Download - Pengenalan Deret Fourier
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
1/42
MAKALAH PRESENTASI
diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Mata Kuliah Persamaan Diferensial Parsial
Dosen Pengampu : Dr. H. Endang Cahya Mulyaning A., M.Si.
disusun oleh :
Sahat P. Nainggolan 1102359
Asep Egi Kurniawan 1102060
Rakhmat Nurul Hakim 1102486
Muhammad Rifqy A 1105136
Naro Cahya 1102379
Imam Maliki 1103934
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKAFAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
BANDUNG
2014
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
2/42
Nama : Sahat P Nainggolan
NIM : 1102359
8. Pengenalan Deret Fourier
Misal adalah fungsi satu variabel yang terdefinisi pada interval tutup , . Kitatertarik pada masalah yang mewakili f dalam bentuk deret trigonometri yaitu sebagai berikut :
(8.1) Beberapa pertanyaan yang akan kita coba buktikan berkaitan dengan hal itu ialah :
(a) Untuk apa fungsi diwakili oleh persamaan (8.1) , mungkinkah?(b) Dalam pengertian seperti apa hasil representasi itu valid artinya bagaimana deret tersebutkonvergen ke ?
(c) Bagaimana menghitung koefisien deret ?
Pertanyaan yang akan dijawab terlebih dahulu yaitu pertanyaan terakhir. Asumsikan bahwa
representasi (8.1) adalah valid/benar dan konvergen seragam ke pada interval , .Dibutuhkan formula yang dapat dibuktikan secara mudah dengan menggunakan identitastrigonometri dasar (perhatikan problem 8.1).
Rumus identitas trigonometri dasar nya yaitu :
, -
, -
, - , -
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
3/42
Untuk setiap bilangan bulat positif dan , maka :
, , - , - , -
Maka (8.2)
, -
Karena dan adalah bilangan bulat positif, maka
merupakan bilangan bulat positif juga.Akibatnya, , .Oleh karena itu, Demikian juga dengan , , Karena dan adalah bilangan bulat positif, maka
merupakan bilangan bulat positif juga.Akibatnya, , .Oleh karena itu, dapat disimpulkan : , if
dan
(8.3) , Akan dibuktikan bahwa persamaan (8.3) adalah benar.
, , -= , -
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
4/42
Kita tahu dari persamaan yang diatas bahwa : , maka Jadi, hanyalah yang tinggal adalah : , -( ) .Jelaslah bahwa persamaan (8.3) adalah benar.
Dengan cara yang sama, maka dengan .Persamaan diatas telah dibuktikan. Selanjutnya berkaitan dengan pertanyaan diawal, maka yang
harus kita buktikan sesuai persamaan diatas adalah : menghitung nilai koefisien .
Dengan cara : kalikan kedua ruas pada persamaan (8.1) oleh dan hitung integralnya pada
interval , ]. Setelah mengganti penjumlahan dan integrasinya ( dimana hal ini dapatdilakukan karena asumsi awal yaitu kekonvergenan seragam dari deret tersebut) , maka diperoleh:
Dengan menggunakan persamaan yang kita ketahui, berdasarkan formula (8.2) , semua akan nol
kecuali suku pada sisi kanan dari persamaan diatas serta dengan mensubstitusikan
sehingga :
(8.4) Dengan menggunakan persamaan (8.3) , diperoleh formula untuk sedemikian
sehingga :
(8.5) Jika disubstitusikan , diperoleh :
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
5/42
(8.6) Oleh karena itu, dapatlah ditulis :
(8.7) ( Faktor digunakan pada suku konstan dari (8.1) adalah untuk membuktikan formula (8.5)valid untuk setiap , termasuk ketika
Dengan cara yang sama, maka akan diperoleh rumus untuk koefisien , kita kalikankedua sisi dari (8.1) dengan dan diproses sebagaimana kita melakukan untuk memperoleh
koefisien akibatnya diperoleh :
Dengan menggunakan persamaan yang kita ketahui, berdasarkan formula (8.2) , semua akan nol
kecuali suku pada sisi kanan dari persamaan diatas serta dengan mensubstitusikan
sehingga :
Dengan menggunakan persamaan (8.3) , diperoleh formula untuk , sedemikian
sehingga :
Jika disubstitusikan k=0, diperoleh :
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
6/42
Oleh karena itu, dapatlah ditulis :
(8.8) Telah ditunjukkan sejauh ini bahwa jika representasi (8.1) valid dan deret nya konvergenseragam ke pada interval , -, maka koefisien-koefisien deretnya haruslah seperti yangdiberikan oleh persamaan (8.5) dan (8.8). Tetapi rumus tersebut dapat digunakan untuk
menghitung koefisien a n , b n terlepas dari apakah representasi (8.1) valid atau tidak. Itu hanya
syarat perlu untuk fungsi sedemikian sehingga integral pada (8.5) dan (8.8) memiliki nilai/ada.Sebuah fungsi kelas besar memiliki nilai integral yang termuat dari fungsi kontinu bagian demi
bagian pada interval , -. Kira-kira, sebuah fungsi dapat dikatakan kontinu bagian demi bagian pada interval , - jika fungsinya kontinu pada , - kecuali mungkin pada nilai batasdari titik- titik dimana mungkin menjadikan fungsi itu memiliki finite jumps. Lebih tepatnya
kita memiliki definisi berikut :
Definisi 8.1 Misal fungsi yang terdefinisi dan kontinu pada setiap titik pada interval, -kecuali mungkin pada titik-titik ujungnya dan pada titik-titik batas interiornyadimana :
(8.9)
Lebih jauh lagi, andaikan mencapai titik-titik ujung dari setiap subintervalnya :
(8.10)
dari interior, fungsi mempunyai limit terbatas. Maka dikatakan kontinu bagian demi bagian pada interval
, -.
