manual rm 2014

ACADEMIA PRE-ESOFA RAZONAMIENTO MATEMATICO

INTRODUCCION

La academia PRE-ESOFA, agradece la voluntad del comando de la ESOFA y saluda la confianza masiva que los estudiantes y padres de familia han depositado en ella.Sabiendo del desarrollo constante de la ciencia y sus diversas aplicaciones, los integrantes de nuestra institucin han elaborado el presente MANUAL DE RAZONAMIENTO MATEMATICO, trabajo cuyo rigor acadmico est a la altura de las exigencias de las pruebas de admisin tomadas en la ESOFA.

PROF. TAIPE CAURINO ILLICH OSCAR

Los futuros Suboficiales debern resolver los siguientes problemas aplicando los criterios tericos y los procedimientos ensayados en clase, proyectndose poco a poco a nuevos casos que les permita una preparacin integral en el desarrollo de cada tema.

Finalmente, reiteramos nuestro compromiso de seguir bregando para darles una mejor educacin acorde con el advenimiento de los nuevos tiempos.

INDICE

CAPITULOTEMAPAGINA

01SUCESIONES02

02 SERIES Y SUMATORIAS06

03ANALOGIAS Y DISTRIBUCIONES10

04OPERADORES MATEMATICOS14

05PROMEDIOS18

06EDADES22

07ANALISIS COMBINATORIO24

08PROBABILIDAD28



ESCUELA DE SUBOFICIALES DE LA FUERZA AEREA DEL PERU Pgina 52

ESCUELA DE SUBOFICIALES DE LA FUERZA AEREA DEL PERU Pgina 51

CAPITULO 01SUCESIONES

Una sucesin es un conjunto ordenado de elementos (pueden ser nmeros, letras, figuras o una combinacin de los casos anteriores), de modo que cada uno ocupe un lugar establecido, tal que se pueda distinguir el primero, el segundo, el tercero y as sucesivamente; acorde a una ley de formacin o frmula de recurrencia.

SUCESIONES NUMRICAS

Ejemplo: La sucesin para la cual tiene como trminos:

6 ; 11 ; 16 ; 21 ; ....

para n: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ........ (nmeros ordinales) Se tiene:

(Trminos de la sucesin)

SUCESIN ARITMTICA:

Cuando la razn entre sus trminos consecutivos se halla por diferencia.Sucesin:

(razones)r1 r2 r3...

A. Progresin Aritmtica: (P.A.)

Es cuando r = cte. Sucesin lineal o sucesin polinomial de 1er orden.

Representacin:

* t1, t2, t3, t4, ... , tn} P.A. de n trminos

+r +r +rDonde: t0 = t1 - r

* a,(a+r),(a+2r),... [a+(n-1)r]

* (a-r),a,(a+r)} P.A. de 3 trminos:

Propiedades:

1. Clculo de la razn (r)

t1, t2, t3 P.A. t2 - t1 = t3 - t2

2. En toda P.A. la suma de los extremos equidistantes de los extremos son iguales:

3. 3, 7, 11, 15, 19, 23 S=26 S=26 S=26

4. Clculo del trmino ensimo (ltimo):tn = t0 + r . ntn = t1 + (n -1) r

o

5. Trmino central de una P.A.:

6. Nmero de trminos de una P.A.:

o

7. Suma de una P.A.:

B. Progresin Cuadrtica:

Llamado tambin sucesin polinomial de 2do orden.Sea la sucesin de 2do orden

t1, t2, t3, t4,...Entonces: m0 m1 m2 m3+r +r +r

To, t1, t2, t3, t4, ...

Tn = an2 + bn + c

Forma general

b = m0 - a

Donde: c = t0

SUCESIN GEOMTRICA:

Cuando la razn entre, sus trminos consecutivos se halla por divisin.

Sucesin:

(Razones)

C. Progresin Geomtrica: (P.G.) (q = cte)

Representacin:

* t1, t2, t3, t4, ... , tn} P.G. de n trminos

xq xq xq * a,(aq),(aq2), (aq3),... (aqn-1)

* {, a, aq} P.G. de 3 trminos:

Propiedades:

1. Clculo de la razn (q)

t1, t2, t3

2. Clculo del trmino ensimo de una P.G.tn = t1 qn -1

3. En toda P.G. el producto de los trminos equidistantes de los extremos es igual:

2, 6, 18, 54, 162P=324

P=324

4. Trmino central de una P.G.:

5. Suma de una P.G. de n trminos:

6. Suma de una P.G. de infinitos trminos y decreciente (suma lmite):

Sucesin no lineal:

Se dice cuando la razn de sus trminos no es constante

* Sucesin Potencial: 3.13, 3.23, 3.33, 3.43,....

k = 1ra constante tn = kna a = 2da constanten = nmero

* Sucesin Exponencial: 5.21, 5.22, 5.23, 5.24,..

k = 1ra constante tn = kan a = 2da constanten = nmero

Sucesin Literal: Es un conjunto de letras del abecedario, cuyo procedimiento es el mismo que el de una sucesin numrica.

Se considera a letra CH y LL cuando por lo menos una de ellas aparece como dato del problema.

Obs: A veces forman palabras de derecha a izquierda o son las iniciales de una sucesin Literal conocida.

Sucesiones Graficas: Seda por lo general en los grficos circulares cuya ley de formacin puede ser en sentido horario y/o antihorario.

NMEROS TRIANGULARES

Nmero de puntos:

CURIOSIDAD ACERCA DE LA SUCESIN DE FIBONACCI

Piensa en dos nmeros cualesquiera y construye, empezando con esos nmeros, una sucesin como la de Fibonacci, es decir en la que cada trmino sea la suma de los dos anteriores.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21..

EJERCICIOS

1. Qu letra continua?

C ; P ; E ; R ; G; T ; I ; ?

a) Tb) Uc) V d) We) X

2. Qu trmino contina?.

E ; F ; M ; A ; M ; ?

a) Bb) N c) Gd) Fe) J

3. Hallar el par de letras que siguen:

C ; D ; E ; I ; G ; M ; I ; O ; ......

a) KRb) LRc) KQd) KRe) MQ

4. Hallar la letra que sigue:

A ; D ; I ; O ; ............

a) Wb) Uc) S d) Xe) T

5. Seale el grupo de letras que sigue : BMD ; CG ; DPJ ; ......

a) ETSb) EQPc) EQN d) ERMe) ETN

6. Seale el grupo de letras que sigue:

CTT ; FUV ; IVX ; ......

a) KWZb) KVZc) LWZd) LVWe) LVZ

7. Calcular la letra que continua en la siguiente secuencia:

A ; A ; B ; C ; E ; H ; ......

a) Kb) Mc) O d) Pe) X

8. 6; 7 ; 14;..............

a) 40 b) 42c) 26 d) 28e) 29

9. Seale el grupo alfanumrico que sigue:

5ZA18 ; 17WC25 ; 29TE32 ; ......

a) 41QH39b) 41RG37c) 39QG38d) 41QH40 e) 41QG39

10. 5 , 8 , 13 ; 20 ; 29 ; 40 ;..........

a) 45b) 60c) 50d) 63e) 53

11. 6; 15; 25; 37; 52; .........a) 72b) 68c) 69d) 70e) 71

12. 7; 14; 17; 34; 37; 74; .........

a) 77b) 76c) 78d) 148e) 222

13. 2; 7; 22; 67; 202; .........

a) 357b) 212c) 340d) 467e) 607

14. 3; 5; 14; 33; 67; 123; .........

a) 193b) 212c) 224d) 210e) 218

15. 174; 110; 78; 62; 54; .........

a) 48b) 50c) 25d) 27e) 58

16. De la siguiete sucesin:

4,5 ; 5 ; 7,5 ; 13 ; 22,5; k

Entonces el valor de 5k - 5 es:a) 165b) 180c) 185d) 195e) 200

17. Identifique la alternativa que completa correctamente la sucesin:

5; ?; 32; 68; 140; 284;

a) 20b) 10c) 12d) 14e) 24

18. Los nmeros que completan esta secuencia son:

4; 8; 12; 7; 19; 6; 25; ____ ; ____

a) 6 y 30b) 5 y 30c) 4 y 20d) 5 y 20e) 4 y 16

19. Hallar la suma de los tres trminos que continan en:

1; 3; 2; 2; 5; 5; 3; 7; 8; ___ ; ___ ; ___

a) 22b) 24c) 26d) 28e) 30

20. En la siguiente sucesin: 2; 7; 24; 77; x El valor de x es: a) 46b) 223c) 143d) 238e) 243

21. Calcular el valor de x + y en la siguiente sucesin:

5 ; 7 ; 11 ; 12 ; 23 ; 17 ; x ; y

a) 65b) 68c) 70d) 72e) 69

22. 3 , 3 , 6 ; 9 ; 15 ; 24 ;.

a) 39 b) 46c) 48 d) 26e) 56

23. 2 ; 4 , 5 ; 8 ; 9 ; 16 ; 14 ; 32 ;

a) 20b) 24c) 28 d) 30e) 32

24. Calcular la suma de cifras del trmino que continua en la siguiente sucesin:

1 ; 3 ; 13 ; 183 ; ......

a) 28b) 11c) 13d) 22e) 18

25. Hallar el trmino ensimo de cada secuencia:

I) II)

a) d)

b) e)

c)

26.

a) 2/9 b) 6/27c) 10/243 d) 4/29e) 1

27. Hallar el trmino que sigue en la siguiente sucesin:

a) b) c) d) e)

28. Calcular el

4 ; 9 ; 17 ; 28 ; 42 ; .......

a) 878b) 787c) 868 d) 856e) 798

29. Hallar el valor de x en la sucesin:

1 ; 1 ; 2 ; 12 ; 288 ; x

a) 34550b) 34560c) 34570d) 34580e) 34590

30. Qu nmero continua?

17 ; 19 ; 15 ; 14 ; 17 ; 23 ; - 1 ; - 22 ; ....

a) - 78b) 105c) - 83 d) 83e) - 95

31. Qu nmero sigue?

2 ; 3 ; 9 ; 87 ; .....

a) 8754b) 8745c) 7653 d) 8775e) 7247

32. Hallar la suma de los 3 trminos siguientes:

5 ; 7 ; 10 ; 15 ; 22 ; ......

a) 140b) 142c) 137 d) 139e) 143

33. Qu trmino ocupa el lugar 100?

1 ; 4 ; 10 ; 19 ; 31 ; ......

a) 15681 b) 15302c) 14524d) 14981 e) 14851

34. Hallar en la siguiente sucesin el primer trmino mayor que 100.

0 ; 4 ; 9 ; 17 ; 31 ; 55 ; ........

a) 152b) 118c) 154 d) 112e) 123

35. Seale el grupo alfanumrico que sigue:

13ZD25 ; 16WH36 ; 19TL49 ; ......

a) 22 RT64 b) 22QO64 c) 22QR64d) 22RS64e) 22RO64

36. La suma de t7 de la sucesin:

; ; ; ; Con el t8 de la sucesin:

; ; ; ; es:

a) 75/237b) 65/288c) 65/368d) 93/650e) 57/325

37. 216 ; 432 ; 864 ; 16128 ; _____

Hallar: x + y

a) 232b) 224c) 272 d) 288e) 268

38. Hallar: a y b. -1; 5; 1; 6; 4; 8; 8; a; b

a) 11 y 13b) 12 y 14c) 13 y 15 d) 17 y 19e) N.A.

