Bab 2

Landasan Teori

2.1. Definisi Peluang

Dalam kehidupan sehari-hari sering kali kita temukan kejadian

yang berhubungan erat dengan teori probabilitas (peluang).

Mengundi dengan menggunakan sebuah mata uang logam atau

sebuah dadu, membaca temperatur udara tiap hari dari

termometer, menghitung banyak barang yang rusak yang

dihasilkan suatu pabrik setiap hari, mencatat banyak kendaraan

yang melalui sebuah tikungan setiap jam dan masih banyak lagi

contoh lain yang merupakan kejadian (experiment) yang

berhubungan dengan peluang dan kejadian tersebut dapat

dilakukan berulang-ulang.

Dari experiment kita dapat mencatat semua hasil yang mungkin

terjadi. Semua bagian yang mungkin didapat dari hasil ini

dinamakan peristiwa. Sebagai contoh, kita ambil sebuah

experiment mengenai pengamatan tentang banyaknya

kendaraan yang melalui sebuah tikungan setiap jam. Hasilnya

bisa didapat 0, 1, 2, 3, 4, ….. buah kendaraan setiap jam yang

melalui tikungan tersebut.

Dari beberapa peristiwa yang didapat misalnya tidak ada

kendaraan yang melalui tikungan itu selama satu jam, lebih dari

tiga kendaraan melalui tikungan selama satu jam, ada enam

kendaraan dalam satu jam yang melalui tikungan dan

sebagainya. Untuk menyatakan peristiwa dapat digunakan huruf-

huruf besar, seperti A, B, C, …. Baik disertai indeks ataupun

tidak. Misalnya A berarti tidak ada kendaraan yang melalui

tikungan selama satu jam, B berarti ada 10 kendaraan dalam

satu jam yang melalui tikungan dan sebagainya.

Dua peristiwa atau lebih dinamakan saling eksklusif atau saling

asing jika terjadinya peristiwa yang satu mencegah terjadinya

peristiwa lain. Dengan menggunakan suatu peristiwa, kita dapat

menghitung peluang kejadian dari peristiwa yang ada. Dengan

menggunakan definisi klasik, kita misalkan sebuah peristiwa E

dapat terjadi sebanyak n kali di antara N peristiwa yang saling

eksklusif dan masing-masing terjadi dengan kesempatan yang

sama. Maka peluang peristiwa E terjadi adalah n/N dan ditulis

dalam bentuk P(E) = n/N.

Definisi tersebut bersifat samar atau tidak jelas, karena terdapat

perkataan masing-masing terjadi dengan kesempatan yang

sama, yang sama dengan pengertian peluang yang sama. Jadi,

definisi klasik di atas bersifat sirkuler, karena seolah-olah

mendefinisikan peluang dengan menggunakan istilah itu sendiri.

Oleh karena itu, untuk mengatasinya definisi peluang empirik

sering digunakan.

Setelah itu kita perhatikan frekuensi relatif tentang terjadinya

sebuah peristiwa untuk sejumlah pengamatan. Maka peluang

peristiwa itu adalah limit dari frekuensi relatif apabila jumlah

pengamatan diperbesar sampai banyaknya tak hingga.

Contohnya: Jika kita melakukan undian dengan sebuah mata

uang yang homogen 1.000 kali; misalkan didapat muka G

sebanyak 519 kali. Maka frekuensi relatif muka G = 0,519.

Sekarang kita melakukan 2000 kali di mana didapat muka G

sebanyak 1.020 kali. Frekuensi relatifnya = 0,510. Jika dilakukan

5000 kali di mana didapat muka G terdapat 2530, maka

frekuensi relatifnya = 0,506. Jika proses demikian diteruskan,

nilai frekuensi relatifnya lambat laun makin dekat kepada sebuah

bilangan yang merupakan peluang untuk muka G dalam hal ini

bilangan tersebut adalah 0,5.

Atas dasar definisi di muka dan proses inilah untuk selanjutnya

dengan P(G) = ½ diartikan bahwa dari setiap dua kali undian

dengan sebuah mata uang maka satu kali akan terlihat muka G

jika undian itu dilakukan cukup banyak dalam jangka waktu yang

panjang dan kondisi yang sama.

