sinyal sistem liner

Diktat Kuliah Pengolahan Sinyal Dijital-Sinyal dan Sistem

[email protected]

Laboratorium Pengolahan Sinyal Dijital-Jurusan Teknik Elektro STTTelkom

II-1

BAB II

SINYAL DAN SISTEM

2.1.Definisi

Sinyal dan sistem dalam kuliah ini adalah sinyal waktu diskrit dan sistem waktu diskrit.

- Sistem dapat didefinisikan sebagai sekumpulan objek yang disusun membentuk

proses dengan tujuan tertentu.

- Sebagai model matematik yang menghubungkan antara input dan output, umum

disebut I/O sistem.

Input input-output output

Sinyal sistem sinyal

Enviroment

Gambar 2.1. Model Input Output Sistem

- Masukan dari enviroment ke sistem dan keluaran dari sistem ke enviroment disebut

sinyal.

- Sinyal umumnya fungsi waktu/time signals untuk sinyal waktu kontinyu f(t) dan

waktu diskrit disebut sinyal waktu diskrit f(n).

- Sistem yang menghubungkan sinyal input diskrit dengan sinyal output diskrit disebut

Sistem Waktu Diskrit (SWD).

x(n) y(n)

x(n) SWD y(n) n

- Analisis sistem :

- stabil/tidak stabil

- kausal/tidak kausal


[email protected]


II-2

- tak ubah waktu/berubah waktu

- linier/non linier

- statis/dinamis

- deterministik/stokastik

- Toels Analisis Model Matematis :

- persamaan linier

- Transformasi = Jembatan = memindahkan satu kawasan ke kawasan yang lain. - Transformasi Fourier Waktu Diskrit

- Transformasi Fourier Diskrit

- Transformasi z

- Konvensi :

- n = waktu diskrit

- = frekuensi kawasan waktu diskrit

2.2. Sinyal-Sinyal Dasar

a). Sinyal Impuls (t),(n)

Sinyal impuls

n

1

)n(

ainnyaln 0,

0n 1,(n)

Sebagai ilustrasi, diberikan sinyal x(n) seperti di bawah ini, nyatakan x(n) dengan sinyal

impuls .

Contoh 2.1 :

Nyatakan sinyal berikut ini dengan sinyal impuls

x(n)

maka x(n) = (n-2)

0 1 2 3 n


[email protected]


II-3

Contoh 2.2 :

Nyatakan sinyal berikut ini dengan deretan sinyalimpuls.

x(n) b

a d maka x(n) = a(n) + b(n-1) + c(n-2) + d(n-3) + e(n-4)

0 1 2 3 4 n

c

e

Setiap sinyal waktu diskrit dapat dinyatakan sebagai deretan sinyal impuls yang dikalikan

dengan suatu koefisien (konstanta)

b). Sinyal langkah Satuan/Unit Step u(n)

u(n) = 1 ; n 0

= 0 ; n < 0

u(n)

1 .

0 1 2 3 n

2.3. Operasi Sinyal

Dengan : - pencerminan

- penskalaan waktu

- pergeseran

Suatu sinyal waktu diskrit dapat dinyatakan dengan fungsi sebagai berikut :

+ geser kiri , - geser kanan

a

bnafbaxf a = kompressi ax , a 1

pencerminan


[email protected]


II-4

2.4. Sifat dan Klasifikasi Sistem

a. Statis dan dinamis.

Sistem ststis jika keluaran sistem hanya tergantung pada masukan pada saat

itu(memoryless), sedangkan sistem dinamis jika keluaran sistem mengingat masa lalu

(with memory).

Contoh 2.3 :

y(n) = 5 x(n) merupakan Sistem statis (memoryless), karena keluaran saat ini

y(n) hanya dipengaruhi/tergantung pada masukan saat ini x(n).

y(n) = 5 x(n) 2x(n-1) merupakan Sistem dinamis (with memory), karena

keluaran saat ini dipengaruhi oleh masukan sebelumnya x(n-1)

y(n) = x(n) + 2x(n-2) + y(n-1) merupakan Sistem dinamis (with memory),

karena keluaran saat ini dipengaruhi oleh masukan sebelumnya x(n-2) dan

keluaran sebelumnya y(n-1)

b. Linieritas dan homogenitas

Sistem linier jika memenuhi prinsip superposisi :

x1(n) SWD y1(n)

x2(n) SWD y2(n)

x1(n)

SWD y1(n) + y2(n)

x2(n)

dan


[email protected]


II-5

Dan homogenitas

x1(t)+ x2(t) = y1(t) + y2 (t)

Sebagai ilustrasi diberikan sistem sebagai berikut :

y(n) = 2x(n) + x(n-1) adalah sistem yang linear

y(n) = x2(n) adalah bukan sistem yang linear

Mengapa diperlukan sistem yang linear ?

