3/28/2012

1

PERTEMUAN 2

STATISTIKA DASAR

MAT 130

Data

1. Besaran

• Statistika berbicara tentang data dalam bentuk besaran (dimensi)

• Besaran adalah sesuatu yang dapat dipaparkan secara jelas dan pada prinsipnya dapat diukur

Contoh 1.

Beberapa bentuk besaran

(a) banyaknya orang

(b) nilai ujian

(c) harga barang

(d) sikap terhadap pendidikan

(e) kepeminpinan ketua

(f) tegangan listrik

3/28/2012

2

2. Lambang Besaran

• Demi kemudahan penulisan, besaran dapat dinyatakan melalui lambang

• Dalam hal ini kita perlu menyebut lambang itu mewakili bsaran apa

Contoh 2

Beberapa lambang besaran

= banyaknya hewan

= banyaknya orang

= tingkat status hotel

WAN = banyaknya wanita

L = banyaknya lelaki

T = tingkat siswa di kelas

X = nilai hasil ujian

3. Lambang Aksara

• Demi kemudahan penulisan, lambang yang banyak digunakan adalah huruf. Pada umumnya, huruf untuk lambang biasanya berasal dari

Abjad Latin (kapital dan nonkapital)

Abjad Yunani (kapital dan nonkapital)

• Pada suatu penggunaan, dapat saja terjadi bahwa huruf kapital dan huruf nonkapital dari abjad yang sama mewakili besara berbeda, misalnya

Abjad X dan x dapat mewakili besaran yang berbeda

• Rene Descartes menggunakan awal abjad a, b, c, sebagai diketahui dan akhir abjad x, y, z sebagai yang tidak diketahui, misalnya

y = ax2 + bx +c

3/28/2012

3

Abjad Yunani

Nama Kapital kecil Nama Kapital kecil

alpha Α α nu Ν λ

beta Β β xi Ξ μ

gamma Γ γ omicron Ο ν

delta Γ δ pi Π π

epsilon Δ ε rho Ρ ξ

zeta Ε δ sigma ζ, ο

eta Ζ ε tau Σ η

theta Θ ζ upsilon Τ π

iota Η η phi Φ θ

kappa Κ θ khi Υ ρ

lambda Λ ι psi Φ ς

mu Μ κ omega Χ σ

4. Lambang Besaran dengan Keterangan

• Agar fleksibel, lambang huruf dapat diberikan keterangan

• Ada berbagai cara untuk memberi keterangan pada lambang

• Keterangan biasa

X (s = 7) hasil belajar untuk siswa ke-7

X = rerata

• Keterangan indeks

X1 = hasil belajar siswa ke-1

X2 = hasil belajar siswa ke-2

KA = kelas paralel A

KB = kelas paralel B

3/28/2012

4

5. Macam Besaran

• Macam besaran dapat dilihat dari banyak sudut

• Macam besaran dari segi ketetapan nilai adalah

Konstanta = nilai besaran adalah tetap

Variabel = nilai besaran dapat berubah-ubah

Besaran

Konstanta Variabel

Umum Khusus Tak acak (mate- matik)

Acak (probabi-

listik)

• Konstanta umum (universal)

Berlaku umum di semua keadaan dan tempat

Contoh 3 = 3,14159 …

e = 2,71828 …

• Konstanta khusus

Berlaku pada keadaan dan tempat tertentu

Contoh 4 Y = a X + b

a dan b adalah konstanta mewakili sesuatu

misalkan a adalah harga satuan

3/28/2012

5

• Variabel tak acak (matematik)

Nilainya ditentukan oleh keadaan yang sepenuhnya diketahui

Contoh 5 X = banyaknya buku tulis yang dibeli

Y = kecepatan putaran suatu alat

• Variabel acak (probabilistik)

Nilainya ditentukan oleh keadaan yang tidak sepenuhnya kita ketahui

Contoh 6 X = tampilan mata 6 pada lemparan dadu

Y = angka hadiah pertama pada lotere

Z = nilai ujian siswa

Beberapa Istilah penting dalam statistika (1) :

• Populasi

– Himpunan atau kumpulan dari semua obyek yang akan diteliti.

