pendekatan model fuzzy goal programming dalam penetapan

Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009

PENDEKATAN MODEL FUZZY GOAL PROGRAMMING

DALAM PENETAPAN PEMBOBOTAN PRIORITAS DARI METODE ANALYTICAL HIERARCHY PROCESS (AHP)

SKRIPSI

RIDHA VERA HARTATI 060823024

PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2009


PENDEKATAN MODEL FUZZY GOAL PROGRAMMING

DALAM PENETAPAN PEMBOBOTAN PRIORITAS DARI METODE ANALYTICAL HIERARCHY PROCESS (AHP)

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

RIDHA VERA HARTATI 060823024

PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2009


PERSETUJUAN

Judul : PENDEKATAN MODEL FUZZY GOAL

PROGRAMMING DALAM PENETAPAN PEMBOBOTAN PRIORITAS DARI METODE ANALYTICAL HIERARCHY PROCESS (AHP)

Kategori : SKRIPSI Nama : RIDHA VERA HARTATI Nomor Induk Mahasiswa : 060823024 Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di Medan, Februari 2009 Komisi Pembimbing : Pembimbing 2 Pembimbing 1 Drs.Sawaluddin, M.IT Drs. Marwan Harahap, M.Eng NIP.132 206 398 NIP.130 422 437 Diketahui oleh : Departemen Matematika FMIPA USU Ketua, Dr. Saib Suwilo,M.Sc NIP. 131 796 149


PERNYATAAN

PENDEKATAN MODEL FUZZY GOAL PROGRAMMING DALAM PENETAPAN PEMBOBOTAN PRIORITAS DARI METODE ANALYTICAL

HIERARCHY PROCESS (AHP)

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya. Medan, Februari 2009 RIDHA VERA HARTATI 060823024


PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT, dengan limpahan dan karunia-Nya kertas kajian ini berhasil diselesaikan dalam waktu yang telah ditetapkan.

Ucapan terima kasih saya sampaikan kepada Drs. Marwan Harahap, M.Eng dan Drs.Sawaluddin, M.IT selaku pembimbing pada penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan panduan dan penuh kepercayaan kepada saya untuk menyempurnakan kajian ini. Panduan ringkas,padat dan professional telah diberikan kepada saya agar penulis dapat menyelesaikan tugas ini. Ucapan terima kasih juga ditujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU Dr. Saib Suwilo, M.Sc. dan Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si, Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, semua dosen pada Departemen Matematika FMIPA USU, pegawai di FMIPA USU, dan rekan-rekan kuliah. Akhirnya, tidak terlupakan kepada kedua orang tua dan semua ahli keluarga dan rekan terdekat saya yang selama ini memberikan bantuan dan dorongan yang diperlukan. Semoga Allah SWT memberikan balasan yang layak.


Abstrak

Metode Proses Analisis Hirarkis (Analytical Hierarchy Process-AHP) adalah alat bantu sistem pendukung keputusan yang dikenal luas untuk penyelesaian problem pengambilan keputusan multikriteria. Metode ini pada prinsipnya mensintesa perbandingan “judgment” pengambil keputusan yang berpasangan pada setiap level hirarki keputusan. Sehingga masih diperlukan penetapan bobot prioritas relatif setiap elemen keputusan. Bobot ini merepresentasikan intensitas preferensi atas suatu elemen keputusan. Untuk mendapatkan estimasi pembobotannya,biasanya digunakan metode eigenvector dari Saaty. Telah banyak pendekatan lain dikembangkan dari metode “least-square”sampai linear programming. Tetapi pendekatan tersebut umumnya belum mempertimbangkan ketidakpastian yang bersifat fuzzy mengingat proses penetapan preferensi pada setiap elemen hirarki dari metode AHP ini pada hakekatnya selalu mengandung faktor “imprecise” dan “ambiguity” dari pengambil keputusan.


Abstract

The Analytical Hierarchy Process (AHP) is well known as one of the most powerful techniques for decision aid in modeling of multicriteria problems. The AHP is generally used to derive priorities based on judgment of the decision maker that is obtained by means of pairwise comparison. The most common technique for estimating relative priority weights is originally proposed by Saaty called the eigen vector method. Recently, a variety of alternative approaches ranging from the least square method to linear programming have been developed. However, the weights to be assigned to the decision elements on each hierarchy in the AHP method are imprecise in nature.


DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii Pernyataan iii Penghargaan iv Abstrak v Abstact vi Daftar Isi vii Daftar Tabel ix Daftar Gambar x Bab 1. Pendahuluan 1 1.1 Latar Belakang 1 1.2 Perumusan Masalah 3 1.3 Tujuan Penelitian 3 1.4 Kontribusi penelitian 3 1.5 Tinjauan Pustaka 3 1.6 Metode Penelitian 5 1.7 Jadwal Penelitian 6 Bab 2. Landasan Teori 7 2.1 Analytical Hirarchy Process (AHP) 7 2.1.1 Pengertian AHP 7 2.1.2 Prinsip Dasar AHP 8 2.1.3 Penghitungan Bobot Elemen dalam Metode AHP 11 2.2 Model Goal Programming 15 2.2.1 Konsep Dasar dan Unsur-unsur Goal Programming 16 2.2.2 Unsur-unsur Goal Programming 17 2.2.3 Model Keputusan Goal Programming 22 2.2.4 Formulasi Model Keputusan Goal Programming 23 2.3 Formulasi Model Keputusan Fuzzy Goal Programming 24 2.3.1 Model Fuzzy Goal Programming 24


2.3.2 Fungsi Keanggotaan Fuzzy 25 2.3.3 Model Fuzzy Goal Programming untuk estimasi

penetapan prioritas 26 2.4 Pengenalan Program QM for Windows 27

Bab 3. Pembahasan 31 3.1 Penggunaan Metode AHP dalam perhitungan matematis 31 3.1.1 Menentukan bobot pada tiap elemen 32 3.1.2 Mencari nilai bobot untuk masing-masing elemen 33 3.2 Penyelesaian Pembobotan dengan AHP 34 3.3 Penyelesaian Pembobotan dengan Goal Programming 36 3.4 Penyelesaian Pembobotan dengan Fuzzy Goal Programming 40 Bab 4. Kesimpulan dan Saran 47 4.1 Kesimpulan 47 4.2 Saran 48 Daftar Pustaka


DAFTAR TABEL

Halaman Tabel 2. 1 Skala Penilaian Perbandingan Berpasangan 10

Tabel 2 .2 Matriks Perbandingan Berpasangan 11

Tabel 2. 3 Matriks Perbandingan Berpasangan dengan nilai intensitas 12

Tabel 2. 4 Indeks Random (RI) 14

Tabel 2. 5 Jenis-jenis Kendala Tujuan 18

Tabel 2. 6 Tabel Awal Goal Programming 21

Tabel 3.1 Contoh Matriks Perbandingan Berkebalikan 32

Tabel 3. 2 Penyelesaian Matriks Perbandingan Berkebalikan 32

Tabel 3. 3 Matriks Perbandingan Berkebalikan 34

Tabel 3. 4 Penyelesaian Matrike Perbandingan Berkebalikan 34

Tabel 3. 5 Matriks Penetapan Bobot Pada Tiap Elemen 34

Tabel 3. 6 Tabel Awal Goal Programming 38

Tabel 3. 7 Penyelesaian Goal Programming 38

Tabel 3. 8 Hasil Akhir 38

Tabel 3. 9 Tabel Awal Fuzzy Goal Programming 44

Tabel 3.10 Penyelesaian Fuzzy Goal Programming 44

Tabel 3.11 Hasil Akhir 44


DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Tampilan sementara (splash) dari program QM for Windows 28

Gambar 2.2 Tampilan Awal Program QM for Windows 28

Gambar 2.3 Pilihan modul yang tersedia pada program QM for Windows 29

Gambar 2.4 Baris menu (menu bar) sebelum dipilih modul tertentu 29

Gambar 2.5 Baris menu (menu bar) sesudah dipilih model tertentu 29

Gambar 2.6 Baris tool (toolbar) sebelum dipilih modul tertentu 29

Gambar 2.7 Baris tool (toolbar) sesudah dipilih modul tertentu 30

Gambar 2.8 Ruang Instruksi 30

Gambar 2.9 Baris utilitas (utility Bar – secara default

terletak dibagian bawah) 30


BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Proses analisis kebijakan membutuhkan adanya kriteria sebelum memutuskan pilihan

dari berbagai alternatif yang ada. Kriteria menunjukkan definisi masalah dalam bentuk

yang konkret dan kadang-kadang dianggap sebagai sasaran yang akan dicapai. Setiap

orang, tidak harus pimpinan dapat membuat keputusan akan tetapi dampak keputusan

yang ditimbulkan berbeda-beda. Pada umumnya suatu keputusan dibuat dalam rangka

untuk memecahkan permasalahan atau persoalan ( problem solving), setiap keputusan

yang dibuat pasti ada tujuan yang akan dicapai. Adapun tujuan dari keputusan yang

dibuat adalah untuk memuaskan atau memenuhi target atau paling tidak mendekati

target yang telah ditentukan menurut skala prioritasnya masing-masing.

Dalam keadaan dimana seorang pengambil keputusan dihadapkan kepada

suatu persoalan yang mengandung beberapa tujuan di dalamnya, maka program linier

tidak dapat membantunya untuk memberikan pertimbangan yang rasional. Karena

program linier hanya terbatas pada analisis tujuan tunggal.Oleh karena itu, maka

diperlukan suatu bantuan program tujuan ganda yang dikenal sebagai goal

programming atau multiple objective programming yang merupakan modifikasi atau

variasi khusus dari program linier selain itu diperlukan metode analytical hierarchy

process(AHP) untuk menyelesaikan problem pengambilan keputusan multikriteria

(multicriteria decision making).


AHP dikembangkan oleh Saaty pada pertengahan tahun 1970 (Saaty 1977).