Pada gambar di bawah ini,pada gambar (a) terlihat bahwa suatu sinyal sebagai masukan

sistem yang linear akan dihasilkan sinyal output yang sama dengan sinyal inputnya,

hanya mengalami penundaan (delay). Sedangkan pada gambar (b) terlihat bahwa suatu

sinyal sebagai masukan suatu sistem yang tidak linear akan menghasilkan sinyal output

yang mengalami distorsi phasa.


[email protected]


II-6

Contoh 2.4 :

y(n) = 2 x(n) + x(n-1) merupakan sistem linear

y(n) = x2(n) merupakan sistem yang non linear

c. Pergeseran waktu.

Sistem tak ubah waktu ( Time invariant ) jika output sistem tidak berubah bentuk

walaupun inputnya digeser, tetapi outputnya akan bergeser sejauh pergeseran input.

Dengan kata lain :

Jika y1(n) adalah output sistem bila diberi masukan x1(n)

y2(n) adalah output sistem bila diberi masukan x2(n)

dan bila masukan sistem adalah x(n) = x1(n-n0) maka keluaran sistem y(n) = y1(n-

n0), maka sistem waktu diskrit tersebut dikatakan Tak ubah terhadap waktu (Time

Invariant)

Sistem disebut Linear Time Invariant /LTI atau Linear dan Tak Ubah Waktu/LTW

jika sistem linier dan sekaligus tak ubah terhadap waktu.

d. Kausalitas.

Sistem LTW disebut kausal bila keluaran pada waktu n=n0 hanya bergantung pada

harga-harga dari masukan n


[email protected]


II-7

- Respons impuls SWD.

h(n) h(n)

0 n 0 n

kausal non kausal

Contoh 2.5 :

y(n) = x(n) + 2 x(n-2) y(n-3) merupakan sistemyang kausal.

y(n) = 2 x(n) + 2x(n+1) merupakan sistem tidak kausal, karena masukan saat

ini y(n) dipengaruhi oleh masukan yang akan datang x(n+1).

Catatan : sistem yang dapat direalisasi harus kausal.

e. Stabilitas.

Sistem LTW disebut stabil bila setiap masukan terbatas menghasilkan keluaran

terbatas BIBO = Bounded Input Bounded Output.

Kondisi yang diperlukan dan cukup (KPC) adalah :

n

nh untuk SWD

Contoh 2.6 :

Respons impuls LTW suatu SWD

n0

h(n)

Stabil

.......


[email protected]


II-8

n0

h(n)

Tidak Stabil

.......

- stabilitas sistem dapat juga dilihat dari letak pole dari fungsi transfer sistem.

Untuk SWD letak pole didalam lingkaran satuan.

Contoh 2.7 :

y(n) = x(n) + 3 x(n-1) + 2 x(n-2) merupakan sistem waktu diskrit yang stabil,

karena bila dilihat respons impulsnya h(n) = (n) + 3 (n-1) + 2 (n-2) sehingga

penjumlahan respons impulsnya = 1 + 3 + 2 = 6 adalah terbatas.

y(n) = x(n) + 0,5 y(n-1) merupakan sistem waktu diskrit yang stabil, karena bila

dilihat respons impulsnya h(n) = 0,5n u(n),untuk n menuju maka harga h(n)

menuju nol, sehingga penjumlahan dari h(n) terbatas.

y(n) = x(n) + 2 y(n-1) merupakan sistem waktu diskrit yang tidak stabil, karena

bila dilihat respons impulsnya h(n) = 2n u(n),untuk n menuju maka harga h(n)

menuju tak hinggal, sehingga penjumlahan dari h(n) tak terbatas.

Contoh 2.8 :

Diketahui suatu Sistem Waktu Diskrit (SWD) yang merupakan transformasi deretan

masukan x(n) dengan keluaran y(n) dengan hubungan :

a. y(n) = ax2 (n-1)

b. y(n) = ax(n-2) + bx(n+2)

Periksa sistem diatas!