Kita menekankan bahwa dalam Definisi (8.1), fungsi diasumsikan kontinu pada setiapsubinterval (8.10) , akan tetapi fungsi mungkin terdefinisi atau mungkin tidak terdefinisi padatitik ujung (8.9). Namun, setiap limit satu pihak harus ada (dan terbatas) yaitu :
(8.11)
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
7/42
(8.12) Limit dalam (8.11) di katakan limit dari kanan dan pada (8.12) limit dari kiri. Integral atas, -
ada dan sama dengan jumlah integral dari setiap subinterval (8.10) :
Catatan : Fungsi kontinu adalah kasus khusus dari fungsi kontinu bagian demi bagian.
Jika fungsi kontinu bagian demi bagian pada interval , -, maka untuk setiap n = 0, 1, 2, , fungsi dan juga merupakan fungsi kontinu bagian demi bagian pada, -
, dan integral pada (8.5) dan (8.8) ada. Oleh karena itu, untuk setiap fungsi
yang
kontinu bagian demi bagian pada , -, kita dapat secara formal mendefinisikan derettrigonometri dengan koefisien yang diberikan oleh (8.5) dan (8.8).Defini si 8.2 Misal fungsi yang kontinu bagian demi bagian pada interval , . Derettrigonometri:
(8.13) ,dengan
(8.14) (8.13) disebut deret fourier yang terasosiasi dengan dan (8.14) koefisien an , b n disebutkoefisien fourier dari .Catatan : Karena
diasumsikan fungsi yang terdefinisi kontinu bagian demi bagian pada interval
, -, koefisien fourier dari unik bahkan ketika tidak terdefinisi pada titik-titik/batasintervalnya. Atau secara faktanya dalam mengerjakan soal , nilai dapat diganti oleh bilangan berhingga tanpa mempengaruhi nilai koefisien fourier dari fungsi .
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
8/42
Contoh 8.1 :
Misalkan diberikan fungsi berikut :
(8.15) 2 Diketahui fungsi ini adalah kontinu pada setiap interval dan , dan , , ,
.Oleh karena itu, merupakan fungsi yang kontinu bagian demi bagian pada , -.Akan dicari deret fouriernya.
0 1 ,
0 1 , Maka, deret fourier terasosiasi dengan fungsi persamaan (8.15) adalah :(8.16) , - Jika kita cari sukunya untuk , maka deretnya menjadi :
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
9/42
Contoh (8.2):
Misal diberikan fungsi yang didefinisikan sebagai berikut :
(8.17) || , Diketahui fungsi ini adalah kontinu pada setiap interval dan
, Oleh karena itu, fungsi .
Akan dicari koefisien deret fouriernya :
0 1 0 1 ,
(Berdasarkan teorema dalam kalkulus : Misal fungsi yang kontinu pada interval , dan fungsi ganjil, maka . Oleh karena itu dapat ditulismenjadi untuk .)Akibatnya deret fourier terasosiasi berkaitan dengan fungsi || adalah :(8.18)
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
10/42
Dan apabila kita substitusikan maka diperoleh :
Contoh (8.3):
Misal diberikan fungsi yang didefinisikan sebagai berikut :(8.19) Diketahui fungsi ini adalah kontinu pada setiap interval dan
, Oleh karena itu, fungsi .
Akan dicari koefisien deret fouriernya :
0 1= 0 , Berdasarkan teorema dalam kalkulus yang berbunyi : Misal fungsi yang kontinu pada interval, - dan fungsi ganjil, maka . Oleh karena itu dapat ditulis menjadi , .
Jadi, deret Fourier terasosiasi berkaitan dengan fungsi adalah :(8.20)
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
11/42
Jika kita ambil suku nya dengan , maka diperoleh :
Contoh (8.4):
Misal diberikan fungsi :
Carilah deret fourier terasosiasi dari fungsi diatas !
Diketahui deret fourier terasosiasi dengan adalah :
Dengan koefisien deret fourier adalah :
Maka, . Kita ketahui bahwa merupakan fungsi yang kontinu padainterval
, - dan fungsi ganjil karena :
. Maka, berdasarkan
teorema dalam kalkulus yang berbunyi : Misal fungsi yang kontinu pada interval , dan fungsi ganjil, maka . Oleh karena itu .Akan dicari koefisien dan .