Suatu fungsi acak yang dimisalkan X yang bernilai riil dimana

nilai-nilainya ditentukan oleh titik sampel-titik sampel S disebut

variabel acak, dengan S merupakan ruang sampel dari suatu

hasil percobaan statistik. Nilai-nilai dari variabel acak X dituliskan

dengan huruf kecil x1, x2, x3, …, xn.

Variabel acak X ada dua jenis yaitu variabel acak diskrit dan

variabel acak kontinyu. Variabel acak diskrit ialah variabel acak

yang mempunyai nilai-nilai terhingga atau tak terhingga tetapi

terbilang. Jadi variabel acak X dapat bernilai x1, x2, x3, …, xn ; xi

R. Sedangkan variabel acak kontinyu adalah variabel acak yang

nilai-nilainya tak terhingga dan tak terbilang. Jadi, nilai-nilai

variabel acak kontinyu X dapat merupakan semua nilai dalam

satu interval yang terhingga, yaitu (- ~,~), dimana banyaknya

bilangan yang terkandung pada interval tersebut adalah tak

terhingga dan tak terbilang.

Kumpulan pasangan nilai-nilai dari variabel acak X dengan

probabilitas nilai-nilai variabel acak X, yaitu P(X=x) disebut

distribusi probabilitas X atau disingkat distribusi X. distribusi ini

dapat disingkat dan dituliskan dalam bentuk tabel atau dalam

bentuk pasangan terurut.

0 [ P(E) ] 1

Jika X adalah variabel acak dan P(X=x) adalah distribusi

probabilitas dari X, maka fungsi f(x) = P(X=x) disebut fungsi

probabilitas X atau fungsi frekuensi X atau fungsi padat peluang

X.

Jika variabel acak X mempunyai fungsi padat peluang X, maka

fungsi distribusi kumulatif dari X dirumuskan sebagai berikut:

F ( x )=P(X≤x )=∑ ¿

X≤ x

f ( X ) ¿

Bila X data diskrit

∫−∞

x

f ( x )dx Bila X data kontinue

Hasil-hasil yang muncul dalam suatu percobaan statistik dapat

kita bedakan menjadi dua jenis yaitu kejadian sukses dan

kejadian gagal, dimana probabilitas kejadian sukses dan

probabilitas kejadian gagal adalah tetap, selain itu juga ada yang

saling bebas.

2.2. Macam-Macam Kejadian Peluang

Dari definisi klasik, didapat bahwa peluang untuk suatu peristiwa

E adalah P(E) = n/N. Maka nilai terkecil atau peluang terkecil dari

kejadian tersebut adalah n = 0, artinya tidak ada peristiwa E

yang terjadi. Dan peluang terbesar dari kejadian tersebut adalah

n = N, artinya adalah semua yang terjadi merupakan peristiwa E.

Sehingga, peluang paling kecil terjadinya peristiwa E berharga

nol dan peluang terbesar terjadinya peristiwa E adalah satu. Jadi

didapat batas-batas peluang:

Jika P(E) = 0, maka dapat diartikan bahwa peristiwa E pasti tidak

terjadi, sedangkan jika P(E) = 1, maka dapat diartikan bahwa

peristiwa E pasti terjadi. Yang sering terjadi pada kenyataannya

ialah harga-harga P(E) berada diantara 0 dan 1. Jika P(E)

mendekati nilai 0, sering diartikan bahwa peristiwa E praktis

tidak terjadi dan jika harga P(E) mendekati 1, maka dapat

dikatakan bahwa peristiwa E praktis terjadi.

Dari definisi P(E) = n/N, jika terdapat Ē yang menyatakan bukan

bagian dari peristiwa E, maka didapat:

P(Ē) = 1 – P(E)

atau berlaku hubungan:

P(E) + P(Ē) = 1

Peristiwa-peristiwa E dan Ē dikatakan peristiwa saling

berkomplemen. Contohnya : Dalam undian dengan sebuah dadu,

misalkan E = mendapat muka 6 di sebelah atas. Maka P(E) = 1/6.

Jelas bahwa Ē = bukan mata 6 yang nampak di sebelah atas.

Dalam hal ini yang nampak mata 1 atau mata 2 atau…. Mata 5.

Tentulah P(Ē) = 5/6.