Pengembangannya mendasarkan pada kemampuan judgment (pertimbangan)manusia

untuk mengkonstruksi persepsi secara hirarkis dari suatu persoalan keputusan

multikriteria, juga untuk membuat perbandingan baik yang bersifat tangible (terukur)

atau intangible(tak terukur) dari suatu kriteria, atribut atau sifat dari masing-masing

elemen keputusan. Untuk bisa memperoleh penetapan bobot prioritas relatif dari

setiap elemen keputusan, pendekatan AHP perlu mensintesis judgment pada setiap

level hirarki keputusan. Kemudian pada setiap level tersebut, keseluruhan elemen

keputusan dikonversikan menjadi keputusan tunggal dimana terjadi hubungan

ketergantungan antar elemennya. Karenanya penetapan estimasi bobot prioritas relatif

elemen keputusan pada setiap level hirarki menjadi langkah yang terpenting dan

menentukan dalam metode AHP.

Umumnya saat pengambil keputusan menetapkan pembobotan relatif antar

elemen keputusan dalam metode AHP dilakukan dalam evaluasi lingkungan

keputusan yang samar dan subyektif. Misalnya saat harus menetapkan intensitas

pembobotan kualitatif kriteria seperti ”sama” penting, ”cukup” penting, ”lebih”

penting dan ”sangat ” penting. Dalam kondisi seperti itu tampaknya diperlukan suatu

model keputusan yang mempertimbangkan fuzzyness (ketidakpastian) untuk

memungkinkan menampung faktor imprecise (tidak jelas) dalam proses penetapan

prioritas kriteria.

Penggunaan goal programming sendiri untuk menyelesaikan problem ini

memerlukan penetapan tingkat aspirasi subyektif untuk mencapai suatu goal.

Karenanya model dalam penelitian ini menggunakan konsep fuzzy hanya pada

penetapan tingkat pencapaian suatu goal yang menjadi aspirasi pengambil keputusan.

Penetapan preferensi berdasarkan judgment manusia untuk memberikan pembobotan,


level aspirasi dan prioritas goal pada suatu elemen keputusan sangat berkaitan dengan

konsep fuzzy.

Dalam situasi keputusan seperti itu, validitas pendekatan goal programming

untuk estimasi pembobotan relatif pada metode AHP dapat ditingkatkan kualitasnya

dengan mengembangkannya menjadi tingkat model fuzzy goal programming. Maka

penulis berkeinginan untuk menguraikan penyelesaian model fuzzy goal programming

dalam penetapan pembobotan prioritas dari metode AHP.

1.2 Perumusan Masalah

Dari latar belakang masalah di atas maka perumusan masalahnya yaitu : menguraikan

penyelesaian untuk model fuzzy goal programming dalam penetapan pembobotan

prioritas dari metode AHP dengan menggunakan software QM for Windows version

2.0.

1.3 Tujuan Penelitian

Bertujuan untuk menerapkan suatu konsep dalam penetapan bobot prioritas dari

metode AHP kemudian mengembangkannya menjadi model goal programming dan

fuzzy goal programming.

1.4 Kontribusi Penelitian

Mempermudah dalam penetapan bobot prioritas dengan model fuzzy goal

programming. Bermanfaat bagi pengambil keputusan (decision maker) dalam

pengambilan keputusan multikriteria (multicriteria decision making).


Tinjauan Pustaka

Metode AHP menjelaskan tentang pemodelan permasalahan secara bertingkat yang

terdiri dari kriteria dan alternatif. [5]

Penggunaan metode AHP untuk menyelesaikan masalah multiobjektif dan

multikriteria berdasarkan perbandingan preferensi dari setiap elemen dalam hirarki.[7]

Penggunaan metode AHP dalam menganalisa faktor-faktor yang

mempengaruhi pemilihan moda ke kampus.[8] Ditinjau dari berbagai faktor, alternatif

jalan kaki dari pondokan merupakan alternatif terbaik (33,2%). Sedangkan carpool

(16%) sedikit lebih rendah daripada penggunaan mobil pribadi (18%). Angkutan

kampus antar jemput justru lebih rendah daripada carpool (12,4%).

Analisis pemilihan mitra LSM dan optimasi budgeting dengan menggunakan

metode AHP dan goal programming. [1] Hasil analisa dengan menggunakan metode

AHP yang diintegrasikan dengan goal programming diperoleh suatu model keputusan

multikriteria. Digunakan untuk menyelesaikan problema dan optimasi dalam memilih

mitra yang paling baik untuk diajak bekerja sama.

Masalah keputusan multikriteria dengan tujuan-tujuan yang saling terbentur

dan tidak dapat dibandingkan diselesaikan dengan model Goal Programming. [3]

Gambaran umum dan pengetahuan dasar yang praktis tentang berbagai model

program linier dan variasinya. [4] Sebagai teknik-teknik riset operasi yang dapat

digunakan dalam penelitian, pengembangan, dan perumusan perencanaan program

serta proyek pembangunan yang dihadapi dalam proses pengambilan keputusan.


Teori himpunan fuzzy dan notasi fuzzy.[9] Misalkan suatu himpunan fuzzy F

didalam semesta wacana U dikarakteristikkan dengan fungsi keanggotaan Fµ yang

bernilai dalam interval [0,1] atau Fµ : U [0,1].

Himpunan fuzzy dan fuzzy mathematical programming. [2] Adapun model

fuzzy linier programming untuk kasus maksimisasi yaitu cTx ≥~ z, Ax≤~ b x≥0. Dan

untuk kasus minimisasi yaitu cTx≤~ z, Ax ≥~ b x≥0.

Pendekatan fuzzy AHP dan fuzzy MCDM untuk pengalokasian fasilitas. Fuzzy

AHP diterapkan untuk mendefinisikan bobot kriteria keputusan dari setiap evaluator.

Fuzzy MCDM diterapkan untuk mensintesa keputusan kolektif. [6]

Panduan Program Aplikasi dengan menggunakan Software QM for Windows

versi 2.0 dalam menyelesaikan persoalan model goal programming. [10]

1.5 Metode Penelitian

Secara umum, penelitian dilakukan dengan beberapa tahapan, yaitu:

1. Penetapan pembobotan prioritas dengan metode AHP.

2. Menguraikan masalah estimasi pembobotan relatif pada AHP untuk suatu level

hirarki yang dinyatakan dalam bentuk Goal Programming.

3. Pengembangan model Goal Programming untuk estimasi pembobotan prioritas

relatif dari metode AHP menjadi model Fuzzy Goal Programming.


BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Analytical Hierarchy Process (AHP)

Metode Analytical Hierarchy Process (AHP) merupakan salah satu metode

pengambilan keputusan yang menggunakan faktor-faktor logika,instuisi,

pengalaman,pengetahuan,emosi dan rasa untuk dioptimalisasikan dalam suatu proses

yang sistematis. Metode AHP ini mulai dikembangkan oleh Thomas L. Saaty, seorang

ahli matematika yang bekerja pada Universitas of Pittsburg di Amerika Serikat, pada

awal tahun 1970-an.

Pada perkembangannya, AHP dapat memecahkan masalah kompleks atau

tidak berkerangka dengan aspek atau kriteria yang cukup banyak. Kompleksitas ini

disebabkan oleh struktur masalah yang belum jelas, ketidakpastian persepsi

pengambilan keputusan, serta ketidakpastian terjadinya atau bahkan tidak ada sama

sekali data statistik yang akurat. Adakalanya timbul masalah keputusan yang

dirasakan dan diamati perlu diambil secepatnya, tetapi variasinya rumit sehingga

datanya tidak mungkin dapat dicatat secara numerik, hanya secara kualitatif saja yang

dapat diukur, yaitu berdasarkan persepsi, pengalaman, dan intuisi. Namun tidak

menutup kemungkinan bahwa model-model lainnya ikut dipertimbangkan pada saat

proses pengambilan keputusan dengan pendekatan AHP, khususnya dalam memahami

para pengambil keputusan individual pada saat proses penerapan pendekatan ini.


AHP mempunyai landasan aksiomatik yang terdiri dari :

1. Resiprocal Comparison, yang mengandung arti bahwa matriks perbandingan

berpasangan yang terbentuk harus bersifat berkebalikan. Misalnya A adalah k kali

lebih penting daripada B maka B adalah 1/k kali lebih penting dari A.

2. Homogenity, yang mengandung arti kesamaan dalam melakukan perbandingan.

Misalnya, tidak dimungkinkan membandingkan jeruk dengan bola tenis dalam hal

rasa, akan tetapi lebih relevan jika membandingkan dalam hal berat.

3. Dependence, yang berarti setiap jenjang (level) mempunyai kaitan (complete

hierarchy) walaupun mungkin saja terjadi hubungan yang tidak sempurna

(incomplete hierarchy).

4. Expectation, yang artinya menonjolkan penilaian yang bersifat ekspektasi dan

preferensi dari pengambilan keputusan. Penilaian dapat merupakan data kuantitatif

maupun yang bersifat kualitatif.

2.1.1 Prinsip Dasar AHP

Dalam menyelesaikan persoalan dengan metode AHP ada beberapa prinsip dasar

yang harus dipahami antara lain :

1. Decomposition

Pengertian decomposition adalah memecahkan atau membagi problema yang utuh

menjadi unsur-unsurnya ke dalam bentuk hirarki proses pengambilan keputusan,

dimana setiap unsur atau elemen saling berhubungan. Untuk mendapatkan hasil

yang akurat, pemecahan dilakukan terhadap unsur-unsur sampai tidak mungkin

dilakukan pemecahan lebih lanjut, sehingga didapatkan beberapa tingkatan dari

persoalan yang hendak dipecahkan. Struktur hirarki keputusan tersebut dapat

dikategorikan sebagai complete dan incomplete. Suatu hirarki keputusan disebut

complete jika semua elemen pada suatu tingkat memiliki hubungan terhadap

semua elemen yang ada pada tingkat berikutnya,sementara hirarki keputusan


incomplete kebalikan dari hirarki yang complete.Bentuk struktur dekomposisi

yakni :

• Tingkat pertama : Tujuan keputusan (Goal)

• Tingkat kedua : Kriteria-kriteria

• Tingkat ketiga : Alternatif-alternatif

Gambar 2.1 Struktur Hirarki

2. Comparative Judgment

Comparative Judgment dilakukan dengan penilaian tentang kepentingan relatif dua

elemen pada suatu tingkat tertentu dalam kaitannya dengan tingkatan diatasnya.