Diketahui adalah fungsi ganjil, maka untuk setiap Kita tahu bahwa
adalah fungsi ganjil dan adalah fungsi genap, karena misalkan
, maka . Berdasarkan teorema dalam kalkulus yang berbunyi : Misal fungsi yangkontinu pada interval , - dan fungsi ganjil, maka . Oleh karena itu dapat ditulis menjadi , .Maka, yang akan dicari adalah koefisien .
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
12/42
Kita tahu bahwa , maka yang tinggal kita hitung adalah :
Integral diatas, dapat diselesaikan menggunakan integral parsial.
Misal : *, - +
*6 7 + Misal : , sehingga menjadi : *6 7 +
**6 7 *, - Misal : , sehingga menjadi :
**6 7 *, -
*6 7 *, - , , *6 7 *, - , ,
Sementara kita tahu bahwa : * Akibatnya yang tinggal kita hitung adalah :
*6 7 *, - , , Dengan batas , maka diperoleh :
*6 7 *, - ,
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
13/42
*6, -7 *, - , Karena dan maka diperoleh:
* 6, -7 *0 0 13+ * 6, -7 + * - + 2 3 } } }
Dengan begitu diperoleh : } Maka deret fourier terasosiasi dengan adalah :
* + Contoh 8.2 dan 8.3 menggambarkan dua aturan umum tentang deret fourier dari fungsi genap
dan ganjil. Fungsi dikatakan fungsi genap jika untuk semua x yang mana untuk adalah terdefinisi; dikatakan fungsi ganjil jika Fungsi (8.17) adalah genapdi dan deret fourier (8.18) hanya mempunyai suku-suku . Fungsi (8.19) adalahganjil di dan deret fourier (8.20) hanya mempunyai suku-suku . Secara umum,
dapatlah kita buktikan. Berikut ini lemma yang berkaitan dengan fungsi ganjil dan genap itu
yang secara umum, bukti yang tersisa untuk soal 8.4.
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
14/42
Nama : Asep Egi Kurniawan
NIM : 1102060
Lemma 8.1 . Diberikan sebuah kontinu bagian demi bagian di [ ]. Jika adalah fungsigenap, maka koefisien fouriernya diberikan oleh
Jika adalah fungsi ganjil, maka koefisien fouriernya diberikan oleh
Dengan demikian, deret fourier dari fungsi genap hanya mempunyai cosines ( genap )
persyaratan dan untuk alasan ini dikatakan deret cosin es four ier , sedangkan deret fourier dari
fungsi ganjil hanya memiliki sinus ( ganjil ) dan istilah itu disebut deret sin us four ier .
Bukti Lemma 8.1
Deret Cosines Fourier
6 7 6 7
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
15/42
Deret Sinus Fourier
6 7 6 7
Teorema 8.1. (teorema fourier) Misalkan bahwa fungsi dan turunannya adalah kontinu bagian demi bagian di [ ] dan bahwa adalah periodik dari periode . Kemudian dapatdiwakili oleh deret fourier (8.13) dengan koefisien yang diberikan oleh (8.14), dalam arti bahwa
setiap dimana adalah kontinu,
Dan pada setiap dimana loncatan dengan keadaan yang terputus, , -
Teorema 8.1 mensyaratkan bahwa halus bagian demi bagian di [ ] Setiap fungsi dalam contoh 8.1, 8.2, dan 8.3 adalah bagian demi bagian di
[ ].
Kesimpulan dari teorema 8.1 adalah bahwa deret fourier dari konvergen ke pada setiaptitik dimana adalah kontinu, sementara pada titik dimana memiliki sebuah loncatandiskontinu, deret fourier konvergen terhadap rata-rata batas dari kanan dan kiri. Dari definisi
kekontinuan, pada setiap titik dimana adalah kontinu, dan
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
16/42
karena itu ./, - , jadi bahwa (8.24) berlaku untuk setiap ,.
Sebuah pernyataan alternatif dari teorema 8.1, sebagai berikut: jika
adalah periodik dari
periode 2 dan halus bagian demi bagian di [- ,], maka deret fourier dari f konvergen ke
./, - , untuk setiap , .Jika fungsi didefinisikan hanya pada interval (- ,), teorema 8.1 dapat di aplikasikan pada
perluasan periodik dari .Sebagai contoh, secara perluasan periodik dari fungsi (8.15) dari contoh 8.1 didefinisikan oleh
Dan grafik yang di tunjukan pada gambar 8.1. karena f adalah halus bagian demi bagian di [- ,],
teorema 8.1 berlaku dan deret fourier (8.17) konvergen ke pada setiap titik dimana adalah kontinu, yaitu pada setiap titik
. Pada x = 0 seri konvergen ke
[ ], - Saat pada x = seri konvergen ke
[ ], -
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
17/42
Gambar 8.2(a) menunjukan grafik dari fungsi yang deret fourier (8.16) konvergen dari setiap x.
gambar 8.2(b) dan (c) menunjukan masing-masing grafik dari fungsi yang deret (8,18) dan (8.20)
dari contoh 8.2 dan 8.3 konvergen.
