Paradoks Zeno

Paradoks Zeno adalah paradoks yang terkenal dalam pada zaman sejarah Yunani dan

juga Matematik. Ianya terkenal kerana orang Yunani gagal menjelaskan paradoks ini. Paradoks

yang dianggap seakan-akan 'keperluan' untuk percanggahan atau kemustahilan. Satu paradoks

yang timbul secara logik daripada aksiom formal dipanggil antinomy. Paradoks yang sebenar

boleh secara umumnya diklasifikasikan sebagai paradoks logik, paradoks-infiniti, paradoks

pengetahuan, paradoks bahasa, dan paradoks diri rujukan.

Terdapat empat paradoks Zeno, keempat-empat ini merupakan "paradoks" yang sama

tetapi bukan paradoks, yang sebenar. Hal ini kerana mereka tidak menunjukkan percanggahan

yang mereka berpura-pura untuk menunjukkan sesuatu.

i) Dikotomi paradoks: Sebelum objek yang bergerak boleh melakukan perjalanan

jarak tertentu, ia mesti melalui setengah daripada jarak itu. Sebelum ia boleh

bergerak setengah jarak ia mesti berjalan 1 / 4 daripada jarak tersebut,. Urutan ini

berterusan selama-lamanya. Oleh itu, ia seolah-olah bahawa jarak asal tidak dapat

dicapai, dan gerakan adalah mustahil.

    

ii) Achilles dan kura-kura paradoks: Achilles, yakin dengan kemenangannya telah

memberikan kura-kura untuk mula dahulu. Zeno kononnya membuktikan bahawa

Achilles tidak akan dapat memotong kura-kura. Zeno menganalogikan paradoks ini

dengan membayangkan lomba lari Achilles dan seekor kura-kura. Keduanya

dianggap lari dengan kecepatan konstan dan kura-kura sudah tentu jauh lebih

lambat. Untuk itu, si kura-kura diberi keuntungan dengan bermula dahulu di depan,

katakanlah 100 meter. Ketika lumba sudah bermulai, Achilles akan mencapai titik

100 m (titik permulaan kura-kura). Namun si kura-kura ini juga pasti sudah

melangkah maju, walaupun jauh lebih lambat, katakanlah dia baru melangkah 10

meter. Beberapa saat kemudian Achilles berada di titik 110 m, tapi si kura sudah

melangkah maju ke depan lagi. Demikian seterusnya, setiap kali Achilles berada

pada titik di mana kura-kura tadinya berada, si kura-kura sudah melangkah maju.

Ertinya, Achilles, secepat apa pun dia berlari tidak akan dapat mendahului kura-kura

(tidak kira beberapa lambat kura melangkah).

Secara ringkasnya, pelari tercepat (A) tidak akan dapat mendahului pelari yang lebih

lambat (B). Hal ini terjadi karena A harus berada pada titik B pada permulaan, sementara B

sudah meninggalkan (berada di depan) titik tersebut.

Apa yang Zeno lakukan di sini dalam satu paradoks yang lain, adalah untuk

membahagikan perjalanan Achilles kepada beberapa bahagian yang tak terhingga. Ini adalah

dibenarkan, mengikut mana-mana segmen talian boleh dibahagikan kepada bilangan mata

yang tak terhingga atau segmen garisan. Pada hakikatnya, pembahagian jarak Achilles ini

menjadikannya berlari dalam bahagian yang tidak terhingga. Beliau mesti melalui titik A,

kemudian B, C, dan sebagainya.

Zeno mengatakan bahawa anda boleh bahagikan garisan kepada beberapa bahagian yang tak

terhingga. Dan kemudian dia mengatakan bahawa anda tidak boleh bahagikan selang masa

kepada beberapa bahagian yang tak terhingga. Ini tidak konsisten.