• Sampel

– Himpunan bagian dari populasi.

– Sampel harus memberikan gambaran sebaik mungkin tentang populasi, sehingga dengan mengambil sejumlah anggota populasi, maka kita dapat berbicara mengenai anggota populasi secara keseluruhan.

10

3/28/2012

6

• Populasi bersifat teoritis

• Sampel bersifat empiris/nyata

• Karakteristik populasi disebut parameter

a. Mean, μ c. Proporsi, P

b. Koefisien korelasi, ρ d. Standar deviasi, σ

• Karakteristik sampel disebut statistik

a. Nilai rata-rata, c. Proporsi, p

b. Standar deviasi, s d. Koefisien korelasi, r

• Sensus : Adalah cara mengumpulkan data dimana

seluruh anggota populasi diamati satu per satu secara keseluruhan.

• Sampling : Adalah cara mengumpulkan data dimana

yang diselidiki adalah elemen sampel dari suatu populasi.

12

Beberapa Istilah penting dalam statistika (2):

3/28/2012

7

• Parameter :

– Adalah suatu besaran yang menyatakan kondisi dari populasi.

– Misal, rata-rata (), variansi (2), simpangan baku ().

• Statistik :

– Adalah suatu besaran yang menyatakan kondisi dari sampel.

– Misal, rata-rata , variansi (S2), simpangan baku (S).

13

Beberapa Istilah penting dalam statistika (3):

X

DISTRIBUSI FREKUENSI Selang

kelas

Batas kelas Titik tengah

kelas (x)

Turus Frekuensi

(f)

fx

7 - 9 6,5 – 9,5 8 ll 2 16

10 - 12 9,5 – 12,5 11 lllll lll 8 88

13 - 15 12,5 – 15,5 14 lllll lllll llll 14 196

16 - 18 15,5 – 18,5 17 lllll lllll lllll llll 19 323

19 - 21 18,5 – 21,5 20 lllll ll 7 140

Total 50 763

3/28/2012

8

• Batas kelas, yaitu selang kelas yang bersifat kontinu, dengan cara mengurangi nilai awal selang setengah satuan dan menambahkan nilai akhir selang setengah satuan. Karena satuan data (= satuan selang kelas) adalah tanpa desimal maka satuan terkecilnya adalah 1. Dengan demikian setengah dari satuan terkecil = 0,5 (1) =0,5. Maka untuk kelas pertama, batas awal = 7 – 0,5 = 6,5 sedangkan batas akhir = 9 +0,5 = 9,5. Hasil lengkapnya ada pada tabel kolom kedua. Perhatikan bahwa batas akhir kelas pertama = batas awal kelas kedua dan seterusnya (menunjukkan kontinuitas) serta perhatikan bahwa satuan berubah yaitu jumlah desimal bertambah 1 ( dari tanpa desimal atau desimal 0 menjadi 1 desimal atau 1 angka di belakang koma).

• Titik tengah kelas yaitu jumlah nilai awal dan nilai akhir dibagi dua (dapat menggunakan data selang kelas atau batas kelas). Untuk kelas pertama, titik tengah kelasnya adalah (7+9)/2 = 8. Untuk mudahnya titik tengah kelas selanjutnya diperoleh dengan menambahkan selang kelasnya. Jadi untuk kelas kedua adalah 8 + 3 = 11 dan seterusnya.

3/28/2012

9

UKURAN PEMUSATAN

• Ukuran pemusatan : ukuran yang menunjukkan tempat berkumpulnya sekumpulan data yang diamati dari contoh.

