konsep dasar aritmetika -...

Pemecahan Masalah Matematika 1 - 1

KONSEP DASAR ARITMETIKA

Josef Tjahjo Baskoro Clara Ika Sari Budhayanti

Pendahuluan

ateri yang akan Anda pelajari pertama kali pada mata kuliah pemecahan masalah matematika adalah konsep dasar aritmetika. Kompetensi dasar yang

harus dikuasai setelah mempelajari unit ini adalah Anda mampu menggunakan konsep dasar aritmetika khususnya konsep dalam perpangkatan dan akar bilangan serta barisan dan deret dalam menyelesaikan masalah matematika atau masalah lainnya. Oleh karena itu dalam unit ini akan dipelajari konsep perpangkatan dan akar bilangan serta barisan dan deret aritmetika dan geometri. Unit ini terbagi menjadi dua subunit yaitu subunit pertama berisi perpangkatan dan akar bilangan sedangkan subunit kedua berisi barisan dan deret. Bahan ajar mengenai materi ini, selain disediakan dalam bentuk bahan ajar cetak juga disediakan dalam bentuk bahan ajar berbasis web. Materi yang dibahas pada unit ini merupakan materi prasyarat yang harus dikuasai untuk mempelajari materi pemecahan masalah matematika. Oleh karena itu, pelajari unit ini sampai Anda menguasai dengan baik dan benar. Kerjakan semua latihan yang diberikan dan lihat kembali hasil pekerjaan Anda tersebut, kemudian bandingkan dengan pembahasan yang tersedia. Jika mengalami kesulitan, jangan segan untuk bertanya kepada rekan yang Anda anggap mampu atau dosen pengampu mata kuliah ini. Setelah Anda selesai mengkaji materi dan berlatih mengerjakan soal-soal, kerjakan tes formatif yang ada dalam setiap subunit untuk mengukur tingkat penguasaan Anda terhadap materi. Cobalah Anda kerjakan sendiri, kemudian bandingkan jawaban Anda tersebut dengan kunci jawaban tes formatif yang ada pada bagian akhir unit. Jika tingkat penguasaan Anda masih dibawah standar yang disyaratkan, pelajari kembali materi terutama di bagian yang Anda kurang mengerti. Selamat belajar dan tetap bersemangat, semoga Anda sukses.

M

Unit 1

Unit 1 1 - 2

Subunit 1

Perpangkatan dan Akar Bilangan Perpangkatan

erpangkatan bilangan adalah perkalian berulang atau berganda suatu bilangan dengan faktor-faktor bilangan yang sama. Bentuk perpangkatan adalah sebagai

berikut. a × a × ..... × a = an

n faktor Bentuk umumnya adalah an, di mana a disebut bilangan pokok atau bilangan dasar,

sedangkan n disebut pangkat atau eksponen. Contoh :

• 23 (dibaca dua pangkat tiga) = 2 × 2 × 2 = 8 • 52 (dibaca lima pangkat dua) = 5 × 5 = 25

Perpangkatan bilangan sangat berguna untuk meringkas bentuk perkalian berulang dalam jumlah besar. Selanjutnya kita akan mempelajari beberapa sifat yang berlaku dalam perpangkatan. Terdapat 6 sifat operasi perpangkatan yaitu:

1. ( ) nnn baba ×=×

2. nmnm aaa +=× 3. nmnm aaa −=:

4. ( ) nnn baba :: =

5. ( ) nmnm aa ×=

6. nn

aa 1

=− dengan 0≠a

Bukti kebenaran dari sifat-sifat di atas dapat Anda lakukan setelah Anda mempelajari unit 7 mengenai penalaran induktif dan deduktif. Sementara ini Anda dapat

P


menggunakan sifat-sifat tersebut untuk menyelesaikan soal-soal mengenai perpangkatan.

Pada perpangkatan, bilangan pokok dapat berupa bilangan bulat maupun pecahan, demikian juga untuk pangkat atau eksponen. Pangkat juga dapat berupa bilangan nol. Dalam perpangkatan, kedua komponen (bilangan pokok dan pangkat) sama pentingnya. Namun demikian, perubahan hasil perpangkatan terutama ditentukan oleh nilai pangkatnya. Oleh karena itu pembedaan nilai pangkat akan dibahas secara khusus.

Pangkat dapat berupa bilangan nol, bilangan bulat (positif dan negatif), bilangan pecahan (rasional) dan bilangan irrasional. Bilangan irrasional tidak dibahas pada bahan ajar ini. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat skema berikut ini.

Gambar 1.1 Skema Pangkat Bilangan

Bagaimana jika suatu bilangan dipangkatkan dengan nol? Sembarang bilangan bila dipangkatkan nol akan menghasilkan nilai 1, tidak perduli apakah bilangan pokoknya merupakan bilangan positif atau negatif. Contoh :

• 50 = 1

• 171 0

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Seperti yang telah dikemukakan sebelumnya perpangkatan bilangan adalah bentuk perkalian berulang atau berganda. Berdasarkan Skema Pangkat Bilangan, pangkat

Unit 1 1 - 4

dapat berupa bilangan bulat positif atau negatif. Pangkat bilangan bulat positif merupakan bentuk perkalian berulang yang sebenarnya. Nilai pangkat/eksponen menunjukkan banyaknya perkalian berulang (faktor) nilai itu sendiri. Sembarang bilangan bila dipangkatkan 1 akan menghasilkan bilangan itu sendiri. Contoh:

• 21 = 2

• 81

81 1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Baik bilangan pokok yang merupakan bilangan bulat maupun pecahan, bila dipangkatkan dengan 1 maka hasil perpangkatannya bernilai tetap sama yaitu bilangan itu sendiri. Sembarang bilangan bila dipangkatkan 2 akan menghasilkan perkalian berulang 2 kali bilangan itu sendiri. Contoh :