Penilaian ini merupakan inti dari AHP karena akan berpengaruh terhadap urutan

prioritas dari elemen-elemennya. Hasil dari penilaian ini lebih mudah disajikan

dalam bentuk matriks pairwise comparisons yaitu matriks perbandingan

berpasangan memuat tingkat preferensi beberapa alternatif untuk tiap kriteria .

Skala prefrensi yang digunakan yaitu skala 1 yang menunjukkan tingkat yang

Goal

Kriteria I Kriteria II Kriteria III Kriteria N

2

1 2

1 1 2 1 2 M M M M

Alternatif


paling rendah (equal importance) sampai dengan skala 9 yang menunjukkan

tingkatan yang paling tinggi (extreme importance).

3. Synthesis of Priority

Synthesis of Priority dilakukan dengan menggunakan eigen vector method untuk

mendapatkan bobot relatif bagi unsur-unsur pengambilan keputusan.

4. Logical Consitency

Logical Consitency merupakan karakteristik penting AHP. Hal ini dicapai

dengan mengagresikan seluruh eigen vektor yang diperoleh dari berbagai tingkatan

hirarki dan selanjutnya diperoleh suatu vektor composite tertimbang yang

menghasilkan urutan pengambilan keputusan.

Secara naluriah, manusia dapat mengestimasi besaran sederhana melalui

inderanya. Proses yang paling mudah adalah membandingkan dua hal dengan

keakuratan perbandingan tersebut dapat dipertanggungjawabkan. Penetapan skala

kuantitatif 1 sampai 9 untuk menilai secara perbandingan tingkat kepentingan suatu

elemen dengan elemen lain.( Saaty,Thomas L. ,and Luis G.Vargas, 1994, The Analytical

Hierarchy Process vol.VII).


Tabel 2.1 Skala Penilaian Perbandingan Berpasangan

Identitas

Kepentingan

Keterangan Penjelasan

1 Kedua elemen sama

pentingnya

Dua elemen mempunyai pengaruh

yang sama besar terhadap tujuan

3 Elemen baris sedikit lebih

penting daripada elemen

kolom

Pengalaman dan penilaian sedikit

menyokong suatu elemen dibanding

elemen lainnya.

5 Elemen baris lebih penting

daripada elemen kolom

Pengalaman dan penilaian sangat kuat

menyokong suatu elemen dibanding

elemen lainnya.

7 Elemen baris sangat lebih


kolom

Satu elemen yang kuat disokong dan

dominannya telah terlihat dalam

praktek.

9 Elemen baris mutlak lebih


kolom

Bukti yang mendukung elemen yang

satu terhadap elemen lain memiliki

tingkat penegasan tertinggi ysng

mungkin menguatkan.

Jika suatu aktivitas aij mendapat suatu angka bila dibandingkan

dengan aktivitas aij maka aij mempunyai nilai kebalikannya bila

dibandingkan dengan aij (aij = 1/ aij )

2.1.2 Penghitungan Bobot Elemen Dalam Metode AHP

Pada dasarnya formulasi pada model AHP dilakukan dengan menggunakan suatu

matriks. Misalnya dalam suatu subsistem operasi terdapat n elemen operasi


A1,A2,...,An maka hasil perbandingan secara berpasangan elemen-elemen operasi

tersebut akan membentuk matriks perbandingan. Perbandingan berpasangan dimulai

dari hirarki yang paling tinggi, dengan suatu kriteria digunakan sebagai dasar

pembuatan perbandingan. Selanjutnya perhatikan elemen-elemen yang akan

dibandingkan pada tabel 2.2 berikut ini :

Tabel 2.2 Matriks Perbandingan Berpasangan

A1 A2 ... An

A1 11 / ww 21 / ww ... nww /1

A2 12 / ww 22 / ww ... nww /2

. . . . .

. . . . .

. . . . .

An 1/ wwn 2/ wwn ... nn ww /

Contoh matriks yang diperlihatkan dalam tabel 2.2 adalah sebuah matriks A berukuran

(nxn) merupakan matriks perbandingan berpasangan. Dan diasumsikan terdapat n

elemen yaitu nwww ,...,, 21 yang akan dinilai secara perbandingan. Nilai (judgment)

perbandingan secara berpasangan antara ( ji ww , ) dapat direpresentasikan seperti

matriks pada tabel 2.2.

njiuntukaww

ijj

i ,...,2,1, == (1)

maka akan diperoleh hubungan persamaan berikut :

0. =− ijij wwa (2)

dimana :


iw dan jw = variabel keputusan untuk pembobotan relatif dari setiap elemen

keputusan 1 dan j yang terkait pada suatu level hirarki tertentu.

ija = elemen-elemen yang terdapat dalam matriks dengan i,j = 1,2...,n

indeks Ω=(1,2),(1,3),...,(1,n),(2,3),...(2,n),...,(n-1,n)sebagai himpunan perbandingan

judgment yang ditetapkan secara berpasangan oleh pengambil keputusan.

(1,j) =Setiap pasangan elemen keputusan yang menyatakan perbandingan

preferensi elemen keputusan Ai dengan elemen keputusan Aj.

Dari persamaan (1) bisa diperoleh hubungan berikut ini :

1. =

i

jij w

wa (3)

atau untuk keseluruhan elemen keputusan ,...,2,1 n=ϕ akan didapat :

nww

an

i i

jij =

∑=1

. (4)

dituliskan dalam bentuk persamaan lain sebagai :

ijij wnwa .. =∑ (5)

Dalam hal ini matriks perbandingan adalah matriks A dengan unsur-unsurnya adalah

aij dengan i,j = 1,2,...,n.Unsur-unsur matriks tersebut diperoleh dengan

membandingkan satu elemen operasi terhadap elemen operasi lainnya untuk tingkat

hirarki yang sama. Matriks ini dikenal dengan sebutan Pairwise Comparison Judgment

Matrix (PCJM).

Bila vektor pembobotan elemen-elemen operasi dinyatakan sebagai vektor W


→

W , dengan →

W = ( nwww ,...,, 21 ),maka intensitas kepentingan elemen operasi A1

terhadap A2 yakni ji ww / yang sama dengan a12 sehingga matriks perbandingan

dapat dinyatakan sebagai berikut :

Tabel 2.3 Matriks Perbandingan Berpasangan dengan Nilai Intensitas

A1 A2 ... An

A1 11 / ww 21 / ww ... nww /1

A2 12 / ww 22 / ww ... nww /2

. . . . .

. . . . .

. . . . .

An 1/ wwn 2/ wwn ... nn ww /

Bila matriks ini dikalikan dengan vektor kolom →

W = ( nwww ,..., 21 ) maka diperoleh

hubungan :

A→

W = n→

W (6)

Dalam teori matriks, formula tersebut menyatakan bahwa : →

W = eigen vektor dari matriks A

n = eigen value

Bila ditulis secara lengkap maka persamaan tersebut akan terlihat seperti rumus

berikut ini :


=

nn

n

nnn

n

n

w

ww

n

w

ww

ww

ww

ww

ww

ww

ww

ww

ww

ww

2

1

2

1

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

.. (7)

Variabel n pada persamaan diatas dapat digantikan secara umum dengan sebuah

vektor λ sebagai berikut :

A→

W = λ→

W (8)

dimana :

λ i = eigen value dengan λ = ( nλλλ ,..., 21 )

vektor →

W = eigen vektor

Karena matriks A adalah suatu matriks yang resiprokal dengan nilai aij = jia

1 untuk

semua i maka :

∑=

=n

ii n

1λ (9)

dimana:

λ i = eigen value dengan λ = ( nλλλ ,..., 21 ) untuk i = 1,2...,n

Apabila matriks A adalah matriks yang konsisten maka semua eigen value bernilai nol

kecuali satu yang bernilai sama dengan n. Bila matriks A adalah matriks yang tidak

konsisten, variasi kecil atas aij akan membuat nilai eigen value terbesar, λ maks dapat

dicari dengan persamaan berikut :

A→

W = λ maks →

W atau [ A -λ maks I ] = 0 (10)


dimana :

I = matriks identitas

λ maks = nilai eigen value terbesar

Nilai vektor bobot →

W dapat dicari dengan mensubsitusikan nilai λ maks ke dalam

persamaan tersebut.Dalam prakteknya, konsistensi tidak mungkin didapat. Nilai aij

akan menyimpang dari rasio ji ww / dan dengan demikian persamaan diatas tidak

dapat dipenuhi. Deviasi maksimum dari n merupakan suatu parameter Consistency

Index (CI) sebagai berikut :

1−−

=n

nCI maksλ

(11)

dimana :

CI = Consistency Index (Indeks Konsistensi)


n = ordo matriks

Nilai CI tidak akan berarti bila tidak terdapat acuan untuk menyatakan apakah

CI menunjukkan suatu matriks yang konsisten. Thomas L. Saaty memberikan acuan

dengan melakukan perbandingan acak terhadap 500 buah sampel.

Thomas L.Saaty berpendapat bahwa suatu matriks yang dihasilkan dari perbandingan

yang dilakukan secara acak merupakan suatu matriks yang mutlak tak konsisten. Dari

matriks acak tersebut didapat pula nilai Consistensy Index, yang disebut dengan

Random Index (RI).

