x−5 y−9=0 selisih nilai x dan y

adalah…

15) Jika himpunan penyelesaian dari sistem persamaan {2x+3 y=4−3 x+ y=5

adalah {(x,y)}, maka nilai xy = …

4. METODE GABUNGAN ELIMINASI DAN SUBSTITUSI

Metode eliminasi dan substitusi dapat digunakan secara bersama-sama

untuk menyelesaikan SPLDV. Adapun langkah-langkahnya sebagai

berikut:

1) Eliminasikan (hilangkan) salah satu variabel:

- Misalnya: menghilangkan variabel x, sehingga diperoleh nilai y

- Misalnya: menghilangkan variabel y, sehingga diperoleh nilai x

2) Substitusikan nilai variabel x atau variabel y yang diperoleh dari

langkah (1) ke persamaan yang lain, sehingga diperoleh nilai x atau y.

3) Tulislah himpunan penyelesaiannya.

Contoh:

1) Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan metode

gabungan Eliminasi dan Substitusi

a) 5x + y = 10


2x + 3y = -22

b) 3x – y = 7

-2x + 4y = -8

Jawab:

a) - Eliminasi y sehingga diperoleh nilai x

5x + y = 10 |x3 15x + 3y = 30

2x + 3y = -22 |x1 2x + 3y = -22 _

13x = 52 x = 4

- Substitusikan nilai x = 4 ke persamaan 5x + y = 10 sehingga

diperoleh nilai y

5(4) + y = 10

20 + y = 10

y = 10 – 20 = -10

HP = {(4,-10)}

b) - Eliminasi y, sehingga diperoleh nilai x

3x – y = 7 | x4 12x – 4y = 28

-2x + 4y = -8 | x1 -2x + 4y = -8 +

10x = 20

x = 2

- Substitusi nilai x = 2 ke persamaan 3x – y = 7 sehingga

diperoleh nilai y

3(2) – y = 7

6 - y = 7

y = 6 – 7 = -1

HP : {(2,-1)}

2) Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut:

a) 3x + 5y = 21

2x – y = -5

b) 3x + 5y = 11

4x – y = 7

Jawab:

a) - Eliminasi x sehingga diperoleh nilai y:


3x + 5y = 21 |x2 6x + 10y = 42

2x – y = -5 |x3 6x – 3y = -15 _

13y = 57

y = 4

513

- Substitusi nilai y = 4

513 ke persamaan 2x – y = -5, sehingga

diperoleh nilai x:

2x - 4

513 = -5

2x = -5 + 4

513 = -4

1313 + 4

513 = -

813

x = -

813 x

12 = -

413

HP = {(− 4

13,4 5

13 )}b) - Eliminasi x sehingga diperoleh nilai y:

3x + 5y = 11 |x4 12x + 20y = 44

4x – y = 7 |x3 12x – 3y = 21 _

23y = 23

y = 1

- Substitusi nilai y = 1 ke persamaan 4x – y = 7, sehingga

diperoleh nilai x

4x – 1 = 7

4x = 7 + 1 = 8

x = 2

HP: {(8,1)}

3) Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan metode

gabungan eliminasi dan substitusi.

a) 3x – 2y – 6 = 0

9x – 8y – 2 = 0

b) 2x + y = 6

x + y = 3


5. METODE DETERMINAN

Determinan adalah suatu jajaran bilangan yang terdiri atas baris dan kolom

serta dibatasi oleh dua buah garis vertikal.

Bentuk umum determinan

|

a11 a12 a13 aija21 a22 a23 a2 ja31 a32 a33 a3 j

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ai 1 ai 2 a i3 aij

|

→Baris 1→Baris 2→Baris 3

→Baris i

Kolom 1 Kolom 3

Kolom 2 Kolom j

Determinan sering dilambangkan dengan huruf D. Ordo atau derajat dari

suatu determinan ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom.

Contoh:

D = |0 12 3

| Determinan berorde/berderajat 2

D =

|2 0 13 1 −15 −3 2

| Determinan berorde/berderajat 3

D =

|

−1 0 2 53 2 7 4

−2 1 3 05 2 7 1

|

Determinan berorde/berderajat 4

Cara Menentukan Nilai Determinasi

Karena sistem persamaan linear yang dipelajari di SMA hanyalah

sistem persamaan linear dua variabel dan tiga variabel yang juga hanya

berhubungan dengan determinan ordo 2 dan orde 3, maka determinan

yang akan ditentukan nilainya hanyalah determinan ordo 2 dan ordo 3.


Untuk Determinan Ordo 2:

Bentuk Umum:

D = |a bc d

| Tanda panah menunjukkan elemen-elemen yang dikalikan

Nilai determinan D = (a.d) – (c.b)

Untuk Determinan Ordo 3:

Jika determinan berordo 3 adalah D =

|a b cd e fg h i

|, maka langkah-

langkah menentukan nilai determinan tersebut adalah:

1) Tulis ulang langkah kolom 1 dan 2 secara berurut disamping

determinan yang dicari nilainya.

|a b cd e fg h i

|adg

b e h

2) Kalikan elemen-elemen diagonal dari kiri atas ke kanan bawah dan

juga dari kanan atas ke kiri bawah.