Tiada paradoks di sini. Zeno hanya menunjukkan (berpura-pura) beberapa kejahilan

sifat masa. Sela masa hanya satu lagi segmen talian (apabila diplot dalam graf), yang anda

boleh bahagikan dalam apa-apa cara yang anda inginkan.

iii) Arrow paradoks: Salah satu paradoks terkenal Zeno dari Elea. Pertimbangkan anak

panah dalam penerbangan. Pada masa setiap masa anak panah boleh menduduki

kawasan tertentu di angkasa. Ini telah menimbulkan masalah berikut: Jika anak

panah dalam satu titik tertentu ruang dalam suatu waktu tertentu, maka bagaimana

ia bergerak? Dan jika ia tidak bergerak, bagaimana ia mendapatkan dari titik ke titik

dalam peredaran masa?

iv) Stadium paradox : Yang ini adalah sedikit kabur. Ia adalah berkenaan dengan

badan-badan yang bergerak dalam arah yang bertentangan dengan kelajuan yang

sama, dan Zeno seolah-olah berfikir bahawa dua kali kelajuan yang sama seperti

setengah kelajuan. Berfikir tentang paradoks stadium ini tidak jelas, ia akan kelihatan

seolah-olah Zeno berpendapat bahawa kedua-dua masa dan jarak telah beberapa

tak terturun saiz yang paling kecil (atom masa dan jarak ). Dan jika anda

membahagikan gerakan pada dua kali kelajuan (seorang pemerhati seperti yang

dilihat oleh pemerhati yang lain pada arah bertentangan) ke dalam serpihan-

serpihan terkecil masa dan jarak itu, dari sudut pandangan pemerhati yang statik,

orang-orang yang bergerak pergi separuh daripada jarak yang paling kecil. Dan kita

mempunyai kesan yang bertentangan, dari sudut pandangan pemerhati yang

bergerak, orang lain yang bergerak bergerak yang sama jarak terkecil yang mungkin

pada separuh daripada masa yang sesingkat mungkin.

Di atas, saya berpendapat bahawa Zeno menerima bahawa anda boleh bahagikan

mana-mana jarak menjadi kepingan tak terhingga banyaknya, dan bahawa dia

menolak membahagikan masa kepada kepingan yang tak terhingga banyaknya. Di

sini ia akan kelihatan bahawa dia menolak kedua-duanya. Itu adalah anggapan tidak

sah di keempat-empat "paradoks."

Paradoks Achilles dan Kura-kura

“Achilles dan Kura-kura melakukan lomba lari, meskipun begitu, kura-kura diizinkan bermula

lebih awal. Agar dapat menyamai kura-kura, Achilles menetapkan sasaran ke tempat kura-

kura saat ini berdiri.

Akan tetapi, tiap kali Achilles bergerak maju, kura-kura juga bergerak maju. Ketika Achilles

sampai di tempat kura-kura, kura-kura sudah berjalan sedikit ke depan.

Lalu Achilles mengejar posisi kura-kura yang sekarang. Akan tetapi setibanya di sana, kura-

kura juga sudah maju sedikit lagi.

Lalu Achilles mengejar posisi kura-kura yang sekarang. Akan tetapi setibanya di sana, kura-

kura juga sudah maju sedikit lagi. Demikian seterusnya ada infinitum.

 

Jadi kesimpulannya: mustahil bagi Achilles untuk menyamai kura-kura dalam balapan.”

Kita yang sudah belajar tentang deret bilangan tentu dengan mudah bisa menunjukkan

kesalahan dalam paradoks Zeno tersebut. Untuk lebih jelasnya sebagai berikut. Misalkan

kecepatan lari Achilles adalah 10 m/s, sedangkan kecepatan lari kura-kura adalah 1 m/s dan

kura-kura berada pada jarak 10 m di depan Achilles. Menurut paradoks di atas, pada saat

Achilles berlari sejauh 10 m, maka kura-kura sudah berada didepannya sejauh 1 m. Pada saat

Achilles berlari sejauh 1 m, kura-kura sudah berada di depannya sejauh   m, dan seterusya,

sehingga Achilles tidak pernah dapat menangkap kura-kura tersebut.

Untuk menunjukkan bahwa pernyataan di atas salah, perhatikan bahwa jarak yang diharus

ditempuh oleh Achilles untuk menangkap kura-kura adalah   m.

Dengan menjumlahkan deret tersebut, kita dapatkan jarak yang harus ditempuh Achilles untuk

menangkap kura-kura adalah   m. Di sini terlihat jelas bahwa sebenarnya Achilles dapat

menangkap kura-kura tersebut.