Jawab :

a. y(n) = ax2 (n-1)

- Linieritas

Jika input x1(n) maka output y1(n) = ax12(n-1)

x2(n) maka output y2(n) = ax22(n-1)

ambil x(n) = x3(n) = x1(n) + x2(n) maka :


[email protected]


II-9

y(n) = y3(n) = 21nxa

=

1112111 22221212221 nxnxnxnxanxnxa

nyny 21 tidak linier

- Pergeseran waktu

Jika input x1(n) maka output y1(n) = ax12(n-1)

Jika input x1(n-k) maka output y1(n) = ax12(n-k-1) = y1(n-k) Time invariant

- Syarat kausal : output saat ini hanya tergantung pada input saat ini dan/atau input

saat sebelumnya dan/atau output saat sebelumnya.

y(k) = ax2(n-1)

kausal

- Stabilitas

y(n) = ax2(n-1) jika nnx maka :

2axny Bounded input

Bounded output stabil BIBO

Jadi sistem : Non linier, Time Invariant, Kausal, Stabil.

b. y(n) = ax(n-2) + bx(n+2)

input selanjutnya non kausal

bukti : kausal dapat dilihat dari respons impuls.

h(n)

b a non kausal karena h(n) ada untuk n < 0

-2 0 2

- S =

banh (terbatas) stabil

- diambil x(n) = x3(n) = x1(n) + x2(n) maka :

y(n) = y3(n) = (ax1(n-2) + bx1(n+2)) + (ax2(n-2) + bx2(n+2))

= y1(n) + y2(n) sistem linier


[email protected]


II-10

jika x(n) = x1(n) maka y(n) = y1(n) = ax1(n-2) + bx1(n+2)

jika x(n) = x(n-k) maka y(n) = ax1(n-k-2) + bx1(n-k+2)

= y1(n-k) tak ubah waktu

kesimpulan sistem : linier, tak ubah waktu, non kausal, stabil.

2.5. Sistem Operator

Sistem operator L = input

output = Fungsi alih/fungsi transfer sistem

SWD L(q) = qDqN

= Numerator/Denumerator

q = operator maju

q-1 = operator tunda

q-1x(n) = x(n-1)

qx(n) = x(n+1)

Contoh 2.9 :

3y(n) + 4y(n-1) + 7y(n-2) = 2x(n) + 5x(n-1)

y(n)(3 + 4q-1 + 7q-2 ) = x(n) (2 + 5q-1)

743

52

743

522

2

2

2

21

1

qq

q

q

qx

qq

q

)n(x

)n(y)q(L

2.6. Solusi Persamaan Difference (Perbedaan)

Persamaan Difference :

- Bentuk umum sistem LTW

N

i

M

iii M)in(xb)in(ya

0 0

0

ambil a0 = 1

y(n) + a1y(n-1) + + aNy(n-N) = b0x(n) + + bMx(n-M)

Dengan operator q :

Dimana q-1 x(n) = x(n-1) dan q x(n) = x(n+1), maka :


[email protected]


II-11

y(n) (1 + a1q-1 + + aNq-N ) = x(n) (b0 + b1q-1 + + bMq-M)

N

N

MM

qa...qaq

qb...qbb

)q(D

)q(N

)n(x

)n(y)q(L

1

1

1

10

jadi : D(q) y(n) = N(q) x(n)

Solusi : y(n) = yc(n) + yp(n)

1. Solusi komplementer jika deretan masukan = 0

D(q) yc(n) = N(q).0 = 0, maka D(q) = 0 dengan solusi :

m

k

m

k

mkkkkc rA)n(yA)n(y

1 1

dimana rk = akar polynomial D(q) dengan solusi :

(i) rk riil dan tunggal yk(n) = rkn

(ii) rk riil dan jamak sejumlah m buah

yk (n) = rn, nrn, n2rn,,nm-1rn

(iii) rk kompleks tapi tunggal , rk = + j = rej

yk(n) = rn cos n dan rn sin n

(iii) rk kompleks dan jamak sejumlah m buah

yk(n) = rn cos n ; rn sin n

= nrn cos n ; nrn sin n

= nm-1rn cos n ; nm-1rn sin n

2. Solusi khusus jika deretan masukan ada

D(q) yp(n) = N(q)x(n)

yp(n) = )n(x)q(L)n(x)q(D

)q(N

- kasus khusus jika input eksponensial , ambil x(n) = A(s)n

didapat : yp(n) = L(q)x(n)

q = s

- Stabilitas sistem SWD stabil jika magnitudo akar polynomial D(q) < 1 (atau didalam

lingkaran satuan).