3) Hasil kali elemen-elemen dari diagonal kiri atas ke kanan bawah

dijumlahkan kemudian dikurangi jumlah dari hasil kali elemen

diagonal kanan atas ke kiri bawah.

|a b cd e fg h i

| adg

b e h

- - - + + +

Nilai D = (a.e.i + b.f.g + c.d.h) – (c.e.g + a.f.h + b.d.i)

Contoh:

Tentukan nilai dari:

a)|2 34 5

|b)

|0 −78 7

|c)

|1 2 34 5 6-2 -1 0

| d)

|2 2 21 5 6-2 3 -1

|

Jawab:

a)|2 34 5

| = (2 x 5) – (3 x 4) = 10 – 12 = -2

b)|0 −78 7

| = (0 x 7) – (-7 x 8) = 0 – (-56) = 56


c)

|1 2 34 5 6-2 -1 0

|= [(1x5x0)+(2x6x2)+(3x4x(-1)] –

[(3x5x2)+(1x6x(-1)] + (2x4x0)]

= (0 + 24 + (-12)] – [30 + (-6) + 0)

= [12] – [24] = -12

d)

|2 2 21 5 6-2 3 -1

|= [(2x5x(-1)] + (2x6x(-2) +(2x1x3)] –

[(2x5x(-2)] + (2x6x3) + (2x1x1(-1)]

= [-10+(-24)+6) – (20+36+(-2)]

= [-28] – [14]

= -42

Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Determinan

Jika bentuk umum SPLDV: {a1 x+b1 y=c1

a2 x+b2 y=c2

Maka: D = |a1 b1

a2 b2

| Dx =

|c1 b1

c2 b2

| Dy =

|a1 c1

a2 c2

|

x =

DxD serta y =

DyD

Contoh:

Dengan metode determinan, tentukan himpunan penyelesaian dari

SPLDV: 2x + 3y = 10

4x + 5y = 12

Jawab:

D = |2 34 5

| = (2 x 5) – (3 x 4) = 10 – 12 = -2

Dx = |10 312 5

| = (10 x 5) – (3 x 12) = 50 – 36 = 14

Dy = |2 104 12

| = (2 x 12) – (10 x 4) = 24 – 40 = -16

x =

DxD

=14−2

=−7


y =

DyD

=−16−2

=8

HP = {(-7,8)}

Dari penyelesaian: x =

DxD =

|c1 b1

c2 b2

|

|a1 b1

a2 b2

| y =

DyD =

|a1 c1

a2 c2

|

|a1 b1

a2 b2

|

Diketahui bahwa jika:

1) D 0, Dx 0, Dy 0 atau |a1 b1

a2 b2

| 0,

|c1 b1

c2 b2

| 0,

|a1 c1

a2 c2

|

0 atau a1b2 a2b1, c1b2 c2b1, a1c2 a2c1

atau

a1

a2≠b1

b2,b1

b2≠c1

c2,a1

a2≠c1

c2

atau

a1

a2≠b1

b2≠c1

c2

maka SPLDV mempunyai satu anggota dalam himpunan

penyelesaiannya.

2) D = 0, Dx 0, Dy 0

atau |a1 b1

a2 b2

| = 0,

|c1 b1

c2 b2

| 0,

|a1 c1

a2 c2

|0

atau a1b2 a2b1, c1b2 c2b1, a1c2 a2c1

atau

a1

a2=b1

b2,c1

c2≠b1

b2,a1

a2≠c1

c2

maka SPLDV tidak mempunyai anggota dalam himpunan

penyelesaiannya atau himpunan penyelesaiannya himpunan

kosong.

3) D = 0, Dx = 0, Dy = 0

atau |a1 b1

a2 b2

| = 0,

|c1 b1

c2 b2

| = 0,

|a1 c1

a2 c2

|=0

atau a1b2 = a2b1, c1b2 = c2b1, a1c2 = a2c1

atau

a1

a2=b1

b2,b1

b2=c1

c2,a1

a2=c1

c2


maka SPLDV mempunyai tak hingga banyak anggota dalam


Contoh:

Dengan metode determinan tentukan himpunan penyelesaian dari

SPLDV berikut:

a) x + y = 4 b) 2x – 2y = 4 c. x + y = 1

4x+3y = 13 x – y = 1 3x+3y = 3

Jawab:

a) D = |1 14 3

| = -1 x =

DxD

=−1−1

=1

Dx = | 4 113 3

| = -1 x =

DyD

=−3−1

=3

Dy = |1 44 13

| = -3 HP ={(1,3)}

b) D = |2 −21 1−

| = 0 x =

DxD

=−60

=~

Dx = |4 21 −1

| = -6 x =

DyD

=−20

= ~

Dy = |2 41 1

| = -2 HP ={ } = = Tak punya

c) D = |1 13 3

| = 0 x =

DxD

=00=

TT

Dx = |1 13 3

| = 0 x =

DyD

= 00=

TT

Dy = |1 13 3

| = 0 HP mempunyai tak hingga

banyak penyelesaian

Keterangan:

~ = dibaca tak terhingga

TT = dibaca tak terdefinisi


Latihan

1) Dengan metode determinan, tentukan himpunan penyelesaian SPLDV

berikut:

a. x + y = 3

2x + 3y = 7

b. x – y = 5

2x + 5y = -4

c. x – 2y = 6

2x – y = 9

d. 4x – 3y + 11 = 0

2x – 5y = 5

e. x + 8 = 2 (y + 3)

4(x – 2y + 2) = x – 4y

f.

x5− y

6=2

35x+2

3y=−1

g.

x4+ y

7=23

x14

− y8=−6

h. 0,25x + 0,25y = 3

0,75x – 0,125y = 2

i. 5 {x−( y+1)}=3 x+2(3 y−1)+20

2{2x – 3(2y-1)} = -5x + y

j.