Indeks konsistensi matriks random dengan skala (1-9) beserta kebalikannya

disebut sebagai indeks random (Random Index) RI. Berdasarkan perhitungan Thomas


L. Saaty dengan menggunakan 500 sampel diperoleh nilai rata-rata indeks random

(RI) untuk setiap ordo matriks tertentu sebagai berikut :

Tabel 2.4 Indeks Random (RI)

Ordo

Matriks

RI Ordo

Matriks

RI Ordo

Matriks

RI

1

2

3

4

5

0

0

0,58

0,9

1,12

6

7

8

9

10

1,24

1,32

1,41

1,45

1,49

11

12

13

14

15

1,51

1,48

1,56

1,57

1,59

(Sumber : Saaty,Thomas L. ,and Luis G.Vargas, 1994, The Analyitcal Hierarchy Process vol.VII : “Decision Naking in Economic, Political, Social, Technological Environments, 1st Edition,RWS Publication, Pittsburgh,p.9)

2.2. Model Goal Programming

Program tujuan ganda yang dalam bahasa asingnya dikenal sebagai Goal

Programming atau multiple objective programming merupakan modifikasi atau variasi

khusus dari program linier yang sudah kita kenal. Analisis Goal Programming

bertujuan untuk meminimumkan jarak antara atau deviasi terhadap tujuan, target atau

sasaran yang telah ditetapkan dengan usaha yang dapat ditempuh untuk mencapai

target atau tujuan tersebut secara memuaskan sesuai dengan syarat ikatan yang ada,

yang membatasinya berupa sumber daya yang tersedia, teknologi yang ada, kendala

tujuan, dan sebagainya.


Dalam keadaan dimana seseorang pengambil keputusan dihadapkan kepada

suatu persoalan yang mengandung beberapa tujuan didalamnya, maka program linier

tidak dapat membantunya untuk memberikan pertimbangan yang rasional. Karena

program linier hanya terbatas pada analisis tujuan tunggal (single objective function).

Oleh karena itu, maka persoalan tersebut memerlukan bantuan program tujuan ganda.

Dunia nyata yang kita hadapi ini adalah dunia yang penuh dengan berbagai tujuan

sebagai target dan sasaran. Oleh karena itu maka Goal Programming merupakan alat

analisis yang tepat untuk itu. Goal Programming berusaha untuk meminimumkan

deviasi berbagai tujuan, sasaran, atau target yang telah ditetapkan.

Dengan analisis Goal Programming maka kita mencoba untuk memuaskan

atau memenuhi target paling tidak mendekati target yang telah kita tentukan menurut

skala prioritasnya masing-masing.

Charnes dan Cooper yang mengembangkan Goal Programming sebagai

pendekatan untuk menyelesaikan masalah yang infeasibility (tidak layak) pada

program linier yang disebabkan oleh tujuan yang bertentangan. Ijiri dan Jaaskelainen

kemudian melanjutkan dan melengkapinya sehingga dapat dipakai secara operasional.

Lee mengkontribusikan menjadi ke tingkat yang lebih baik cara kerjanya,prestasi dari

Goal Programming. Pada bagian P1 selalu lebih besar dari bagian prioritas ranking

yang lebih rendah P2. Ignizio membentuk dan mengaplikasikan bilangan bulat yang

tepat pada algoritma Goal Programming dan juga mampu bekerja dalam Program Non

Linier.

Goal Programming berusaha untuk meminimumkan deviasi atau simpangan

diantara berbagai tujuan atau sasaran yang telah ditetapkan sebagai targetnya, artinya

nilai ruas kiri suatu persamaan kendala sebisa mungkin mendekati nilai ruas


kanannya.Dalam Goal Programming terdapat dua tipe kendala yaitu kendala teknologi

(technological constraint) yang merupakan permasalahan kapasitas sumber dan

kendala lainnya yang bukan terhadap tujuan, kendala tujuan (goal constraint) yang

mewakili atau menggambarkan target dari objek-objek dalam urutan prioritas.

2.2.1 Konsep Dasar dan Unsur-unsur Goal Programming

Agar memahami dengan baik bidang yang dipelajari, pembaca selalu harus mengerti

istilah-istilah dan lambang-lambang khusus yang digunakan dalam bidang studi itu.

Berikut ini adalah definisi dari beberapa istilah dan lambang yang biasa digunakan

dalam Goal Programming.

Decision variables (Variable keputusan ) merupakan seperangkat variable yang tidak

diketahui (dalam model Linier Goal Programming dilambangkan dengan xj, dimana j

=1,2,...,n) yang akan dicari nilainya.

Right hand side values atau RHS (Nilai sisi kanan ) merupakan nilai-nilai yang

biasanya menunjukkan ketersediaan sumber daya (dilambangkan dengan bi) yang

akan ditentukan kekurangan atau kelebihan penggunaannya.

Goal (tujuan) merupakan keinginan untuk meminimumkan angka penyimpangan dari

suatu nilai RHS pada suatu goal constraint tertentu .

Goal Constraint (kendala tujuan) merupakan sinonim dari istilah goal equation, yakni

suatu tujuan yang diekspresikan dalam persamaan matematika yang memasukkan

variabel simpangan.

Preemtive priority factor merupakan suatu sistem urutan yang dilambangkan dengan

Pk, dimana k = 1,2,...,k dan k menunjukkan banyaknya tujuan dalam model) yang

memungkinkan tujuan-tujuan disusun secara ordinal dalam model Linier Goal

Programming.


Sistem urutan itu menempatkan tujuan-tujuan dalam susunan dengan hubungan

sebagai berikut :

P1> P2 >>>Pk

P1 merupakan tujuan yang paling penting

P2 merupakan tujuan yang kurang penting dan seterusnya

Deviational variables (variabel simpangan) merupakan variabel-variabel yang

menunjukkan kemungkinan penyimpangan negatif dari suatu nilai RHS kendala

tujuan (dalam model Linier Goal Programming dilambangkan dengan −id , dimana i =

1,2,...,m dan m adalah banyaknya kendala tujuan dalam model) atau penyimpangan

positif dari suatu nilai RHS (dilambangkan dengan +id ). Variabel-variabel ini serupa

dengan slack variable dalam Linier Programming.

Differential weight (bobot) merupakan timbangan matematika yang diekspresikan

dengan angka kardinal (dilambangkan dengan wki dimana k = 1,2,...,k; i = 1,2,...,m)

dan digunakan untuk membedakan variabel simpangan i didalam suatu tingkat

prioritas k.

Technological coefficient (koefisien teknologi) merupakan nilai-nilai numerik

(dilambangkan dengan aij) yang menunjukkan penggunaan nilai bi per unit untuk

menciptakan xj.

2.2.2 Unsur-unsur Goal Programming

Setiap model Linier Goal Programming paling sedikit terdiri dari tiga komponen,

yaitu : sebuah fungsi tujuan, kendala-kendala tujuan, dan kendala non negatif.

1. Fungsi Tujuan

Ada tiga jenis fungsi tujuan dalam Linier Goal Programming yaitu:


1. Minimumkan ∑=

+− +=m

iii ddZ

1

Fungsi tujuan yang pertama digunakan jika variabel simpangan dalam suatu masalah

tidak dibedakan menurut prioritas atau bobot.

2. Minimumkan ( ) KkuntukddPZ ii

m

ik ...,2,1

1=+= +−

=∑

Fungsi tujuan yang kedua digunakan dalam suatu masalah dimana urutan tujuan

diperlukan, tetapi variabel simapangan di dalam setiap tingkat prioritas memiliki

kepentingan yang sama.

3. Minimumkan ( ) KkuntukddPwZ ii

m

ikki ...,2,1

1=+= +−

=∑

Dalam fungsi tujuan ketiga, tujuan-tujuan diurutkan dan variabel simpangan pada

setiap tingkat prioritas dibedakan dengan menggunakan bobot yang berlainan wki.

Jadi, fungsi tujuan yang digunakan akan tergantung pada situasi masalahnya.Perlu

diperhatikan bahwa dalam model Linier Goal Programming tidak ditemukan variabel

keputusan pada fungsi tujuan.

Penulis masih mencari, seperti yang dilakukan model Linier Programming, nilai

xj yang tidak diketahui, tetapi akan melakukannya secara tidak langsung melalui

minimisasi simpangan negatif dan positif dari nilai RHS kendala tujuan. Linier

Programming mencari nilai solusi xj secara langsung melalui minimisasi

penyimpangan-penyimpangan dari nilai RHSnya.

2. Kendala Tujuan

Ada enam jenis kendala tujuan yang berlainan. Maksud setiap jenis kendala itu

ditentukan oleh hubungannya dengan fungsi tujuan.


Tabel 2.5 Jenis-jenis Kendala Tujuan

Kendala Tujuan Variabel

Simpangan

Dalam

Fungsi

Tujuan

Kemungkinan

Simpangan

Penggunaan Nilai

RHS yang

diinginkan

iijij bdxa =+ − −id Negatif = bi

iijij bdxa =− + +id Positif = bi

iiijij bddxa =−+ +−

−id Negatif dan positif bi atau lebih

iiijij bddxa =−+ +− −id Negatif dan positif bi atau kurang

iiijij bddxa =−+ +− −id dan +

id Negatif dan positif = bi

iijij bdxa =− + +id (artf.) Tidak ada Pas = bi

Terlihat bahwa setiap jenis kendala tujuan harus punya satu atau dua variabel

simpangan yang ditempatkan pada fungsi tujuan. Dimungkinkan adanya kendala-

kendala yang tidak memiliki variabel simpangan. Kendala-kendala ini sama seperti

kendala-kendala persamaan linier. Persamaan pertama pada tabel 2.5 maknanya

serupa dengan kendala pertidaksamaan ≤ dalam masalah program linier maksimisasi.

Persamaan kedua maknanya serupa dengan kendala pertidaksamaan ≥ pada masalah

program linier minimisasi.

Persamaan ketiga, keempat dan kelima semuanya memperbolehkan

penyimpangan dua arah, tetapi persamaan kelima mencari penggunaan sumber daya

yang diinginkan sama dengan bi.