• 32 = 3 × 3 = 9 • 102 = 10 × 10 = 100

• 254

52

52

52 2

=×=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ atau

254

5522

52

52

2

22

=××

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Sembarang bilangan bila dipangkatkan 3 akan menghasilkan perkalian berulang 3 kali bilangan itu sendiri. Contoh :

• 43 = 4 x 4 x 4 = 64 • 103 = 10 x 10 x 10 = 1000

• 278

32

32

32

32 3

=××=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ atau

278

333222

32

32

3

33

=××××

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Perbandingan pembilang dan penyebut dalam bilangan pokok pecahan bersifat tetap. Pangkat bilangan bulat negatif atau sering disebut pangkat tak sebenarnya, menunjukkan bahwa perkalian berulang pecahan/kebalikan bilangan itu sendiri. Bentuk umumnya sebagai berikut.

di mana n adalah bilangan bulat positif. Sembarang bilangan bila dipangkatkan -1 akan menghasilkan kebalikan bilangan itu sendiri. Contoh :

• 31

313 1

1 ==−

1nna

a− =


• 8

811

81 1

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

• 38

83 1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

Terlihat bahwa bila bilangan pokoknya adalah bilangan bulat, maka pangkat -1 nya adalah pecahan / kebalikannya. Secara umum berlaku

ab

bab

a==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

− 11

Sembarang bilangan bila dipangkatkan -2 akan menghasilkan kuadrat kebalikan bilangan itu sendiri. Contoh :

• 41

212 2

2 ==−

• 9

911

311

31

2

2

==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

• 416

425

2541

521

52

2

2

===

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

Bila bilangan pokok berbentuk pecahan dipangkatkan -2, maka hasilnya dapat berupa bilangan bulat ataupun bilangan pecahan. Sembarang bilangan bila dipangkatkan -3 akan menghasilkan bilangan kubik dari kebalikan bilangan itu sendiri. Contoh :

• 271

313 3

3 ==−

• 2764

64271

431

431

43

3

33

3

===

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

Unit 1 1 - 6

Akar Bilangan Pada dasarnya pengertian akar bilangan dapat dijelaskan melalui

perpangkatan. Akar bilangan merupakan perpangkatan dengan pangkat/eksponen bilangan pecahan. Pangkat bilangan pecahan disebut juga pangkat rasional. Secara umum definisi akar bilangan adalah sebagai berikut.

Definisi : n a (dibaca : akar n dari bilangan a) adalah bilangan yang apabila dipangkatkan dengan n hasilnya sama dengan a.

n a dapat juga ditulis na1

Contoh : Akar bilangan 2 atau sama dengan pangkat pecahan 21

• 22444 212

21

2 ====×

• ( )( ) 3

2

3

2

3

2

9

494

94

94

212

212

21

2

21

2

21

21

2 ======×

×

Akar bilangan 3 atau sama dengan pangkat pecahan 31

• 2288 313

31

3 ===×

• ( )( ) 3

2

3

2

3

2

27

8278

278

31

3

31

3

31

3

31

3

31

31

3

33 =====

×

×

Latihan

Selanjutnya kerjakan latihan berikut untuk memantapkan pemahaman Anda terhadap materi.

1. Sederhanakanlah perpangkatan berikut ini.

a. ( ) ( )4523 55:5 ×

b. ( ) ( )987265 5:5 nmnm ×××× −−− 2. Nyatakan perpangkatan berikut dalam pangkat positif.

a. ( ) ( )98102957 −−−−− ×××× nmcnmc

b. ( ) ( )298102957 : −−−−− ×××× nmcnmc


3. Hitunglah perpangkatan berikut ini. a. 32−

b. 31

8 Bagaimana Saudara, apakah Anda mengalami kesulitan? Tentu saja tidak, namun demikian Anda dapat membandingkan jawaban yang Anda temukan dengan pembahasan berikut ini. Pedoman Jawaban Latihan

1. Menyederhanakan perpangkatan. a. Dengan menggunakan sifat 2 dan 5 diperoleh

( ) ( ) 452.34523 5:555:5 +=×

sehingga diperoleh ( ) ( ) 96964523 55:555:5 −==× , kemudian menggunakan

sifat 3. Jadi hasil penyederhanaan perpangkatan ( ) ( )4523 55:5 × adalah 35− .

b. Dengan menggunakan sifat 5 diperoleh

( ) ( ) ( ) ( )98712210987265 5:55:5 nmnmnmnm ××××=×××× −−−−−− Selanjutnya dengan menggunakan sifat 3 diperoleh perpangkatan yang lebih sederhana yaitu 21101791282)7(10 55 −−−−−−−− ××=×× nmnm .

2. Menyatakan perpangkatan dalam pangkat positif.

a. Dengan menggunakan sifat-sifat perpangkatan,

( ) ( )98102957 −−−−− ×××× nmcnmc akan dinyatakan dalam pangkat positif sebagai berikut.

( )( )9810181014 −−− ×××× nmcnmc menggunakan sifat 5 924 nmc ×× − menggunakan sifat 2

2

94

mnc × menggunakan sifat 6

b. Analog dengan pengerjaan a, perpangkatan

( ) ( )298102957 : −−−−− ×××× nmcnmc akan dinyatakan dalam pangkat positif berikut ini.