39. Hallar el trmino ensimo de:

8; 13; 18; 23; 28; .....................

a) 5n + 6b) 5n + 3 c) 8n + 1d) 8n + 2e) 3n + 5

40. Hallar el trmino ensimo de:

4; 10; 18; 28; .....................a) n2 + 1b) n2 + 3 c) n2 +3n-1d) n(n + 3)e) n2 - 2n + 3.........4; 1041. Hallar el trmino ensimo de:

6; 11; 18; 27; 38; ..................

Indicando luego el trmino 20....4; 10

a) 238b) 382c) 443d) 448e) 520.........4; 1042. Hallar la suma de los trminos ensimos de:

4; 12; 20; 28; 36; ................

-5; -9; -9; -5; 3; ..................

a) 2n2 + 3n + 1 b) 2n2 - 2n - 1c) n2 - n + 1 d) n2 + 2n e) n2 + 2n - 3

43. Dadas las sucesiones:

{1; 5; 15; 31; ............}

{4; 15; 32; 55; ........}

Hallar la diferencia de sus trminos ensimos.

a) 4 - 7n b) 6 - 3n c) n2 - 2nd) 2n - n2e) 6 - 5n

44.

a) 2/9 b) 6/27c) 10/243 d) 4/29e) 1

CAPITULO 02SERIES SUMATORIAS

SERIESUna serie es la adicin indicada de los trminos de una sucesin numrica y al resultado de dicha adicin se le llama suma o valor de la serie. De acuerdo con esto, si la sucesin numrica es:

Entonces la serie numrica asociada a ella ser:

SERIE ARITMTICA

La serie aritmtica es la adicin indicada de los trminos de una sucesin aritmtica de razn constante (Esta clase de sucesiones son llamadas progresiones aritmticas (P. A.)).

EJEMPLO:

Hallar la suma de:

16 ; 19 ; 22 ; 25 ; ...... ; 73

1 mtodo

Como son 20 trminos, se forman 10 parejas, luego:

2 mtodo: invierto el orden de los sumandos

De esta ltima expresin podemos deducir que el valor de la serie se obtiene mediante la frmula:

S =

SERIE GEOMETRICA

Una serie geomtrica es la adicin indicada de los trminos de una progresin geomtrica.

*Sea la serie geomtrica:

*

*EJEMPLO:

Hallar la suma de:

En donde:

n = 64 r = 2

SERIES NOTABLES

A)Suma de los "n" primeros nmeros naturales consecutivos.

B)Suma de los "n" primeros nmeros impares consecutivos.

C)Suma de cuadrados de los "n" primeros nmeros naturales.

D)Suma de los cubos de los "n" primeros nmeros naturales.

E)Suma de los "n" primeros nmeros pares consecutivos.

SUMATORIASConsideremos la siguiente sucesin:

La suma de los trminos de la sucesin ser:

La expresin en el lado derecho de la igualdad se denomina "sumatoria" y constituye una forma abreviada de escribir la serie dada.

Donde:

: Notacin Sigma. Nos representa la suma de los trminos de la forma "" de dicha sucesin. :Nos representa uno de los trminos de la sucesin, dependiendo del valor de "i". n : es el lmite inferior de la sumatoriam: es el lmite superior de la sumatoria

i :Toma valores desde n hasta m

PROPIEDADES

1.Nmero de trminos de la sumatoria:

Ejemplo: Halle el nmero de trminos de la siguiente sumatoria:

2.Si k es un valor constante:

Ejemplo:

3.ai ; bi son trminos que dependen de la variable "i"

Ejemplo:

4.Sumatoria de una constante. k = cte.

Ejemplo:

EJERCICIOS

1) Hallar el trmino 40 de la serie:

8 ; 13 ; 18 ; 23 ;......

a) 200b) 197c) 203d) 183e) 82


-7 ; -11 ; -15 ; -19 ;...

a) 143b) -143c) -38d) 38e) N. A

3) Hallar el trmino siguiente en:

5; 8 ; 21 ; 44 ;............

a) 63b) 57c) 71d) 77e) F. D.


10 ; 27 ; 54 ; 91 ;.............a) 183b) 118c) 114d) 133e) N.A

5) Hallar el trmino que sigue: 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 124 ;...

a) 604b) 605c) 1205d) 506 e) 328

6) Hallar el trmino que sigue: 3; 6 ; 9; 13,5 ;.........

a) 21 b) 21,5c) 18,5d) 23,5e) N.A

7) Hallar P en: P = -3 5 7 9 11 -...- 121

a) -3720b) -3270 c) -3721d) -4251 e) N.A

8) E = 249 + 251 + 253 +...+ 317

a) 4285b) 3725 c) 9905d) 9955e) 9555

9) E = 1/2 + 5/4 + 2 +...+ 15,5

a) 136,5b) 178,75c) 157,85d) 168e) 175,8

10) Hallar la suma de los 38 primeros mltiplos de 13.

a) 3523b) 9877 c) 9633d) 9533e) 9233

11) Hallar la suma de los 40 primeros nmeros que sean, a la vez mltiplo de 2,3 y 7.

a) 34400b) 34440 c) 43440d) 28440e) N.A.

12) Hallar la suma de los 40 primeros mltiplos de 2 y 3 a la vez pero no de 5.a) 600b) 6000 c) 60 000d) 8700e) Imposible

13) Hallar E

E = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + 4 x 5 +... 25 x 26

a) 5850b) 5750c) 4230d) 4236e) F.D.

14) Hallar:

M = 1x3 + 2x4 + 3x5 + 4x6 +...+ 22x24

a) 4301b) 4221 c) 5301d) 4306e) N.A

15) 3/5, 23/30; 8/5; 31/10; x.

Hallar x

a) 18/5b) 79/15 c) 36/5d) 108/10e) N.A.

16) Calcular el valor de "S". Si:

a) - 3300b) - 3280c) 3080 d) - 3380e) - 3240

17) Hallar la suma total del siguiente arreglo numrico:

a) 1 065b) 1 045c) 1 035d) 1 095e) 1 075

18) Una pelota de Ping pong es dejada caer de 24m de altura, y cada vez que rebota se eleva una altura igual a la mitad de la altura anterior.

Cuntos metros recorri la pelota hasta que qued tericamente esttica?

a) 48 mb) 96 mc) 72 m d) 24 me) 108 m

19) Calcular : A + B

a) 156b) 150c) 155d) 160e) 152

20) Hallar la suma total del siguiente arreglo numrico :

a) 44100b) 42400c) 44400d) 4300e) 4540

21) Hallar la suma de:

Para: x = (n - 2)

a) n(2n - 1)b) 2n(n - 1)c) 2n(2n - 2)d) n(2n - 3)e) n2 - n

22) Sabiendo que :

Hallar:

a) 1 640b) 121c) 110d) 90e) 131

23) Un micro parte con 10 pasajeros, en el primer paradero suben 4 y bajan 2, en el siguiente suben 8 y bajan 3, en el siguiente suben 12 y bajan 4 y as sucesivamente. Cuntos bajaron en el paradero central de su recorrido, si finaliza con 561 a bordo?

a) 8b) 9c) 10 d) 11e) 12

24) Hallar la suma de las diez primeras filas del siguiente arreglo numrico.

a) 3225b) 2525c) 3025d) 1515e) 4225

25) El primer da de trabajo gan S/. 3; el segundo da gan S/. 7; el tercer da gan S/. 13; el cuarto da gan S/. 21 y as sucesivamente. Si trabaj 20 das, cunto gan el ltimo da?

a) 441b) 421c) 560 d) 380e) 420


8 ; 13 ; 18 ; 23 ;......

a) 200b) 197c) 203d) 183e) 82


-7 ; -11 ; -15 ; -19 ;...

a) 143b) -143c) -38d) 38e) N. A


5; 8 ; 21 ; 44 ;............

a) 63b) 57c) 71d) 77e) F. D.

29) Hallar el trmino siguiente en

10 ; 27 ; 54 ; 91 ;.............

a) 183b) 118c) 114d) 133e) N.A

30) Hallar el trmino que sigue:

0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 124 ;...

a) 604b) 605c) 1205d) 506 e) 328

31) Hallar el trmino que sigue:

3; 6 ; 9; 13,5 ;.........

a) 21 b) 21,5c) 18,5d) 23,5e) N.A

32) Hallar P en:

P = -3 5 7 9 11 -...- 121

a) -3720b) -3270 c) -3721d) -4251 e) N.A

33) E = 249 + 251 + 253 +...+ 317

a) 4285b) 3725 c) 9905d) 9955e) 9555

34) E = + 5/4 + 2 +...+ 15,5

a) 136,5d) 168b) 178,75e) 175,8c) 157,85

35) Hallar la suma de los 38 primeros mltiplos de 13.

a) 3523b) 9877 c) 9633d) 9533e) 9233

36) Hallar la suma de los 40 primeros nmeros que sean, a la vez mltiplo de 2,3 y 7.

a) 34400b) 34440 c) 43440d) 28440e) N.A.

37) Hallar la suma de los 40 primeros mltiplos de 2 y 3 a la vez pero no de 5.

a) 600b) 6000 c) 60 000d) 8700e) Imposible

38) Hallar E

E = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + 4 x 5 +... 25 x 26

a) 5850b) 5750c) 4230d) 4236e) F.D.

39) Hallar:

M = 1x3 + 2x4 + 3x5 + 4x6 +...+ 22x24

a) 4301b) 4221 c) 5301d) 4306e) N.A

40) 3/5, 23/30; 8/5; 31/10; x. Hallar x

a) 18/5b) 79/15 c) 36/5d) 108/10e) N.A.

41) La suma de 20 nmeros enteros consecutivos es 430.

Cul es la suma de los 20 siguientes?

a) 830b) 720c) 630 d) 820e) 900

42) Al sumar 61 nmeros naturales consecutivos el resultado da 2745.

Hallar el mayor de los sumandos.

a) 75b) 74c) 73 d) 76e) 77

43) La suma de todos los nmeros naturales desde "n" hasta "5n" es 1230.

Calcular el valor de "n" y dar como respuesta el producto de sus cifras.

a) 0b) 24c) 12d) 32e) 40

44) Calcular el valor de :

J = 3,01 + 3,02 + 3,03 + ...... + 7

a) 2002b) 2004c) 2006d) 1200e) 802

45) Determinar el valor de la siguiente suma:

S = 2,01 + 4,04 + 6,09 + ...... + 18,81

a) 90,28b) 92,85c) 98,25d) 92,28e) 93,23

46) Calcular el valor de los 100 primeros trminos de:

1 , 2 , 3 , -4 , 5 , 6 , 7 , - 8 , 9 , 10 , 11 , - 12

a) 2640b) 2650c) 2660d) 2670e) 2680

CAPITULO 03ANALOGAS Y DISTRIBUCIONES

ANALOGAS NUMRICASEs una disposicin de 3 filas de tres nmeros cada una, donde el nmero del centro va entre parntesis y resulta de relacionar los otros dos nmeros. Generalmente en la tercera fila falta el nmero central. Ejemplo 1: Hallar el nmero que faltaResolucin:En la 1ra fila:

En la 2da fila:

Luego, en la 3ra fila:

Nota: No hay una regla determinada que permita hallar el nmero que falta. Hay que recurrir a las diferentes operaciones que se puedan hacer con los nmeros extremos. Hay que intentarlo varias veces, tanteando hasta lograr "adivinar" la relacin correcta.