Corollary 8.1 . Misalkan halus bagian demi bagian pada interval [ ] maka dapatdirepresentasikan oleh deret Fourier
Dengan koefisien
Deret konvergen ke :
i)
di setiap titik interior dimana
kontinu;
ii) , - di setiap titik interior dimana memiliki jump diskontinu;daniii) , - di setiap batas titik dan
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
18/42
6
| |
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
19/42
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
20/42
i) di setiap titik interior dimana kontinu dan kedua deret konvergen ke ii) di setiap titik interior dimana mempunyai jump discontinuity, kedua deret
konvergen ke , - iii)
di deret consinus konvergen ke sementara deret sinus konvergen ke0iv) di deret consinus konvergen ke sementara deret sinus konvergen ke 0
Contoh 8.4
Fungsi ini halus bagian demi bagian pada
, -
Deret sinus Fourier:
Deret tersebut konvergen ke 1 untuk dan konvergen ke 0 untuk dan
sin nx =2
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
21/42
Nama : Muhammad Rifqy Agustian
NIM : 1105136
Lemma 8.2
Misalkan , -, dimana dan Maka, untu berlaku
| | | | Dimana adalah konstanta yang membatasi | | .
Lemma diatas menegaskan bahwa dibawah kondisi yang dinyatakan pada fungsi
,
koefisien fourier cendrung ke seperti . Anggap kondisi lemma diatas terpenuhi dengan
fungsi yang mana memiliki periode dan berada pada .Saat
| | | | | | Kecepatan dari konvergen darri suatu deret fourier bergantung pada kecepatan dari
kekonvergenan dari koefisien ke 0 sebagai .
Contoh bahwa fungsi
memenuhi kondisi dari lemma 8.2 dengan . Maka, berdasarkan
teorema 8.1
Untuk setiap . Lebih jauh, berdasarkan lemma 8.2
| | | | Saat deret konvergen. Berdasarkan Weistrass M-Test yaitu Jika suatu deretkonvergen
dari konstanta positif oleh karena itu
| | Untuk setiap n. maka
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
22/42
Konvergen seragam pada interval .
Artinya laju dari kekonvergenan menuju 0 dari sisa
Dengan adalah konvergen seragam pada interval , - lebih tepatnya jika diberikan yang mana bergantung pada tapi tidak pada . Sedemikian sehingga| | Diatas adalah definisi kekonvergenan seragam.
Teorema 8.2
Misalkan bahwa fungsi kontinu pada interval , -. Dimana dan bahwaturunan adalah kontinu bagian demi bagian pada , -. Maka deret fourierdirepresentasikan
Adalah konvergen mutlak dan konvergen seragam.
Bukti:
Dengan definisi kekonvergenan seragam bahwa sisa dari yaitu . Jadi untuk| | |
Dimana
Dan
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
23/42
Perhatikan
| | | | | | | | | | Ini berarti jika dikembalikan ke (1) didapat
| | Sekarang akan ditunjukkan konvergen seragam dan konvergen mutlak.Misalkan
dan Adalah koefisien fourier pada yang kontinu bagian demi bagian pada interval , . Catatan bahwa
, Juga, saat adalah kontinu dan . Integrasi dengan bagian mengungkapkan bahwaketika
, - , - Dan dengan cara yang sama
, - Jadi
Jika disubtitusikan ke persamaan (2) didapat
Dengan menggunakan ketaksamaan cauchy schwatz yaitu
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
24/42
Jika ketaksamaan ini diterapkan ke (3) didapat
Barisan konvergen jadi akibatnya deret
Jelaslah terbatas ketika tiap penjumlahan adalah penjumlahan parsial dari barisan konvergen.
Barisan
Juga terbatas ketika dan adalah koefisien fourier untuk
pada interval . Dan memenuhi ketaksamaan Bessel sedemikian sehingga
, - Karena barisan terbatas dan tidak turun akibatnya konvergen. Dan akibatnya| | konvergen dan konvergen mutlak.Sekarang akan dilihat kekonvergenan seragamnya, misalkan
Dimana adalah penjumlahan parsial yang memuat penjumlahan N pertama dari dari
deret tersebut. Deret tersebut konvergen seragam dengan bergantung pada jika nilai mutlak
dari sisa tersebut
bisa dibuat menjadi kecil sebarang untuk semua x
dalam interval dengan mengambil nilai N sangat besar, untuk setiap yang mana bebas dari x. sedemikian sehingga| |
Kondisi sebaliknya dijelaskan dengan Weistrass M-Test. Jadi deret tersebut konvergen seragam
pada interval yang dinyatakan. (terbukti)
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
25/42
Anggap bahwa kondisi pada teorema tersebut dipenuhi oleh karena itu bisa dibuat deret
cos fourier dan deret sin fourier pada fungsi pada , -.Akan diperlihatkan hal yang special pada angka yang mana membuat rumus menjadi
lebih mudah. Berdasarkan fakta bahwa semua fungsi trigonometri dan
merupakan periodic pada periode . Untuk representasi deret fourier dari fungsi
periodic dari periode . Fungsi dan akan digunakan, ketika semua dari fungsi
ini adalah periodic dari periode . Rumus yang sesuai bisa didapat dengan mengganti variable.
