LAMPIRAN-LAMPIRANLAMPIRAN MATERIPersamaan Linier 1. Sistim Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV)

Dua buah persamaan linear dengan dua variabel (PLDV) yang memiliki penyelesaian disebut Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)Bentuk Umum yaitu :

ax + by = c ..............(persamaan 1)px + qy = r ..............(persamaan 2)

Contoh : 3x + 5y = 7 2x – 3y = 11

SPLDV di atas memiliki himpunan penyelesaian {(x, y)} = {(4, -1)}.

2. Teknik Penyelesaian SPLDV

SPLDV dapat diselesaikan dengan tiga cara, yaitu :

1. Metode SubstitusiContoh :Tentukan himpunan penyelesaian dari :3x + y = 7 .... (1) dan 2x – 5y = 33 ....(2)jawab :3x + y = 7 → y = 7 – 3x .....(3)(3) disubstitusikan ke (2) 2x – 5y = 33

→ 2x –5(7 –3x) = 33 → 2x – 35 + 15 x = 33 → 2x + 15x – 35 = 33 → 17x = 33 + 35 → 17x = 68 → x = 68/17 → x = 4 ....(4)

(4) disubstitusikan ke (3) y = 7 – 3x y = 7 – 3(4) y = 7 – 12 y = –5

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(4, –5)}

2. Metode EliminasiMengeliminasi salah satu dari dua variabel misal mengeliminasi x untuk mendapatkan nilai dari variabel y.3x + y = 7 (x5) → 15x + 5y = 352x – 5y = 33 (x1) → 2x – 5y = 33 +

17x = 68 x = 68/17 x = 4

3x + y = 7 (x2) → 6x + 2y = 142x – 5y = 33 (x3) → 6x – 15y = 99 _

17y = –85 y = –5

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(4, –5)}

3. Metode Campuraneliminasi :3x + y = 7 (x5) → 15x + 5y = 352x – 5y = 33 (x1) → 2x – 5y = 33 +

17x = 68 x = 68/17 x = 4

substitusi : x = 4 ke 3x + y = 7 → 3x + y = 7

→ 3(4) + y = 7 → 12 + y = 7 → y = 7 – 12 → y = –5

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(4, –5)}

1) Metode DeterminanSistem persamaan, misalkan ;ax + by = cpx + qy = rmenurut aturan determinan diubah menjadi :

a b = ∆

p q

a b artinya ∆ = = a . q – b . p dan untuk variabel x dan y

p qdidefinisikan :

c b a c r q cq – br p r ar - cp

x = = , y = = ∆ aq – bp ∆ aq - bpcontoh :tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut !4x – 5y = 227x + 3y = 15

Jawab :Kita cari dulu determinannya

4 -5 ∆ = = 4 .3 – (-5) . 7 = 12 + 35 = 47

7 3

22 -5 15 3 22 . 3 – (-5) . 15 66 + 75 141

x = = = = = 3 ∆ 47 47 47 4 22 7 15 4 . 15 – 22 . 7 60 – 154 - 94

y = = = = = -2 ∆ 47 47 47

Jadi , HP = {(3,-2)}

3. Pemecahan Masalah yang Berkaitan dengan SPLDVSoal yang akan diselesaikan terlebih dahulu disederhanakan dan diubah ke dalam bentuk model matematika berupa SPLDV, kemudian baru diselesaikan dengan salah satu dari tiga cara di atas.Contoh :Budi dan Wati masing-masing membeli buku dan pensil yang berjenis sama. Jika Budi membeli 3 pensil dan 2 buku dengan harga Rp 17.500,- sedangkan Wati membeli 2 pensil dan 5 buku dengan harga Rp 30.000,- Berapakah harga setiap bukunya?Jawab :Langkah 1 Buatlah model matematikanya terlebih dahulu, jika pensil = x dan buku = y, maka :Budi → 3x + 2y = 17.500Wati → 2x + 5y = 30.000Langkah 2Menyelesaikan SPLDV tersebut dengan menggunakan metode campuran di peroleh nilai x = 2.500 dan y = 5.000Jadi harga setiap bukunya adalah Rp 5.000,-