Peristiwa E dan Ē juga merupakan dua peristiwa yang saling

asing atau saling eksklusif, karena terjadinya E menghindarkan

terjadinya peristiwa Ē dan sebaliknya. Peristiwa-peristiwa yang

saling eksklusif, dihubungkan dengan kata atau. Untuk ini

berlaku aturan sebagai berikut:

Jika k buah peristiwa E1, E2, ….. Ek, saling eksklusif atau

saling asing maka peluang terjadinya E1 atau E2 atau …. atau

Ek sama dengan jumlah peluang tiap peristiwa. Dalam rumus

dituliskan sebagai berikut:

P(E1, atau E2, atau …… atau Ek)

= P(E1) + P(E1) + ….. + P(Ek)

Hubungan kedua antara peristiwa yang terjadi ialah

hubungan bersyarat. Dua peristiwa dikatakan mempunyai

hubungan bersyarat

jika peristiwa yang satu menjadi syarat terjadinya peristiwa

yang lain. Kita misalkan A | B untuk menyatakan peristiwa A

terjadi dengan didahului terjadinya peristiwa B. Peluangnya

ditulis P(A | B) dan disebut peluang bersyarat untuk

terjadinya peristiwa A dengan syaratnya adalah B.

Jika terjadinya atau tidak terjadinya peristiwa B tidak

mempengaruhi terjadinya peristiwa A, maka A dan B disebut

peristiwa bebas atau independent. Jika kita tulis A dan B

untuk menyatakan peristiwa-peristiwa A dan B kedua-duanya

terjadi, maka peluangnya dinyatakan dalam peluang

bersyarat diperoleh:

P(A dan B) = P(B) . P(A | B)

Jika A dan B independent, maka:

P(A | B) = P(A)

2.3. Distribusi Peluang

Ketika melakukan undian dengan sebuah mata uang yang

homogen kita dapatkan P (muka G) = P (muka H) = 1/2. Jika

dihitung banyaknya muka G yang nampak, maka muka H = 0G

dan muka G = 1G. Jika banyak muka G kita beri simbol X, maka

untuk muka H berlaku X = 0 dan untuk muka G berlaku X = 1.

Maka didapat notasi baru untuk peluang, yaitu P(X = 0) = ½ dan

P(X = 1) = ½.

Simbol X di atas, yang memiliki peluang, bersifat variabel dan

hanya memiliki harga-harga 0, 1, 2, 3, …. Variabel berharga

demikian, dimana untuk tiap harga variabel terdapat nilai

peluangnya, disebut variabel acak diskrit.

Jadi, variabel acak diskrit X menentukan distribusi peluang

apabila untuk nilai-nilai X = X1, X2, …., Xn terdapat peluang p(Xi)

= P(X = Xi),

sehingga:

p(xi) = 1

p(x) disebut fungsi peluang untuk variabel acak X pada harga X

= X.

Variabel acak yang tidak diskrit disebut variabel acak kontinyu.

Beberapa diantaranya misalnya untuk menyatakan waktu dan

hasil pengukuran. Variabel ini dapat mempunyai setiap harga.

Jadi, jika X = variabel acak kontinyu, maka harga X = X dibatasi

oleh - ~ < x < ~ atau batas-batas lain.

Jika X sebuah variabel acak kontinyu, maka kita mempunyai

fungsi densitas f(x) yang dapat menghasilkan peluang untuk

harga-harga x.

2.4. Distribusi Binomial

Suatu percobaan statistik disebut percobaan Binomial jika

percobaan statistik tersebut mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:

1. Percobaan diulang sebanyak n kali.

2. Setiap kali percobaan dibedakan menjadi dua yaitu kejadian

sukses dan kejadian gagal.

3. Peluang terjadinya kejadian sukses yaitu P (sukses) = p dan

peluang gagalnya ialah q =1 – p adalah tetap tiap kali

percobaan diulang.

4. semua hasil yang muncul saling bebas satu sama lain.

Perhatikan sebuah experiment yang hanya menghasilkan dua

peristiwa A dan bukan A (Ā), dengan P(A) = π = peluang

terjadinya peristiwa A.