Jika adalah fungsi periodic dengan periode yang mana kontinu bagian demi bagian pada interval , -. Fungsi
Adalah fungsi periodic dari t dengan periode yang mana kontinu bagian demi bagian pada
, -. Berdasarkan definisi 8.2 deret fourier diasosiasikan denga adalah
Dimana
Dan
Dengan mengembalikan variable x dan mengingat bahwa
./.
Didapat deret fourier dari Dimana
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
26/42
Jelas bahwa (4) benar dengan koefisien fourier (5) dinyatakan, bahwa periode diganti
dengan periode dan interval
, - diganti dengan
, -, maka deret cos fourier dan deret
sin fourier menjadi
Definisi (Convergence in the mean)
Yang mana
Atau kadang kadang ditulis
(Catatan: adalah limit in the mean)
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
27/42
Nama : Naro Cahya
NIM : 1102379
9. Solusi untuk masalah Dirichlet menggunakan fungsi Green
Pada bagian ini kita menggunakan teorema representasi yang diturunkan di bagian 5 untuk
mendapatkan persamaan integral untuk solusi dari masalah Dirichlet. Persamaan ini
melibatkan fungsi yang dikenal dengan nama fungsi Green.
Kita memberikan rincian dari penurunan dari formula untuk kasus dari domain di R 3.
Untuk penurunannya, kita harus mengasumsikan bahwa solusi u dari masalah Dirichlet
adalah pada walaupun permasalahannya hanya meminta untuk u berada pada
Misalkan dibatasi normal di R 3 dan misalkan fungsi u di dan harmonic d i . Jika r
adalah setiap titik tetap di , teorema representasi menghasilkan formula tersebut
(9.1) 0| | | |1 Dimana r adalah poin variabel dari integrasi pada . Persaman (9.1) memberikan nilai dari u
pada poin denga syarat nilai dari u dan pada . Akan tetapi masalah Dirichlet
menetapkan hanya nilai dari u pada . Untuk menyelesaikan permasalahan ini kita
mempertimbangkan fungsi h dimana harmonik di dan berada pada . Kemudian,
berdasarkan identitas kedua Green diterapkan pada fungsi h dan u, kita memperoleh
(9.2) 0 () 1 Menambahkan (9.1) dan (9.2) kita memperoleh
| | | |
Sekarang, di (9.3) syarat melibatkan akan hilang jika h(r) sama dengan
|| . Persamaan (9.3) menjadi(9.4)
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
28/42
| | Sehingga persamaan (9.4) memberikan nilai untuk solusi u dari masalah Dirichlet pada setiap
poin , sehingga kita dapat menemukan fungsi yang memenuhi masalah
Dirichlet,
(9.5) ,(9.6) | |
Untuk setiap , dimana menandakan operasi Laplacian ke r. Karena solusi dari
(9.5),(9.6) bergantung pada r kita tandai dengan h(r,r). Fungsi dalam kurung muncul diintegran persamaan (9.4) dikenal sebagai fungsi Green
Definisi 9.1. misalkan adalah daerah di R 3. Fungsinya
(9.7) | | Dimana h(r,r) memenuhi (9.5) dan (9.6) untuk setiap , dinamakan fungsi Green untuk
masalah Dirichlet untuk
Dengan syarat dari fungsi Green, persamaan (9.4) menjadi
(9.8)
Sehingga, solusi untuk masalah Dirichlet
(9.9) (9.10)
Diberikan dengan persamaan
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
29/42
(9.11)
Kita telah menurunkan persamaan (9.11) untuk solusi dari masalah Dirichlet (9.9),(9.10)
dalam asumsi bahwa solusi u dari masalah ada dan terdapat di dan dalam asumsi
bahwa fungsi Green G(r,r)ada. Ini dapat ditunjukkan dengan metode dimana diluar
jangkauan dari buku ini (liat Kellogg), dalam kondisi pada daerah , fungsi Green ada, dan,
untuk setiap , solusi pada masalah Dirichlet (9.9),(9.10) dengan diberikan dari persamaan (9.11)
Eksistensi dari fungsi Green pertama kali dihipotesis oelh G. Green berdasarkan bukti fisik di
elektrostatis
Sekilas, mahasiswa berhak merahukan kegunaan dari persamaan (9.11). Bagaimanapun,
dengan tujuan untuk menggunakan persamaan ini untuk menghitung solusi dari masalah
Dirichlet (9.9),(9.10), pertama kia harus menemukan fungsi r G(r,r), dan ini melibatkan
menyelesaikan masalah Dirichlet (9.5),(9.6) untuk setiap . Akan tetapi masalah terakhir
ini melibatkan batasan data yang khusus. Sehingga, persamaan (9.11) mengurangi masalah
Dirichlet dengan sembarang data f untuk masalah Dirichlet dengan data khusus | |. Ini memungkinkan kita untuk menguangi masalah Dirichlet ke pemecahan masalah persamaan integral dan kemudian memungkinkan kita untuk menggunakan metode dari teoridari persamaan integral. Akhirnya, fungsi Green merupakan alat yang berguna dalam
pembelajaran teori dari masalah Dirichlet, khususnya dalam menentukan sifat sifat dan
solusi dari masalah ini.