[email protected]


II-12

Contoh 2.10 :

y(n + 3) 8y(n + 2) + 37y(n+1) 50y(n) = 8(0,5)n , y(0) = 2, y(1) = 3, y(2) = 5

- dengan operator q

y(n) (q3 8q2 + 37q - 50) = 8(0,5)n

50378

50823

qqq

),()q(L

)q(D

)q(N

)n(x

)n(y n

D(q) = (q3 8q2 + 37q 50) = (q 2)(q2 6q + 25)

Akar-akar D(q) q1 = 2

q2,3 = 432

100366j

j

q2 = 3 + j4 = 5 < 0,927 rad

q3 = 3 j4 = 5 < -0,927 rad

yc(n) = A(2)n + B(5)n cos 0,927n + C(5)n sin 0,927n

- solusi partikular

yp(n) = L(q) x(n) = 50378

50823 qqq

),( n

q = s q = 0,5

yp(n) = n

n

),(),(),(),(

),(50

267

69

50503750850

50823

- solusi total/lengkap

n,sin)(Cn,cos)(B)(A),()n(y nnnn 9270592705250267

64

2267

640 CBA)(y

392705927052267

321 ,sinC,cosBA)(y

5854612585461254267

162 ,sin,cosBA)(y

Didapat : A = 2,1886

B = 0,05108

C = 0,35666


[email protected]


II-13

Sehingga: :

n,sin)(,n,cos)(,)(,),()n(y nnnn 927053566609270505108021886250267

64

- cek stabilitas :

Plot akar D(q) :

Im D(q)

x

Re D(q)

1 2 3

x

sistem tidak stabil

Contoh 2.11 :

Masukan sinusoida

y(n) y(n-1) + 1/8 y(n-2) = 2 sin n/2

dengan kondisi awal y(-1) = 2 dan y(-2) = 4

dengan operator q :

y(n) (1 3/4q-1 +1/8q-2) = 2 sin n/2

22

8

1

4

3

8

1

4

31

22

2

2

2

2

21

nsin

qq

q

q

qx

qq

nsin

)q(D

)q(N

)n(x

)n(y

jadi :

8

1

4

32

2

qq

q)q(L

D(q) = q2 3/4q + 1/8 = (q )(q 1/4)

x(n) = 2 sin n/2

- solusi komplementer


[email protected]


II-14

yc(n) = A(1/2)n + B(1/4)n

- solusi partikuler

misalkan : yp(n) = C sin n/2 + D cos n/2

yp(n-1) = C sin (n-1)/2 + D cos (n-1)/2

dimana :

sin (n-1)/2 = - cos n/2

cos (n-1)/2 = sin n/2

maka : yp(n-1) = -C cos n/2 + D sin n/2

dengan cara yang sama :

yp(n-2) = -C sin n/2 - D cos n/2

substitusi ke persamaan awal :

y(n) 3/4y(n-1) + 1/8y(n-2) = 2 sin n/2

C sin n/2 + D cos n/2 (C sin n/2 - D cos n/2) 1/8(-C sin n/2

D cos n/2) = 2 sin n/2

sin n/2(C 3/4D 1/8C) + cos n/2(D + 3/4C 1/8D) = 2 sin n/2

2 0

jadi : 7/8C 3/4D = 2 7C 6D = 16 x7

3/4C + 7/8D = 0 6C + 7D = 0 x6

49C 42D = 112

36C + 42D = 0 +

85C = 112 C = 112/85 ; D = - 96/85

solusi lengkap :

y(n) = A(1/2)n + B(1/4)n + 112/85 sin n/2 96/85 cos n/2

y(-1) = 2A + 4B 112/85 =2 2A + 4B = 282/85

y(-2) = 4A + 16B + 96/85 = 4 4A + 16B= 244/85

4A + 8B= 564/85 +

8B = - 320/85 B = -8/17 ; C = 13/5

Didapat :

y(n) = 13/5(1/2)n 8/17(1/4)n + 112/85 sin n/2 96/85 cos n/2


[email protected]