( ) ( )181620181014 : −−− ×××× nmcnmc menggunakan sifat 5 362634 nmc ×× − menggunakan sifat 3

Unit 1 1 - 8

26

3634

mnc menggunakan sifat 6

3. Menghitung perpangkatan.

a. 81

212 3

3 ==−

b. 288 331

== Materi mengenai perpangkatan dan akar bilangan telah selesai dibahas. Selanjutnya silahkan Anda kembali mengingat materi apa yang telah Anda pelajari pada subunit ini dengan membaca rangkuman. Kemudian silahkan Anda mengerjakan tes formatif 1, agar Anda dapat mengetahui tingkat pemahaman atau penguasaan materi ini.


Rangkuman

Perpangkatan bilangan adalah perkalian berulang atau berganda suatu bilangan dengan faktor-faktor bilangan yang sama a × a × ..... × a = an

n faktor di mana a disebut bilangan pokok atau bilangan dasar, sedangkan n disebut pangkat atau eksponen. Berikut beberapa sifat operasi perpangkatan yaitu:

1. ( ) nnn baba ×=×

2. nmnm aaa +=× 3. nmnm aaa −=:

4. ( ) nnn baba :: =

5. ( ) nmnm aa ×=

6. nn

aa 1

=− dengan 0≠a

Setiap bilangan yang dipangkatkan dengan bilangan nol, hasilnya merupakan bilangan 1, sedangkan setiap bilangan yang dipangkatkan dengan 1, hasilnya merupakan bilangan itu sendiri. Akar suatu bilangan merupakan perpangkatan dengan pangkat bilangan pecahan.

Bentuk umum akar bilangan adalah n a (dibaca : akar n dari bilangan a) yaitu bilangan yang apabila dipangkatkan dengan n hasilnya sama dengan a.

n a dapat juga ditulis na1

Unit 1 1 - 10

Tes Formatif 1

Kerjakanlah tes formatif berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi perpangkatan dan akar bilangan dengan cara memberi tanda silang (X) pada pada salah satu jawaban yang Anda anggap benar.

1. Berikut ini yang merupakan definisi perpangkatan adalah ……. A. penambahan berulang bilangan yang sama B. pengurangan berulang bilangan yang sama C. perkalian berulang bilangan yang sama D. pembagian berulang bilangan yang sama

2. Bentuk sederhana dari perpangkatan ( )5

232

xyx −−

adalah …….

A. 6xy C. 55 −− yx

B. 55 −yx D. 69 yx −

3. Bentuk perpangkatan ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

3

3

2

3 15xx

jika dinyatakan dalam pangkat positif

adalah ……

A. 4

1x

C. 9

3

5x

B. x95

1 D. 9

18

5x

4. Nilai dari ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×−

−−

33

332

51

555 adalah …….

A. 75− C. 35 B. 0 D. 125

5. Bilangan 32 merupakan penyederhanaan dari perpangkatan ……

A. ( )312 22 −× C. 40 22 ×

B. 34 24 −× D. ( )212 24 −×

6. Arti dari n a adalah ……

A. na − C. na

1


B. na1

−

D. na

7. Nilai dari ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛32

827

916 adalah ……

A. 1 C. 6 B. 2 D. 8

8. Bilangan 15 merupakan nilai dari …….

A. 5 75 C. ( )( )23 109

B. ( )( )33 35 D. ( )( )43 81125

9. Nilai dari 4

232:

32

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ adalah ……

A. 94 C.

8520

B. 7212 D.

72964

10. Bilangan yang merupakan nilai dari ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2

2

271

43 adalah ……

A. 61 C.

181

B. 121 D.

241

Umpan Balik Dan Tindak Lanjut

Setelah mengerjakan tes formatif 1, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari sub unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.

Unit 1 1 - 12

Subunit 2

Barisan dan Deret

arisan dan deret yang akan dibahas di sini khususnya barisan dan deret aritmetika serta geometri. Dalam subunit ini juga akan dibahas mengenai notasi

sigma yang menjadi dasar untuk penulisan deret. Barisan Sebelum kita mempelajari barisan, coba Anda amati pola bilangan pada himpunan berikut ini.

1. Himpunan bilangan asli : {1, 2, 3, 4, 5, …} 2. Himpunan bilangan bulat : {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} 3. Himpunan bilangan asli ganjil : {1, 3, 5, 7, 9, …} 4. Himpunan bilangan asli genap : {2, 4, 6, 8, 10, …}

Setiap anggota himpunan di atas dapat diurutkan sehingga mempunyai keteraturan atau pola. Penulisan beberapa anggota himpunan secara terurut seperti di atas akan dapat menyatakan anggota himpunan yang lain yang mempunyai pola sama.

Urutan bilangan yang mempunyai pola atau keteraturan tertentu disebut barisan. Pada contoh himpunan di atas, diperoleh barisan bilangan seperti berikut ini.

1. Barisan bilangan asli 1, 2, 3, 4, 5, … 2. Barisan bilangan bulat …, -2, -1, 0, 1, 2, … 3. Barisan bilangan (asli) ganjil 1, 3, 5, 7, 9, … 4. Barisan bilangan (asli) genap 2, 4, 6, 8, 10, …

Nama barisan dicirikan oleh bilangan-bilangan yang membentuk barisan tersebut. Adapula barisan yang diberi nama sesuai dengan penemunya. Contoh : Barisan bilangan Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, … yang ditemukan pada tahun 1200 oleh Leonardo Fibonacci. Masing-masing bilangan pada suatu barisan disebut suku barisan dan dipisahkan dengan tanda koma. Suku pertama dilambangkan dengan 1u , suku kedua

dilambangkan dengan 2u dan seterusnya. Jadi secara umum suatu barisan yang terdiri dari n suku ditulis dalam bentuk sebagai berikut.

nuuuu ,...,,, 321

Indeks pada barisan di atas menyatakan banyaknya suku dan disebut panjang barisan. Untuk n bilangan asli berhingga, barisan itu disebut barisan berhingga.