Untuk setiap daerah sederhana mungkin untuk mengkonstruksi fungsi Green. Pada bagian
selanjutnya kita akan melakukan ini untuk sebuah bola di R 3
.
Sekarang, kita memeriksa secara singkat sifat dari fungsi Green G(r,r) untuk masalah
dirichlet untuk domain di R 3. Berdasarkan definisi, sebagai fungsi dari r, G(r,r) hilang
pada dan harmonik di kecuali pada r=r, dimana ini memiliki kutub. Karena
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
30/42
seperti invers dari jarak r dari r. sifat yang penting dari G(r,r) adalah
simetrinya bergantung pada r dan r,
(9.12) G(r,r)=G(r,r)); r,
Pembuktian dari (9.12) dijadikan latihan (lihat soal 9.1). ini mengikuti (9.12), sebagai suatu
fungsi dari r, G(r,r) hilang pada dan harmonik di . Karena itu,fungsi u(r) didefinisi oleh (9.11) adalah harmonik di (lihat soal 9.2)
Fungsi Green untuk daerah di R 2 didefinisikan dengan cara yang sama
Definisi 9.2. Misalkan daerah di R 2. Fungsinya
(9.13) | | Dimana h(r,r) memenuhi (9.14)
(9.15) | | Untuk setiap , dinamakan fungsi Green untuk masalah Dirichlet untuk
Menggunakan teorema representasi untuk n = 2, ini bisa ditunjukkan, dengan cara yang sama
seperti diatas, maka solusi dari masalah Dirichlet (9.9),(9.10) diberikan oleh persamaan
(9.11). lebih lanjut, ciri ciri dari fungsi Green dua dimensi analog ke fungsi Green tiga
dimensi, satu satunya perbedaan adalah, dengan , seperti algoritma
dari ivers dari jarak r dari r
Untuk daerah di R n dengan n > 3 fungsi Green terdefinisi dengan cara yang sama.
Dengan
|
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
31/42
Nama : Rakhmat Nurul Hakim
NIM : 1102486
10. Fungsi Green dan Solusi dari Masalah Dirichlet untuk Sebuah Bola di
Misalkan adalah bola di dan adalah titik tetap di . Agar dapat
menemukan fungsi green untuk masalah dirichlet pada harus disusun sebuah fungsi
yang mana, sebagai fungsi dari , adalah harmonik di dan sama terhadap
| | untuk pada batas .Fungsi
| |adalah harmonik di dengan kutub pada . Pada contoh 3.4, dapat dilihat bahwa
dengan inversi yang berhubungan dengan bola , fungsi (10.1) menghasilkan fungsi
yang harmonik di dan sama terhadap | | untuk . Sehingga diharapkanfungsi adalah
dan fungsi green untuk adalah
| | Jika , , menunjukkan sudut diantara vektor dan , maka penggunaan hukum
kosinus dapat dilihat bahwa
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
32/42
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
33/42
Integral di rumus (10.12) dikenal sebagai Integral Poisson, dan fungsi
dikenal sebagai the poisson kernel . Berkenaan dengan the poisson kernel , rumus (10.12) menjadi
Ini terkadang berguna untuk menulis rumus (10.12) dalam hal koordinat bola. Jika
adalah koordinat bola pada dan jika adalah koordinat bola dari titik
variabel integrasi pada , rumus (10.12) menjadi
dimana (lihat masalah 10.2)
Di sesi sebelumnya, diperoleh rumus (9.11) di bawah asumsi bahwasannya solusi untuk
masalah dirichlet adalah pada . Kemudian dapat dinyatakan bahwa, di bawah asumsi yang
cocok pada domain , rumus (9.11) memberikan solusi pada masalah dirichlet untuk
walaupun ketika solusinya dibutuhkan hanya pada . Sekarang akan dibuktikan
pernyataan terakhir untuk masalah dirichlet .
Teorema 10.1 . Dimisalkan adalah solusi untuk masalahdirichlet (10.10), (10.11) dengan . Kemudian diperoleh dari
dimana adalah the poisson kernel (10.13).
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
34/42
Sebelum membuktikan Teorema 10.1, dibutuhkan untuk menetapkan properti the poisson kernel
berikut :
i.
.
ii. adalah harmonik sebagai fungsi dari untuk .iii. untuk setiap .
Properti (i) segera terbentuk dari definisi (10.13) pada . Properti (ii) terbentuk dari fakta
bahwa fungsi Green adalah harmonik sebagai fungsi dari untuk setiap
, dan dari fakta bahwa diperoleh dari dengan melibatkan
differensiasi parameter (lihat section 9 pada chapter V). Terakhir, properti (iii) terbentuk dari
fakta bahwa solusi pada masalah dirichlet
adalah fungsi . Karena solusi ini pada diketahui bahwa rumus(19.11) dan sehingga rumus (10.14) valid. Rumus (10.14) dengan tepatnya properti(iii).
Pembuktian Teorema 10.1 . Karena solusi masalah dirichlet unik, cukup menunjukkan
bahwa fungsi , didefinisi oleh (10.17), harmonik pada dan kontinu pada
.