Una vez encontrada la relacin, sta debe cumplirse en las dos primeras filas y luego recin aplicarla para hallar el nmero que falta en la 3ra fila.

Ejemplo 2:Hallar el nmero que falta.

Resolucin:

1ra fila:

2da fila:

3ra fila:

Ejemplo 3: Hallar el nmero que falta.

Resolucin:

1ra fila:(3 + 4 + 5) + (1 + 2 + 6) = 12 + 9 = 212da fila:(2 + 2 + 6) + (8 + 4) = 10 + 12 = 223ra fila:(3 + 6 + 9) + (6 + 4) = 18 + 10=28 Rpta.

Nota: Cuando hay dos relaciones posibles que se cumplen en una analoga, siempre se considerar la ms sencilla, es decir la que tenga el menor nmero de operaciones elementales.

DISTRIBUCIONES NUMRICASSon disposiciones de nmeros en filas (horizontales) y columnas (verticales), establecindose relaciones entre los nmeros de una fila o columna.

Ejemplo 1: Hallar el valor de "x".

Resolucin:La relacin se obtiene entre los nmeros de las filas:1ra fila:3 x 4 = 122da fila:6 x 3 = 183ra fila:4 x 5 = x = 20

Ejemplo 2: Hallar "x":

Resolucin:La relacin es entre los nmeros de las columnas:

Ejemplo 3:Hallar el valor de "y".Resolucin:

DISTRIBUCIONES EN GRFICOS

Ejemplo 1: Qu nmero falta?

Resolucin:1er grfico: 5 x (4 - 2) = 5 x 2 = 102do grfico: 6 x (8 - 5) = 6 x 3 = 183er grfico: 8 x (4 - 1) = 8 x 3 = 24 Rpta. Ejemplo 2: Qu nmero falta?

Resolucin:

Grfico 1:

Grfico 2:

Grfico 3:

EJERCICIOS

Hallar el nmero que falta en los siguientes ejercicios:

1)

a) 9b) 13c) 15d) 12e) 26

2)

a) 40b) 16c) 24d) 60e) 56

3)

a) 12b) 16c) 9d) 8e) 11

4)

a) 23b) 26c) 24d) 27e) 25

5)

a) 10b) 23c) 20d) 22e) 15

6)

a) 206b) 146c) 442d) 168e) 172

7)

a) 40b) 13c) 42d) 35e) 26

8)

a) 24b) 28c) 26d) 40e) 32

9)

a) 11b) 6c) 7d) 10e) 13

10)

a) 10b) 13c) 11d) 15e) 12

11)

a) 10b) 11c) 12d) 13e) 14

12)

a) 5b) 6c) 24d) 0e) 12

13)

a) 13b) 14c) 20d) 16e) 15

14)

a) -12b) -8c) 12d) 6e) -6

15)

a) 13b) 23c) 19d) 21e) 25

Hallar el valor de x

16)

a) 5b) 6c) 9d) 3e) 7

17)

a) 10b) 12c) 18d) 16e) 14

18)

a) 14b) 23c) 15d) 2e) 16

19)

a) 7,4b) 8,4c) 6,4d) 5,4e) 7,14

20)

a) 5b) 4c) 12d) 2e) 3

21)

a) 12b) 16c) 10d) 9e) 15

22)

a) 6b) 2c) 5d) -3e) 8

23)

a) 16b) 18c) 13d) 20e) 22

24)

a) 1b) 3c) 4d) 2e) 5

25)

a) 17b) 15c) -2d) 9e) 8

26)

a) 243b) 282c) 181d) 81e) 109

27)

a) 206b) 200c) 192d) 196e) 256

28)

a) 9b) 8c) 4d) 5e) 6

29)

a) 361b) 350c) 286d) 320e) 540

30)

a) 1b) 26c) 32d) 2e) 0

31)

a) 4b) 9c) 7d) 12e) 5

32)

a) 385b) 264c) 129d) 369e) 345

33)

a) 81b) 49c) 64d) 100e) 25

34)

a) 8b) 7c) 6d) 5e) 4

35)

a) 10b) 7c) 1d) 3e) 5

36)

a) 8b) 9c) 6d) 4e) 12

37)

a) 18b) 24c) 6d) 3e) 9

38)

a) 4b) 8c) 28d) 19e) 14

39)

a) 28b) 24c) 18d) 16e) 20

40)

a) 10b) 12c) 8d) 6e) 4

CAPITULO 04OPERADORES MATEMATICOS

OPERACIN MATEMTICA Es un proceso que consiste en la transformacin de una o ms cantidades en otra llamada resultado, bajo ciertas reglas o condiciones en la cual se define la operacin. Toda operacin matemtica presenta una regla de definicin y un smbolo que la identifica llamado operador matemtico.

OPERADOR MATEMTICO

Es aquel smbolo que representa a una operacin matemtica. Nos permite reconocer a la operacin matemtica a realizar con su respectiva regla de definicin:

Las operaciones matemticas arriba mencionadas son conocidas universalmente.

En el presente captulo lo que hacemos es definir operaciones matemticas con operadores y reglas de definicin elegidos de forma arbitraria. El operador matemtico puede ser cualquier smbolo (incluso figuras geomtricas).

Ejemplo: * ; # ; ; ; ; ; ; .......

Las reglas de operacin se basan en las operaciones matemticas ya definidas, veamos los siguientes ejemplos:

REPRESENTACIN DE UNA OPERACIN MATEMTICA:

Una operacin matemtica se puede representar con una regla de definicin, mediante una frmula o una tabla de doble entrada.

A.MEDIANTE FRMULA:

En este caso, la regla de definicin est representada por una frmula, en la cual solamente hay que reconocer los elementos y reemplazarlos en la regla de definicin para obtener el resultado buscado.

El reemplazo del valor numrico de los elementos en la regla de definicin puede ser un reemplazo directo (como en el ejemplo 1), o puede ser un problema que primero hay que darle forma al valor numrico que nos piden para luego recin reconocer los elementos y reemplazar en la regla de definicin.

Ejemplos:

1. Se define la nueva operacin matemtica en R mediante el operador como:

Calcular:

2. Se define en el conjunto de los nmeros naturales.

Calcular: E = 4 # 9

3. Si se sabe que:

Adems:

Calcular:

4. Si:

Adems:

Calcular:

B.MEDIANTE UNA TABLA DE DOBLE ENTRADA:

Para este caso, tenemos:

b * c = d , d * b = a

Ejemplo: En el conjunto:

A = {1 ; 2 ; 3 ; 4} se define:

Calcular:

EJERCICIOS

1. Se define en : A = {a, b, c, d} la siguiente tabla:

abcdabcdabcdabcdabcdabcd

Hallar : (b d) (a c)

a) ab) bc) cd) de) b y d

2. Se define :

x = x2 + 3x

Hallar : 4 + 5

a) 66b) 67c) 68d) 69e) 70

3. Si : m # n = 2m + 3n Hallar: (2 # 3) # (4 # 2)

a) 76b) 77c) 78d) 79e) 80

4. Se define :

2a b ; a > b a b = a + b ; a < b

Calcular : P = (2 1) (1 2)

a) 5b) 6c) 7d) 8e) 9b

5. Si : ac = a2 - bc

432321

Hallar:

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

6. Se define en : A = {2, 3, 4}

234

2432

3243

4324

Calcular: S =

a) 1b) 2c) 0,5d) 0,2e) 3

7. Dada la siguiente tabla :

abcdacdabbdabccabcddbcda

Calcular: M =

a) bb) ac) a/bd) 1e) d

8. Se tiene la siguiente tabla :mnpqrmpqmnrnqpnrmpmnpqrqnrqpmrrmrnp

Hallar el elemento Neutro.

a) mb) nc) pd) qe) r

9. Del ejercicio anterior:

Hallar: (n-1 p-1) (q-1 r-1)

a) mb) nc) pd) qe) r

10. Si: x = 2(x 1)

x = 3(x 1)

Hallar x en: x = 2

a) 4/7b) 7/3c) 13/7d) 13/6e) 13/3

11. En el conjunto: A = {0, 1, 2, 3, 4}

012312340230111111123012241220111311423321041224

Hallar x en:

(x x) (3 1) = (4 3) (4 1)

a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4

12. Si: a b = 2a + b

Hallar x: (x 3) (1 2) = 14

a) 0b) 1c) 2d) 3e) 5

13. Si: a b = a2 ab

Hallar x en: (x + 2) (x + 1) = 3x 4

a) 6b) 3c) 6d) 3e) 4

14. Sabiendo que:

m n = 3m 2n; adems: 2 a = 2

Hallar: a2 2a

a) 4b) 16c) 32d) 64e) N.A.

15. Se define:

a =; si a es par

; si a es impar

Hallar: 3

a) 1b) 2c) 3d) 6e) 0

16.

Si: a b = +

Hallar (x + y) en: x 10 = 6 7 y = 6

a) 8b) 9c) 10d) 11e) 12

17. Si: a b =

Hallar: (35 37) (6 2) = x 1

a) 6b) 7c) 8d) 9e) 4

18. Si definimos el operador: = 4a 3b

Hallar el valor de:

a) 31b) 62c) 26d) 360e) N.A.

19. Si se sabe que:

= y2 + x3

Calcular: 2 2

a) 536b) 528c) 8d) 105e) 43

20. Si: x + 1 = 2x + 1

Calcular: 4 + 6 .

a) 20b) 25c) 35d) 24e) 26

21. Si: = a c bdabdc

Hallar y en:

+ =41653x1y51xy

a) 1b) 3c) 5d) 7e) 9

22. Si: = HP

x3

= 145x2

Hallar el valor de:

a) 125b) 120c) 205d) 81e) 60

23. Si: = 2xx

= 3x 1x

x = 2x + 1

Hallar n en: n 4 + 4 + 5 = 26

a) 6b) 8c) 9d) 5e) 7x

24. Si: = 3x + 6

Adems: x + 1 = 3x 6

10

Calcular:

a) 31b) 30c) 29d) 28e) 36

25. Si: a b = a (b a)2

Hallar: 16 2

a) 1/2b) 1/4c) 1/8d) 1/10e) 64

26. Si: x = x .

x = 8x + 7

Hallar: 4 .

a) 9b) 8c) 7d) 10e) 2

27. Dadas las operaciones:

x = 2x+3; x = 4x 3

7

Calcular:

a) 19b) 11c) 7d) 23e) 31

28. Definidas las operaciones:

2n 1 = 4n + 1 y

2n + 1 = 16n + 9

Calcular: E = 3 + 4

a) 81b) 64c) 225d) 188e) 125

29. Si # define la operacin (a # b)c = abac

Calcular:

E = 30 Trminos

a) 2b) 1c) 25d) 0e) 6

30. Sabiendo que:

P Q = 6P + 2Q

Calcular: M = (5 12) (14 6)

a) 516b) 254c) 196d) 150e) 324

31. Definida la operacin:

n + 2 =

Determinar el valor de (2b+1) en:

b 1 =

a) 40b) 41c) 41d) 42e) 42

32. Calcular x en: 2x + 1 = 21

Si: n = 1 + 2 + 3 + ... + n

a) 2b) 1/2c) 1/3d) 3e) N.A.

33. Sea: A = {0, 1, 2, 3} y definimos la operacin #.

#012300321112302231033102

Calcular: (0 # 1) # (3 # 2)

a) 0b) 1c) 2d) 3e) F.D.