B


Pada contoh barisan bilangan yang telah disebutkan di atas, dua barisan bilangan pertama mempunyai pola yang sama yaitu suku barisan diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 1. Perbedaan kedua barisan tersebut terletak pada suku awalnya saja. Suku barisan bilangan pada contoh keempat dan kelima diperoleh dengan menambah suku sebelumnya dengan bilangan 2. Perbedaan pada suku awal akan memberikan perbedaan pada suku-suku berikutnya. Selanjutnya kita akan mempelajari barisan aritmetika dan geometri. Untuk memahami pengertian barisan aritmetika, coba Anda perhatikan contoh-contoh barisan berikut ini. Contoh :

1. Barisan 2, 4, 6, 8, … 2. Barisan 4, 1, -2, -5, …

3. Barisan 3, 221 , 2, 1

21 , …

Pada setiap barisan di atas, apakah Anda bisa melihat bahwa selisih dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan)? Barisan dengan ciri seperti itu disebut barisan aritmetika dan selisih dua suku yang berurutan disebut beda dan dilambangkan dengan b. Coba Anda tentukan beda masing-masing barisan pada contoh di atas kemudian cocokkan jawaban Anda dengan pembahasan berikut ini.

1. Beda barisan 2, 4, 6, 8, … dapat diketahui dengan cara mengurangkan suku barisan (kecuali suku awal) dengan suku sebelumnya. Jadi beda barisan tersebut adalah 2684624 =−=−=−=b .

2. Beda barisan 4, 1, -2, -5, … adalah 3)2()5(1)2(41 −=−−−=−−=−=b .

3. Beda barisan 3, 221 , 2, 1

21 , … adalah

212

211

21223

212 −=−=−=−=b .

Jika kita ingin menentukan suku ke sekian dari suatu barisan aritmetika,

berarti kita harus mempunyai rumus untuk suku ke-n dari barisan aritmaetika. Misalkan suku awal dan beda dari barisan aritmetika dilambangkan dengan a dan b . Untuk menentukan rumus suku ke-n suatu barisan aritmetika, perhatikan bagan berikut ini.

Gambar 1.2

Unit 1 1 - 14

Jadi berdasarkan bagan di atas diperoleh rumus suku ke-n dari barisan aritmetika yaitu

( )bnaun 1−+= .

Latihan 1 Setelah Anda mengetahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika, silahkan Anda berlatih mengerjakan contoh-contoh soal berikut ini.

1. Dari barisan aritmetika berikut ini, tentukan rumus suku ke-n dan suku ke 26. a. 1, 7, 13, 19, … b. 8, 1, -6, -13, …

c. 10, 419 ,

218 ,

437 , …

2. Jika diketahui pada suatu barisan aritmetika, suku ke-10 adalah 41 dan suku ke-5 adalah 21. Tentukan suku ke-125.

Pedoman Jawaban Latihan Bagaimana Saudara, apakah Anda mengalami kesulitan? Coba Anda cocokkan jawaban yang telah Anda kerjakan dengan pembahasan berikut ini.

1. a. Pada barisan 1, 7, 13, 19, …diketahui suku awal 1=a dan beda 6=b maka rumus suku ke-n dari barisan tersebut adalah ( )611 −+= nun atau

56 −= nun . Dari rumus ini dapat ditentukan suku ke-26 yaitu

( ) 1555156526626 =−=−=u .

b. Pada barisan 8, 1, -6, -13, …, diketahui suku awal 8=a dan beda 781 −=−=b maka rumus ke-n dari barisan tersebut adalah

( ) nnun 715)7(18 −=−−+= , sehingga dari sini dapat ditentukan suku

ke-26 yaitu 16718215)26(71526 −=−=−=u .

c. Pada barisan 10, 419 ,

218 ,

437 , …diketahui suku awalnya adalah 10=a

dan beda 4310

419 −=−=b . Rumus ke-n dari barisan tersebut adalah

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−+=

43110 nun atau ( )nun 343

41

−= . Dari sini kita akan tentukan

suku ke-26 yaitu ( )( ) ( )438

43535

4126343

41

26 −=−=−=−=u .


2. Diketahui suku ke-10 dari suatu barisan aritmetika adalah 41 dan suku ke-5 sama dengan adalah 21 maka ( ) 41911010 =+=−+= babau dan

( ) 214155 =+=−+= babau . Dari sini diperoleh

419 =+ ba 214 =+ ba

205 =b 4=b sehingga 21)4(4 =+a

5=a Jadi rumus ke-n barisan tersebut adalah ( ) 14415 +=−+= nnun sehingga

suku ke-125 adalah 50115001)125(4125 =+=+=u .

Kita telah bersama-sama mempelajari barisan aritmetika. Sekarang kita akan mempelajari barisan lain yang juga sering kita temui dalam kehidupan sehari-hari yaitu barisan geometri. Sebelum kita mempelajari barisan geometri, kita simak dahulu cerita berikut ini. Alkisah di suatu negeri, seorang raja akan memberikan apapun yang diminta sebagai hadiah kepada juara catur di negeri itu. Juara catur meminta hadiah beras yang jumlahnya adalah banyak beras di kotak terakhir pada papan catur dengan aturan banyak beras di setiap kotak papan catur adalah sebagai berikut. Banyaknya beras di kotak pertama 1 kg, di kotak kedua sebanyak 2 kg, di kotak ketiga sebanyak 4 kg, dan seterusnya. Sang raja langsung menyetujui permintaan tersebut. Dia berpikir bahwa permintaan itu sangat sederhana. Bagaimana Saudara, apakah Anda setuju dengan pemikiran raja tersebut? Apakah permintaan juara catur tersebut sangat sederhana? Sebenarnya berapa kg beras yang diminta sebagai hadiah? Kita akan selidiki bersama kasus ini. Kita perhatikan barisan bilangan yang menyatakan banyak beras yang diminta oleh juara catur yaitu 1, 2, 4, 8, 16, dan seterusnya. Coba Anda perhatikan bahwa setiap dua suku yang berurutan mempunyai perbandingan yang tetap. Pada barisan itu perbandingan yang tetap