2x+ y+42

+( y−4 )= x−2 y+273

+3

x+3 y+15

+x= x+ y+54

+(−x− y )

2) Tentukan nilai determinan berordo dua berikut:

a.

|

13−2 3

2 12

57 6 4

5

|

e.

|

√32

1

7 √23

|


b.

|

√3√2

√3√5

√3√2

1√7

|

f.

|2−5 5 4

3

1√7

232|

c.

|

√32

32 1

3

13

13−3

|

g.

|

12 √3

13 √2

|

d.

|2 1

32−2

727 3√5

|

h.

|√5 √31√7

1√6

|

3) Yang manakah dari SPLDV berikut yang tidak memiliki penyelesaian,

yang memiliki satu penyelesaian dan tentukan penyelesaiannya serta

yang memiliki tak hingga banyak penyelesaian.

a. x + 3y = 5 e.

1x+ 1y= 3

4

2x + 3y = -2

3x− 5y=1

4

b. 5x – 2y = 3 f. x = 0

10x - 4y = 6 y = 0

c. 2x – 4y = 7 g. y – 5 = 0

3x + 3y = -

72 y – 7 = 0

d. 3x + 4y = 17 h. 3x – 7y = 29

5x + 7y = 29 3x – 7y = 33

C. SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV)

- Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel adalah sistem persamaan yang

terdiri dari Tiga Variabel/Peubah.

- Bentuk Umum SPLTV:

Bentuk umum SPLTV x, y, dan z dapat ditulis sebagai berikut:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

dengan a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2, d3, R


a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

(x1, y1, z1)

a1x + b1y + c1z = d1

Titik potong

Persamaan a1x + b1y + c1z = d1, a2x + b2y + c2z = d2, dan a3x + b3y + c3z =

d3 merupakan persamaan di R3. Ketiga bidang tersebut dapat saling

berpotongan di sebuah titik, sebuah garis, atau tidak berpotongan.

1) Jika tiga bidang berpotongan dan perpotongannya berupa titik, maka

SPLTV tersebut mempunyai satu anggota dalam himpunan

penyelesaiannya (mempunyai penyelesaian tunggal), yaitu titik potong

tersebut.

Dari gambar di atas terlihat, bahwa ketiga bidang bertemu

(berpotongan) di satu titik, yaitu titik (x1, y1, z1).

Jadi titik (x1, y1, z1) merupakan penyelesaian tunggal dari sistem

persamaan linear tiga variabel tersebut.

2) Jika tiga bidang berpotongan dan perpotongannya berupa garis, maka

SPLTV tersebut mempunyai tak hingga banyak penyelesaian, yaitu

titik-titik pada garis potong ketiga bidang tersebut.

Terlihat pada gambar di atas, bahwa ketiga bidang berpotongan pada

satu garis. Jadi titik-titik pada garis berpotongan merupakan

penyelesaian dari SPLTV tersebut. Dengan kata lain SPLTV tersebut


mempunyai tak hingga banyak anggota dalam himpunan

penyelesaiannya (mempunyai lebih dari satu penyelesaian).

3) Jika ketiga bidang tidak berpotongan sama sekali, maka SPLTV

tersebut dapat digambarkan ke dalam tiga kemungkinan berikut ini.

Terlihat pada gambar di atas bahwa, ketiga bidang tidak mempunyai

titik atau garis potong. Dengan kata lain SPLTV ini tidak mempunyai

anggota dalam himpunan Penyelesaiannya (himpunan Penyelesaiannya

adalah himpunan kosong).

Secara aljabar, penyelesaian SPLTV dapat dicari dengan beberapa

cara/metode antara lain:

1) Metode substitusi

2) Metode gabungan/kombinasi eliminasi dan substitusi

3) Metode determinan

1. Menyelesaian SPLTV dengan Metode Substitusi

Untuk menentukan penyelesaian/himpunan penyelesaian SPLTV dengan

metode substitusi, langkah-langkahnya sebagai berikut:

1) Pilihlah salah satu persamaan yang paling sederhana, kemudian

nyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan z, atau z

sebagai fungsi x dan y.

2) Substitusikan x atau y atau z yang diperoleh pada langkah pertama (1)

ke dalam dua persamaan yang lainnya sehingga diperoleh SPLDV.

3) Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah kedua (2)

Contoh:

1) Tentukan penyelesaian SPLTV berikut dengan substitusi


x + y + 2x = 9 ……….. (1)

2x + 4y – 3z = 1 …….. (2)

3x + 6y – 5z = 0 …….. (3)

Jawab:

- Dari persamaan (1), kita dapatkan x = 9 – y – 2z ……….. (4)

- Persamaan (4) disubstitusikan ke persamaan (2) dan (3)

2(9 – y – 2z) + 4y – 3z = 1

2y – 7 z = -17 ………………………………………………. (5)

Dan

3(9 – y – 2z) + 6 – 5z = 0

3y – 11z = -27 ……………………………………………….(6)

Sehingga diperoleh SPLTV berikut ini.

2y – 7z = -17 ………………………………………………… (5)

3y – 11z = -27 ……………………………………………….. (6)

Selanjutnya, kita dapat mencari nilai y dan z dengan cara substitusi

seperti pada SPLDV.