Jika pada tiap percobaan dalam experiment itu, π = P(A) tetap

harganya, maka percobaan yang berulang-ulang dari eksperimen

itu dinamakan percobaan Bernoulli. Sekarang lakukan percobaan

Bernoulli sebanyak N kali secara independent, X diantaranya

menghasilkan peristiwa A dan sisanya (N – X) peristiwa A. Jika π

= P(A) untuk tiap percobaan, jadi 1 – π = P(A), maka peluang

terjadinya peristiwa A sebanyak X = x kali diantara N, dihitung

dengan menggunakan rumus:

p( x )=P (X−x )=( Nn π x(1−π )N−x)dengan x = 0, 1, 2, ….., N, 0 < π < 1, dan

(N ¿ ) ¿¿

¿¿

dengan N! = 1 x 2 x 3 x … x (N – 1) x N dan 0! = 1! = 1

Hubungan yang dinyatakan dalam rumus pertama di atas

merupakan distribusi dengan variabel acak diskrit dan

dinamakan distribusi binom dengan rumus kedua di atas

merupakan koefisien binomial.

Distribusi binom ini memiliki parameter, diantaranya yang dapat

digunakan ialah rata-rata μ dan simpangan baku σ. Sehingga kita

dapat menggunakan rumus:

dengan pengertian bahwa parameter ini ditinjau dari peristiwa A.

Untuk lebih jelasnya akan dikemukakan dengan contoh soal

berikut: Peluang untuk mendapatkan 6 muka G ketika melakukan

undian dengan sebuah mata uang homogen sebanyak 10 kali

adalah:

P(X=6 )=¿ (10 ¿ ) ¿¿

¿¿

dengan X = jumlah muka G yang nampak.

Misalkan populasi diketahui berukuran N yang di dalamnya

terdapat peristiwa A sebanyak Y diantara N. Maka didapat

parameter proporsi peristiwa A sebesar μ = (Y/n).

Dari populasi ini diambil sampel acak berukuran n dan

dimisalkan didalamnya ada peristiwa a sebanyak x. Sampel ini

memberikan statistik proporsi peristiwa A = x/n.

Jika semua sampel yang mungkin diambil dari populasi itu maka

didapat sekumpulan harga-harga statistik proporsi. Dari

kumpulan ini kita dapat menghitung rata-ratanya, diberi simbol

μx/n dan simpangan bakunya diberi simbol σx/n.

b (x ,n , p )=¿ (n¿ )¿¿

¿¿

Untuk distribusi proporsi kita dapat menggunakan rumus:

P= x

∑ f P−

=∑ P

k

Selain itu, kita juga dapat menggunakan rumus frekuensi relatif

untuk menentukan frekuensi relatif dari suatu distribusi

frekuensi:

Fri=f i

∑ f

2.5. Distribusi Multinomial

Perluasan dari distribusi binomial adalah distribusi multinomial.

Misalkan sebuah experiment menghasilkan peristiwa-peristiwa

E1, E2, ……, Ek dengan peluang π1 = P(E1), π2 = P(E2), ….., πk =

P(Ek) dengan π1 + π2 + … + πk = 1.

Terhadap experiment ini kita lakukan percobaan sebanyak N kali.

Maka peluang akan terdapat x1 peristiwa E1, x2 peristiwa E2, …..,

xk peristiwa Ek diantara N, ditentukan oleh distribusi multinomial

berikut:

p( x 1 , x2 ,. . . , xk )=

N!x1 ! x2! . . .xk !

π1X1π

2x2,. . . , π

kxk

dengan x1 + x2 + …+ xk = N dan π1 + π2 + … + πk = 1, sedang 0

< π1 < 1, i = 1, 2, … k.

Ekspektasi terjadinya tiap peristiwa E1, E2, ……, Ek dalam

peristiwa multinom, berturut-turut adalah Nπ1, Nπ2 , … Nπk

sedangkan varians masing-masing:

Nπ1 (1 - π1), Nπ2 (1 – π2),, … Nπk(1 – πk).

Untuk lebih jelasnya akan kita kemukakan dengan contoh

berikut:

Sebuah kotak berisi 3 barang yang dihasilkan oleh mesin A, 4

oleh mesin B dan 5 oleh mesin C. Kecuali dikategorikan

berdasarkan mesin, identitas lainnya mengenai barang tersebut

adalah sama. Sebuah barang diambil secara acak dari kotak itu,

identitas mesinnya dilihat, lalu disimpan kembali ke dalam kotak.

Tentukan peluang di antara 6 barang yang diambil dengan jalan

demikian didapat 1 dari mesin A, 2 dari mesin B dan 3 dari mesin

C.