tersebut adalah 28

1628

24

12

==== . Perbandingan yang tetap itu disebut rasio dan

dilambangkan dengan r. Jadi rasio barisan 1, 2, 4, 8, 16, … adalah 2=r . Barisan yang mempunyai perbandingan tetap antara suku-suku yang berurutan disebut barisan geometri. Jadi secara umum, barisan geometri berbentuk

nuuuu ,...,,, 321 dengan ruu

n

n =−1

dimana r adalah konstanta.

Unit 1 1 - 16

Selanjutnya, apakah Anda bisa menentukan rumus suku ke-n dari barisan geometri tersebut? Kita akan selidiki bersama-sama.

ruu

=1

2 sehingga ruu 12 =

ruu

=2

3 sehingga ruu 23 = , karena ruu 12 = maka 2113 .. rurruu ==

ruu

=3

4 sehingga ruu 34 = , karena 213 ruu = maka 3

12

14 .. rurruu ==

dan seterusnya sampai dengan suku ke-n yaitu 11

−= nn ruu

Jadi rumus suku ke-n dari suatu barisan geometri adalah 11

−= nn ruu .

Kita kembali ke kasus sang raja dan juara catur. Berapa kg beras yang diminta juara catur? Banyak kotak pada papan catur adalah 64. Jadi kita akan menentukan suku ke-64 dari barisan 1, 2, 4, 8, 16, …sebagai berikut.

63

63

164164

2 2.1

=

=

= −ruu

Ternyata banyak sekali beras yang diminta juara catur yaitu sebanyak 632 kg. Latihan 2 Saudara, Anda telah belajar mengenai barisan geometri. Pemahaman Anda terhadap konsep ini akan lebih meningkat jika Anda berlatih menyelesaikan soal-soal berkaitan dengan barisan geometri. Berikut ini soal tentang barisan geometri, silahkan Anda menyelesaikan soal-soal tersebut.

1. Tentukan rasio, rumus ke-n dan suku ke-10 dari tiap barisan geometri berikut ini.

a. 2, 6, 18, 54, … b. 32, 16, 8, 4, … c. 4, -8, 16, -32, …

d. 3 , 6, 312 , 72, … 2. Suku pertama dari suatu barisan geometri sama dengan 4 dan suku ke-4 sama

dengan 12. Tentukan rasio dan suku ke-8.


Pedoman Jawaban Latihan Bagaimana Saudara, apakah Anda menemui kesulitan? Untuk melihat seberapa jauh pemahaman Anda mengenai barisan geometri, silahkan cocokkan penyelesaian yang Anda buat dengan pembahasan penyelesaian soal berikut ini.

1. a. Rasio pada barisan geometri pada 1a adalah 326==r . Suku pertama dari

barisan geometri itu adalah 21 =u maka rumus suku ke-n 13.2 −= nnu .

Dari rumus tersebut dapat ditentukan suku ke-10 sebagai berikut. 3936619683.23.23.2 9110

10 ==== −u

Jadi suku ke-10 barisan geometri 2, 6, 18, 54, ...... adalah 39366.

b. Rasio barisan geometri pada 1b adalah 21

3216

==r . Suku pertama dari

barisan tersebut adalah 321 =u maka rumus suku ke-n barisan tersebut 1

2132

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

n

nu . Dari rumus tersebut ditentukan suku ke-10 sebagai

berikut.

161

512132

2132

2132

9110

10 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−

u

Jadi suku ke-10 barisan geometri 32, 16, 8, 4, ..... adalah 161 .

c. Rasio barisan geometri pada 1c adalah 248

−=−

=r . Suku pertama dari

barisan tersebut adalah 41 =u maka rumus suku ke-n ( ) 124 −−= nnu . Dari

rumus tersebut dapat ditentukan suku ke-10 dari barisan sebagai berikut.

( ) ( ) ( ) 204851242424 911010 −=−=−=−= −u

Jadi suku ke-10 dari barisan 4, -8, 16, -3, dan seterusnya sama dengan -2048.

d. Rasio barisan geometri pada 1d adalah 323

363

6===r . Suku

pertama barisan adalah 31 =u maka rumus rumus suku ke-n

( ) 1323

−=

n

nu . Dari rumus ini dapat ditentukan suku ke-10 dari barisan

sebagai berikut.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 124416243512351232323323 51099110

10 ======−

u

Unit 1 1 - 18

Jadi suku ke-10 dari barisan geometri 3 , 6, 312 , 72, .... sama dengan 124416.

2. Diketahui 41 =u dan 124 =u maka

3

3

3

141

3

3124

12

=

=

=

=−

r

rr

ru

Suku ke 8 dari deret adalah

( ) 331

237

731818 3363343434 =××=×=×== −ruu .