Ini serupa dengan kendala persamaan dalam Linier Programming, tetapi tidak

menempel pada solusi karena dimungkinkan adanya penyimpangan negatif dan

positif. Jika kendala persamaan dianggap perlu dalam perumusan model Linier Goal

Programming, ia dapat dimasukkan dengan menempatkan sebuah artificial variabel +id , seperti pada persamaan keenam. Persamaan ketiga dan keempat memperbolehkan

adanya penyimpangan positif dan negatif dari nilai RHSnya. Dalam kendala Linier

Programming tak ada pembanding untuk persamaan ketiga dan keempat.

3. Kendala Non Negatif

Seperti dalam Linier Programming, variabel-variabel model Linier Programming

biasanya bernilai lebih besar atau sama dengan nol. Semua model Linier Goal

Programming terdiri dari variabel simpangan dan variabel keputusan, sehingga

pernyataan non negatif dilambangkan sebagai xj, −id , +

id ≥ 0

2.2.3 Kendala Struktural

Disamping ketiga komponen yang telah disebutkan itu, dalam model Linier Goal

Programming kadang-kadang terdapat komponen yang lain, yaitu, kendala struktural

artinya kendala-kendala lingkungan yang tidak berhubungan langsung dengan tujuan-

tujuan masalah yang dipelajari. Variabel simpangan tidak dimasukkan dalam kendala

ini, karena itu, kendala ini tidak diikut sertakan dalam fungsi tujuan.

Minimumkan ( )∑=

−+ +=m

iiii ddWZ

1

= ∑=

−−++ +m

iiiii dWdW

1

Syarat ikatan :

(Kendala Tujuan) iiij

m

iij bddxa =−+ +−

=∑

1


Untuk i = 1,2,...,m

Kendala Technologi ∑=

≥≤n

jkjkj catauxg

1

Untuk k = 1,2,...,p

j = 1,2,...,n

Dan xj, −id , +

id ≥ 0

−id + +

id = 0

dimana : +id dan −

id : jumlah unit deviasi yang kekurangan (-) atau kelebihan (+)

terhadap tujuan ( bi) −+

ii WdanW : timbangan atau bobot yang diberikan terhadap suatu unit

deviasi yang kekurangan atau kelebihan terhadap tujuan ( bi)

aij : koefisien technologi fungsi kendala tujuan, yaitu yang

berhubungan dengan tujuan peubah pengambilan keputusan

(xj)

xj : peubah pengambilan keputusan

bi : tujuan atau target yang ingin dicapai

gkj : koefisien teknologi fungsi kendala biasa

ck : jumlah sumber daya k yang tersedia

Model tersebut merupakan persoalan pengoptimuman untuk meminimumkan

jumlah agregat dari semua deviasi positif dan negatif yang individual dari tujuan yang

telah ditetapkan.Dalam perumusan Goal Programming dapat dimasukkan satu tujuan

atau lebih yang langsung berhubungan dengan fungsi objektif dalam bentuk variabel

deviasi. Algoritma simpleks menjamin persyaratan non negatifitas.


Berhubung tidak dapat mencapai deviasi plus dan deviasi minus dari tujuan

atau target yang ditetapkan secara sekaligus atau simultan, maka salah satu dari

variabel atau kedua-duanya akan menjadi nol (0),yang berarti target terpenuhi dengan

sangat memuaskan dan tepat.

Tabel 2.6 Tabel Awal Goal Programming

1 2 3 4 5

1

2

3

Baris 1 : Variabel keputusan Xj dan variabel deviasi −1d

Kolom 5 : Nilai sebelah kanan

Kolom 3 : Koefisien variabel keputusan aij

Kolom 4 : Matriks identitas menunjukkan pemasukan variabel deviasi

negatif −1d

x X1 X2 . . . Xk … Xn d1 … d1 … dn Value

WiPi Cb 0 0 ... 0 … 0 w1 … w1 … wn iibw∑

W1P1 +1d a11 a12 … a1k … a1n 1 … 0 … 0 b1

W2P2 +2d a21 a22 …. a2k … a2n 0 … 0 … 0 b2

... ... …………………………………………………… …

W1P1 +1d al1 al2 … alk … aln 0 … 1 … 0 b1

... ... …………………………………………….. …

WnPn +nd an1 an2 … ank … an 0 … 0 … 1 bn

Zj - Cj


Kolom 1 : Faktor prioritas Pi dan bobot Wi untuk setiap variabel deviasi

positif (yakni variabel basis) dan memasukkan variabel deviasi

artificial seperti ditampilkan dalam kolom 2.

Kolom 2 : Nilai total deviasi absolut, yang mewakili jumlah total deviasi

dari semua tujuan untuk tiap tabel sebagai iterasi proses

pendapatan.

Baris 2 : Vektor baris dari penunjuk nol pada proses perhitungan.

Baris 3 : Bobot Wi untuk setiap variabel deviasi yang dimasukkan dalam

fungsi objektif.

2.2.4 Model Keputusan Goal Programming

Oleh karenanya persamaan (2) dapat dinyatakan sebagai fungsi kendala goal dalam

term model Goal Programming yaitu :

Ω∈=−+− jiuntukpnwwa ijijijij ,(0. ) (12)

Variabel nij dan pij sebagai variabel deviasi baru dalam fungsi kendala goal. Kendala

persamaan (12) merepresentasikan penyimpangan, over atau underachievement dari

suatu tingkat aspirasi goal yang ditetapkan. Tujuan pemodelannya adalah menemukan

jawab pengambil keputusan yang mendekati konsisten. Artinya melakukan

minimalisasi penyimpangan dari deviasi nilai pencapaian aspirasi subyektifnya. Oleh

sebab itu, sebagai kriteria optimasi dari fungsi obyektif model ini adalah

meminimumkan penjumlahan variabel deviasi nij dan pij.

Misal untuk suatu problem diperoleh solusi nij dan pij = 0, maka persamaan (2)

dapat terpenuhi. Hal ini berarti diperoleh jawab konsisten sempurna, inkonsistensinya

=0. Sebaliknya, bila terjadi deviasi dari tingkat aspirasi yang ditetapkan, diperoleh


nilai nij dan pij ≥ 0, penetapan judgment pengambil keputusan kurang konsisten.

Kendala lain yang perlu ditambahkan dalam model :

1. Kendala untuk normalisasi pembobotan wi, penjumlahan keseluruhan bobot

prioritas 1=∑ iw .

2. Kendala ekivalensi penjumlahan variabel deviasi pada setiap kendala yang

relevan, untuk menghindari munculnya dual degeneration.

2.2.5 Formulasi Model Keputusan Goal Programming

Secara umum estimasi pembobotan relatif pada AHP untuk suatu level hirarki dapat

dinyatakan dalam problem Goal Programming sebagai berikut :

Minimize ∑ ∑Ω∈ Ω∈

+=),( ),(ji ji

ijij npZ (13)

s.t

),,(

0.

ϕ∈Ω∈

=−+−

jidanjiuntukpnwwa ijijijij (14)

1=∑ iw untuk i ∈ϕ (15)

wi ≥ 0 untuk i ∈ϕ (16)

nij,pij ≥ 0 untuk (i,j) Ω∈ (17)

dimana:


wi dan wj = variabel keputusan untuk pembobotan relatif dari setiap elemen


nij,pij = variabel deviasi baru dalam fungsi kendala goal.

Ai = prioritas judgment relatif dari pengmabil keputusan yang

berkaitan dengan perbandingan preferensi antar elemen

keputusan 1 dan elemen keputusan j pada suatu level hirarki

relevan.

Z = fungsi obyektif yang mengukur inkonsistensi judgment dari

pengambil keputusan.

ϕ = elemen keputusan ϕ = 1,2,...n

Ω = sebagai himpunan perbandingan judgment yang ditetapkan

secara berpasangan oleh pengambil keputusan untuk

Ω=(1,2),(1,3),...,(1,n),(2,3),...(2,n),...,(n-1,n).

2.3 Model Fuzzy Goal Programming

Pemaparan teori himpunan fuzzy untuk masalah Goal Programming pertama kali

dikemukakan oleh Hannan (1981) juga Ignizio (1982). Secara komprehensif berbagai

aspek teori keputusan dengan menggunakan pendekatan fuzzy goal programming

didiskusikan oleh Rubin dan Narasimhan (1984) juga Tiwari dkk (1986). Aplikasinya

untuk pemodelan keputusan untuk berbagai aspek yang luas, misalnya untuk

persoalan manajemen lingkungan diungkapkan oleh Tiwari dkk (1985).

Model fuzzy goal programming yang dikemukakan dalam tulisan ini

menggunakan konsep Tiwari dkk (1987) berupa model simple additive method.

Pendekatan itu diadopsi dikarenakan kesamaan struktur keputusan dan


kesederhanaannya dibandingkan model yang lain. Tiwari dkk (1987) merumuskan

persoalan fuzzy goal programming sebagai berikut :

Cari nilai X

Agar memenuhi Gs(X) ~< gs atau Gs(X)

~> gs

untuk s = 1,2,...,m (18)

s.t.

AX ≥ b (19)

X≥ 0 (20)

dimana:

X = vektor variabel keputusan

AX ≥ b sebagai kendala sistem

simbol ~< dan

~> menyatakan ketidaksamaan fuzzy kendala goal Gs(X)

~< gs atau

Gs(X) ~> gs.

Gs(X) merupakan fungsi goal

gs adalah goal yang menjadi aspirasi pengambil keputusan.

Persamaan fuzzy kendala goal mewujudkan aspirasi yang bersifat imprecise. Model

fuzzy ini perlu diubah ke dalam persamaan crips dengan mensubstitusikan fungsi

tersebut pada fungsi keanggotaan fuzzy liniernya yang relevan.

2.3.1 Fungsi Keanggotaan Fuzzy

Fungsi keanggotaan fuzzy linier untuk fungsi kendala goal yang diformulasikan

Tiwari dkk (1987) adalah sebagai berikut :

1. Untuk problem fungsi kendala fuzzy goal Gs (X) ~> gs :


≤

≤≤−−

≥

=

ss

sssss

ss

ss

i

LXGjika

gXGLjikaLgLXG

gXGjika

)(0

)()()(1

µ (21)

dimana:

Ls adalah batas toleransi aspirasi terendah yang ditetapkan subyektif oleh pengambil

keputusan untuk fungsi kendala fuzzy goal Gs (X).