34. Dada la siguiente tabla:

mnpqmqpmnnpmnqpmnqpqnqpm

Calcular: E =

a) q/nb) q/mc) p/md) p/qe) p/n

35. Si:

4 5 6414182251823286222834

Hallar: 7 8

a) 48b) 50c) 54d) 51e) 38

36. Dada la tabla:

abcacbabbcacacb

Y adems se sabe que:

(x a) b = (a b) c

Hallar X

a) ab) bc) c d) a be) No hay solucin posible

37. En el conjunto: A = {0, 1, 2,3}

012302301123012011133110

123411111224123114241224

Hallar x en:

(x 1) (3 1) = (4 3) (4 1)

a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4

38. Sabiendo que: P Q = 6P + 2Q

Calcular: M = (5 12) (14 6)

a) 516b) 254c) 196d) 150e) 324

CAPITULO 05PROMEDIOS

PROMEDIO ARITMTICO Es una medida de tendencia central, que tiene importancia en el caso en que los datos se junten aditivamente para obtener un total.

PROMEDIO GEOMTRICO Por su parte, es relevante cuando los datos se usan multiplicativamente para obtener un resultado.

PROMEDIO ARMNICO Tiene importancia cuando usamos los datos sumando los recprocos de cada uno de los datos

PROMEDIO

Dado un conjunto de datos diferentes es frecuente calcular un valor representativo de ellos, que este comprendido entre el menor y el mayor de ellos; a dicha cantidad se le llama: promedio o valor medio o simplemente media de los datos.

PROMEDIOS MS UTILIZADOS

1.Promedio Aritmtico o Media Aritmtica (M. A.)

Ejemplo:

Dar la de: 7; 13 y 4.

Resolucin:

= 8

2.Promedio Geomtrico o Media Geomtrica (M.G.)

Ejemplo:

n: nmero de datos. Dar la de: 5; 15 y 45

Resolucin

3.Promedio Armnico o Media Armnica (M.H.)

Ejemplo:

Dar la de: 6; 2 y 3.

Resolucin:

PARA DOS CANTIDADES a y b

PROPIEDADES

1.Para "n" cantidades se cumple:

2.Para dos cantidades a y b se cumple:

3.El error que se comete al tomar la media aritmtica (M.A.), como media geomtrica (M.G.) para dos nmeros es:

Aplicacin: Al final del semestre acadmico, un alumno de la Universidad observa su rcord de notas:

Determine su promedio.

Resolucin:

El nmero de crditos indica las veces que se repite cada nota. Entonces el promedio ponderado es:

En general:

Datos:

Pesos:

El Promedio Ponderado (P.P.) es:

NOTA:Cuando no nos mencionen qu tipo de promedio se ha tomado y slo se diga promedio de.............. consideraremos al Promedio Aritmtico.

EJERCICIOS

1. Hallar la media geomtrica de los nmeros:

3; 4; y 18

a) 3,5b) 4c) 5

d) 6e)

2. Hallar la media armnica de los nmeros:

1; 2; 3 y 6

a) 1,8b) 2c) 2,1d) 3e) 4

3. Hallar el promedio de los siguientes nmeros:

1; 2; 3; 4; ..........; 17; 18; 19; 20

a) 8b) 10c) 10,5d) 7e) 11

4. Hallar el promedio de:

2; 4; 6; 8; ......; 38; 40; 42

a) 21b) 18c) 26d) 22e) 27

5. El promedio de cinco nmeros pares consecutivos es 16. hallar el promedio del mayor y el tercero.

a) 14b) 16c) 18d) 20e) 30

6. Qu nota se obtuvo en un cuarto examen, si en los tres anteriores se obtuvo: 14; 10 y 18 respectivamente; y su promedio final fue de 15?

a) 20b) 19c) 18d) 16e) 17

7. La media aritmtica de tres nmeros es 6. y de otros dos nmeros es 16. hallar la media aritmtica de los cinco nmeros.

a) 9b) 10c) 11d) 12e) 13

8. Si tenemos: A; 10; B; 35; C y 15. el promedio de los dos primeros nmeros es 15; el promedio de los dos ltimos 10 y el promedio de todos los nmeros es 20. Hallar: A + B + C

a) 50b) 60c) 40d) 45e) 55

9. Calcular la media armnica de dos nmeros. Si: MA = 45 y MG = 15

a) 8b) 10c) 12d) 5e) 6

10. El promedio de las edades en un saln de clases es de 18. Si el promedio de 20 de ellos es 15. Hallar el promedio de los restantes sabiendo que hay 50 alumnos.

a) 25b) 24c) 32d) 30e) 20

11. La media aritmtica de 2 nmeros es 6 y su media geomtrica es . Hallar el mayor de los nmeros.

a) 4b) 6c) 8d) 10e) 12

12. Dos nmeros son entre s como 7 es a 9. Si su media aritmtica es 88. Hallar la diferencia de los nmeros.

a) 22b) 33c) 11d) 44e) N.A.

13. El promedio aritmtico de 50 nmeros es 16. Si a 20 de ellos se les aade 7 unidades y a los restantes se les quita 3 unidades. Cul es el nuevo promedio aritmtico?

a) 10b) 17c) 15d) 20e) 18

14. Si a un grupo de 5 nmeros se le agrega los nmeros 18, 12 y 10 se observa que su media aritmtica disminuye en 4 unidades. Determinar el promedio aritmtico de este nuevo grupo de nmeros.

a) 20b) 24c) 21d) 28e) 30

15. El promedio aritmtico de 50 nmeros es 16. Si a 20 de ellos se les aade 7 unidades y a los restantes se les quita 3 unidades. Cul es el nuevo promedio aritmtico?

a) 10b) 17c) 15d) 20e) 18

16. El mayor promedio de 2 nmeros es 21. Si la diferencia entre ambos nmeros es 12. Cul es el nmero menor?

a) 10b) 12c) 15d) 17e) 21

17. Hallar 2 nmeros sabiendo que su media aritmtica es 5 y su media armnica 24/5.

a) 7 y 3b) 8 y 2c) 6,5 y 3,5d) 6 y 4e) 5 y 4, 5

18. Se sabe que el promedio aritmtico de 2 nmeros es 12 y el P.H. es 3. Cul es el promedio geomtrico de los 2 nmeros?

a) 6b) 7c) 4

d) 8e)

19. El promedio aritmtico de 2 nmeros es 22,5 y su promedio geomtrico es 18. La diferencia de los nmeros es:

a) 7b) 17c) 27d) 20e) 9

20. Si M.A. x M.H. de A y B es 196 y M.A. x M.G. de A y B es 245. Cul es la diferencia entre A y B?

a) 25b) 24c) 23d) 22e) 21

21. El producto de la media armnica y la media aritmtica de 2 nmeros enteros es igual al triple de la media geomtrica de ellos. Hallar el producto de los nmeros.

a) 3b) 6c) 9d) 12e) 15

22. Las edades de 4 hermanos son proporcionales a 2, 3, 4 y 5. Hallar la edad del menor si el promedio de todas las edades es 21.

a) 12b) 30c) 14d) 10e) 24

23. La edad promedio de 3 personas es 56 aos. Si ninguno tiene ms de 59 aos. Cul es la edad mnima que podra tener una de ellos?

a) 51b) 50c) 53d) 52e) 54

24. Si el promedio de 20 nmeros es 50, si agregamos 10 nmeros cuyo promedio es 20. Cul es el promedio final?

a) 42b) 45c) 40d) 40,5e) 42,5

25. El promedio aritmtico de 50 nmeros es 38 siendo 45 y 55 dos de los nmeros, eliminando estos 2 nmeros el promedio de los restantes es:

a) 33,6b) 37c) 38,1d) 37,5e) N.A.

26. La media aritmtica de 70 nmeros es 40 y la media de otros 30 nmeros es 50. Si a cada uno de los nmeros del primer grupo se le aumenta 10 unidades y tambin a c/u de los nmeros del segundo grupo se le disminuye en 20. En cunto vara el producto original de los 100 nmeros considerados?

a) aumenta en 1.b) disminuye en 1.c) aumenta en 11.d) disminuye en 11.e) no vara.

27. Calcular la estatura promedio en metros de 3 personas, sabiendo que miden: a cm, b cm y c metros.

a) b)

c) d)

e)

28. Pepe compro 50 acciones de una compaa a S/. 600 cada una y 2 meses ms tarde compro 25 acciones ms a S/. 560 cada una. A qu precio deber comprar 25 acciones adicionales para tener un promedio de S/. 580 por accin?

a) S/. 570b) S/. 560c) S/. 530d) S/. 540e) S/. 550

29. El promedio aritmtico de n nmeros es p, cuando se consideran m nmeros ms, el promedio aumenta en 1. Calcular el promedio aritmtico de los m nmeros.

a) p + 2b) + pc) +p+1

d) + p + 1e) N.A.

30. El promedio aritmtico de n nmero es 3. El promedio de la cuarta parte de estos nmeros es 2,4 y el promedio de los 2/3 de los restantes es 1,2. Calcular el promedio de los restantes.

a) 7,5b) 6,2c) 6,0d) 7,2e) 8,2

31. Sabiendo que:

y

= 11

Calcular el valor de:

R = a1 . a3 . a5 . a7 . a9a) 32 400b) 30 240c) 34 200d) 31 200e) 30 180

32. Hallar el promedio geomtrico: 625; 16; 81; 256

a) 81b) 50c) 200d) 42e) N.A.

33. Si el promedio de tres nmeros consecutivos es 14. Hallar el mayor de ellos.

a) 1b) 12c) 13d) 14e) 15

34. Las edades de 4 hermanas son proporcionales a: 2; 3; 4 y 5. Hallar la edad del menor si el promedio de todas las edades es 21.

a) 12b) 30c) 14d) 10e) 24

35. La media aritmtica de 2 nmeros es 6 y su media geomtrica es 4. Hallar el mayor de los nmeros.

a) 4b) 6c) 8d) 10e) 12

36. Si el promedio de 10 nmeros de entre los 50 (cincuenta) primeros enteros positivos es 27,5. El promedio de los 40 enteros positivos restantes es: a) 20b) 22c) 23d) 24e) 25

37. El promedio geomtrico de 5 nmeros es 212 y el promedio geomtrico de 3 de ellos es 26. Cul ser el P.G. de los otros 2?

a) 26b) 24c) 264d) 242e) 221

38. El promedio de 50 nmeros es 38 siendo 38 y 62 dos de los nmeros. Eliminando estos nmeros el promedio de los restantes es:

a) 36,5b) 38c) 37,2d) 38e) 37,5

39. En una oficina trabajan 12 personas cuyo promedio de edades es 26 aos. Si el nmero de hombres es 8 y su edad promedio es 28 aos. Cul es la edad promedio de la edad de las mujeres?

a) 27b) 26c) 25d) 24e) 2240. El promedio de dos nmeros es 3. Si se duplica el primer nmero y se quintuplica el segundo nmero, el nuevo promedio es 9. Los nmeros originales estn en la razn:

a) 3 : 1b) 3 : 2c) 4 : 3d) 5 : 2e) 2 : 1

41. La media aritmtica de y es 66, si se

cumple . Hallar la media

geomtrica de "a" y "b"

a) b) c) d) e)

42. Al calcular la M.A. de todos los nmeros de dos cifras PESI con 5, se comete un error de dos unidades por no considerar a los nmeros M y N (ambos impares).