Bagaimana Saudara, apakah penyelesaian Anda benar semua? Sejauh mana pemahaman Anda mengenai barisan geometri? Jika menurut Anda, pemahaman mengenai konsep ini kurang, jangan segan untuk mepelajari kembali konsep ini sebelum kita mempelajari konsep berikutnya. Konsep yang akan kita pelajari selanjutnya adalah mengenai konsep notasi sigma yang menjadi landasan dalam penulisan deret bilangan. Jika Anda sudah siap, kita akan lanjutkan dengan mempelajari konsep notasi sigma berikut ini. Notasi Sigma Notasi sigma banyak digunakan dalam matematika khususnya bidang statistika. Penggunaan notasi sigma di dalam statistika antara lain digunakan dalam menentukan mean, simpangan baku, dan ragam. Sebelum membahas notasi sigma, perhatikan jumlah lima bilangan ganjil berikut ini. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 Menurut Anda bagaimanakah pola lima bilangan tersebut? Pola barisan tersebut adalah sebagai berikut. Suku ke-1 = 1= 2(1) – 1 Suku ke-2 = 3 = 2(2) – 1 Suku ke-3 = 5 = 2(3) – 1 Suku ke-4 = 7 = 2(4) – 1 Suku ke-5 = 9 = 2(5) – 1 Jadi secara umum pola barisan bilangan di atas adalah 2k – 1 dengan k = 1, 2, 3, 4, 5. Penjumlahan lima bilangan asli yang ganjil di atas dapat disingkat dengan menggunakan notasi sigma. Lambang notasi sigma adalah Σ yang merupakan huruf


kapital Yunani yang berarti penjumlahan. Notasi ini pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1755. Jadi penulisan 1 + 3 + 5 + 7 + 9 dengan menggunakan notasi sigma adalah sebagai berikut.

∑=

−5

1)12(

k

k

Lambang 1=k disebut batas bawah dan 5=k disebut batas atas. Secara umum bentuk notasi sigma didefinisikan sebagai berikut.

n

n

kk aaaaa ++++=∑

=

...3211

Latihan 3 Selanjutnya silahkan Anda berlatih menyelesaikan soal-soal berikut ini.

1. Tuliskan tiap penjumlahan berikut ini dengan menggunakan notasi sigma. a. 119753 ++++ b. 362516941 +++++

c. 116

95

74

53

321 +++++

2. Setiap notasi sigma berikut ini, tuliskan dalam suku-suku penjumlahan kemudian hitunglah jumlahnya.

a. ( )∑=

+6

113

ii

b. ( )∑=

−5

141

kk

c. ∑=

4

12

i

i

Pedoman Jawaban Latihan Cocokkan penyelesaian Anda dengan pembahasan berikut ini.

1. a. Perhatikan pola bilangan pada penjumlahan 119753 ++++ . Suku ke-1 = 3 = 2(1) + 1

Suku ke-2 = 5 = 2(2) + 1 Suku ke-3 = 7 = 2(3) + 1 Suku ke-4 = 9 = 2(4) + 1 Suku ke-5 = 11 = 2(5) + 1

Unit 1 1 - 20

Secara umum pola bilangan pada penjumlahan tersebut adalah 12 +k dengan 5,4,3,2,1=k . Jadi notasi sigma untuk penjumlahan

119753 ++++ adalah ∑=

+5

1

12k

k .

b. Pola bilangan pada penjumlahan 362516941 +++++ adalah sebagai berikut.

Suku ke-1 = 1 = 21 Suku ke-2 = 4 = 22 Suku ke-3 = 9 = 23 Suku ke-4 = 16 = 24 Suku ke-5 = 25 = 25 Suku ke-6 = 36 = 26 Jadi secara umum pola bilangan pada penjumlahan tersebut adalah 2k

dengan 6,5,4,3,2,1=k sehingga notasi sigma dari penjumlahan itu adalah

∑=

6

1

2

kk .

c. Coba Anda perhatikan pola bilangan pada penjumlahan

116

95

74

53

321 +++++ . Apakah Anda bisa melihat bahwa bilangan-

bilangan yang menjadi pembilang merupakan 6 bilangan asli pertama dan bilangan yang menjadi penyebut merupakan 6 bilangan (asli) ganjil pertama. Pola bilangan ganjil secara umum adalah 12 −k dengan

6,5,4,3,2,1=k . Jadi penjumlahan 116

95

74

53

321 +++++ dapat ditulis

dengan menggunakan notasi sigma yaitu ∑= −

6

1 12k kk .

2. Selanjutnya kita akan menentukan suku-suku penjumlahan dan kemudian menghitung hasil penjumlahannya.

a.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

69 1916131074

16.315.314.313.312.311.3136

1

=+++++=

+++++++++++=+∑=i

i


b.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )55

19151173

5.414.413.412.411.41415

1

−=−+−+−+−+−=

−+−+−+−+−=−∑=k

k

c.

30

16842

22222 43214

1

=+++=

+++=∑=i

i

Pada notasi sigma, terdapat beberapa sifat yang sangat berguna dalam melakukan penghitungan atau manipulasi aljabar. Sifat-sifat tersebut sebagai berikut. Sifat 1.

nAAn

i=∑

=1 dengan A suatu konstanta

Contoh :

10

)2(5

2222225

5

1

==

++++=∑=

44 344 21sukui

Sifat 2.

∑∑==

=n

ii

n

ii uAAu

11

Contoh :

( )

∑

∑

=

=

=

+++=

+++=

4

1

4321

4321

4

1

2

2

22222

ii

ii

u

uuuu

uuuuu

Sifat 3.

( ) ∑∑∑===

±=±n

ii

n

ii

n

iii vuvu

111

Sifat 4.

∑∑∑=+==

=+n

ii

n

mii

m

ii uuu

111

Unit 1 1 - 22

Sifat 5.