- Dari persamaan (5) diperoleh: y =

−17+7e2 …………………. (7)

- Substitusi persamaan (7) ke persamaan (6)

3(−17+7 e2 )−11 z=−27

-51 + 21z – 22z = -54

-z = -3

z = 3

- Kemudian nilai z = 3 disubstitusikan ke persamaan (7), diperoleh

nilai y = 2

- Substitusikan y = 2 dan z=3 ke persamaan (4) diperoleh nilai x= 1.

Jadi SPLTV tersebut mempunyai penyelesaian tunggal yaitu (1,2,3)

atau Himpunan Penyelesaiannya adalah {(1,2,3)}.

2) Tentukan penyelesaian dari SPLTV dengan substitusi

2x + y – z = 2 ………… (1)

x – 2y + 3z = 1 ……….. (2)

3x – y + 2z = 3 ……….. (3)

Jawab:

Misalkan substitusi dimulai pada variabel z terlebih dahulu (persamaan

yang paling sederhana).


- Dari persamaan (1) diperoleh: z = 2x + y – 2 …………….. (4)

- Persamaan (4) disubstitusikan ke persamaan (2) dan (3) diperoleh:

x – 2y + 3(2x + y – 2) = 1

7x + y = 7 ………………………………………………….. (5)

Dan

3x – y + 2(2x + y – 2) = 3

7x + y = 7 …………………………………………………. (6)

- Persamaan (5) sama dengan persamaan (6), sehingga dari kedua

persamaan ini dapat kita peroleh nilai satu peubah sebagai fungsi

dari peubah yang lain, misalnya:

y = 7 – 7x ………………………………………………………. (7)

- Substitusikan persamaan (7) ke persamaan (4), maka diperoleh:

z = 2x + (7 – 7x) – 2

z = -5x + 5

Jadi, penyelesaian dari SPLTV tersebut adalah:

x = x

y = 7 – 7x

z = 5 – 5x

Penyelesaian dari SPLTV ini banyak sekali, tergantung pada nilai x

yang kita tentukan, misalnya.

Jika x = 1, maka y = 0 dan z = 0 atau

Jika x = 0, maka y = 7 dan z = 5 atau

Jika x = -1, maka y = 14 dan z = 10 dan seterusnya

Dengan kata lain SPLTV ini mempunyai tak hingga banyak

anggota dalam Himpunan Penyelesaiannya.

Cara lain

- Persamaan (5) sama dengan persamaan (6): berarti persamaan yang

satu merupakan kelipatan dari persamaan yang lain, maka

himpunan penyelesaiannya mempunyai tak hingga banyak

anggota.

3) Tentukan penyelesaian dari SPLTV dengan substitusi

x + 2y – 3z = -1 …………………………………………………. (1)

3x - y + 2z = 7 …………………………………………………… (2)

5x + 3y – 4z = 2 …………………………………………………. (3)

Jawab:


- Misalkan substitusi dimulai pada variabel x, dari persamaan (1)

diperoleh:

x = -2y + 3z – 1 ……………………………………………….. (4)

- Persamaan (4) disubstitusikan ke persamaan (2) dan (3) diperoleh:

3(-2y + 3z – 1) – y + 2z = 7

-7y + 11z = 10 …………………………………………….. (5)

dan

5(-2y + 3z – 1) + 3y – 4z = 2

-7y + 11z = 7 ………………………………………………. (6)

Persamaan (5) dan (6) menyatakan bahwa SPLDV tersebut tidak

konsisten sehingga SPLTV tidak mempunyai penyelesaian.

2. Menyelesaian SPLTV dengan Metode Eliminasi Substitusi

Untuk menentukan penyelesaian/himpunan penyelesaian SPLTV dengan

metode eliminasi, langkah-langkahnya sebagai berikut:

1) Eliminasi salah satu variabel x atau y atau z sehingga diperoleh Sistem

Persamaan Linear Dua Variabel (SPLTV).

2) Selesaikan SPLTV yang diperoleh dari langkah (1)

3) Substitusikan nilai-nilai variabel yang diperoleh pada langkah-langkah

2 ke dalam salah satu persamaan semula untuk mendapatkan nilai

variabel yang lainnya.

Contoh:

1) Tentukan penyelesaian dari SPLTV berikut dengan Eliminasi

x + y + 2z = 9 ………………. (1)

2x + 4y – 3z = 1 ……………. (2)

3x + 6y – 5z = 0 ……………. (3)

Jawab:

- Eliminasi z dari persamaan (1) dan (2) sehingga diperoleh:

x + y + 2z = 9 | x 3 3x + 3y + 6z = 27

2x + 4y – 3z = 1 | x 2 4x + 8y – 6z = 2 +

7x + 11y = 29 ……………..(4)


- Eliminasi z dari persamaan (2) dan (3) sehingga diperoleh

persamaan:

2x + 4y - 3z = 1 | x 5 10x + 20y - 15z = 5

3x + 6y – 5z = 0 | x 3 9x + 18y – 15z = 0 _

x + 2y = 5 ………….. (5)

- Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh SPLDV, yaitu:

7x + 11y = 29 …………… (4)

x + 2y = 5 …………….. (5)

- Eliminasi x pada persamaan (4) dan (5) diperoleh nilai y

7x + 11y = 29 | x1 7x + 11y = 29

x + 2y = 5 | x7 7x + 14y = 35 _

-3y = -6

y = 2

- Eliminasi y pada persamaan (4) dan (5) diperoleh nilai x

7x + 11y = 29 | x2 14x + 22y = 58

x + 2y = 5 | x11 11x + 22y = 55 _

3x = 3

x = 1

- Substitusikan nilai x = 1 dan y = 2 ke persamaan yang paling

sederhana (misal persamaan (1)) sehingga diperoleh nilai z

x + y + 2x = 9

1 + 1 + 2z = 9

2z = 6

z = 3

Penyelesaian SPLTV tersebut adalah x = 1, y = 2, z = 3 atau

(1, 2, 3)