II-15

2.7. Realisasi Sistem

Syarat sistem dapat direalisasi jika kausal dapat direalisir dalam bentuk

a) struktur langsung tipe I

b) struktur langsung tipe II

2.7.1. Struktur Langsung Tipe I

Hubungan input-output Sistem Waktu Diskrit dapat dituliskan sebagai berikut :

N

0i

i

N

0i

i )in(xb)in(ya

Untuk penyederhanaan, ambil a0 = 1, sehingga didapat hubungan berikut :

)mn(ya...)1n(ya

)nn(xb...)1n(xb)n(xb

)in(ya)in(xb)n(y

n1

n10

N

0i

i

N

0i

i

2.7.2. Struktur Langsung Tipe I

Mengacu pada hubungan input-outpur SWD berikut ini,

)nn(xb...)1n(xb)n(xb

)nn(ya...)1n(ya)n(ya

)in(xb)in(ya

n10

n10

N

0i

i

N

0i

i

q-1

+

q-1

+ +

q-1

x(n)

y(n)

b1

b0

aN aN-1

bN

q-1

q-1


[email protected]


II-16

y(n)[ao + a1q-1 + + anq-n] = x(n)[bo + b1q-1 + ... + bnq-n]

L(q) = N(q)/D(q)=[ bo + b1q-1 + ... + bnq

-n]/ [ao + a1q-1 + + anq-n]

n n

= {1/[ ai.q-i]} . { bi.q-i} i=0 i=0

= L1(q) . L2(q)

Fungsi Transfer L(q) diuraikan menjadi 2, sehingga L(q) = L1(q). L2(q) . Masing-masing

fungsi transfer dapat digambarkan struktur realisasinya dan kemudian digabung kembali,

hingga didapat L(q) total.

n

i

n

0i

1in

0i

1i

1

)in(a)n(x)n(

)n(xqa)n()n(x

)n(

qa

1)q(L

N

0i

N

0i

1i

1i2 qb)n()n(yqb

)n(

)n(y)q(L

x(n)

q-1

q-2

q-N

-a1

-a2

-aN

(n) +

y(n)

q-1

q-2

q-N

b1

b2

bN

(n)

+ b0


[email protected]


II-17

Rangkaian total digabung

L(q) = L1(q) . L2(q)

)n(

)n(y.

)n(x

)n(

)n(x

)n(y

Contoh 2.12.

Buat realisasi tipe I dan tipe II dari SWD dengan hubungan input-output sebagai berikut:

y(n) + 3y(n-1) + 5(n-2) + 7y(n-2) = 6 x(n) + 4 x(n-1)

Solusi :

Struktur langsung tipe I :

y(n) = 6x(n) + 4x(n-1) 3y(n-1) 5y (n-2) 7y(n-3)

Struktur langsung tipe II :

y(n) [1 + 3q-1 + 5q-2 + 7q-3] = x(n) [6 + 4q-1]

y(n)

q-1

q-2

b1

x (n)

-a1

+ + b0

b2 -a2

bN -aN

q-N

x (n)

q-1

6

4 -3

-5

+

q-1

q-1

q-1

-7

y (n)


[email protected]


II-18

1

321321q46x

q7q5q31

1

q7q5q31

q46

)n(x

)n(y 1

(n)/x(n) = 1/[1 + 3q-1 + 5q-2 + 7q-3] x(n) = (n) + 3(n-1) + 5(n-2) + 7(n-3)

(n) = x(n)-3(n-1)-5(n-2)-7(n-3)

1q46)n(

)n(yy(n)=6(n) + 4(n-1)

2.8. Respons Impuls

Respons impuls adalah respons sistem (output sistem) jika masukannya diberi sinyal

impuls

Sistem sering digambarkan dengan respons impulsnya karena dengan respons

impulsnya dapat dilihat apakah sistem tersebut kausal dan stabil

1.8.1. Respon impuls SWD

Diketahui SWD - LTW

y(n) + a1 y(n-1) + a2 y(n-2) + .+ an y(n-N) = x(n)

y(n)

q-1

q-2

4

x (n)

-3

+ + 6

-5

-7 q-1

n

n-1

n-2

n-3

SWD

SWK

h

(n)

h

(t)

(t)

(n)