Penyelesaian:

Jelas bahwa P(dari mesin A) = 3/12, P(dari mesin B) = 4/12, dan

P(dari mesin C) = 5/12.

Maka P(1 dari mesin a dan 2 dari mesin B dan 3 dari mesin C)

adalah:

6 !1!2 !3 ! ( 3

12 )1

( 412 )

2

( 512 )

3

=0 ,1206

2.6. Distribusi Hypergeometrik

Misalkan ada sebuah populasi berukuran N diantaranya terdapat

k buah yang termasuk kategori tertentu. Dari populasi ini sebuah

sampel acak diambil berukuran n.

Maka dari pernyataan yang ada tersebut, kita dapat menentukan

peluang dalam sampel jika terdapat x buah yang termasuk ke

dalam kategori tersebut, dengan menggunakan distribusi

hypergeometrik yang dinyatakan dalam rumus:

P( x=0 )=h ( x , N ,n , k )= [k ¿ ]¿¿

¿¿¿¿

dengan x = 0, 1, 2, …..,n

Contoh:

Sekelompok manusia terdiri atas 50 orang dan 3 diantaranya

lahir pada tanggal 1 Januari. Secara acak diambil 5 orang. Berapa

peluangnya diantaranya 5 orang tadi:

a. Tidak terdapat yang lahir tanggal 1 Januari

b. Terdapat tidak lebih dari seorang yang lahir pada

tanggal 1 Januari?

Penyelesaian:

a. Ambil x = banyak orang diantara n = 5 yang lahir pada

tanggal 1 Januari. Maka dengan N = 50, k = 3, maka dapat

dihitung P(0) sebagai berikut:

P( x=0 )=[3 ¿ ] ¿¿

¿¿¿¿b. Tidak lebih dari seorang yang lahir pada 1 Januari, berarti

x = 0 dan x = 1. P(0) sudah dihitung di atas.

P( x=1 )=[3¿ ]¿¿

¿¿¿¿Sehingga, peluang paling banyak seorang diantara 5 orang itu

yang lahir pada 1 Januari adalah 0,724 + 0,253 = 0,977.

Dalam distribusi hypergeometrik ini, kita dapat menentukan

jumlah sampel sukses dalam populasi (N’), dengan

menggunakan rumus:

N '=M

P−

dengan M = jumlah sukses dalam populasi.

2.7. Distribusi Poisson dan Distribusi Eksponensial

Variabel acak diskrit X dikatakan mempunyai distribusi poisson

jika fungsi peluangnya berbentuk:

P( x=i); P= e− λ λ .x

x !

dengan x = 0, 1, 2, 3, …., sedangkan e = sebuah bilangan

konstan yang jika dihitung hingga 4 desimal e = 2,7183 dan λ =

sebuah bilangan tetap.

Distribusi poisson memiliki parameter, yaitu:

μ = λ

π = λ

Distribusi poisson sering digunakan untuk menentukan peluang

sebuah peristiwa yang dalam area kesempatan tertentu

diharapkan terjadinya sangat jarang.

Peluang dalam distribusi poisson dapat ditentukan dengan

menggunakan rumus:

P( x=i); P= e− λ λ .x

x !

dengan: e = bilangan konstan (2,7183)

λ = rata-rata persatuan waktu

Untuk lebih jelasnya kita akan tinjau beberapa contoh berikut:

1. Banyak orang yang lewat melalui muka pasar setiap hari,

tetapi sangat jarang terjadi seseorang yang menemukan

barang hilang dan mengembalikannya kepada si pemilik

atau melaporkannya pada polisi.

2. Dalam tempo setiap 5 menit, operator telepon banyak

menerima permintaan nomor untuk disambungkan,

diharapkan jarang sekali terjadi salah sambung.

3. Misalkan rata-rata ada 1,4 orang buat huruf untuk setiap

100 orang. Sebuah sampel berukuran 200 telah diambil. Jika

x = banyak buta huruf per 200 orang, maka untuk kita

sekarang λ = 2,8. Peluangnya tidak terdapat yang buta

huruf itu adalah :

P( x=0 );P= e−2. 8 2.80

0 !=0 .0608

Sedangkan peluang terdapatnya yang buta huruf sama

dengan 0,9392.