Sedangkan himpunan penyelesaiannya {(1,2,3)}

2) Tentukan penyelesaian dari SPLTV berikut dengan Eliminasi

2x + y – z = 2 ……………… (1)

x – 2y + 3x = 1 ……………. (2)

3x – y + 2z = 3 …………….. (3)

Jawab:


- Eliminasi z dari persamaan (1) dan (2) diperoleh persamaan (4)

2x + y – z = 2 | x3 6x + 3y – 3z = 6

x - y + 3z = 1 | x1 x - 2y + 3z = 1 +

7x + y = 7 ……………….. (4)

- Eliminasi z dari persamaan (1) dan (3) diperoleh persamaan (5)

2x + y – z = 2 | x2 4x + 2y – 2z = 4

3x - y + 2z = 3 | x1 3x - y + 2z = 3 +

7x + y = 7 ……………….. (5)

- Terlihat bahwa persamaan (4) sama dengan persamaan (5)

sehingga kita peroleh nilai satu variabel yang merupakan fungsi

dari variabel yang lain, yaitu y = 7 – 7x.

- Substitusikan nilai y = 7 – 7x ke persamaan (1), diperoleh:

2x + (7 – 7x) – z = 2

z = -5x + 5

Penyelesaian SPLTV tersebut adalah:

x = x

y = -7x + 7

z = -5x + 5

Dengan kata lain, SPLTV ini mempunyai banyak penyelesaian

tergantung pada nilai variabel x yang kita tentukan.

Cara Lain

Persamaan (4) sama dengan persamaan (5), berarti persamaan yang

satu mrupakan kelipatan dari persamaan yang lain, maka himpunan

penyelesaiannya mempunyai tak hingga banyak anggota.

3) Tentukan penyelesaian SPLTV berikut dengan Eliminasi

x + 2y – 3z = -1 …………. (1)

3x - y + 2z = 7 …………. (2)

5x + 3y – 4z = 2 ………… (3)

Jawab:

- Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2) diperoleh persamaan (4)

x + 2y – 3z = -1 | x3 3x + 6y – 9z = -3

3x – y + 2z = 7 | x1 3x – y + 2z = 7 _

7y – 11z = -10 ………… (4)


- Eliminasi x dari persamaan (1) dan (3) diperoleh persamaan (5)

x + 2y – 3z = -1 | x5 5x + 10y – 15z = -5

5x + 3y + 2z = 2 | x1 5x + 3y - 4z = 2 _

7y – 11z = -7 ………..… (5)

- Persamaan (4) dan persamaan (5) menyatakan bahwa persamaan

tersebut tidak konssten (sesuatu yang tak mungkin terjadi),

sehingga dapat dikatakan bahwa SPLTV tersebut tidak mempunyai

penyelesaian.

3. Menyelesaikan SPLTV dengan Metode Determinan

Jika bentuk umum SPLTV:

a1x + b1y + c1z = d1 …………………………………………………… (1)

a2x + b2y + c2z = d2 …………………………………………………… (2)

a3x + b3y + c3z = d3 …………………………………………………… (3)

maka:

D =

|a1 b1 c1

a2 b2 c2a3 b3 c3

|

Dx =

|d1 b1 c1

d2 b2 c2d3 b3 c3

|

Dy =

|a1 d1 c1

a2 d2 c2a3 d3 c3

|

Dz =

|a1 b1 d1

a2 b2 d2a3 b3 d3

|

Penyelesaian SPLTV tersebut adalah: x =

DxD

y =

DyD

z =

DzD

1) Jika D 0, Dx 0, Dy 0, Dz 0, maka SPLTV tersebut

mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya.


2) Jika D = 0, Dx 0, Dy 0, Dz 0, maka SPLTV tersebut tidak

memiliki anggota dalam himpunan penyelesaiannya.

3) Jika D = 0, Dx = 0, Dy = 0, Dz = 0, maka SPLTV tersebut mempunyai

tak hingga banyak anggota dalam himpunan penyelesaiannya.

Contoh:

1) Dengan metode Determinan, tentukan himpunan penyelesaian dari

SPLTV: x + y + z = 1

x + 2y + 3z = 5

3x + 2y – z = -9

Jawab :

D =

|1 1 11 2 33 −2 −1

| 113

12

−2- - - + + +

= [(1)(2)(-1)+(1)(3)(3)+(1)(1)(-2)] – [(3)(2)(1)+(-2)(3)(1)+(-1)(1)(1)]

= 6

Dx =

|-1 1 15 2 3-9 −2 −1

| −15

−9

12

−2 - - - + + +

= [(-1)(2)(-1)+(1)(3)(-9)+(1)(5)(-2)] –

[(-9)(2)(1)+(-2)(3)(-1)+(-1)(5)(1)]

= 18

Dy =

|1 -1 11 5 33 −9 −1

| 113

−15

−9 - - - + + +

= [(1)(5)(-1)+(-1)(3)(3)+(1)(1)(-9)] –

[(3)(5)(1)+(-9)(3)(1)+(-1)(1)(-1)]