Cuntas parejas M y N existen?

a) 4b) 5c) 6 d) 7e) 8

43. Determinar el promedio armnico de los nmeros de la siguiente sucesin:

40; 88; 154; 238; .... ; 1804; 2068

a) 215b) 220c) 240d) 235e) 245

44. Si para dos nmeros a y b (a > b) que son enteros positivos:

Determinar la media armnica.

a) 7b) 8c) 9d) 10e) 11

45. Sean a y b dos nmeros enteros pares, si el producto de la MA con su MH es igual a cuatro veces su MG, entonces el menor valor que toma uno de dichos nmeros es:

a) 2b) 4c) 6 d) 8e) 10

46. La edad promedio de 25 personas es 22 aos. Calcular cuntas personas de las que tienen 25 aos deben retirarse para que el promedio de los restantes sea de 20 aos.

a) 10b) 11c) 20d) 25e) 1547. La media aritmtica de 15 impares de 2 cifras es 25 y de otros 15 impares tambin de 2 cifras es 75. Cul es la media aritmtica de los impares de 2 cifras no considerados?

a) 75b) 60c) 65d) 55e) 35

48. Hallar la media aritmtica de 2, 4, 6, 8, 10

a) 3b) 5c) 6d) 8e) 10

49. Si: P. A = (2, 4, a) = 4

P. A = (8, b, 12) = 10

Hallar la media aritmtica de a y b

a) 6b) 8c) 10d) 12e) 14

50. Dados los nmeros 12, 18 y 27. Calcular el error que se comete al tomar el promedio aritmtico como promedio geomtrico.

a) 0,5b) 1c) 1,5d) 0,3e) 1,3

51. Se tiene 100 nmeros cuyo promedio es 18,5. A los primeros 20 nmeros se les aumenta 3 unidades a cada uno, a los siguientes 50 nmeros se les aumenta 8 unidades a cada uno y a los restantes nmeros se les disminuye 2 unidades a cada uno.

Calcular el nuevo promedio de los nmeros que se obtiene.

a) 23b) 22,5c) 20,5d) 22e) 21

CAPITULO 06EDADES

Se debe tener en cuenta que en los problemas intervienen: sujetos, tiempos y edades.

SUJETOS: Son los protagonistas que generalmente son personas y en algunos casos los animales, los objetos, etc.

TIEMPOS: Es uno de los puntos ms importantes, pues si se interpreta inadecuadamente el tiempo mencionado se complicar la resolucin del problema.

EDAD: Es un lapso de tiempo perteneciente a la existencia de un sujeto, se da generalmente en aos, pero puede darse en das o meses.

Para una mejor resolucin de los problemas clasificaremos a estos en 3 tipos:

I.Cuando interviene la edad de un solo sujetoEjemplo:La edad de Evelyn dentro de 9 aos ser el doble de la edad que tena hace 6 aos. Cuntos aos cumplir dentro de 5 aos?

Resolucin:

Por condicin:x + 9 = 2(x - 6) x = 21Luego dentro de 5 aos tendr:

21 + 5 = 26 aos

II.Cuando intervienen las edades de 2 o ms sujetos:

A.Con tiempo especificado

Ejemplo Las edades de Piero y Luca estn en la relacin de 3 a 2 respectivamente. Dentro de 14 aos la edad de Luca ser el doble de la edad que Piero tena hace 7 aos. Qu edad tiene Piero?

Resolucin:

Por condicin:2x + 14 = 2(3x - 7) 28 = 4x x = 7

Piero tiene: 3(7) = 21 aos.B. Con tiempo no especificado:

Ejemplo:Sebastin le dice a Alessandro: "Yo tengo 6 aos y mi edad es el triple de la edad que t tenas cuando yo tena la edad que t tienes. Cuntos aos tiene Alessandro?Resolucin:

Antes de pasar a la resolucin, recordemos lo siguiente:Supongamos que "A" tiene 20 aos y "B" 16 aos

Notamos que la diferencia de las edades es la misma (permanece constante), en todo momento. Tambin notamos que la suma en aspa (a lugares simtricos) es la misma. As por ejemplo:

Presente Pasado20 + 10 = 14 + 16 Presente Futuro 28 + 16 = 20 + 24 Pasado Futuro28 + 10 = 14 + 2 Del ejemplo:

De la tabla:2x = 8 x = 4Entonces Alessandro tiene 4 aos.III. Cuando interviene la edad y el ao de nacimiento de una persona y adems el ao actual.

Ejemplo:Emilia en 1972 descubri que su edad era igual al doble del nmero formado por las 2 ltimas cifras del ao de su nacimiento (en ese orden). En qu ao naci Emilia?Resolucin:

Ao de nacimiento:Edad:Ao actual:1972Sabemos que:

Reemplazando:

Emilia naci en 1924.

EJERCICIOS

1. La edad de Norma dentro de 11 aos ser de 29 aos. Qu edad tiene ahora?

a) 18 aosb) 20c) 24d) 26e) 23

2. Si la edad de Manuel hace 5 aos fue de 24. Qu edad tiene?

a) 18 aosb) 19c) 20d) 21e) 22

3. La edad que tuvo Xiomy hace 7 aos fue de 13 aos. Qu edad tendr dentro de 10 aos?.

a) 25 aosb) 14c) 28d) 40e) 27

4. La edad de Ral dentro de 9 aos ser de 26 aos. Qu edad tiene?

a) 12 aosb) 24c) 17d) 18e) N.A

5. La edad que tuvo Enrique hace 9 aos fue de 13 aos. Qu edad tendr dentro de 5 aos?

a) 27 aosb) 28c) 30d) 39e) 42

6. La edad de Vanesa dentro de 7 aos ser de 16 aos. Qu edad tuvo hace 4 aos?

a) 5 aosb) 8c) 10d) 12e) 13

7. Marilyn dice : "Dentro de 16 aos mi edad ser 4 veces la edad que tena hace 14 aos" Qu edad tengo en aos?

a) 26b) 20c) 18 d) 29e) 24

8. Hace 6 aos tena la mitad de los aos que tendr dentro de 4 aos. Cuntos aos tendr dentro de 10 aos?

a) 28b) 29c) 32d) 26e) 18

9. Hace 10 aos tena la mitad de la edad que tendr dentro de 8 aos. Dentro de cuntos aos tendr el doble de la edad que tuve hace 8 aos?

a) 10b) 8c) 12d) 16e) 34

10. Dentro de 12 aos tendr la edad que tienes y hace 8 aos tena la tercera parte de tu edad. Cuntos aos tienes?

a) 30 aosb) 32 aosc) 28 aosd) 24 aose) 27 aos

11. La edad de Liliana es a la edad de Emilio como 4 es a 7. Dentro de 10 aos Liliana tendr el doble de la edad que tena Emilio hace 5 aos. Cuntos aos tiene Emilio?


12. Hace 12 aos las edades de 2 hermanos estaban en relacin de 4 a 3 y actualmente sus edades suman 59 aos. Dentro de cuntos aos sus edades estarn en relacin de 8 a 7?

a) 10 aosb) 9 aos c) 8 aosd) 7 aos e) 6 aos

13. A una persona en el ao 1975 se le pregunt su edad y contest: "Tengo en aos la mitad del nmero que forman las dos ltimas cifras del ao de mi nacimiento". Halla la suma de las cifras de su edad.

a) 4b) 5c) 6 d) 7e) 8

14. Al preguntarle a Yessica por su edad respondi: "Si al ao en que cumpl los 16 aos le agregan el ao en que cumpl los 20 aos y si a este resultado le restan la suma del ao en que nac con el ao actual, obtendrn 14".Cul es la edad de Yessica?

a) 12b) 18c) 15d) 27e) 22

15. Andrea le dice a Jess: Yo tengo 24 aos y mi edad es el doble de la edad que t tenas cuando yo tena la tercera parte de la edad que tienes. Cuntos aos tienes?

a) 24b) 18c) 4d) 27e) 9

16. Yo tengo 30 aos y mi edad es el sxtuplo de la edad que t tenas cuando yo tena el cudruple de la edad que tienes. Cuntos aos tienes?

a) 7b) 28c) 13d) 6e) 8

17. Un coche tiene ahora la mitad de aos que tena Martn. Cuando el coche era nuevo. Hoy Martn tiene 12 aos. Cuntos aos tiene el coche?

a) 4b) 6c) 3d) 5e) 2

18. Sonia le dice a Sandra: "T tienes 18 aos, pero cuando t tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades ser 48 aos". Cuntos aos tendr Sonia dentro de 8 aos?

a) 32b) 28c) 30 d) 34e) 26

19. Mara le dice a Luis: "Yo tengo el triple de la edad que t tenas, cuando yo tena la edad que tienes, y cuando tengas la edad que tengo, nuestras edades sumarn 35 aos". Qu edad tiene Luis?

a) 10 aos b) 15 aos c) 5 aosd) 25 aos e) 20 aos

20. La edad de Yasmn y su enamorado suman 91 aos. La edad de ella es el doble de la edad que tena su enamorado cuando Yasmn tena la edad que l tiene ahora. Qu edad tiene Yasmn?

a) 55b) 47c) 59 d) 44e) 52

21. La suma de las edades actuales de 2 hermanas es 60 aos, dentro de 5 aos la mayor tendr el doble de la edad que tena la menor hace 5 aos. Hallar la suma de las cifras de la edad actual del mayor.

a) 5b) 6c) 7 d) 8e) 9

22. Qu edad tengo, si la edad que tena hace 10 aos es la edad que tendr dentro de 50 aos como 1 es a 4?

a) 20b) 40c) 50 d) 60e) 30

23. La edad de Andrea es el doble de la edad que tena Sebastin cuando Andrea naci; y cuando Andrea tenga el doble de su propia edad, Sebastin tendr 30 aos. Cul es la edad de Andrea?

a) 6b) 12c) 18 d) 20e) 22

24. Las edades actuales de Cristina y Carlos estn en la relacin de 5 a 4 respectivamente. La edad que tendr Carlos dentro de 5 aos es igual a la edad que tena Cristina hace 4 aos. Cuntos aos tena Cristina cuando naci Carlos?

a) 8b) 9c) 10 d) 11e) 12

25. Dentro de 10 aos tendr el doble de la edad que tuve, si tendra lo que tengo tuve y tendr, mi edad sera el triple de la edad que tengo. Qu edad tuve hace 5 aos?

a) 35b) 30c) 25 d) 20e) 15

26. Jos le dice a Walter: "Hace 21 aos mi edad era la mitad de la edad que tendrs dentro de 4 aos, cuando yo tenga el doble de la edad que t tienes". Qu edad tiene Jos?


27. Judith tuvo su primer hijo a los 25 aos, su segundo hijo a los 30 y 3 aos despus a su tercer hijo. Si actualmente (2005) la suma de todas las edades es 84. En qu ao naci Judith?

a) 1959b) 1962c) 1958 d) 1960e) 1956

28. Las edades de dos personas hace "n" aos estaban en la relacin de 1 a 3, actualmente sus edades estn en la relacin de 4 a 7. Si dentro de "2n" aos sus edades sumarn 126.Halle la suma de sus edades dentro de "n" aos.

a) 90b) 95c) 80 d) 98e) 96

29. Si hubiera nacido 15 aos antes, entonces lo que me faltara actualmente para cumplir 78 aos, sera los cinco tercios de la edad que tendra si hubiese nacido 7 aos despus. Qu edad tendr dentro de 5 aos?