2. Untuk problem kendala fuzzy goal Gs (X) ~< gs :

≤

≤≤−

−≤

=

ss

sssss

ss

ss

i

UXGjika

UXGgjikagUXGU

gXGjika

)(0

)()()(1

µ (22)

dimana :

Us adalah batas tingkat aspirasi toleransi tertinggi yang ditetapkan subyektif oleh


Model keputusan ini adalah problem optimasi dalam bentuk linier

programming yang dapat diselesaikan dengan algoritma standar. Model memiliki

fungsi obyektif dengan kriteria tunggal yaitu maksimasi derajat keanggotaan sµ untuk

keseluruhan aspirasi goal. Fungsi kendalanya bisa dalam bentuk crisp atau fuzzy.

Misalkan untuk aspirasi goal : Gs(X) ~> gs diperoleh model keputusan sebagai berikut

:

Maximize ∑=

=1

)(s

sV µµ (23)

s.t.


( )ss

ssi Lg

LXG−−

=µ (24)

AX ≤ b (25)

1≤sµ (26)

msX s ,...,2,1,0, =≥µ

dimana :

V = fungsi obyektif yang mengukur inkonsistensi judgment dari pengambil

keputusan.

AX ≤ b sebagai kendala sistem.

µ = derajat keanggotaan fuzzy.

Gs(X) = fungsi goal.

gs = goal yang menjadi aspirasi pengambil keputusan.

X = vektor variabel keputusan.

Ls = batas toleransi aspirasi terendah yang ditetapkan subyektif oleh pengambil

keputusan.

Us = batas tingkat aspirasi toleransi tertinggi yang ditetapkan subyektif oleh


2.3.2 Model Fuzzy Goal Programming Untuk Estimasi Penetapan Prioritas

Telah dipaparkan dari persamaan (13) sampai (17) pengembangan model goal

programming untuk estimasi pembobotan prioritas relatif dari metode AHP.

Kesulitan utama dari pendekatan ini adalah adanya faktor inkonsistensi penetapan

judgment pembobotan elemen keputusan. Karenanya ratio perbandingan judgment


yang disusun tidak selalu bisa memenuhi sifat resiprokalitas dan transitivity dari

matriks. Ketidakpastian ini akan berkaitan dengan konsep fuzzy.

Misalkan pengambil keputusan telah menetapkan batas level tertinggi toleransi

intensitas jawab konsistensi tertinggi (Us) dan batas level toleransi nilai terendah (gs).

Nilai-nilai ini mencerminkan tingkat aspirasi subyektif. Keduanya diasumsikan

berkorespodensi dengan intensitas jawab inkonsistensi yang masih bisa ditoleransi

oleh pengambil keputusan. Saaty (1977,1980,1990,1994) merekomendasikan nilai

rasio konsistensi (CR) sekitar < 10%.

Berdasarkan alasan itu, fungsi obyektif dari model goal dalam persamaan (13)

dapat dipandang sebagai fungsi aspirasi goal (fungsi Gs) yang bersifat fuzzy. Fungsi

keanggotaan fuzzy linier didapat dengan melakukan substitusi pada setiap fungsi

kendala goal (persamaan 13) ke dalam fungsi keanggotaan fuzzy yang relevan

(persamaan 21).

Fungsi pencapaiannya berbentuk “additive goal programming” dengan criteria

berupa maksimasi nilai keanggotaan fuzzy dengan tambahan pada kendala batas nilai

maksimumnya ( 1≤sµ ).

Pada setiap level hirarki dan untuk sejumlah s fungsi kendala goal diperoleh

model fuzzy dalam bentuk cara linier programming biasa seperti berikut :

Maximize V ∑=s

sµµ)( (27)

s.t


ss

jiij

jiijs

s gU

npU

−

+−=

∑∑Ω∈Ω∈ ),(),(µ (28)

untuk s = 1,2,…m

0. =−+− ijijijij pnwwa (29)

untuk (i,j) ϕ∈Ω∈ jidan ,

)33(),(0.)32()(0)31(,...,2,11

)30(1

Ω∈≥∈≥=≤

∈=∑

jiuntukpniuntukw

msuntuk

iuntukw

ijij

i

s

ii

ϕµ

ϕ

dimana :

V = fungsi obyektif yang mengukur inkonsistensi judgment dari







gs = batas toleransi aspirasi terendah yang ditetapkan subyektif oleh


Us = batas tingkat aspirasi toleransi tertinggi yang ditetapkan subyektif

oleh pengambil keputusan.



Ω = sebagai himpunan perbandingan judgment yang ditetapkan secara

berpasangan oleh pengambil keputusan untuk

Ω=(1,2),(1,3),...,(1,n),(2,3),...(2,n),...,(n-1,n).

2.4 Pengenalan Program QM for Windows

Program QM for Windows merupakan paket program komputer untuk menyelesaikan

persoalan-persoalan metode kuantitatif, manajemen sains atau riset operasi. QM for

Windows merupakan gabungan dari program terdahulu DS dan POM for Windows,

jadi jika dibandingkan dengan program POM for Windows modul-modul yang

tersedia di QM for Windows lebih banyak. Namun ada modul-modul yang hanya

tersedia di program POM for Windows, atau hanya tersedia di program DS for

Windows dan tidak tersedia di QM for Windows.

Program-program QM for Windows, DS dan POM for Windows, disediakan

oleh penerbit Prentice Hall (www.prentice-hall.com), dan sebagian program

merupakan bawaan dari beberapa buku terbitan Prentice Hall.Tampilan sementara

(splash) setelah program QM for Windows dijalankan tampak pada Gambar 2.1

(bagian yang di blok hitam sebenarnya berisi tulisan License to........)


Gambar 2.2 Tampilan sementara (splash) dari program QM for Windows

Setelah tampilan sementara (splash) berakhir, akan muncul tampilan awal

seperti Gambar 2.2, yang berarti program sudah siap untuk menjalankan modul-modul

yang akan dipilih.Pilihan modul ada pada menu Module yang dapat diaktifkan dengan

meng-klik (pakai mouse) tulisan Module di baris menu atau dengan menekan tombol

Alt+M. Modul-modul dari Assignment (metode penugasan) hingga Waiting Lines

(antrian) dapat dipilih,disesuaikan dengan persoalan yang hendak diselesaikan

(Gambar 2.3)


Gambar 2.3 Tampilan Awal program QM for Windows


Gambar 2.4 Pilihan modul yang tersedia pada program QM for Windows

Gambar 2.5 Baris Menu (menu bar) sebelum dipilih Modul tertentu

Gambar 2.6Baris Menu (menu bar) sesudah dipilih Modul tertentu

Gambar 1.6 Baris Tool (toolbar) sebelum dipilih Modul tertentu Gambar 2.7 Baris Tool (toolbar) sebelum dipilih Modul tertentu


Gambar 2.8 Baris Tool (toolbar) sesudah dipilih Modul tertentu

Gambar 2.9 Ruang instruksi (tampilan ruang instruksi ini dapat diatur melalui menu View – Instruction - ........)

Gambar 2.10 Baris Utilitas (utility bar) – secara default terletak di bagian bawah

Baris tool (toolbar) dan baris utilitas (utility bar) dapat diatur sesuai dengan

selera/kebutuhan dengan cara meng-klik kanan mouse, ketika kursor mouse berada

pada toolbar. Toolbar dan utility bar dapat juga dipindahkan tempatnya dengan cara

men-drag & drop bagian paling kiri dari toolbar atau utility bar tersebut; atau dengan

menu View –Toolbar – Customize.


BAB 3

PEMBAHASAN

3.1 Penggunaan Metode AHP dalam Perhitungan Matematis

Kaidah pembobotan menyatakan bahwa :

1. Nilai bobot setiap kolom antara 0-1 atau 0% - 100% jika kita menggunakan

presentase.

2. Jumlah total bobot harus bernilai 1 (100%)

3. Tidak ada bobot yang bernilai negatif (-)

Berikut ini adalah langkah-langkah yang digunakan dalam menentukan bobot dengan

menggunakan AHP:

1. Menentukan Prioritas

Biasanya orang lebih mudah mengatakan bahwa elemen A lebih penting daripada

elemen B, elemen B kurang penting dibanding dengan elemen C dan sebagainya,

namun mengalami kesulitan menyebutkan seberapa penting elemen A dibandingkan

elemen B atau seberapa kurang pentingnya elemen B dibandingkan dengan elemen

C. Untuk itu kita perlu membuat tabel konversi dari pernyataan prioritas ke dlam

angka-angka.

2. Membuat Tabel Perbandingan Prioritas

Tabel perbandingan prioritas setiap elemen dibentuk dengan membandingkan

masing-masing elemen. Sebagai contoh : Jika kita mempunyai 4 elemen, maka kita


membuat matriks perbandingan ke-4 elemen tersebut. Misalkan dari proses

membandingkan antar elemen diperoleh nilai prioritas elemen sebagai berikut :

Tabel 3.1 Contoh Matriks Perbandingan Berkebalikan

ELEMEN A ELEMEN B ELEMEN C ELEMEN D ELEMEN A 1 ½ 1/5 1/3 ELEMEN B 2 1 1/3 1 ELEMEN C 5 3 1 ½ ELEMEN D 3 1 2 1

Cara mengisinya adalah dengan menganalisa prioritas antara elemen baris

dibandingkan dengan elemen kolom. Sesuai dengan persamaan matematika yang

menyebutkan jika A:B = X, maka B:A =1/X. Contoh : jika prioritas elemen B (baris) :

elemen A (kolom) = 2, maka prioritas elemen A (baris) : elemen B (kolom) = ½.