= -126

Dz =

|1 1 -11 2 53 −2 −9

| 113

12

−2 - - - + + +


= [(1)(2)(-9)+(1)(5)(3)+(-1)(1)(-2)] –

[(3)(2)(1)+(-2)(3)(1)+(-1)(1)(1)]

= 24

x =

DxD

=−186

=−3

y =

DyD

=−126

=−2

z =

DzD

=246

=4


SPLTV: x + 2y - z = 6

x + y + 2z = 7

2x + 2y + 4z = 5

Jawab :

D =

|1 2 -11 1 23 2 4

| 112

212

- - - + + +

= [(1)(1)(4) + (2)(2)(2) + (-1)(1)(2)] –

[(2)(2)(1) + (1)(2)(2) + (4)(1)(2)]

= 0

Dx =

|6 2 -17 1 25 2 4

| 675

212

- - - + + +

= [(6)(1)(4) + (2)(2)(5) + (-1)(7)(2)] –

[(9)(1)(-1) + (2)(2)(6) + (4)(7)(2)]

= -45

Dy =

|1 6 -11 7 22 5 4

| 112

672

- - - + + +


HP = {(-3,-2,4)}

SPLTV punya satu anggota dalam

HP nya.

= [(1)(7)(4) + (6)(2)(2) + (-1)(1)(5)] –

[(2)(7)(-1) + (5)(2)(1) + (4)(1)(6)]

= 27

Dz =

|1 2 61 1 72 2 5

| 112

112

- - - + + +

= [(1)(1)(5) + (2)(7)(2) + (6)(1)(2)] –

[(2)(1)(6) + (2)(7)(1) + (5)(1)(2)]

= 9

x =

DxD

=−450

=~(Tak terhingga)

y =

DyD

=270

=~(Tak terhingga)

z =

DzD

=90=~

(Tak terhingga)


SPLTV: x + 2y - z = 6

x + y + 2z = 7

2x + 2y + 4z = 14

Jawab :

D =

|1 2 -11 1 22 2 4

| 112

212

= [(1)(1)(4) + (2)(2)(2) + (-1)(1)(2)] –

[(2)(2)(-1) + (2)(2)(1) + (4)(1)(2)]

= 0

Dx =

|6 2 -17 1 2

14 2 4|

6714

212

= [(6)(1)(4) + (2)(2)(14) + (-1)(7)(2)] –

[(14)(1)(-1) + (2)(2)(6) + (4)(7)(2)]

= 0


SPLTV tak punya anggota

dalam HP nya.

Dy =

|1 6 -11 7 22 14 4

| 112

67

14 = [(1)(7)(4) + (6)(2)(2) + (-1)(1)(14)] –

[(2)(7)(-1) + (14)(2)(1) + (4)(1)(6)]

= 0

Dz =

|1 2 61 1 72 2 14

| 112

212

= [(1)(1)(14) + (2)(7)(2) + (6)(1)(2)] –

[(2)(1)(6) + (2)(7)(1) + (14)(1)(2)]

= 0

x =

DxD

=00=

Tak terdefinisi (TT)

y =

DyD

=00=


z =

DzD

=00=


LATIHAN

1. Dengan metode determinan, tentukan penyelesaian dari

a. 2x + y – z = 1

-4x + 2y – 3z = 3

6x – y – 2z = 2

b. x + y – z = 0

x – y + z = 1

3x + y – z = 1

c. x + 2y + z = 1

2x – y + 2z = 1

3x + y – z = 1

d. 3x + y – z = 1

4x – 2y + z = 0

5x + 3y – 3z = -6

e. x – y + z = -2

x – y – z = 0

x + y + z = -6

f. 3x + 2y + z = 3

4x + 2y + z = 1

5x + 3y + z = 2

g. x – 2y – 4z = 12

2x + 3y + 4z = 1

4x + 5y – 3z = 9

h. 3x – y + 2z = 0

x + y – z = 1

2x – 2y + 3z = 2

i. x – y + z = 1

-x + y – z = -1

2x – 2 + 2z = 0

j. x + 4y – z = 1


SPLTV mempunyai tak hingga banyak anggota dalam himpunan penyelesaiannyaanggota dalam HP nya.

-x + 2y + z = 2 2x + 6y + z = -8

2. Dengan metode eliminasi tentukan penyelesaian dari :

a. 4x + y – 3z = 112x – 3y + 2z = 9x + y + z = -3

b. 2x – 5y + 3z = -10

3x + 4y + 7z = -11

5x + 3y + 7z = -8

c. 5x + 3y + 2z = -9

-3x – y + 5z = -17

4x – 2y + z = -18

d.

2x−2

7+3z=0

1x+ 5y+ 6z=12

3x+ 2y+ 2z=35

e.

2x+ 2y− 4z=2

3x− 2y+ 5z=10

4x+ 5y−5z=17

f.