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Peubah / Variabel1. Metode Subsitusi

Contoh :Dengan metode subsitusi tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut !2x + y - z = 3 ....(1)x + y + z = 1 ....(2)x – 2y – 3z = 4 ....(3) Jawab :

Dari persamaan (2) x + y + z = 1 → x = 1 – y – z ....(4)(4 dan 1) → 2x + y – z = 32(1 – y – z) + y – z = 32 – 2y – 2z + y – z = 3

-y – 3z = 1 y = -3z – 1 ....(5)

(3 dan 4) → x – 2y – 3z = 41 – y – z – 2y – 3z = 4

-3y – 4z = 3 ....(6)

(5 dan 6) → -3y – 4z = 3-3 (-3z – 1) – 4z = 3

9z + 3 – 4z = 35z = 0z = 0 ....(7)

untuk z = 0 disubsitusikan ke persamaan (5)y = -3z – 1y = -3(0) – 1y = -1untuk z = 0, y = -1, disubsitusikan ke persamaan (2)x + y + z = 1x – 1 + 0 = 1x = 2Jadi himpunan penyelesaiannya {(2, -1, 0)}

2. Metode eliminasi dan subsitusi atau gabungan

Contoh :Dengan metode gabungan tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut!

2x – y - 2z = -1 ....(1)3x + 2y – z = 10 ....(2)4x – y - 3z = - 3 ....(3)

Jawab

Dari persamaan (1) dan (3)2x – y + 2z = -1 │ x 2 → 4x – 2y + 4z = -2-4x – y – 3z = -3 │ x 1 → -4x – y – 3z = -3 +

-3y + z = -5 .... (4)

Dari persamaan (2) dan (3)3x – 2y + z = 10 │ x 4 → 12x + 8y - 4z = 40-4x – y – 3z = -3 │ x 3 → -12x – 3y – 9z = -9 +

5y – 13z = 31 .... (5)

Dari persamaan (4) dan (5)-3y + z = -5 │ x 13 → -39y + 13z = -65-3y(1) + z = -5 │ x 1 → 5y – 13z = 31 +

-34y = -34 y = 1

y = 1 disubsitusikan ke persamaan (4)-3y + z = -5-3(1) + z = -5z = -5 + 3z = -2untuk y = 1, z = -2 disubsitusikan ke persamaan (1)2x – y + 2z = -12x – 1 + 2(-2) = -12x – 5 = -1 2x = -1 + 5

2x = 4 x = 2Jadi himpunan penyelesaiannya {(2, 1, -2)}

1. Metode DeterminanUntuk menentukan harga x , y dan z di atas dikenal dengan cara Sarrus sebagai berikut.

a1 b1 c1 a1 b1 c1 a1 b1 ∆ = a2 b2 c2 = a2 b2 c2 a2 b2

a3 b3 c3 a3 b3 c3 a3 b3 = (a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3) – (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)

k1 b1 c1 k1 b1 c1 k1 b1

∆x = k2 b2 c2 = k2 b2 c2 k2 b2 K3 b3 c3 K3 b3 c3 k3 b3

= (k1b2c3 + b1c2k3 + c1k2b3) – (k3b2c1 + b3c2k1 + c3k2b1)

a1 k1 c1 a1 k1 c1 a1 k1 ∆y = a2 k2 c2 = a2 k2 c2 a2 k2

a3 k3 c3 a3 k3 c3 a3 k3 = (a1k2c3 + k1c2a3 + c1a2k3) – (a3k2c1 + k3c2a1 + c3a2k1)

a1 b1 k1 a1 b1 k1 a1 b1 ∆z = a2 b2 k2 = a2 b2 k2 a2 b2 a3 b3 k3 a3 b3 k3 a3 b3 = (a1b2k3 + b1k2a3 + k1a2b3) – (a3b2k1 + b3k2a1 + k3a2b1)Menurut aturan Cramer , harga x, y, dan z dapat ditentukan sebagai berikut.