∑∑∑+

=−

−

=+

=

==1

21

1

01

1

n

ii

n

ii

n

ii uuu

Anda dipersilahkan mencari contoh penggunaan sifat 3, 4, dan 5. Deret Jika suku-suku dalam suatu barisan dijumlahkan maka penjumlahan berurut dari suku-suku barisan tersebut disebut deret. Apakah Anda telah mendengar mengenai cerita tentang matematikawan yang bernama Carl Friederich Gauss? Ketika Gauss masih di sekolah dasar, dia diminta oleh gurunya untuk menjumlahkan 100 bilangan asli pertama. Gauss menggunakan teknik menghitung sederhana tetapi keefektifan cara menghitung yang dilakukan Gauss tidak diragukan lagi. Ia memisalkan S adalah jumlah 100 bilangan asli yang pertama seperti berikut ini.

100...321 ++++=S 1...9899100 ++++=S 101...1011011012 ++++=S

10100)101(1002 ==S 5050=S

Teknik menghitung Gauss ini, selanjutnya digunakan untuk mendapatkan rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika berikut ini.

)(21

nn UanS += atau ])1(2[21 bnanSn −+=

Salah satu sifat penting dari nS adalah nnn uSS =− −1 .

Latihan 4 Anda telah mendapatkan rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika, maka sekarang selesaikan soal berikut.

1. Tentukan jumlah 10 suku pertama pada deret aritmetika ...2122

211 +++

2. Jika pada suatu deret aritmetika, diketahui suku ke-5 sama dengan 40 dan suku ke-8 sama dengan 25, maka tentukan jumlah 12 suku pertama dari deret aritmetika tersebut.


Pedoman Jawaban Latihan Cocokkan jawaban Anda dengan pembahasan berikut.

1. Dari deret aritmetika ...2122

211 +++ diketahui suku pertama

211=a dan

beda 21

=b . Nilai suku pertama dan beda tersebut kita masukkan ke dalam

rumus jumlah n suku pertama dari barisan aritmetika, sehingga diperoleh:

( )

275

2155

2935

219

2325

21110

211.2)10(

21

])1(2[21

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−+= bnanSn

2. Diketahui 405 =u dan 258 =u sehingga dari sini diperoleh

404405

=+=

bau

257258

=+=

bau

Dari kedua persamaan di atas diperoleh

257404

=+=+

baba

5 153−=

=−bb

Jika diketahui 5−=b maka

60 4020 40)5(4

==−=−+

aa

a

Selanjutnya jumlah 12 suku pertama dari barisan aritmetika tersebut adalah

Unit 1 1 - 24

( )( )[ ][ ]

30 55606

51126012.21

=−=

−−+=nS

Jadi jumlah 12 suku pertama dari barisan aritmetika yang dimaksud adalah 30.

Anda telah berlatih menyelesaikan soal berkaitan dengan deret aritmetika. Sekarang Anda akan mempelajari deret geometri. Secara umum, jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri adalah

( )( )1

1−−

=rraS

n

n dengan 1>r atau ( )( )r

raSn

n −−

=11 dengan 1<r .

Seperti pada deret aritmetika, deret geometri berlaku juga nnn uSS =− −1 .

Latihan 5 Selanjutnya selesaikan soal berikut.

1. Tentukan jumlah 6 suku pertama deret geometri ...421 +++ 2. Jika jumlah deret geometri 2542...222 32 =++++ n maka tentukan nilai n.

Pedoman Jawaban Latihan Apakah Anda mengalami kesulitan menyelesaikannya? Anda dapat mencocokkan jawaban Anda dengan pembahasan berikut ini.

1. Deret geometri ...421 +++ mempunyai rasio 1212

>==r maka untuk

menentukan jumlah 6 suku pertama deret tersebut menggunakan rumus ( )( )( ) 63

1164

1212.1

11

6

6 =−

=−−

=

−−

=

S

rraS

n

n

Jadi jumlah 6 suku pertama deret ...421 +++ adalah 63. 2. Deret geometri 2542...222 32 =++++ n mempunyai 2=a dan

122

22

>==r . Menentukan nilai n dari deret geometri tersebut sebagai

berikut.


( )( )( )

72128

21127

122

25412

122254

11

==

=+

−=

−−

=

−−

=

n

rraS

n

n

n

n

n

n

Jadi nilai n yang memenuhi deret geometri 2542...222 32 =++++ n adalah 7.

Unit 1 1 - 26

Rangkuman

Urutan bilangan yang mempunyai pola atau keteraturan tertentu disebut barisan. Masing-masing bilangan pada suatu barisan disebut suku barisan dan dipisahkan dengan tanda koma. Suku pertama dilambangkan dengan 1u , suku kedua

dilambangkan dengan 2u dan seterusnya. Jadi secara umum suatu barisan yang terdiri dari n suku ditulis dalam bentuk sebagai berikut.

nuuuu ,...,,, 321

Indeks pada barisan di atas menyatakan banyaknya suku dan disebut panjang barisan. Untuk n bilangan asli berhingga, barisan itu disebut barisan berhingga. Barisan dengan selisih dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan) disebut barisan aritmetika dan selisih dua suku yang berurutan disebut beda. Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika yaitu

( )bnaun 1−+= .

Barisan yang mempunyai perbandingan tetap antara suku-suku yang berurutan disebut barisan geometri. Jadi secara umum, barisan geometri berbentuk

nuuuu ,...,,, 321 dengan ruu

n

n =−1

dimana r adalah konstanta

Rumus suku ke-n dari suatu barisan geometri adalah 11

−= nn ruu .

Jika suku-suku dalam suatu barisan dijumlahkan maka penjumlahan berurut dari suku-suku barisan tersebut disebut deret. Dalam penulisan deret akan lebih mudah menggunakan notasi sigma. Secara umum bentuk notasi sigma didefinisikan sebagai berikut.

n

n

kk aaaaa ++++=∑

=

...3211

Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah:

)(21

nn UanS += atau ])1(2[21 bnanSn −+=

Salah satu sifat penting dari nS adalah nnn uSS =− −1 .