Respons impuls

h(n)

h(t)

y

(n)

y

(t)

x

(n)

x

(t)

SWD

SWK


[email protected]


II-19

Respons impuls sistem adalah respons sistem (output) jika x(n) = (n)

Sehingga dapat dituliskan h(n) = y(n) x(n) = (n)

Jadi

h(n) + a1 h(n-1) + a2 h(n-2) + . + aN h(n-N) = (n)

karena SWD kausal ==> h(n) = 0 untuk n


[email protected]


II-20

dimana y(n) [1- 0,8 q-1 + 0,15 q-2] = x(n)

L(q) =)3,0q)(5,0q(

q

15,0q8,0q

q

2

qx

q15,0q8,01

1 2

2

2

3

2

21

Jadi

yc(n) = A (0,5)n + B (0,3)n

n=0 y(n) = A + B = h(0) = 1

n=1 y(n) = 0,15A + 0,3 B = h(1) = 0,8

A + 0,6 B = 1,6

A + B = 1

- 0,4B = 0,6 B = -1,5

A = 2,5

Maka y(n) = h(n0 = [2,5 (0,5)n 1,5 (0,3)n] u(n)

Bagaimana kalau imputnya superposisi ?

Karena sistem linier maka outputnya juga superposisi

Contoh 1.13.

y(n) 2y(n-1) + 1,31 y(n-2) 0,28 y(n-3) = x(n) + 3x(n-2)

respons impuls didapat jika x(n) = (n) dan 3x(n-2) = 3(n-2)

y(n) [1 2 q-1 + 1,31 q-2 0,28 q-3] = x(n) [1 + 3 q-2]

L(q) = y(n)/x(n) = N(q)/D(q) = [1 + 3 q-2] / [1 2 q-1 + 1,31 q-2 0,28 q-3]

Kalikan L(q) dengan q3 / q3 , didapat :

28,0q31,1q2q

q3q)q(L

23

3

D(q) = q3-2 q2 + 1,31 q - 0,28 = (q - 0,5) (q - 0,7) (q - 0,8)

yc(n)=A(0,5)n + B(0,7)n + C(0,8)n

Input 1 : (n) maka h(n) - 2h(n-1) + 1,31 h(n-2)-0,28 h(n-3)=(n)

n = 0 h(0) = 1


[email protected]


II-21

n =1 h(1) 2h(0) + 0 + 0 = 0 h(1) = 2

n = 2 h(2) 2h(1) + 1,31 h(0) 0 = 0 h(2) = 2,69

dimana

3/64C

2/49B

6/25A

69,2C64,0CB49,0A25,0)2(h

2C8,0B7,0A5,0)1(h

1CBA)0(h

Jadi

H1(n) = (25/6)(0,5)n (49/2)(0,7)n + (64/3)(0,8)n untuk n 0

Input 2 : 3(n-2)

outputnya h(n) 2h(n-1) + 1,31 h(n-2) 0,28 h(n-3) = 3 (n-2)

n = 0 h(0) 2h(n-1) + 1,31 h(n-2) 0,28 h(n-3) = 3 (n-2) = 0

h(0) = 0

n = 1 h(1) 2h(0) + 0 0 = 3 (-1) = 0 h(1) = 0

n = 2 h(2) 2 h(1) + 1,31 h(0) 0 = 3 (0) = 3 h(2) = 3

maka :

h(0) = A + B + C = 0 A= 50

h(1) = 0,5A + 0,7B + 0,8C = 0 B = -150

h(2) = 0,25A + 0,49B + 0,64C = 3 C = 100

jadi

h2(n) = 50(0,5)n 150 (0,7)n + 100 (0,8)n n 2

maka

h(n) = h1 (n) + h2 (n)

2 n untuk )8,0(3

364)7,0(

2

349)5,0(

6

325

1dan 0 n untuk )8,0(3

64)7,0(

2

49)5,0(

6

25

)n(hnnn

nnn

2.9. Konvolusi (Penjumlahan konvolusi ( untuk SWD)


[email protected]


II-22

Adalah suatu operasi perkalian sekaligus penjumlahan dalam kawasan waktu

Dapat digunakan untuk mendapatkan respons sistem terhadap masukan bebas.

Jadi merupakan transformasi dari masukan ke keluaran.