Sehingga prioritas setiap elemen antara elemen A : elemen A = 1, elemen C : elemen

A = 5, elemen C : elemen B = 3,elemen D : elemen A = 3, elemen D : elemen B =1,

elemen D : elemen C = 2.

3.1.1 Menentukan Bobot Pada Tiap Elemen

Selanjutnya adalah menentukan bobot pada tiap elemen, nilai bobot ini berkisar antara

0-1, dan total bobot untuk setiap kolom adalah 1. Cara menghitung bobot adalah

angka pada setiap kotak dibagi dengan menjumlahkan semua angka dalam kolom

yang sama. Contoh bobot dari (elemen A,elemen A) = 1/ (1+2+5+3) = 0.090, elemen

B,elemen A) = 2/(1+2+5+3) = 0.181. Dengan perhitungan yang sama bobot prioritas

tabel ELEMEN diatas menjadi :


Tabel 3.2 Penyelesaian Matriks Perbandingan Berkebalikan

ELEMEN A ELEMEN B ELEMEN C ELEMEN D ELEMEN A 0.091 0.091 0.057 0.118 ELEMEN B 0.182 0.182 0.094 0.353 ELEMEN C 0.455 0.545 0.283 0.176 ELEMEN D 0.273 0.182 0.566 0.353

Mencari Nilai Bobot Untuk Masing-masing Elemen

Selanjutnya adalah mencari nilai bobot untuk masing-masing elemen. Caranya adalah

dengan melakukan penjumlahan setiap nilai bobot prioritas pada setiap baris tabel

dibagi dengan jumlah elemen. Sehingga diperoleh bobot masing-masing elemen

adalah :

ELEMEN A = (0.091 + 0.091 + 0.057 + 0.118)/ 4 = 0.089 (8.9%)

ELEMEN B = (0.182 + 0.182 + 0.094 + 0.353)/ 4 = 0.203 (20.3%)

ELEMEN C = (0.455 + 0.545 +0.283 + 0.176 )/ 4 = 0.365 (36.5%)

ELEMEN B = (0.273 + 0.182 + 0.566 + 0.353 )/ 4 = 0.343 (34.3%)

3.1.2 Perancangan Flowchart

Gambaran secara umum proses yang terjadi dalam model fuzzy goal programming

dalam penetapan pembobotan prioritas dari metode AHP yaitu:


Gambar 3.1 Flowchart yang terjadi dalam penetapan bobot prioritas

Tampilkan Hasil

Perhitungan pembobotan dengan software QM for Windows

Perumusan fungsi dan kendala dalam suatu hirarki

Penambahan variable deviasi positif (di+)

dan deviasi negatif (di-)

Pengembangan dalam model fuzzy goal programming

Table Perbandingan Prioritas

Perhitungan CI dan CR

Mulai

Data Dasar

Penetapan Bobot

Pembobotan dengan AHP Pembobotan dengan Goal

Programming

Penentuan Prioritas

Selesai


Pada bab ini akan dibahas pendekatan model fuzzy goal programming dalam

penetapan pembobotan prioritas dari metode analytical hierarchy process (AHP).

Berikut ini diberikan suatu matriks pairwise comparison (matriks perbandingan

berkebalikan) yaitu :

aij =

13/11313/1131

3.2 Penyelesaian Pembobotan Dengan AHP

Dalam menyelesaikan pembobotan dengan AHP maka yang pertama kali dilakukan

adalah menentukan bobot pada tiap elemen dari matriks pairwise comparison (matriks

perbandingan berkebalikan ).

Tabel 3.3 Matriks Perbandingan Berkebalikan

W1 W2 W3

W1 1 3 1

W2 1/3 1 3

W3 1 1/3 1

∑ 7/3 13/3 5

Maka bobot pada tiap elemen dari matriks perbandingan berkebalikan tersebut

sebagai berikut :

Tabel 3.4 Penyelesaian Matriks Perbandingan Berkebalikan

W1 W2 W3

W1 0.429 0.692 0.2

W2 0.143 0.231 0.6


W3 0.429 0.077 0.2

∑ 1 1 1

Selanjutnya adalah mencari nilai bobot untuk masing-masing elemen dengan

melakukan penjumlahan setiap nilai bobot prioritas pada setiap baris tabel dibagi

dengan jumlah elemen. Sehingga diperoleh hasilnya sebagai berikut :

Tabel 3.5 Matriks Penetapan Bobot pada tiap elemen

W1 W2 W3 Eigenvector utama

W1 0.429 0.692 0.2 0.440

W2 0.143 0.231 0.6 0.325

W3 0.429 0.077 0.2 0.235

∑ 1 1 1 1

dimana :

W1 = bobot relatif kriteria ke-1



Perhitungan secara manual lebih mudah jika jumlah elemen matriks yang

dimiliki hanya sedikit,namun jika jumlah elemen matriks dalam jumlah besar maka

perhitungan bobot akan lebih mudah dengan menggunakan software.Ada beberapa

software yang bisa digunakan antara lain Expert Choice,Decision Lens,TESS,Web-

HIPPRE.


Selanjutnya nilai eigen maksimum ( maksλ ) didapat dengan menjumlahkan hasil

perkalian jumlah kolom dengan vektor eigen. Nilai eigen maksimum yang diperoleh

adalah sebagai berikut :

λ maks = 235.05325.0

313440.0

37 xxx ++

= 1.027 + 1.408 + 1.175

= 3.61

Karena matriks berordo 3 (yakni terdiri dari 3 kriteria), maka nilai indeks

konsistensi yang diperoleh adalah :

1−−

=n

nCI maksλ

2361.3 −

=CI = 0.305

Selanjutnya mencari nilai Rasio Konsistensi (CR) :

RICICR =

Untuk n = 3, dengan menggunakan tabel Saaty diperoleh nilai RI = 0.58 maka :

RICICR =

58.0305.0

=CR = 0.525

dimana :


CR = Consistency Ratio (Rasio Konsistensi)

RI = Random Index



n = ordo matriks

3.3 Penyelesaian Pembobotan Dengan Goal Programming

Secara umum estimasi pembobotan relatif pada AHP untuk suatu level hirarki dapat

dinyatakan dalam problem Goal Programming sebagai berikut :

Minimize ∑ ∑Ω∈ Ω∈

+=),( ),(ji ji

ijij npZ

s.t

),,(

0.

ϕ∈Ω∈

=−+−

jidanjiuntukpnwwa ijijijij

1=∑ iw untuk i ∈ϕ

wi ≥ 0 untuk i ∈ϕ

nij,pij ≥ 0 untuk (i,j) Ω∈

dimana :



Z = fungsi obyektif yang mengukur inkonsistensi judgment dari






Ω = sebagai himpunan perbandingan judgment yang ditetapkan

secara berpasangan oleh pengambil keputusan untuk

Ω=(1,2),(1,3),...,(1,n),(2,3),...(2,n),...,(n-1,n).

Adapun penyelesaian untuk estimasi pembobotan relatif pada AHP untuk suatu level

hirarki dalam problem Goal Programming yaitu :

aij =

13/11313/1131

)()()()( 44332211−+−+−+−+ +++++++= ddddddddZMin

s.t

1. 0. =−+− ijijijij pnwwa

13/11313/1131

.

3

2

1

WWW

-

3

2

1

WWW

+ 0

33

22

11

=

−

−

−

+−

+−

+−

dddddd

51

3/133/1

3/71

53

3/131

3/73/1

51

3/133

3/71

.

3

2

1

WWW

-

3

2

1

WWW

+ 0

33

22

11

=

−

−

−

+−

+−

+−

dddddd

2.0077.0429.06.0231.0143.02.0692.0429.0

.

3

2

1

WWW

-

3

2

1

WWW

+ 0

33

22

11

=

−

−

−

+−

+−

+−

dddddd


0.429 W1 + 0.692 W2 + 0.2 W3 –W1 + )( 11

+− − dd = 0 0.143 W1 + 0.231W2 + 0.6 W3 – W2 + )( 22

+− − dd = 0 0.429 W1 + 0.077 W2 + 0.2 W3 – W3 + )( 33

+− − dd = 0 2. 1=∑

siW

W1 + W2 + W3 + )( 44+− − dd = 1

untuk Wi dan dj ≥ 0 untuk s = 1,2,3 Maka menjadi :

)()()()( 44332211−+−+−+−+ +++++++= ddddddddZMin

s.t 1) – 0.571 W1 + 0.692 W2 + 0.2 W3 + )( 11

+− − dd = 0 2) 0.143 W1 – 0.769 W2 + 0.6 W3 + )( 22

+− − dd = 0 3) 0.429 W1 + 0.077 W2 - 0.8 W3 + )( 33

+− − dd = 0 4) W1 + W2 + W3 + )( 44

+− − dd = 1 untuk Wi dan dj ≥ 0 dimana :




++41 ...,dd = variabel-variabel yang menunjukkan kemungkinan penyimpangan positif

dari suatu fungsi tujuan.


−−41 ...,dd = variabel-variabel yang menunjukkan kemungkinan penyimpangan negatif


Selanjutnya penyelesaian estimasi pembobotan relatif pada AHP untuk suatu

level hirarki dalam problem Goal Programming diselesaikan dengan software QM for

Windows version 2.0 (Copyright 1996-2000 Howard J.Weiss) untuk memudahkan

dalam perhitungan . Program QM for Windows merupakan paket program komputer

untuk menyelesaikan persoalan-persoalan metode kuantitatif, manajemen sains atau

riset operasi.