Sedangkan jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri adalah: ( )( )1

1−−

=rraS

n

n dengan 1>r atau ( )( )r

raSn

n −−

=11 dengan 1<r .


Tes Formatif 2

Kerjakanlah tes formatif berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi barisan dan deret dengan cara memberi tanda silang (X) pada pada salah satu jawaban yang Anda anggap benar.

1. Suku ke-7 dari barisan L,212,3,

213,4 adalah .......

A. 0 C. 1

B. 21 D.

211

2. Rumus suku ke-n barisan K,14,9,4,1− adalah .......

A. 2n C. 5).1( −n B. 65 −n D. 4).1(1 −+− n

3. Barisan 10, 3, -4, -11, ... merupakan ....... A. barisan aritmetika C. deret aritmetika B. barisan geometri D. deret geometri

4. Rumus umum suku ke-n barisan geometri adalah ....... A. ( )bnaun 1−+=

C. ruu

n

n =−1

B. 11

−= nn ruu D. ])1(2[

21 bnanun −+=

5. Barisan L,911,

313,10,30 mempunyai .......

A. beda 20 C. rasio 20

B. beda 31 D. rasio

31

6. Deret 2+5+10+17+26 jika dinyatakan dengan notasi sigma adalah ....... A. ∑ +12n C. ∑

=

+n

kk

1

2 1

B. ∑=

+5

1

2 1k

k D. ∑ ++++ 26171052

7. .......3

1

2 =+∑=k

kk

A. 12 C. 20 B. 14 D. 28

Unit 1 1 - 28

8. Jumlah deret L++++ 11852 adalah....... A. 2n

C. 2

3 2 nn −

B. nn 22 + D.

23 2 nn +

9. Jumlah 6 suku pertama deret geometri dengan rumus suku 1

2130

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

n

nu adalah .......

A. 12165 C.

16945

B. 12660 D.

643780

10. Jika diketahui suku ketiga barisan aritmetika adalah 11 dan suku kesepuluh adalah 39 maka rumus suku ke-n barisan tersebut adalah .......

A. 13 +n C. 73 +n B. 14 −n D. 74 +n

Umpan Balik Dan Tindak Lanjut

Setelah mengerjakan tes formatif 2, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari materi pada unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.


Kunci Tes Formatif Kunci Tes formatif 1

1. C.

2. D. ( ) 695645

232

... yxxyxxyx −−−

−−

==

3. C. 9

3

3

9

36

9

3

3

2

3

55

.515 x

xxxxx===⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

−

−

−

−

4. C. ( ) ( ) 30

31

33

332

55

551

55.5

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

−

−−

5. B. ( ) 322222224 53834234 ==×=×=× −−− 6. C.

7. B. 223

34

827

916

32 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

8. D. ( )( ) 153.581125 43 ==

9. A. 94

32

32.

32

32:

32

32:

32 224

4

2144

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

10. A. ( ) 6

13.2

1

3.2

3

3

1

4

3271

43

23

21

21

321

21

22 ===

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Kunci Tes Formatif 2

11. C. Barisan L,212,3,

213,4 merupakan barisan aritmetika dengan suku awal a

= 4 dan beda b = 21

− , sehingga suku ke-7 adalah

( ) .134211747 =−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−+=u

12. B. Barisan K,14,9,4,1− merupakan barisan aritmetika dengan 1−=a dan

beda 5=b . Suku ke-n barisan tersebut adalah:

Unit 1 1 - 30

65 551

5)1(1 )1(

−=−+−=−+−=−+=

nnn

bnaun

13. A. Barisan tersebut mempunyai selisih dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan), yaitu -7.

14. B.

15. D. Barisan tersebut merupakan barisan geometri dengan rasio 31 .

16. B.

17. C. 201262)33()22()11( 2223

1

2 =++=+++++=+∑=k

kk .

18. D. Deret tersebut merupakan deret aritmetika dengan suku awal a = 2 dan beda b = 3, sehingga jumlah suku ke-n adalah

23]13[

21]334[

21

]3).1(2.2[21])1(2[

21

2 nnnnnn

nnbnanSn

+=+=−+=

−+=−+=

19. C. 1

2130

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

n

nu diketahui 301 =u dan 021<=r maka jumlah 6 suku

pertama dari deret tersebut adalah

16945

646360

21

641130

211

21130

6

6 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=S

20. B. Diketahui 1123 =+= bau dan 39910 =+= bau . Dari kedua persamaan

tersebut diperoleh suku pertama 3=a dan beda 4=b sehingga rumus umum suku ke-n barisan aritmetika tersebut adalah

144)1(3 −=−+= nnun .


Daftar Pustaka Wirodikromo, S. 1996. Matematika. Jakarta : Erlangga ________.2004. Aritmetika. [Online}. Tersedia di:

http://www.p3gmatyo.go.id/download/SMP/aritmetika.pdf [24 Februari 2007]

Unit 1 1 - 32

Glosarium Akar bilangan : Kebalikan dari perpangkatan Barisan aritmetika : Barisan dengan selisih dua suku yang berurutan selalu tetap

(konstan) Barisan geometri : Barisan yang mempunyai perbandingan tetap antara suku-

suku yang berurutan Bilangan pokok : Bilangan yang dipangkatkan dalam suatu perpangkatan Deret : Penjumlahan berurut dari suku-suku barisan Eksponen : Bilangan pangkat Notasi sigma : Sebuah notasi yang menyatakan penjumlahan. Panjang barisan : Bilangan yang menyatakan banyak suku barisan Suku barisan : Bilangan yang terdapat dalam suatu barisan

konsep dasar aritmetika -...

Documents