30. Antonio le dice a Mara: "Yo tengo el doble de la edad que tenas, cuando yo tena la edad que t tienes, y cuando t tengas el doble de la edad que yo tengo, la diferencia de nuestras edades ser de 8 aos". Hallar la edad de Mara.

a) 18 aosb) 21 aosc) 24 aos d) 28 aose) 32 aos

31. Luis Armando naci en y actualmente (2001) tiene una edad igual a la suma de cifras de su ao de nacimiento. Qu edad tiene?

a) 18b) 23c) 24d) 21e) 19

32. Juana tiene una hija a los 20 aos una nieta 24 aos despus. Cuando la nieta tiene 11 aos la abuela dice tener 45 aos y la hija 30 aos. Cul es la suma de las edades que ocultan ambas?

a) 10b) 13c) 15d) 17e) 20

33. La suma de las edades de Juan y Pepe estn entre 30 y 40 aos. la de Pepe y Lalo estn entre 32 y 42; y la de Juan y Lalo se dan entre 34 y 44. la suma de aos de los tres Entre qu aos oscila?

a) 42 y 60b) 45 y 63c) 48 y 63d) 39 y 60e) 48 y 60

34. Dos hermanos cuyas edades se diferencian en 2 aos. Despus de cuntos aos uno tendr el cudruple de la edad del otro y ste el doble de la del primero?

a) 3b) 4c) 5d) 6e) 7

35. Mara le dice a Susana: Cuando yo tenga la edad que t tienes, tu edad ser dos veces la que tengo y saber que cuando tena 10 aos t tenas la edad que tengo Cunto suman las edades actuales de Mara y Susana?

a) 20b) 30c) 40d) 50e) 60

36. Si un padre tiene 32 aos y su hijo 5. Al cabo de cuntos aos la edad del padre ser 10 veces mayor que la de su hijo?

a)dentro de 2 aos.b)dentro de 5 aos.c)hace 2 aos.d)hace 2 aos.e)ninguna anterior.

37. Un hombre tiene X aos. su hermano mayor que es Y aos mayor que X, es Z aos menor que su padre. Qu edad tiene el padre?

a)x + y + zb) x y + zc)x + y zd) z y z

38. Juan es dos veces mayor que Jos. En 5 aos:

a)Juan tendr ms que el doble de la edad de Jos.b)Juan tendr 6 aos menos que el doble de la edad de Jos.c)Juan tendr menos que el doble de la edad de Jos.d)Juan tendr 5 aos ms que el doble de la edad de Jos.e)N.A.

39. Hace dos aos tena el cudruple de tu edad, dentro de 8 aos tendr 30 veces la edad que t tenas cuando yo tena la edad que t tendrs dentro de 9 aos. Qu dad tengo yo?

a)21b) 22c) 23d)24e) 26

40. El seor Snchez tendr X aos a partir de la fecha. Cuntos aos tuvo hace 6 aos?

a)x 6b) x + 12c) x 12d)6x 6e) 7x

41. Juanito tiene el doble de aos que Janet. En t aos ella tendra 1 1/2 aos de edad. Cul es la edad de Janet actualmente?

a) b) c) 1

d) e) 3t

42. Luz tiene 24 aos, su edad es el doble de la edad que tena Ana, cuando Luz tena la edad que ahora tiene Ana. Qu edad tiene Ana?

a)16b) 17c) 18d)19e) N.A.

43. T tienes 16 aos. cuando tengas el triple de los te yo tengo, entonces mi edad ser el doble de la que actualmente tienes. Dentro de cuntos aos cumplir 40 aos?

a)28b) 30c) 32d)34e) N.A

44. Elvira tiene 24 aos, su edad es el sxtuple de la edad que tena Ana, cuando Elvira tena la tercera parte de la edad que tiene Ana. Qu edad tiene Ana?

a)20b) 21c) 22d)23e) N.A

45. En 1963 la edad de Rafael era 9 veces la edad de su hijo. En 1968 era solamente el quntuplo de la edad de ste. En el ao 2000, el nmero de aos que cumpli el padre fue:

a)82b) 75c) 65d)70e) N.A

46. La edad de un nio, ser dentro de 4 aos un cuadrado perfecto. Hace 8 aos su edad era la raz cuadrada de ese cuadrado perfecto. Qu edad tendr dentro de 8 aos?

a)20b) 21c) 22d)23e) N.A

CAPITULO 07ANALISIS COMBINATORIO

El anlisis combinatorio es la parte de las Matemticas que estudia el nmero de ordenamientos o grupos que se pueden formar con las cosas o los elementos.

FACTORIAL DE UN NMERO

Sea "n" un nmero entero positivo, el factorial de "n", se denota por "n!" o "" y se define como el producto de los enteros consecutivos desde 1 hasta n o desde n hasta la unidad inclusive.

Ejemplos: **********

Se observa:

Entonces:

De aqu, obtenemos para n = 1

Luego, definimos convencionalmente:

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO En los ejemplos siguientes, nos damos cuenta que dado un evento particular (alinear las 3 esferitas o formar una pareja), estamos interesados en conocer todas las maneras distintas en que puede ocurrir. Para determinar las veces que ocurre un determinado evento, haremos uso de las tcnicas de conteo, que sern de gran ayuda en estos casos.

1.PRINCIPIO DE MULTIPLICACIN

(Teorema fundamental del anlisis combinatorio)

Si un evento "A" ocurre de "m" maneras y para cada una de estas, otro evento "B" ocurre de "n" maneras, entonces el evento "A" seguido de "B", ocurre de "" maneras.

Observaciones:

*En este principio, la ocurrencia es uno a continuacin del otro, es decir, ocurre el evento "A" y luego ocurre el evento "B". *Este principio se puede generalizar para ms de dos eventos.

2.PRINCIPIO DE ADICIN:

Si un evento "A" ocurre de "m" maneras y otro evento "B" ocurre de "n" maneras, entonces el evento A B, es decir, no simultneamente, ocurre de "m + n" maneras.

Observaciones:

*En este principio, la ocurrencia no es simultneamente, es decir, ocurre el evento "A" o el evento "B"; pero no ambos a la vez.

*Este principio se puede generalizar para ms de dos eventos.

PERMUTACIN

Es un arreglo u ordenacin que se puede formar con una parte o con todos los elementos disponibles de un conjunto.

En una permutacin, s interesa el orden de sus elementos. Se pueden presentar en tres casos:

1.PERMUTACIN LINEAL:

Es un arreglo u ordenacin de elementos en lnea recta. Si tenemos un conjunto de cuatro elemento: A = {a , b , c , d}, los posibles arreglos o permutaciones de este conjunto tomados de 2 en 2 son :

ab ; ba ; bc ; cbac ; ca ; bd ; dbad ; da ; cd ; dc

Vemos que hay 12 permutaciones distintas. Se puede llegar a la misma respuesta sin tener que escribir todas las ordenaciones posibles, si aplicamos el principio de multiplicacin.

Del ejemplo anterior, obtenemos las siguientes conclusiones:

*El nmero de permutaciones de 4 elementos tomados de 2 en 2 se denota como

*

En general: El nmero de permutaciones de "n" elementos diferentes tomados de "K" en "K", se calcula como:

Observaciones: *Cuando se toman todos los elementos del conjunto para ordenarlos o permutarlos (es decir, K = n), se dice que es una permutacin de "n" elementos y se denota por .

2.PERMUTACIN CIRCULAR

Es un arreglo u ordenacin de elementos diferentes alrededor de un objeto. En estas ordenaciones no hay primer ni ltimo elemento, por hallarse todos en lnea cerrada. Ejemplo:

*Permutar "A", "B" y "C" en forma circular.

NOTA:

Para determinar el nmero de permutaciones circulares de "n" elementos distintos, denotado por, , basta fijar la posicin de uno de ellos y los "n - 1" restantes podrn ordenarse de (n - 1)! maneras. Si se toma otro elemento como fijo, las ordenaciones de los restantes sern seguro uno de los ya considerados.

Luego:

Observaciones:

*Para diferenciar una permutacin circular de otra, se toma uno de los elementos como elemento de referencia y se recorre en sentido horario o antihorario. Si se encuentran los elementos en el mismo orden, entonces ambas permutaciones sern iguales y en caso contrario, diferentes.

Resolucin:

*Para el ejemplo anterior:

Aparentemente hay 6 ordenamientos, lo cual no es cierto, porque: si hacemos girar al 1 ordenamiento en sentido antihorario obtenemos el ordenamiento 3; y si lo hacemos girar en sentido horario obtenemos el ordenamiento 5; de igual forma si al ordenamiento 2 lo hacemos girar en sentido antihorario obtenemos el ordenamiento 6; y si lo hacemos girar en sentido horario obtenemos el ordenamiento 4.

De todo este anlisis se deduce que los elementos A, B y C slo se pueden ordenar de 2 maneras diferentes. Pero si fueran ms elementos, sera ms tedioso mostrar todos los ordenamientos posibles. Esto nos conlleva a utilizar la frmula antes indicada.

Osea:

3.PERMUTACIN CON ELEMENTOS REPETIDOS

Es un arreglo u ordenacin de elementos no todos diferentes (elementos repetidos).Si se tienen "n" elementos donde hay:

elementos repetidos de una 1ra. clase. elementos repetidos de una 2da. clase. elementos repetidos de una r - sima clase.

El nmero de permutaciones diferentes con "n" elementos los cuales tienen elementos que se repiten, se calcula como sigue:

Donde:

COMBINACIN

Es una seleccin o grupo que se puede formar con una parte o con todos los elementos disponibles de un conjunto. En una combinacin no interesa el orden de sus elementos.

A travs de un ejemplo nos daremos cuenta que hay una estrecha relacin entre las permutaciones y las combinaciones. Dado el conjunto A = {a, b, c, d}, calcular el nmero de permutaciones y el nmero de combinaciones de los elementos de "A" tomados de 3 en 3.

Del ejemplo anterior, obtenemos las siguientes conclusiones:

*El nmero de combinaciones de 4 elementos tomados de 3 en 3 se denota por *Cada combinacin tiene 6 permutaciones, es decir:

En general: El nmero de combinaciones de "n" elementos tomados de "K" en "K", se calcula como:

Observaciones:

*Cuando se toman todos los elementos del conjunto para agruparlos o combinarlos (es decir, K = n), se dice que es una combinacin de "n" elementos y:

***

EJERCICIOS

ENUNCIADO

"Lalo tiene 6 pantalones, 4 camisas y 5 pares de zapatos, todos de diferentes colores entre s".

1. De cuntas maneras diferentes puede vestirse?

a) 15b) 240c) 60d) 120e) 72

2. Del enunciado: De cuntas maneras diferentes puede vestirse, si 3 de los pantalones fueran iguales?

a) 120b) 60c) 80d) 12e) 720

3. Del enunciado: De cuntas maneras puede vestirse, si la camisa blanca siempre la usa con el pantaln azul?

a) 95b) 80c) 120d) 61e) 91

4. Si deseas viajar a Venezuela y dispones de 3 barcos, 5 aviones y 4 buses (todos diferentes entre s), de cuntas maneras puedes realizar dicho viaje?

a) 11b) 60c) 12d) 42e) 51

ENUNCIADO

"De Lima a Ica, existen 4 caminos diferentes, de Ica a Tacna hay 5 caminos tambin diferentes".