Adapun hasil dari penyelesaian penetapan pembobotan prioritas pada AHP

dalam problem Goal programming yang diselesaikan dengan software Windows QM

sebagai berikut :

Tabel 3.6 Tabel Awal Goal Programming

Tabel 3.7 Penyelesaian Goal Programming


Tabel 3.8 Hasil Akhir




λ maks = 266.052901.0

3134439.0

37 xxx ++

λ maks = 1.036 + 1.2571 + 1.33

λ maks = 3.6231



1−−

=n

nCI maksλ


236231.3 −

=CI = 0.312


RICICR =


RICICR =

58.0312.0

=CR = 0.537

dimana :



RI = Random Index


n = ordo matriks

3.4 Penyelesaian Pembobotan Dengan Fuzzy Goal Programming

Pada setiap level hirarki dan untuk sejumlah s fungsi kendala goal diperoleh model

fuzzy dalam bentuk cara linier programming biasa seperti berikut :

Maximize V ∑=s

sµµ)(

s.t


ss

jiij

jiijs

s gU

npU

−

+−=

∑∑Ω∈Ω∈ ),(),(µ

untuk s = 1,2,…m

0. =−+− ijijijij pnwwa

untuk (i,j) ϕ∈Ω∈ jidan ,

Ω∈≥∈≥=≤

∈=∑

),(0.)(0,...,2,11

1

jiuntukpniuntukw

msuntuk

iuntukw

ijij

i

s

ii

ϕµ

ϕ

dimana :

V = fungsi obyektif yang mengukur inkonsistensi judgment dari







gs = batas toleransi aspirasi terendah yang ditetapkan subyektif oleh


Us = batas tingkat aspirasi toleransi tertinggi yang ditetapkan subyektif

oleh pengambil keputusan.



Ω = sebagai himpunan perbandingan judgment yang ditetapkan secara

berpasangan oleh pengambil keputusan untuk

Ω=(1,2),(1,3),...,(1,n),(2,3),...(2,n),...,(n-1,n).

Adapun penyelesaian untuk estimasi pembobotan relatif pada setiap level

hirarki dan untuk sejumlah s fungsi kendala goal untuk model fuzzy dalam bentuk

cara linier programming yaitu sebagai berikut :

aij =

13/11313/1131

Maximize ∑=s

sV µµ)(

s.t

ss

jiij

jiijs

s gU

npU

−

+−=

∑∑Ω∈Ω∈ ),(),(µ


Ω∈≥∈≥=≤

∈=∑

),(0.)(0,...,2,11

1

jiuntukpniuntukw

msuntuk

iuntukw

ijij

i

s

ii

ϕµ

ϕ

untuk s = 1,2,3

untuk Us = 2.0 dan gs = 0.1


untuk pij = di+ dan nij = di

-

Maka menjadi :

Max 321)( µµµµ ++=V

s.t

11

1111 gU

ddU−+−

=−+

µ 22

2222 gU

ddU−+−

=−+

µ 33

3333 gU

ddU−+−

=−+

µ

W1 + W2 + W3 = 1

11 ≤µ ; 12 ≤µ ; 13 ≤µ Untuk mencari nilai 321 ,, µµµ yaitu sebagai berikut :

Diketahui bahwa nilai Us = 2.0 dan gs = 0.1 dan nilai )( 11−+ + dd , )( 22

−+ + dd ,

)( 33−+ + dd diperoleh dari hasil perhitungan Goal Programming yang telah diselesaikan

sebelumnya maka untuk :

11

1111 gU

ddU−+−

=−+

µ = 912.09.1

734.11.00.2

266.00.2==

−−

22

2222 gU

ddU−+−

=−+

µ = 819.09.1

556.11.00.2

4439.00.2==

−−

33

3333 gU

ddU−+−

=−+

µ = 899.09.1

709.11.00.2

2901.00.2==

−−


Misalkan 332211 , WdanWW === µµµ untuk Wi 1≤ Maka diperoleh : Max 321)( WWWWV ++=

s.t


13/11313/1131

.

3

2

1

WWW

-

3

2

1

WWW

+ 0

33

22

11

=

−

−

−

+−

+−

+−

dddddd

51

3/133/1

3/71

53

3/131

3/73/1

51

3/133

3/71

.

3

2

1

WWW

-

3

2

1

899.0819.0912.0

WWW

+ 0

33

22

11

=

−

−

−

+−

+−

+−

dddddd

2.0077.0429.06.0231.0143.02.0692.0429.0

.

3

2

1

WWW

-

3

2

1

899.0819.0912.0

WWW

+ 0

33

22

11

=

−

−

−

+−

+−

+−

dddddd

0.429 W1 + 0.692 W2 + 0.2 W3 –0.912W1 + )( 11

+− − dd = 0 0.143 W1 + 0.231W2 + 0.6 W3 – 0.819W2 + )( 22

+− − dd = 0 0.429 W1 + 0.077 W2 + 0.2 W3 – 0.899W3 + )( 33

+− − dd = 0 diperoleh : -0.483 W1 + 0.692 W2 + 0.2 W3 + )( 11

+− − dd = 0 0.143 W1 - 0.588 W2 + 0.6 W3 + )( 22

+− − dd = 0 0.429 W1 + 0.077 W2 - 0.699 W3 + )( 33

+− − dd = 0


W1 + W2 + W3 + )( 44

+− − dd = 1 untuk Wi 1≤ dan Wj 0≥ Dengan demikian perumusannya menjadi sbb :

Max 321)( WWWWV ++=

s.t

1) -0.483 W1 + 0.692 W2 + 0.2 W3 + )( 11+− − dd = 0

2) 0.143 W1 - 0.588 W2 + 0.6 W3 + )( 22+− − dd = 0

3) 0.429 W1 + 0.077 W2 - 0.699 W3 + )( 33+− − dd = 0

4) W1 + W2 + W3 + )( 44+− − dd = 1

5) W1 + 0W2 + 0W3 + )( 55+− − dd 1≤

6) 0W1 + W2 + 0W3 + )( 66+− − dd 1≤

7) 0W1 + 0W2 + W3 + )( 77+− − dd 1≤

dimana :




++71 ...,dd = variabel-variabel yang menunjukkan kemungkinan penyimpangan positif


−−71 ...,dd = variabel-variabel yang menunjukkan kemungkinan penyimpangan negatif



Selanjutnya penyelesaian estimasi pembobotan relatif pada setiap level hirarki

dan untuk sejumlah s fungsi kendala goal untuk model fuzzy dalam bentuk cara linier

programming diselesaikan dengan software QM for Windows version 2.0 (Copyright

1996-2000 Howard J.Weiss) untuk memudahkan dalam perhitungan .

Adapun hasil dari penyelesaian penetapan pembobotan relatif pada setiap level

hirarki dan untuk sejumlah s fungsi kendala goal untuk model fuzzy dalam bentuk

cara linier programming yang diselesaikan dengan software Windows QM sebagai

berikut :

Tabel 3.9 Tabel Awal Fuzzy Goal Programming

Tabel 3.10 Penyelesaian Fuzzy Goal Programming


Tabel 3.11 Hasil Akhir




λ maks = 3079.052321.0

31346.0

37 xxx ++

λ maks = 1.0733 + 1.0057 + 1.5395

λ maks = 3.6185



1−−

=n

nCI maksλ

236185.3 −

=CI = 0.30925



RICICR =


RICICR =

58.0

30925.0=CR = 0.533

dimana:



RI = Random Index


n = ordo matriks


BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Dari penelitian ini dapat disimpulkan beberapa hal mengenai pendekatan model fuzzy

goal programming dalam penetapan pembobotan prioritas dari metode analytical

hierarchy process (AHP) yaitu :

1. Model goal programming dan fuzzy goal programming yang dikembangkan dari

konsep penetapan bobot prioritas dengan metode AHP mengambil asumsi dan

memperhatikan aspek fuzzy hanya pada penetapan level aspirasi toleransi

pencapaian goal, bukan pada penentuan prioritas fungsi goal-nya.

2. Model fuzzy goal programming menggunakan batas level toleransi tertinggi yang

ditetapkan sebesar 2.0 dan level toleransi terendah pada 0.1,keduanya diasumsikan

sebagai kwantifikasi tingkat aspirasi subyektif yang diinginkan pengambil

keputusan.

3. Secara umum penggunaan metode fuzzy goal programming memberikan

pencapaian nilai bobot prioritas yang relatif tidak berbeda jauh dengan pendekatan

metode AHP dan goal programming.


4.2 Saran

Sebagai saran yang ditujukan kepada pembaca yaitu :

1. Untuk jumlah elemen matriks yang lebih besar maka perhitungan bobot

menggunakan software akan lebih mudah,beberapa software yang dapat

digunakan seperti Expert Choice,Decision Lens,TESS,Web-HIPPRE.

2. Kajian perlu dikembangkan lebih lanjut untuk menetapkan metode mana yang

mempunyai validitas lebih baik dalam kondisi keputusan, hirarki keputusan yang

tidak lengkap dan kesamaran informasi parameter juga masalah keputusan

multikriteria yang berhirarki lebih dari 2 level.


DAFTAR PUSTAKA

1. Daihani,D.Umar.2004.” Komputerisasi Pengambilan Keputusan”. Jakarta:PT.Elex Media Komputindo.

2. Gunes,M. Dan Umarosman,N.2005,”Fuzzy Goal Programming Approach on

Computation of The Fuzzy Arithmetic Mean”,Mathematical and Computational Application,Vol.10,No.2,pp 211-220.

3. Nasendi,B.D. dan Anwar,Affendi. 1985. “Program Linear dan Variasinya”.

Jakarta:PT Gramedia. 4. Nurmianto,Eko.”Perumusan Strategi Kemitraan Menggunakan metode AHP dan

SWOT”. Jurnal Teknik Industri,Vol.6,No.1, Juni 2004 : 47-60. 5. Saaty,T.Lorie.1980.”Decision Making With Dependence and fee back, The

Analitic Network Process”.MCGraw-Hill,Inc,USA. 6. Supranto,Johannes. 1998. ”Teknik Pengambilan Keputusan “. Jakarta : PT.Rineka

Cipta. 7. Widodo,T.S.2005.” Sistem Neuro Fuzzy”. Yogyakarta: Graha Ilmu.

8. Wijayanto,P. 2007. ”Panduan Program Aplikasi”.Jurnal Kuliah Fakultas Ekonomi

Universitas Kristen Satya Wacana,Salatiga.

pendekatan model fuzzy goal programming dalam penetapan

Documents