14x+ 1

2y+3 z=3

34x−3

2y−z=−1

12x+ y−2 z=−2

3. Dengan metode substitusi tentukan penyelesaian dari

a. x + y – 3z = 22x + y + z = 06x – 3y + 5z = 6

b. 5x – y + z = 53x + y – z = 3x + 2y – z = 3

D. PENGGUNAAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL

Berikut ini beberapa contoh penggunaan SPLTV dalam kehidupan sehari-hari:

1. Ari, Bobi, dan Coki berbelanja di Toko. Ari membeli 3 tas, 4 baju, dan 1

celana. Ari harus membayar Rp 21.000,- Bobi membeli 6 tas, 2 baju, dan 1

celana. Bobi harus membayar Rp 31.000,-. Coki membli 2 tas, 5 baju, dan

10 celana. Coki harus membayar Rp 28.000,-

a. Berapa harga sebuah tas, sebuah baju, dan sebuah celana

b. Jika Doni membeli 4 tas, 4 baju, dan 4 celana

Jawab :

Misalkan :

Harga 1 tas = x

Harga 1 baju = y

Harga 1 celana = z, maka

3x + 4y + z = 21.000 …………(1)

6x + 2y + z = 31.000 …………(2)

2x + 5y + 10z = 28.000 ………(3)

Jika diselesaikan dengan metode : determinan maka diperoleh :


D =

|3 4 16 2 12 5 10

|3 46 22 5

= [3210+412+165] – [221+513+1064]

= - 161

Dx =

|21000 4 131000 2 128000 1 10

|21000 431000 228000 5

= [2100021+2100012+1628000] –

[2310001+2800013+10621000]

= -714000

Dy =

|3 21000 16 31000 12 28000 10

|3 210006 310002 28000

= [33100010+2100012+1628000] –

[2310001+2800013+10621000]

= - 266000

Dz =

|3 4 210006 2 310002 5 28000

|3 46 22 5

= [3228000+4310002+2100065] –

[2221000+5310003+2800064]

= -175000

Diperoleh :

x =

DxD

=−714000−161

=4434 ,78

y =

DyD

=−266000−166

=1625 ,17

z =

DzD

=−175000−161

=1086 ,96

karena x, y, z harga bnarang maka dapat dibulatkan menjadi :

x = 4.400, y = 1.650, z = 1.100

a. Jadi harga 1 tas = Rp 4.400,- harga 1 baju = Rp 1.650,- dan harga 1

celana = Rp 1.100,-


b. Harga yang harus dibayarkan Doni jika membeli 4 tas, 4 baju dan 4

celana adalah 4 (4400 + 1650 + 1100) = Rp 28.600,-

2. Jika Adi, Beni, dan Ceri bekerja bersama dapat menyelesaikan pekerjaan

selama 20 hari, Beni dan Ceri bekerja bersama-sama dapat menyelesaikan

pekerjaan selama 12 hari serta Adi dan Ceri bekerja bersama-sama dapat

menyelesaikan pekerjaan selama 10 hari.

Berapa hari waktu yang diperlukan jika mereka bekerja sendiri-sendiri?

Jawab :

Jika jumlah hari yang diperlukan Adi, Beni, dan Ceri berturut-turut adalah

a, b, dan c, maka :

1a+ 1b= 1

20

1b+ 1c= 1

12

1a+1c= 1

10

Misal :

x =

1a , y =

1b , dan z =

z=1c , maka :

x + y =

120 …… (1)

y + z =

112 ……..(2)

x+z= 110 ……..(3)

Eliminasi z pada persamaan (2) dan (3)

y + z =

112

x + z =

110

y – x = − 1

60 ….. (4)

Eliminasi x pada persamaan (1) dan (4)

y + x =

120

y – x = − 1

60


2y =

130

y =

160

Substitusikan y =

160 ke persamaan (1) = x + y =

120

x +

160

= 120

x= 130

Substitusikan x =

130 ke persamaan (3) =

130

+z= 110

130

+z= 110

z =

115

1a=x= 1

30 maka a = 30

1b= y= 1

60 maka b = 60

1c=z= 1

15 maka c – 15

Waktu yang diperlukan Adi, Beni dan Ceri untuk menyelesaikan

pekerjaan jika bekerja sendiri-sendiri berturut adalah 30 hari, 60 hari dan

15 hari.

3. Diketahui segitiga ABC, DEF, dan GHI. Sudut-sudut D, E, dan F masing-

masing

65,1110, dan

45 kali sudut-sudut yang terletak pada segitiga ABC,

begitu juga sudut-sudut segitiga GHI masing-masing

109, 23 dan

65 kali

sudut-sudut yang setelak pada segitiga ABC. Tentukan besar A, B, dan

C.

Jawab:

Misalkan A = x, B = y, dan C = z, maka besar jumlah sudut-sudut

dalam segitiga = 180°, maka:

x + y + z = 180 x + y + z = 180 …………… (1)


65x+11

10y+ 4

5z=180

12x + 11 + 8z = 1800

………… (2)

109x+2

3y+6

5z=180

50x + 30y + 54z = 00 ……….. (3)

Persamaan x + y + z = 180 z = 18 - x – y substitusi ke persamaan (2)

dan (3)

12x + 11y + 8z = 1800

12x + 11y + 8(180 – x – y) = 1800

4x + 3y = 360 ………………………………………….. (4)

Dan

50x + 30y + 54z = 1800

50x + 30y + 54(180-x-y) = 8100

-4x – 24y = -1620 ………………………………………...(5)

Eliminasi variabel x dari persamaan (4) dan (5):

4x + 3y = 360

-4x – 24 y = -1620 +

-21y = -1260

y = 60

Substitusi y = 60 ke dalam 4x + 3y = 360

4x + 3(60) = 360

x = 45

Substitusi y = 60 dan x = 45 ke dalam persamaan (1):

x + y + z = 180

45 + 60 + z = 180

z = 75

A = x = 45°

B = y = 60°

C = z = 75°

Besar sudut A = 45°; besar sudut B = 60°; besar sudut C = 75°

4. Sebuah bilangan terdiri atas tiga angka. Jumlah ketiga angkanya sama

dengan 16. Jumlah angka pertama dan angka kedua sama dengan angka

ketiga dikurangi dua. Nilai bilangan itu sama dengan 21 kali. Jumlah

ketiga angkanya kemudian ditambah dengan 13. Carilah bilangan itu!