Jika x(n) adalah input suatu SWD LTW dan y(n) adalah output sistem tersebut dimana

y(n) = T.[x(n)] , maka :

~

~k

~

~k

)k(h)kn(x)kn(h)k(x)n(y

dimana operasi diatas didefinisikan sebagai operator konvolusi * , sehingga

~

~k

~

~k

)k(*)kn(x)kn(h)k(x)n(h*)n(x)n(y

Dimana h (n) adalah respons impuls

x(n) * h(n) = y(n)

Sifat-sifat Konvolusi :

1. Komutatif :

x(n) * y(n) = y(n) * x(n)

2. Asosiatif :

x(n) * [y(n) * z(n)] = [x(n) * y(n)] * z(n)

3. Distributif untuk operasi penjumlahan

x(n) * [y(n) + z(n)] = x(n) * y(n) + x(n) * z(n)

4. Memiliki elemen identity : (n)

x(n) * (n) = (n) * x(n) = x(n)

5. Konvolusi dari suatu deretan pulsa sampling tertunda dengan x(n)

x(n) * (n-k) = x(n-k)

Lihat lagi operasi pencerminan dan pergeseran

Contoh 1.15.

Suatu SWD-LTW digambarkan sebagai berikut :

h(n) y

(n)

x

(n)

SWD LTW h(n) y

(n)

x

(n)


[email protected]


II-23

Dengan input x(n) dan respons impuls h(n) seperti di bawah ini, dapatkan output sistem

y(n) = x(n)*h(n)

Solusi :

~

~k

)kn(h)k(x)n(h*)n(x)n(y

Disini k merupakan variabel penjumlahan untuk harga n tertentu. Misalnya diberikan

harga suatu n=N0 maka jumlahkan semua perkalian antara deretan x(k) dengan h(n0-

k) untuk semua k [-~ , ~], dimana h(n0-k) = h-(k-n) yaitu pencerminan dari h(k)

kemudian digeserkan sejauh n0. Dengan kata lain dapat dituliskan langkah-langkah

penjumlahan konvolusi sebagai berikut :

Gambarkan x(n) dan h(n)

Ubah peubahnya dari n menjadi k, sehingga didapat x(k) dan h(k)

Lakukan pencerminan terhadap sumbu vertikal dari h(k) atau x(k) sehingga

didapat h(-k) atau x(-k)

Misalkan yang dicerminkan adalah h(k) maka didapat h(-k) dan x(k). Geser

h(-k) untuk n =0 dan kalikan besaran pada h(-k) dan x(k) pada waktu yang

sama dan jumlahkan. Sehingga akan dikalikan h(-k) dengan x(k). Geser lagi

h(-k) untuk n=1, maka kita akan mengalikan h(1-k) dengan x(k), begitu

seterusnya hingga antara h(n-k) dan x(k) tidak bersinggungan lagi.

n

x

(n)

0 1 2

0,5

n

h

(n)

0

3 2

1


[email protected]


II-24

Dan seterusnya, akan didapat y(n) sebagai berikut :

n

h

(n)

0

3 2

1 2

2 1

1

k

h (-k)

-2

2

0 -1

1

k

h (no-k)=k- (k-

no)

2

1

3

no

k -1

h(no-

k)

k

1

h(-k)

2 3

x(-

k)

k

1

h(1-k)

2 3

x(-

k)

h (no-k)

x(k)

k

~

~koo )n(y0)k(x)kn(h

h (-k) x(k)

k

~

~k

)0(y5,1)k(x)k(h

1,

5 0

h (1-k)

x(k)

k

~

~k

5,2)k(x)k1(h)1(y

1,

5 0

1

Untuk

no 0

n = 0

n = 1


[email protected]


II-25

y(n)

3 3

2,5

2

1,5 1,5

1

0,5

0 1 2 3 4 5 6

Perhatikan bahwa h(n) mempunyai 3 buah sampel sinyal yaitu pada n = 0, 1 , dan 2.

Begitu pula x(n) mempunyai 3 buah sampel sinyal yaitu pada n = 0, 1 dan 2. Tetapi

y(n) mempunyai 5 buah sampel sinyal yaitu pada n = 0, 1 , 2 , 3 dan 4.

Secara umum dapat dituliskan bahwa bila M adalah panjang deretan h(n) ,N adalah

panjang deretan x(n) dan L adalah panjang deretan y(n) maka berlaku hubungan :

L = M + N -1

sinyal sistem liner

Documents