Distribusi poisson dapat pula dianggap sebagai pendekatan

kepada distribusi binomial. Jika dalam hal distribusi binomial, N

cukup besar sedangkan π = peluang terjadinya peristiwa A,

sangat dekat kepada nol sedemikian sehingga λ = Np tetap,

maka distribusi binomial sangat baik didekati oleh distribusi

poisson. Untuk penggunaannya, sering dilakukan pendekatan ini

jika N 50 sedangkan Np < 5.

Untuk lebih jelasnya kita akan meninjau sebuah contoh berikut

ini:

Peluang seseorang akan mendapat reaksi buruk setelah disuntik

besarnya 0,0005. dari 4000 orang yang disuntik, tentukan

peluang yang mendapat reaksi buruk:

a. Tidak ada

b. Ada 2 orang

c. Lebih dari 2 orang

d. Tentukan ada berapa orang diharapkan yang akan mendapat

reaksi buruk!

Penyelesaian:

a. Dengan menggunakan pendekatan distribusi poisson kepada

distribusi binomial, maka λ = Np = 4000 x 0,0005 = 2.

Jika X = banyak orang yang mendapat reaksi buruk akibat

suntikan itu, maka:

P( x=0 );P= e−220

0 !=0 .1353

b. Dalam hal ini X = 2, sehingga:

P( x=2 ); P=e−2 22

2 !=0 .2706

Peluang ada dua orang mendapat reaksi buruk ialah 0,2706.

c. Yang menderita reaksi buruk lebih dari 2 orang, ini berarti X

= 3, 4, 5, ….. Tetapi p(0) + p(1) + p(3) + … = 1, maka p(3) +

p(4) + … = 1 – p(0) – p(1) – p(2). Harga-harga p(0) dan p(2)

sudah dihitung di atas.

P( x=1 ); P= e−2 2 .81

1!=0 .2706

Peluang yang dicari adalah 1 – (0,1353 + 0,2706 + 0,2706) =

0,3235.

d. Dengan kata lain pertanyaan ini ditujukan menentukan rata-

rata λ. Di atas sudah dihitung λ = 2.

Sedangkan untuk distribusi eksponensial, mempunyai

parameter β untuk rata-rata persatuan waktu. Dari rata-rata

yang telah diketahui, kita dapat menentukan nilai peluang

distribusi eksponensial dengan menggunakan rumus:

P= 1βe− xβ

2.8. Distribusi Normal

Macam-macam distribusi yang dibicarakan di atas, semua

variabel acaknya bersifat diskrit. Sedangkan distribusi normal

yang akan kita bahas sekarang adalah merupakan distribusi

dengan variabel acak kontinue. Distribusi normal (distribusi

Gauss) ini merupakan salah satu yang paling penting dan banyak

digunakan.

Jika variabel acak kontinue X mempunyai fungsi densitas pada X

= x dengan persamaan:

f ( x )= 1σ √2π

e−1/2( x−μσ )2

dengan: π = nilai konstan (3,1416),

e = bilangan konstan (2,7183),

μ = parameter, merupakan rata-rata untuk distribusi,

σ = parameter, simpangan baku untuk distribusi.

dan nilai x mempunyai batas - ~ < x < ~, maka dikatakan

bahwa variabel acak X berdistribusi normal.

Sifat-sifat penting distribusi normal:

1. grafiknya selalu ada di atas sumbu datar x.

2. bentuknya simetrik terhadap x = μ.

3. mempunyai satu modus, jadi kurva tercapai pada x = μ

sebesar 0,3989/σ.

4. grafiknya mendekati (berasimtutkan) sumbu datar x dimulai

dari x = μ + 3σ ke kanan dan x = μ - 3σ ke kiri.

5. luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi.

Untuk tiap pasang μ dan σ, sifat-sifat di atas selalu dipenuhi,

hanya bentuk kurvanya saja yang berlainan. Jika σ makin besar,

kurvanya makin rendah (platikurtik) dan untuk σ makin kecil,

kurvanya makin tinggi (leptokurtik).

Untuk luas daerah di bawah kurva normal (Z) dapat

menggunakan rumus:

Z= X−μσ

dengan: X = rata-rata sampel

μ = rata-rata populasi

σ = simpangan baku (untuk populasi)

Setelah kita memiliki distribusi normal baku yang didapat dari

distribusi normal umum, maka daftar distribusi normal baku

dapat digunakan. Dengan daftar ini, bagian-bagian luas dari

distribusi normal baku dapat dicari. Caranya adalah:

1. Hitung z sampai dua desimal.

2. Gambarkan kurva normalnya.

3. Letakkan harga z pada sumbu datar, lalu tarik garis vertikal

hingga memotong kurva.