• Rata-rata atau rata-rata hitung dihitung dengan membagi jumlah nilai data dengan banyaknya data

• Untuk data tunggal

jika x1, x2,...xn.

maka 𝑥 = 𝑥𝑖𝑛𝑖=1

𝑛

• 𝑥 = 𝑓𝑖𝑥𝑖 𝑓𝑖

xi fi

70 5

69 6

45 3

80 1

56 1

UKURAN PEMUSATAN

3/28/2012

10

Selang

kelas

Batas kelas Titik tengah

kelas (x)

Turus Frekuensi

(f)

fx

7 - 9 6,5 – 9,5 8 ll 2 16

10 - 12 9,5 – 12,5 11 lllll lll 8 88

13 - 15 12,5 – 15,5 14 lllll lllll llll 14 196

16 - 18 15,5 – 18,5 17 lllll lllll lllll llll 19 323

19 - 21 18,5 – 21,5 20 lllll ll 7 140

Total 50 763

• Metode sandi Ambil salah satu tanda kelas, beri simbol xo

Untuk harga xo diberi nilai sandi c=0 Tanda kelas yang lebih kecil dari xo diberi harga sandi

c=-1, c=-2 c=-3 dst Tanda kelas yang lebih besar dari xo diberi harga sandi

c=+1, c=+2, c=+3 dst Jika panjang kelas interval (p) sama, rata-rata dihitung

dengan persamaan :

𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝑝 𝑓𝑖𝑐𝑖 𝑓𝑖

UKURAN PEMUSATAN

3/28/2012

11

• MODUS (Mo) Menyatakan fenomena yang paling banyak terjadi atau paling bayak terdapat

𝑀𝑜 = 𝑏 + 𝑝𝑏1

𝑏1 + 𝑏2

Dimana: b = batas bawah kelas modal, ialah kelas interval dengan frekuensi terbanyak p = panjang kelas modal b1 = frekuensi kelas modal dikurangi kelas interval dengan tanda kelas lebih kecil sebelum tanda kelas modal b2 = frekuensi kelas modal dikurangi kelas interval dengan tanda kelas yang lebih besar sesudah tanda kelas modal

UKURAN PEMUSATAN

• MEDIAN (Me)

Dihitung berdasarkan informasi data yang telah diurutkan dari kecil ke

besar sedemikian sehingga 50% dari anggota contoh berada di kiri

nilai median atau

12( 1)d n

m S

1 1

2 2

12 1d n n

m S S

jika n ganjil dan jika n genap

iS menunjukkan nilai pengamatan pada posisi ke i setelah ke n nilai diurutkan

dari yang terkecil sampai yang terbesar; sedangkan tengah kisaran dihitung

berdasarkan penjumlahan nilai maksimum dan nilai minimum dibagi 2 atau

1min2r maksm x x

UKURAN PEMUSATAN

3/28/2012

12

Untuk data yang telah disusun dalam distribusi frekuensi

𝑀𝑒 = 𝑏 + 𝑝12 𝑛 − 𝐹

𝑓

Dimana b = batas bawah kelas median, yi kelas dimana edian akan terletak p = panjang kelas median n = Ukuran sampel atau banyaknya data F = jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas median f = frekuensi kelas median

UKURAN PEMUSATAN

Ukuran Dispersi/Penyebaran (1):

• Derajat atau ukuran sampai seberapa jauh data numerik cenderung untuk tersebar disekitar nilai rata-ratanya.

• Yang paling umum adalah Range (rentang), Variansi, dan Simpangan Baku.

• Ukuran dispersi lain adalah kuartil, persentil.

24

3/28/2012

13

adalah selisih antara bilangan terbesar dan terkecil dalam himpunan.