5. De cuntas maneras diferentes se podr ir de Lima a Tacna, pasando siempre por Ica?

a) 9b) 20c) 12d) 40e) 625

6. Del enunciado:

De cuntas maneras diferentes se podr ir de Lima a Tacna y regresar, si la ruta de regreso debe ser diferente a la de ida?

a) 400b) 380c) 240d) 399e) 401

7. De un grupo de 15 personas que estudian slo 2 idiomas cada uno, se sabe que 4 de ellos estudian ingls y alemn, 5 ingls y francs y los otros slo alemn y francs. Si se quiere escoger 2 personas que hagan juntos la traduccin de una lectura a cualquiera de los 3 idiomas mencionados.

De cuntas formas se puede elegir?

a) 28b) 74c) 92d) 48e) 120

8. Del siguiente tablero, de cuntas maneras diferentes se puede escoger una casilla blanca y una casilla negra de tal manera que no estn en la misma horizontal ni vertical?

a) 24b) 120c) 32d) 256e) 64

9. De cuntas maneras diferentes; 2 peruanos, 3 argentinos y 4 colombianos pueden sentarse en fila de modo que los de la misma nacionalidad se siente juntos?

a) 864b) 1728c) 688d) 892e) 1700

10. El aula especial de la Academia consta de 15 alumnos a los cuales se le toma el examen final.Cuntas opciones distintas se tiene para ocupar los 2 primeros puestos, si no hay empate?

a) 210b) 230c) 240d) 205e) 180

11. Cuntos resultados posibles se pueden obtener en el lanzamiento simultneo de 5 monedas y 3 dados legales?

a) 6934b) 6912c) 6780d) 6512e) 6936

12. De cuntas maneras diferentes se puede vestir una persona que tiene 6 ternos (iguales), 5 pares de medias (3 iguales), 2 pares de zapatos, 8 corbatas (2 iguales) y 6 camisas (3 iguales)?

a) 420b) 280c) 288d) 840e) 168

13.Se lanzan tres dados legales al piso, de cuntas maneras diferentes se pueden obtener resultados diferentes en los tres dados?

a) 120b) 180c) 140d) 130e) 117

14.Una alumna tiene para vestirse : 4 blusas; 3 pantalones, 2 faldas, 6 pares de zapatos.

De cuntas maneras se podr vestir convencionalmente?

a) 120b) 60c) 144d) 72e) 288

15.De cuntas maneras diferentes se podrn sentar en hilera 6 amigas, si Genara y Eucalipta estarn siempre juntas y en uno de los extremos?

a) 24b) 48c) 96 d) 120e) 72

16.De cuntas formas diferentes se pueden sentar en una fila 4 varones y 4 mujeres, si Luis (que es uno de ellos) se quiere sentar junto y entre Fiorela y Deysi (que son dos de ellas)?

Adems, consideremos que las personas del mismo sexo no estn juntas.

a) 720b) 360c) 240 d) 8!e) 144

17.Un club tiene 20 miembros de los cuales 12 son mujeres.

Cuntas juntas directivas de 3 miembros: Presidente, vicepresidente y secretario pueden formarse, si el presidente debe ser una mujer y el vicepresidente un hombre?

a) 1428b) 1716c) 1628 d) 1718e) 1728

18.Juan, Manuel, Carlos y 5 amigos ms participan en una carrera, de cuntas maneras diferentes pueden llegar a la meta, de tal manera que Carlos llegue antes que Manuel y ste llegue antes que Juan?

a) 6720b) 4360c) 1532d) 1236e) 1538

19.Por cuntas rutas diferentes se puede ir de A a B?

a) 12b) 14c) 16d) 20e) 24

20.La Municipalidad de Lima ha ordenado que las mototaxis sean amarillas y tengan las placas con 6 caracteres (3 letras seguidas de 3 dgitos). Cuntas placas diferentes se podrn formar? (Considerar 26 letras del alfabeto).

a) b) c) d) e)

21.Con 6 pesas de 1; 2; 5; 10; 30 y 70 kg, cuntas pesas diferentes pueden obtenerse tomando aquellas de 3 en 3?

a) 15b) 120c) 20 d) 60e) 80

22.Un total de 120 estrechadas de mano se efectuaron al final de una fiesta. Si cada participante es corts con los dems, el nmero de personas era:

a) 12b) 18c) 20 d) 14e) 16 23.De cuntas maneras puede escogerse un comit compuesto de 3 hombres y 2 mujeres de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres?

a) 530b) 350c) 305 d) 450e) 380

24.Cuntos arreglos diferentes se pueden hacer con las letras de la palabra "JAPANAJA"?

a) 81b) 840c) 120 d) 8e) 64

25.De cuntas maneras 3 parejas de esposos se pueden ubicar en una mesa circular, si en ningn momento las parejas estarn separadas?

a) 120b) 16c) 48 d) 144e) 72

26.Con las frutas: Pltano, papaya, meln, pia y mamey, cuntos jugos de diferentes sabores se podrn hacer?

a) 13b) 10c) 25 d) 32e) 31

27.Cuatro personas abordan un automvil en el que hay 6 asientos. Si slo Csar y Sandro saben conducir, de cuntas maneras diferentes pueden acomodarse para salir de paseo?

a) 24b) 60c) 120 d) 240e) 360

28.De cuntas maneras diferentes se pueden sentar 10 personas en una mesa redonda de 6 asientos, si 4 estn en espera?

a) 2520b) 12000c) 25200 d) 10!e) 15!

29.Al ir 5 parejas de esposos al teatro Segura, tienen mala suerte de encontrar solamente 5 asientos juntos en una misma fila. De cuntas maneras distintas se pueden acomodar, si se quiere que por lo menos est sentado un hombre y una mujer?

a) 25600b) 30000c) 256 d) 25e) 625

30.La cerradura de la bveda de un banco consta de tres discos con la numeracin del 1 al 10. Si un amigo de lo ajeno desea abrir la bveda, cuntos intentos infructuosos como mximo tendr que realizar?(La bveda se abrir cuando los tres discos se combinen de manera correcta).

a) 1000b) 120c) 999 d) 810e) 512 31.Con cinco retazos de tela, cuntas banderas bicolor se pueden formar?.Se sabe que los retazos son de colores diferentes y la bandera debe tener la forma mostrada.

a) 10b) 20c) 24d) 40e) 25

32.Con 7 varones y 4 mujeres se desea formar grupos mixtos de 6 personas.De cuntas maneras pueden formarse tales grupos, de modo que en cada uno de ellos existan siempre 2 mujeres?

a) 200b) 20c) 312 d) 212e) 210

33.Cuntos cables de conexin son necesarios para que puedan comunicarse directamente 2 oficinas de las 8 que hay en un edificio?

a) 20b) 56c) 28 d) 14e) 16

34.De seis nmeros positivos y 5 nmeros negativos, se escogen 4 nmeros al azar y se multiplican. Calcular el nmero de formas que se pueden multiplicar, de tal manera que el producto sea negativo.

a) 60b) 96c) 128 d) 160e) 170

35.Una clase consta de 7 nios y 3 nias, de cuntas maneras diferentes el profesor puede escoger un comit de 4 alumnos?

a) 160b) 210c) 128 d) 144e) 105

36.En una reunin se encuentran 5 mujeres y 8 hombres. Si se desea formar grupos mixtos de 5 personas, de cuntas maneras pueden formarse tales grupos de modo que en cada uno de ellos estn siempre dos mujeres?

a) 560b) 390c) 120 d) 140e) 280

37.Hallar el nmero de seales que pueden formarse con cinco signos ms y menos.

a) 25b) 10c) 24d) 32e) 64

38.Hay 5 candidatos para presidente de un club, 6 para vicepresidente y 3 para secretario. De cuntas maneras se pueden ocupar estos tres cargos?

a) 108b) 64c) 128 d) 72e) 90

39.A una reunin asistieron 30 personas. Si se saludan estrechndose las manos, suponiendo que cada uno es corts con cada uno de los dems, cuntos apretones de manos hubo?

a) 60b) 435c) 870 d) 120e) 205 40.Diez equipos de ftbol participan en un campeonato (una rueda, todos contra todos).Cuntos partidos ms se debern programar, si llegan 3 equipos ms?

a) 31b) 33c) 9 d) 12e) 21

41.Seis ladrones se escapan de la polica, y tienen 3 escondites para poder ocultarse. De cuntas maneras diferentes como mximo se pueden ocultar?

a) 729b) 840c) 120 d) 720e) 512

42.Se tiene 6 nmeros negativos y 5 nmeros positivos, de cuntas maneras se pueden escoger cuatro nmeros, de tal manera que su producto sea positivo?

a) 140b) 160c) 175 d) 180e) 170

43. Tenemos 5 objetos de diferente color cada uno. Cuntas combinaciones, hay, si lo tomamos de 3 en 3?

a) 12b) 9c) 10d) 15e) 16

44. De cuantas maneras pueden seleccionarse una consonante y una vocal de las letras de palabra: cautivo

a) 4b) 7c) 15d) 18e) N.A.

45. Hallar u en:

a) 32b) 64c) 1/2d) 1e) N.A.

CAPITULO 08PROBABILIDAD

INTRODUCCIN

Consideremos la siguiente situacin:

Dos amigos estudiantes no estn seguros de cmo pasar la tarde, si divirtindose o estudiando. Finalmente, convienen en dejar que una moneda decida la situacin. Si sale cara van al cine, si sale sello van a jugar ping pong; pero si la moneda sale de canto, entonces estudiarn. Podemos aprender mucho de esta ancdota; el sentido comn, basndose en la experiencia pasada, nos dice que los amigos no van a estudiar.

Es decir, por intuicin sabemos que la moneda nunca se quedar de canto sino que saldr sello o cara; tambin nosotros tenemos la seguridad de que son iguales las posibilidades de que salga cara o sello.

El clculo de probabilidades se basa en las suposiciones que hacemos respecto a cuestiones como: Cul es la probabilidad de que la moneda se quede de canto? Cul es la probabilidad de que salga cara o sello?. Para hacer ms prctica la solucin de estas cuestiones, necesitamos asignar valores numricos a las probabilidades. Supongamos que llamamos P al valor numrico de la probabilidad de que salga cara; pero nosotros estamos seguros de que saldr cara o sello, entonces el valor de nuestra seguridad o certeza tendr el valor de 2P.

Acostumbramos en general a darle un valor fijo, convenientemente le daremos el valor 1, es decir 2P = 1; luego la probabilidad de que salga cara

es y la probabilidad de que salga sello es

y Total de certeza.

CONCEPTO DE PROBABILIDAD: Observa atentamente el siguiente diagrama:

La probabilidad de que ocurra un determinado suceso (A) se define como la relacin entre el nmero de casos favorables para ese suceso y el nmero de casos posibles en total (C).

Ejemplo:

Si se lanza un dado, el conjunto de casos posibles es C = {1; 2; 3; 4; 5; 6} que corresponde a las 6 caras que puede presentar el dado al ser lanzado.

Si deseamos un resultado o resultados predeterminados (a los que llamamos sucesos), al conjunto de todas las posibilidades que favorezcan a este resultado lo llamaremos "conjunto de casos favorables".

Por ejemplo, al lanzar el dado una sola vez, el conjunto de casos favorables al suceso "caen en 5 4" es A = {5 ; 4}

EJEMPLO ILUSTRATIVO 1

Encontremos la probabilidad de que al lanzar un dado, el resultado que se obtenga sea 3.

Solucin:

*El experimento es lanzar un dado al aire.