Jawab:


Misal bilangan itu adalah xyz.

x menempati tempat ratusan

y menempati tempat puluhan

z menempati tempat satuan

Jadi nilai bilangan itu 100x + 10y + z

Berdasarkan data pada soal diperoleh SPLTV sebagai berikut:

x + y + z = 16 x + y + z = 16 …………….(1)

x + y = z - 2 x + y - z = -2 …………….(2)

100x+10y + z = 21(x+y+z)+13 79x-11y-20z = 13 …………….(3)

- Eliminasi variabel y dari persamaan (1) dan (2)

x + y + z = 16

x + y – z = -2 _

2z = 18

z = 9 …………………………………………………….. (4)

- Eliminasi variabel y dari persamaan (1) dan (3)

x + y + z = 16 | x11 | 11x + 11y + 11z = 176

79x-11y-20z= 13 | x1 | 79x - 11y - 20z = 13 _

90x - 9z = 189 ………….. (5)

- Substitusi nilai z = 9 ke persamaan (5) diperoleh:

90x – 9(9) = 189

90x – 81 = 189

90x = 270

x = 3

- Substitusi nilai x = 3 dan z = 9 ke persamaan (1) didapat

3 + y + 9 = 16

y = 4

Bilangan itu adalah xyz = 349

5. Grafik fungsi kuadrat y = ax² + bx + c melalui titik (-1,0), (1,6), dan

(2,12). Carilah nilai a, b, dan c kemudian tuliskan persamaan grafik fungsi

kuadrat itu!

NOTE:Contoh ini merupakan penerapan SPLTV untuk mennetukanPersamaan fungsi kuadrat yang melalui tiga titik sembarang.


Jawab:

- Melalui titik (-1,0) x = -1, y = 0

y = ax² + bx + c

0 = a(-1)² + b(1) + c

a – b + c = 0

- Melalui titik (1,6) x = 1, y = 6

y = ax² + bx + c

6 = a(1)² + b(1) + c

a + b + c = 6

- Melalui titik (2,12) x = 2, y = 12

y = ax² + bx + c

12 = a(2)² + b(2) + c

4a + 2b + c = 12

Dengan demikian diperoleh model matematika SPLTV dalam a, b, c

sebagai berikut:

a – b + c = 0

a + b + c = 6

4a+2b+c = 12

- Eliminasi variabel c:

a – b + c = 0 a + b + c = 6

a + b + c = 6 _ 4a + 2b + c = 12 _

-2b = -6 -3a – b = -6

b = 3 3a + b = 6

- Substitusi b = 3 ke persamaan 3a + b = 6 diperoleh:

3a + 3 = 6

a = 1

- Substitusi a = 1 dan b = 3 ke persamaan a – b + c = 0, didapat

1 – 3 + c = 0 Jadi nilai a = 1, b = 3, dan c = 2

c = 2 Persamaan fungsi kuadratnya adalah:

y = x² + 3x + 2

LATIHAN

SOAL-SOAL TERAPAN:


1. Jumlah tiga bilangan sama dengan 6. Bilangan pertama ditambah bilangan

kedua sama dengan bilangan ketiga, dan bilangan kedua besarnya dua kali

bilangan pertama. Tentukan masing-masing bilangan tersebut!

2. Sebuah bilangan terdiri dari tiga angka. Jumlah angka-angkanya adalah

16, jumlah angka ratusan dan puluhan 2 lebihnya dari angka satuan.

Sedangkan jika angka puluhan dan satuan ditukar, maka nilainya

berkurang 27. Berapakah bilangan tersebut?

3. Sebuah bilangan terdiri dari 2 angka. Besar bilangan pada angka satuan 4

kurangnya dari 3 kali angka puluhan. Jika posisi angka ditukar maka

nilainya 12 kurangnya terhadap 2 kali bilangan semula. Tentukan bilangan

tersebut!

4. Sebuah bilangan terdiri dari 3 angka. Jumlah ketiga angkanya 16. Besar 2

kali angka ratusan ditambah angka puluhan adalah 2 lebihnya dari angka

satuan. Jika bilangan tersebut ditambah 27 maka nilainya sama dengan

angka satuan ditukar angka puluhan. Tentukan bilangan tersebut.

5. Diketahui bilangan-bilangan x, y, dan z. Jumlah ketiga bilangan itu sama

dengan 75. Bilangan pertama lima lebihnya dari jumlah bilangan yang

lain. Bilangan kedua sama dengan ¼ dari jumlah bilangan yang lain.

Carilah bilangan-bilangan itu!

6. Diketahui tiga bilangan a, b, dan c. Rata-rata dari ketiga bilangan itu sama

dengan 16. Bilangan kedua ditambah 20 sama dengan jumlah bilangan-

bilangan yang lainnya. Bilangan ketiga sama dengan jumlah bilangan yang

lain dikurangi empat. Carilah bilangan-bilangan itu!

7. Suatu bilangan terdiri atas tiga angka, jumlah ketiga angka itu sama

dengan 9. Nilai bilangan itu sama dengan 14 kali jumlah ketiga angkanya.

Angka ketiga dikurangi angka kedua dan angka pertama sama dengan 3.

Carilah bilangan itu!


· web view2p + 3q + r = 11e. 4x – 4y + z = 5 author 001 created date 09/05/2012...

Documents