Nilai R akan selalu positif. Interpretasi nilai R adalah: ◦ R = 0, menunjukkan bahwa data terbesar sama

dengan data terkecil, akibatnya semua data memiliki harga yang sama

◦ R kecil, memberikan informasi bahwa data akan mengumpul di sekitar pusat data

◦ R besar, menyatakan bahwa paling sedikit ada satu data yang harganya berbeda jauh dengan data lainnya

25

Range / Rentang (R):

Simpangan baku (deviasi standar) (1):

Simpangan Baku (Deviasi Standar) suatu himpunan bilangan x1, x2, …, xn dinyatakan dengan s dan didefinisikan sebagai berikut :

26

2

1

222

1

2

11

n

xnx

n

xxs ii

3/28/2012

14

• Jika x1, x2, …, xn masing-masing muncul dengan frekuensi f1, f2, …, fn, maka simpangan baku dapat dituliskan :

27

2

1222

12

1

n

xf

n

xf

f

xxfs

iiii

i

ii

ifn

Simpangan baku (deviasi standar) (2):

• Jika sekumpulan data dibagi menjadi empat bagian yang sama banyaknya, sesudah disusun menurut urutan nilanya, maka bilangan pembaginya disebut KUARTIL

• Untuk menentukan kuartil caranya: Susun data menurut urutan nilainya Tentukan letak kuartil Tentukan nilai kuartil

Letak 𝐾𝑖 = 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒 𝑖 𝑛+1

4

Dengan i= 1, 2, 3

3/28/2012

15

• Untuk distribusi frekuensi

𝐾𝑖 = 𝑏 + 𝑝

𝑖𝑛4 − 𝐹

𝑓

Dengan i = 1, 2, 3 Dimana: b = batas bawah kelas Ki ialah kelas interval dimana Ki akan terletak p = panjang kelas Ki F = Jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas Ki f = frekuensi kelas Ki

• Jika kumpulan data dibagi menjadi 10 bagian yang sama maka ddapat sembilan pembagi dan tiap pembagi dinamakan DESIL, karena ada sembilan desil maka D1, D2,…,D9 dapat ditentkan dengan

Susun data menurut urutan nilainya

Tentukan letak desil

Tentukan nilai desil

• Letak Desil ke i ditentukan dengan persamaan:

𝐷𝑖 = 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒 𝑖 𝑛 + 1

10

3/28/2012

16

• Untuk distribusi frekuensi

𝐷𝑖 = 𝑏 + 𝑝

𝑖𝑛10

− 𝐹

𝑓

Dimana b = batas kelas Di, yi kelas interval dimana Di akan terletak p = panjang kelas Di

F = jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas Di

f = frekuensi kelas Di

• Jika sekumpulan data dibagi menjadi 100 bagian yang sama akan menghasilkan 99 pembagi yang berturut-turut dinamakan PERSENTIL

3/28/2012

17

Bentuk distribusi

• Dalam statistika, mempelajari distribusi merupakan suatu hal yang penting, karena akan menentukan metodologi statistika yang akan digunakan.

• Distribusi adalah pola atau model penyebaran yang merupakan gambaran kondisi sekelompok data.

33

Ciri Bentuk Distribusi Simetri:

Mean = median = modus

34

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

3/28/2012

18

Ciri Bentuk Distribusi Menjulur ke kanan (positif):

Mean > median > modus

35

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Ciri Bentuk Distribusi Menjulur ke kiri (negatif):

Mean < median < modus

36

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

3/28/2012

19

Mengukur derajat kemenjuluran distribusi data:

• Rumus Pearson

Dimana

– SK = derajat kemenjuluran (skewness)

– = mean

– Mo = Modus

– S = Standar Deviasi

37

S

MoxSK

X

Interpretasi nilai derajat kemenjuluran:

• Bila nilai SK = 0 atau mendekati nol, maka dikatakan distribusi data simetri

• Bila nilai SK bertanda negatif, maka distribusi data menjulur ke kiri

• Bila nilai SK bertanda positif, maka distribusi data menjulur ke kanan

38

3/28/2012

20

KESIMPULAN

• Mudah dimengerti kiranya bahwa pengelompokkan data dalam kelas interval menyebabkan hilangnya sejumlah informasi, antara lain terjadinya perbedaan harga-harga statistik yang dihitung dari data asli dan dari data yang telah dikelompokkan. Oleh karena itu lebih baik menggunakan data asli