Bahwa harmonik pada segera mengikuti dari fakta bahwa pada ,
superposisi dari fungsi harmonik . Oleh karena itu tetap menunjukkan bahwa kontinu
di dan sejak diketahui bahwa ini cukup untuk menunjukkan bahwauntuk setiap titik ,
Lebih eksplisit diharuskan menunjukkan bahwa
Sekarang, dari properti (iii) diperoleh
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
35/42
dan (10.19) ekuivalen terhadap
, - Untuk membuktikan (10.20) kita catat pertama-tama bahwa karena kontinu pada, ini dibatasi pada , yaitu terdapat bilangan sehingga
| | Selain itu, karena kontinu di , diberikan sembarang , terdapat sehingga
| | | | Sekarang menyatakan bagian bola terkandung di bola ,
Kemudian (10.22) dapat ditulis
| | Sekarang, dipisah integral di (10.20) menjadi dua bagian,
, -, -
, - Menggunakan (10.23) dan properti (i) dan (iii) ditemukan
, -
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
36/42
Karena adalah bilangan positif yang berubah-ubah, (10.20) akan terbentuk jika dapat
dibuktikan
, -
Dari (10.21) diperoleh
, - dan karenanya ini cukup untuk menunjukkan bahwa
Sejak kita tertarik pada apa yang terjadi ketika dekat , hanya dipertimbangkan
. Maka untuk , - | | | | | |
dan
| | Karena itu,
Untuk , dan dikarenakan faktor , (10.27) terbentuk. MakaTeorema ini terbukti.
Secara seksama dari pembuktian Teorema 10.1 memnunjukkan bahwa secara
keseluruhan tidak menggunakan asumsi bahwa kontinu dimana-mana pada . Hanyamenggunakan fakta bahwa dibatasi pada dan bahwa kontinu di titik . Ini
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
37/42
terbentuk di bawah asumsi bahwa kontinu piecewise (kontinu dimana-mana kecuali disepanjang bilangan terbatas pada kurva dimana mungkin naik terbatas), integral
poisson (10.14) mendefinisikan fungsi yang harmonik untuk dan sedemikian
sehingga setiap titik dimana
kontinu,
Penelitian ini memungkinkan untuk memecahkan solusis masalah dirichlet dengan data yang
terbatas secara kontinu piecewise menggunaka integral poisson (10.14), dengan pemahaman
bahwa solusi yang diinginkan tidak pada , tetapi harmonik di danmendekati nilai sebagai , di setiap titik dimana kontinu.Satu contoh sederhana yaitu masalah dimana
sama dengan 1 pada belahan atas dari dan
0 pada belahan bawah.
Solusi integral poisson dari masalah dirichlet untuk bola in diperoleh di
section 7 menggunakan pemisahan variabel, seri fourier dan penjumlahan hasil solusi seri
tersebut. Solusi ini dapat diperoleh juga dengan menentukan fungsi green untuk di
dan menggunakan rumus (9.11) (lihat masalah 10.4). Kesamaan dapat dilakukan untuk bola di
dengan .
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
38/42
Nama : Imam Maliki
NIM : 1103934
11. Sifat lanjut Fungsi Harmonic
Solusi integral poisson dari masalah Dirichiet untuk bola di adalah tidak sangat berguna
untuk perhitungan sebenarnya dari nilai-nilai dari solusi di bola, karena integrasi yang terlibat
agak rumit. Namun, seperti yang akan kita lihat di bagian ini, integral Poisson sangat berguna
dalam menurunkan sifat penting dari fungsi harmonik.
Misalkan harmonik di sebuah domain pada
dan anggaplah bahwa adalah bola
apapun yang penutup termuat di . Kemudian nilai pada setiap titik dalam adalah
diberikan oleh integral Poisson melibatkan nilai-nilai di batas pada . Karena harmonicity
fungsi adalah invarian dari translasi koordinat, kita selalu bisa mengambil pusat menjadi asal.
Kemudian jika bola sedemikian rupa sehingga closure memuat domain dimana harmonis. Kemudian, untuk setiap ,(11.1)
Dimana r' adalah titik variabel integrasi pada dan adalah Kernel poisson. Dalamsection sebelumnya kita menurunkan expression untuk untuk dan .Untuk (11.2) Dimana dan adalah koordinat polar dari dan r, masing masing untuk
(11.3)
Dimana || | | dan adalah sudut diantara dan . Untuk expression dari sama.