∆x ∆y ∆z x = ,y = , dan z =

∆ ∆ ∆Contoh :Selesaikan sistem persamaan linear berikut !5x – y + z = 3x + 3y + x = 2x + y + 2z = 4jawab :gunakan cara sarrus

5 -1 1 5 -1 ∆ = 1 3 1 1 3

1 1 2 1 1 = (5.3.2 + (-1).1.1 + 1.1.1) – (1.3.1 + 1.1.5 + 2.1. (-1)) = (30 – 1 + 1) – (3 + 5 - 2) = 30 – 6 = 24

3 -1 1 3 -1 ∆x = 2 3 1 2 3 4 1 2 4 1 = (3.3.2 + (-1).1.4 + 1.2.1) – (4.3.1 + 1.1.3 + 2.2. (-1)) = (18 – 4 + 2) – (12 + 3 - 4) = 16 – 11 = 5

5 3 1 5 3 ∆y = 1 2 1 1 2

1 4 2 1 4

= (5.2.2 + 3.1.1 + 1.1.4) – (1.2.1 + 4.1.5 + 2.1. 3) = (20 + 3 + 4) – (2 + 20 + 6) = 27 – 28 = -1

5 -1 3 5 -1 ∆z = 1 3 2 1 3

1 1 4 1 1

= (5.3.4 + (-1).2.1 + 3.1.1) – (1.3.3 + 1.2.5 + 4.1. (-1)) = (60 – 2 + 3) – (9 + 10 - 4) = 61 – 15 = 46

Dengan cara cramer diperoleh harga x, y, dan z yaitu : ∆x 5 ∆y -1 ∆z 46

x = = = 0,21 ,y = = = -0,04 , dan z = = = 1,92 ∆ 24 ∆ 24 ∆ 24

Jadi , HP = {(0,21; -0,04; 1,92)}a. Pertidaksamaan Linear

Bentuk umum : ax + b > 0 , ax + b < 0 , ax + b ≥ 0 , ax + b ≤ 0Contoh :Selesaikanlah !7x - 2 > 6x + 8 dimana x ∈ BJawab :7x – 6x > 8 + 2x > 10

jadi HP = {11, 12, 13, ...}

Lampiran PenilaianI. Tes tertulis1. Perhatikan bentuk 4x + 2 y = 2 (Skor 1,5)

x – 2y = 4a. Apakah merupakan sistem persamaan?b. Ada berapa variabel?c. Apa variabelnya?d. Disebut apakah bentuk tersebut?

2. Terdapat SPLDV (Skor 3)2x + y =3 x- 3y = 5

Selesaikan SPLDV di atas dengan cara :

a. Metode Grafikb. Metode Subtitusic. Metode Eliminasi

3. Tentukan model matematika dari soal cerita di bawah ini : (Skor 2,5)a. Harga 3 pensil dan 2 buku tulis adalah Rp5.100,00. Sedangkan harga 2 pensil dan 4

buku tulis adalah Rp7.400,00. b. Adik berusia 13 tahun lebih muda dari kakak. Sembilan tahun kemudian, umur kakak

dua kali lipat dari usia adik. c. Selisih uang Ahmad dan Usman adalah Rp3.000,00. Jika 2 kali uang Budi ditambah

dengan 3 kali uang Ali adalah Rp 66.000,00 4. Joko menghabiskan Rp43.000,00 untuk membeli 3 buku tulis & 3 bolpoin. Sedangkan

Putri menghabiskan Rp34.000,00 untuk membeli 4 buku tulis & 2 bolpoin pada toko yang sama. Jika Neni membeli 5 buku tulis & 7 bolpoin yang sama, ia harus membayar sebesar . . . .(Skor 3)