4. Luas yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara

garis ini dengan garis tegak di titik nol.

5. Dalam daftar tabel distribusi normal, cari tempat harga z

pada kolom paling kiri hanya hingga satu desimal dan

desimal keduanya dicari pada baris paling atas.

6. Dari z kolom kiri maju ke kanan dan dari z dibaris atas turun

ke bawah, maka didapat bilangan yang merupakan luas yang

dicari. Bilangan yang didapat harus ditulis dalam bentuk

0,xxxx (bentuk 4 desimal).

Karena seluruh luas = 1 dan kurva simetrik terhadap μ = 0,

maka luas dari garis tegak pada titik nol ke kiri ataupun ke kanan

adalah 0,5.

Untuk mencari kembali z apabila luasnya diketahui, maka

dilakukan langkah sebaliknya. Misalnya jika luas = 0,4931, maka

dalam badan daftar dicari 4931 lalu menuju ke pinggir sampai

pada kolom z, didapat 2,4 dan menuju ke atas sampai batas z

didapat 6. Harga z = 2,46.

Beberapa bagian luas untuk distribusi normal umum dengan

rata-rata μ dan simpangan baku σ tertentu dengan mudah dapat

ditentukan. Tepatnya, jika sebuah fenomena berdistribusi

normal, maka dari fenomena itu:

1. Kira-kira 68,27% dari kasus ada dalam daerah satu

simpangan baku sekitar rata-rata, yaitu antara μ – σ dan μ

+ σ.

2. Ada 95,45% dari kasus terletak dalam daerah dua simpangan

baku sekitar rata-rata, yaitu antara μ – 2σ dan μ + 2σ.

3. Hampir 99,73% dari kasus ada dalam daerah tiga simpangan

baku sekitar rata-rata, yaitu antara μ – 3σ dan μ + 3σ.

2.9. Pengecekan Distribusi Normal

Untuk keperluan analisis selanjutnya, dalam statistika induktif,

ternyata model dari distribusi harus selalu diketahui bentuknya.

Teori-teori menaksir dan menguji hipotesis misalnya, dianut

berdasarkan kepada asumsi bahwa populasi yang sedang

diselidiki berdistribusi normal. Jika asumsi ini tidak dipenuhi,

artinya ternyata populasinya tidak berdistribusi normal, maka

kesimpulan berdasarkan teori itu tidak berlaku.

Karenanya, sebelum teori lebih lanjut digunakan dan kesimpulan

diambil berdasarkan teori di mana berdasarkan teori di mana

asumsi normalitas dipakai, terlebih dahulu perlu diselidiki apakah

asumsi itu dipenuhi tidak.

Data sampel yang telah diambil dari sebuah populasi perlu

disusun dalam sebuah daftar distribusi frekuensi. Dari sini

kemudian dibentuk daftar distribusi frekuensi kumulatif relatifnya

kurang dari. Lalu lakukan pembentukan daftar untuk diambil

batas-batas kelas intervalnya. Selanjutnya, frekuensi kumulatif

relatif ini digambar.

Pada sumbu datar digambarkan skala untuk batas-batas atas

sedangkan sumbu tegak melukiskan persen kumulatifnya.

Selanjutnya, titik-titik yang ditentukan oleh batas atas dan

frekuensi kumulatif relatif digambarkan. Perhatikan baik-baik

letak titik-titik yang didapat.

Jika letak titik-titik pada garis lurus atau hampir pada garis lurus,

maka disimpulkan:

a. Mengenai data itu sendiri.

Dikatakan bahwa data itu berdistribusi normal atau hampir

berdistribusi normal (atau dapat didekati oleh distribusi

normal).

b. Mengenai populasi dari mana data sampel diambil.

Dikatakan bahwa populasi dari mana sampel diambil ternyata

berdistribusi normal atau hampir berdistribusi normal (atau

dapat didekati oleh distribusi normal).

Jika letak titik-titik itu menyimpang jauh terhadap garis lurus,

maka dapat disimpulkan bahwa data itu atau populasi dari mana

sampel diambil tidak berdistribusi normal.