*El conjunto de casos posibles es C = {1; 2; 3; 4; 5; 6} N(C) = 6

*El conjunto de casos favorables es A = {3} N(A) = 1*El suceso es: sale puntaje 3 que identificaremos con el conjunto A.

La probabilidad de que el dado muestre el puntaje 3 (Probabilidad de A) ser:

EJEMPLO ILUSTRATIVO 2

Una caja tiene 100 focos, entre los cuales hay 10 fallados.

Cul es la probabilidad de que al sacar una muestra de 3 focos, los 3 sean fallados?

Solucin:

*El experimento es sacar 3 focos de un recipiente con 100.

*El conjunto de casos posibles es el conjunto de todos los grupos distintos de 3 focos, elegidos entre los 100.

(Tener en cuenta que 2 grupos sern distintos si difieren en por lo menos 1 foco), luego :

C = {Combinaciones de orden 3, de 100 elementos}

*El conjunto de casos favorables es el conjunto de todos los grupos de 3 focos, todos fallados. Como hay 10 fallados, el conjunto de todos los grupos de 3 focos elegidos entre los 10, luego:

A = {Combinaciones de orden 3, de 10 elementos}

PROPIEDADES FUNDAMENTALES:

Si P(A) es la probabilidad de que ocurra un suceso A, entonces:

1..

2.La probabilidad de que no ocurra A (Suceso contrario A') es: P(A') = 1 - P(A).

3.Si U es un suceso que siempre ser cierto lgicamente, entonces P(U) = 1 (Siempre ocurrir).

4.Sies un suceso que nunca ocurrir (Lgicamente imposible).

Entonces:

EJERCICIOS

1. Se lanzan 2 monedas al aire. Cul es la probabilidad de obtener 2 sellos?

a) b) 1/6 c) 1/3 d) e) 1/9

2. Se tiran dos dados al aire. Cul es la probabilidad que la suma de los puntos sea mltiplo de 5?

a) 1/36 b) 1/12 c) 5/36d) 7/36 e)

3. Se lanzan 3 monedas al aire Cul es la probabilidad de obtener no ms de una cara?

a) 1/8 b) c) 3/8 d) e) 5/8

4. Se lanza un dado y se desea saber cul es la probabilidad que el nmero sea compuesto.

a) 2/3 b) c) 1/3d) 5/6 e) 1/6

5. Se lanzan un dado y una moneda; Calcular la probabilidad que resulte cara y un nmero par.

a) 1/4 b) 1/6 c) 1/12d) 1/9 e) 1/3

6. En una tienda venden nicamente 4 bebidas Cul es la probabilidad que el prximo comprador elija una de estas 4 bebidas?

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4d) 2/3 e) 1

7. En una caja se tienen 12 bolas negras y 18 azules; Cul es la probabilidad que al extraer una al azar, resulte azul?

a) 0,2 b) 0,4 c) 0,8d) 0,6 e) 0,3

8. En una determinada ciudad, de cada 69132 bebs nacidos normalmente, 49380 son de sexo masculino; Cul es la probabilidad que el prximo beb a nacer normalmente, sea nia?

a) 2/7 b) 1/3 c) 2/5d) e) 1/8

9. Si a travs de la ventana se observa el paso de las personas (dama varn); Qu probabilidad hay que pase una dama?

a) 0,2 b) 0,3 c) 0,4d) 0,5 e) 0,6

10. Una ruleta en forma de esfera de reloj est distribuida en 12 sectores iguales (numerados del 1 al 12), al que se le adopta un marcador; Cul es la probabilidad que al girarla, y detenerse, marque un nmero menor que 6?

a) 1/4 b) 1/3 c) 1/6d) 1/12 e) 5/12

11. Las caras de un lpiz hexagonal se numeran del 1 al 6; Cul es la probabilidad que al hacerlo rodar se obtenga un nmero no menor que tres?

a) 2/3 b) 1/6 c) 1/3d) e) 1/36

12. En una reunin social se cuentan 250 caballeros y 300 damas; Cul es la probabilidad que la primera persona que se retire sea dama?

a) 3/10 b) c) 2/7d) 6/11 e)

13. En un bingo, un jugador est esperando se cante una bola, y de los 40 nmeros ya se anuncian 30; Cul ser la probabilidad que se cante dicha bola?

a) b) 1/5 c) 1/10d) 1/20 e) 1/12

14. En una fiesta, por cada 3 varones, haban 2 mujeres. A la media noche se retira una persona. Cul es la probabilidad que sea una mujer?

a) 2/3 b) c) 1/3 d) 3/5 e) 2/5

15. Cul es la probabilidad de que al lanzar 2 monedas en simultneo, el resultado sea ...

I..... 2 caras? II.... por lo menos una cara?

a) ; b) ; c) ; d) ; e) ;

16. Calcular la probabilidad de que al lanzar 3 monedas en simultneo el resultado sea:

I.2 caras y un sello.II.3 resultados iguales.

a) ; b) ; c) ; d) ; e) ;

17. Indicar la probabilidad de que al lanzar un dado legal, el resultado sea:

I.6 puntos.II.Puntaje no mayor que 5.

a) ; b) ; c) ; d) ; e) ;

18. Cul es la probabilidad de que al lanzar 2 dados legales el resultado sea ...

I.... puntaje mayor que 8? II.... 6 7 puntos?

a) ; b) ; c) ; d) ; e) ;

19. Calcular la probabilidad de que al extraer una carta de una baraja (52 cartas) esta sea:

I.Corazn.II.9 de trbol.

a) ; b) ; c) ; d) ; e) ;

20. Cul es la probabilidad de que al extraer una carta de una baraja, el puntaje de sta sea ...

I.... mayor que 8?II.... un nmero primo mayor que 2?

a) ; b) ; c) ; d) ; e) ;

21. Hallar la probabilidad de obtener un 1 al tirar una vez dos dados:

a) b) c) d) e)

22. Una urna contiene 3 bolas blancas y 5 negras. Se saca una bola, cul es la probabilidad de que sea negra?

a) b) c) d) e)

23. Si se lanza un dado, cul es la probabilidad de que no salga 6?

a) b) c) d) e)

24. Se escribe al azar un nmero de dos cifras. Cul es la probabilidad que dicho nmero sea mltiplo de 5?

a) b) c) d) e)

25. Al arrojar tres dados, cul es la probabilidad de obtener un 3; un 4 y un 5?

a) b) c) d) e)

26. Se lanza un dado, cul es la probabilidad de obtener un puntaje mayor que 2?

a) b) c) d) e)

27. Al lanzar 3 monedas al aire, cul es la probabilidad de que los tres resultados sean iguales?

a) b) c) d) e)

28. Cul es la probabilidad de que en una familia de tres hijos hayan dos nios y una nia?

a) b) c) d) e)

29. Se lanzan 2 dados legales. Determinar la probabilidad que el producto de los puntajes mostrados sea un mltiplo de 3.

a) b) c) d) e)

30. En una urna hay 25 bolas iguales, numeradas del 1 al 25. Una persona extrae una bola al azar, cul es la probabilidad de que la bola extrada tenga un nmero que sea mltiplo de 5?

a) b) c) d) e)

31. Al efectuar el lanzamiento de dos dados en forma simultnea, determinar qu suma de puntos es ms probable de obtener.

a) 5b) 6c) 7 d) 8e) 9

32. Se lanzan 2 monedas y un dado. Cul es la probabilidad de que aparezcan dos caras y un nmero impar?

a) 0,500b) 0,125c) 0,250 d) 0,600e) 0,111

33. Se lanzan cuatro monedas en forma simultnea. Cul es la probabilidad de obtener un sello y 3 caras?

a) b) c) d) e)

34. En una baraja de 52 naipes, cul es la probabilidad de obtener una carta de corazones con un valor menor que 7 o un valor mayor que 10? a) b) c) d) e)

35. Cul es la probabilidad de que al lanzar un dado "cargado", el resultado sea un nmero primo? (Se carga el dado de tal manera que los nmeros pares tienen el triple de posibilidades de presentarse que los nmeros impares)

a) b) c) d) e)

36. Cul es la probabilidad de que al extraer a la vez 2 cartas de una baraja, stas sean ... I.... ambas de diamantes?II.... un trbol y un corazn?

a) ; b) ; c) ; d) ; e) ;

37. En una caja se dispone de 18 bolas numeradas del 1 al 18, si se extraen dos bolas al azar:

I.Cul es la probabilidad de obtener dos nmeros primos? II.Cul es la probabilidad de obtener dos nmeros impares?

a) ; b) ; c) ; d) ; e) ;

38. De una baraja se sacan al azar 2 naipes, cul es la probabilidad de que los dos naipes sean ases?

a) b) c) d) e)

39. Si se tiran ocho monedas, cul es la probabilidad de que una y solamente una presente cara?

a) b) c) d) e)

40. Un avin lanza una bomba sobre un terreno cuadrado, en el cual est inscrito un crculo, cul es la probabilidad de que la bomba caiga dentro del crculo?

a) b) c) d) e)

41. Hallar la probabilidad de obtener por lo menos un 1 al tirar una vez dos dados.

a) b) c) d) e)

42. Cul es la probabilidad de que al extraer dos cartas de una baraja (52 cartas, 13 de cada palo), stas sean una corazn y la otra trbol?

a) b) c) d) e)

43. Se lanza en simultaneo una moneda y un dado legal, cul es la probabilidad de que el resultado sea un nmero no mayor que 4 en el dado, acompaado de sello en la moneda?

a) b) c) d) e)

44. Jos, Erick, Bryan, Antonio, Csar, Rommel, Martha, Jessica y Juan se sientan alrededor de una mesa circular. Calcular la probabilidad de que Rommel y Jessica no se sienten juntos.

a) b) c) d) e)

45. Las letras de la palabra ARCOS se colocan al azar en una lnea, cul es la probabilidad de que las 2 vocales queden juntas?

a) b) c) d) e)

46. Seis amigos harn cola para comprar pan, cul es la probabilidad de que Stfano, que es uno de ellos, sea siempre el primero?

a) b) c) d) e)

47. En un baile de disfraces, se renen 10 matrimonios. Si se eligen 2 personas al azar, entonces la probabilidad de que las 2 personas sean marido y mujer es :

a) b) c) d) e)

48. Una caja contiene 30 bolas numeradas del 1 al 30, cul es la probabilidad de que, al sacar al azar una bola, resulte par o mltiplo de 5?

a) b) c) d) e)

49. En un cierto depsito, se tienen 5 bolas azules, tres bolas blancas y dos bolas negras. Cul es la probabilidad de que al extraer una bola al azar, sta sea blanca o negra?

a) b) c) d) e)

50. Cul es la probabilidad de que, al sentarse 6 amigas en hilera, Carla; Jssica y Graciela estn siempre juntas?

a) b) c) d) e)

51. En una bolsa se tienen 4 bolas rojas y 6 bolas azules. Se extrae al azar 3 bolas, una por una. Cul es la probabilidad de que la tercera bola sea roja?

a) b) c) d) e)

52. De una baraja de naipes, se extraen al azar 3 cartas, cul es la probabilidad de que las tres cartas sean del mismo palo?

a) b) c) d) e)

53. En una reunin se encuentran presentes 30 hombres y 20 mujeres. Si se eligen a 2 personas al azar, cul es la probabilidad de que las personas elegidas sean varn y mujer?

a) b) c) d) e)

54. Nueve personas se sientan al azar en crculo. Cul es la probabilidad de que dos personas en particular queden contiguas?

a) b) c) d) e)

manual rm 2014

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