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
39/42
Kedua teorema penting yang disajikan dalam section ini berlaku untuk semua . Bukti,
didasarkan pada integral Poisson (11.1), hanya berbeda dalam rincian kecil untuk nilai yang
berbeda dari . Kami hanya akan memberikan bukti-bukti, baik untuk atau .Teorema 11.1. (Teorema Liouville.) Sebuah fungsi yang harmonis untuk setiap tidak bisa memiliki batas atas atau batas bawah kecuali adalah konstan.Bukti . Kami memberikan bukti untuk . Mari kita asumsikan bahwa adalah
harmonik di dan memiliki batas bawah, yaitu ..., ada sejumlah sehingga untuksetiap . Kita harus menunjukkan bahwa di .Fungsi juga Harmonic di dan sedemikian rupa sehingga untuk setiap
.. Jika kita menunjukkan bahwa
di , itu akan mengikuti
di . Mari kita kemudian turun prima dan menganggap bahwa adalahharmonis dan untuk setiap . Kami akan menunjukkan bahwa untuk setiap titik , dan karenanya adalah konstan.Mialkan titik tetap di dan misalkan menjadi nilai lebih besar dari || jadi
lingkaran memuat . Kemudian, dengan (11.1) dan (11.2) kita dapatkan(11.4) Karena
Dan karena
Pengintergralan terhadap , di (11.4), kita kita peroleh
Dan dengan menggunakan nilai rata-rata teorema fungsi harmonik,
Sekarang misalkan kita peroleh
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
40/42
Sehingga
Kita sudah menunjukkan jika mempunyai batas bawah maka merupakan konstanta.
Jika mempunyai batas atas, maka mempunyai batas bawah, akibatnya dankarenanya u (r), akan menjadi konstan. Bukti Teorema selesai.
Sebuah corollary langsung dari Teorema Liouville adalah sebagai berikut.
Corollary 11.1. Satu-satunya fungsi yang dibatasi dan harmonis dalam semua adalah
fungsi konstan.
Hasil penting lain yang mengikuti solusi integral Poisson dari masalah Dirichlet adalah
kenyataan bahwa fungsi harmonik tentu analitik dalam domainnya definisi. Ingat bahwa fungsi
analitik dalam domain dari jika, di setiap titik , memiliki deret Taylor yang konvergen
ke dalam lingkungan saat itu.
Teorema 11.2. Sebuah fungsi yang harmonis dalam domain dari adalah analitik
di .
Bukti. Kita akan memberikan bukti untuk . Misalkan Q adalah titik pada . kitaharus menunjukkan bahwa adalah analitik di . Karena harmonicity dan analyticity yang lain
di bawah translasi koordinat, kita bisa mengasumsikan bahwa titik adalah asal. Oleh karena
itu, kita harus menunjukkan bahwa memiliki ekspansi deret Taylor,
(11.5)
yang berlaku untuk (x, y, z) di beberapa lingkungan asal. Untuk melakukan hal ini kita
menggunakan representasi integral Poisson dari didekat asal. Misalkan harus cukupkecil sehingga . Kemudian, untuk setiap , diberikan oleh (11,1),dimana diberikan oleh (11,3). Misalkan dan menjadi koordinat persegi
panjang dan , masing-masing. Seandainya kita dapat menunjukkan bahwa kernel Poisson
memiliki ekspansi deret Taylor(11.6) yang konvergen seragam untuk , untuk beberapa , dan .Maka substitusi (11.6) ke (11.1) dan tukar urutan integrasi dan penjumlahan (yang diperbolehkan
oleh keseragaman konvergensi (11.6)) akan menghasilkan (11.5) berlaku untuk
Sekarang karena
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
41/42
6 7 Dan karena adalah polinomial, ini cukup untuk menunjukkan
bahwa
(11.8) 0 1 Dimana dan untuk semua . Deret pada (11.8) konvergen mutlak dan seragam
untuk | | dimana < 1. Jika kita mengatur(11.9) Dan jika , kita punya
| | | | Jika sekarang kita membatasi berada di , kita memiliki| | untuk ./ dan Karenanya
(11.10) 0 1 Dengan deret convergen seragam untuk
dan . Dari (11.9)
, - Sehingga deret (11.10) adalah deret polinomial dengan koefisien positif. Kita sekarangmenggunakan hasil dari teori fungsi analitik dari variabel kompleks, yang menurut deret di
(11.10) dapat diulang dengan memperluas , - dan pengelompokan bersama dari bentuk . Penataan ulang ini akan menghasilkan (11.7)
dengan konvergensi yang seragam untuk dan 12. Masalah Dirichlet di Domain Tak Terbatas
Sampai saat ini bab ini kita telah mempelajari masalah Dirichlet dengan asumsi bahwa,
domain di mana persamaan Laplace adalah domain dibatasi. Pada bagian ini kita mengalihkan
perhatian kita ke domain tak terbatas. Kita akan melihat bahwa, secara umum, adalah mungkin
-
8/10/2019 Pengenalan Deret Fourier
42/42
untuk menggunakan inversi sehubungan dengan bola untuk mengubah masalah Dirichlet untuk
domain tak terbatas menjadi masalah Dirichlet untuk domain terbatas, asalkan solusi dalam
domain tak terbatas memenuhi kondisi tertentu di tak terhingga.
Kita mulai dengan contoh sederhana yang menunjukkan bahwa keunikan untuk masalah
Dirichlet dalam domain tak terbatas mungkin gagal untuk menahan jika solusi tidak diperlukan
untuk memenuhi kondisi tambahan. Mis alkan menjadi komplemen dari unit bola tertutup di
, dan mempertimbangkan masalah dari menemukan fungsi di sedemikian sehingga
(12.1)