Kunci Jawaban :1. a. Ya b. 2 c. x dan y d. SPLDV2. a. Metode Grafik -> (2,-1)

b. Metode Subtitusi

2x + y =3 ...........(1) x– 3y = 5 ..........(2) Pada persamaan (1) 2x + y =3

y = 3-2x....(3)

Subtitusi persamaan (3) ke (2) x - 3(3-2x) =5

x – 9 + 6x =5 7x – 9 =5 7x = 5 + 9 7x = 14 x =2

x = 2 subtitusi ke (3)

y = 3 – 2 (2)ó y = 3 - 4ó y = -1 Jadi HP = {(2,1)}

c. Metode Eliminasi 2x + y =3 ...........(1) x– 3y = 5 ..........(2)

Eliminasi variabel x 2x + y = 3 | × 1 | → 2x + y = 3x - 3y = 5 | × 2 | → 2x - 6y = 10 –

7y = -7 y = -1

Eliminasi variabel y2x + y = 3 | × 3 | → 6x + 3y = 9x - 3y = 5 | × 1 | → x - 3y = 5 +

7x = 14 x = 2

Jadi HP = {(2,1)}

3. a. 3x + 2y = 5.100 2x + 4y = 7.400

b. x – y = -13-2x+y = 9

c. x- y = 3.0002x + 3y = 66.000

3. model matematikabuku = xbalpoin = y

43.000 = 3x + 3y → dikali 4 (eliminasi x)34.000 = 4x + 2y → dikali 3 (eliminasi x)fungsi (x,y) = 5x + 7y

172.000 = 12x + 12y102.000 = 12x + 6y------------------------------ (-)70.000 = 6yy = 70.000/6 = 35.000/3 → masukan ke salah satu34.000 = 4x + 2(35.000/3)34.000 = 4x + (70.000/3)

4x = 34.000 – (70.000/3)4x = (102.000 - 70.000)/3x = (32.000/12) = 8000/3

Neni = 5x + 7y= 5(8000/3) + 7(35000/3)= (40000 + 245000)/3= Rp.95.000

Penilaian tes tertulisSkor max = 10

Nilai =

total skor yang diperoleh siswa x 100Skor Max

2. Lembar Pengamatan Penilaian SikapMata Pelajaran : MatematikaKelas/Semester : XTahun Pelajaran : 2014/2015Waktu Pengamatan :Aspek yang dinilai :1. Keaktifan bertanya2. Kerjasama dengan anggota kelompok3. Menerima pendapat orang lain4. Kemampuan mengemukakan pendapat5. Melaporkan hasil kegiatan tepat waktu

No Nama Aspek yang dinilai

Jumlah skor Nilai 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

Keterangan :Kurang : 0 – 46 (D)Sedang : 50 – 69 (C)Baik : 70 – 85 (B)Amat Baik : 86 – 100 (A)

3. Lembar Pengamatan Penilaian Keterampilan

Mata Pelajaran : MatematikaKelas/Semester : XTahun Pelajaran : 2014/2015Waktu Pengamatan :

Indikator terampil menerapkan konsep/prinsip dan strategi pemecahan masalah yang relevan yang berkaitan dengan nilai fungsi di berbagai kuadran.1. Kurangterampiljika sama sekali tidak dapat menerapkan konsep/prinsip dan strategi

pemecahan masalah yang relevan yang berkaitan dengan nilai fungsi di berbagai kuadran

2. Terampiljika menunjukkan sudah ada usaha untuk menerapkan konsep/prinsip dan strategi pemecahan masalah yang relevan yang berkaitan dengan nilai fungsi di berbagai kuadrantetapi belum tepat.

3. Sangat terampill,jika menunjukkan adanya usaha untuk menerapkan konsep/prinsip dan strategi pemecahan masalah yang relevan yang berkaitan dengan nilai fungsi di berbagai kuadran dan sudah tepat.

Bubuhkan tanda √pada kolom-kolom sesuai hasil pengamatan.

No Nama Siswa

Keterampilan

Menerapkan konsep/prinsip dan strategi pemecahan

masalah

1 2 3

1

2

3

4

5

6

7

8

9