PEMBANDINGAN ORTOGONAL POLINOMIAL
- Sifat kuantitatif (perlakuan merupakan level suatu faktor,
antara perlakuan satu dan perlakuan berikutnya berjarak tetap)
- Bertujuan melihat respon perlakuan yang diberikan
→ berupa persamaan atau fungsi.
- Komponen - komponen perlakuan adalah tingkatan persamaan atau kurva respon berbentuk regresi yang mungkin terjadi
- Banyaknya kurva respon umumnya sampai dengan
fungsi polinomial berderajat k.
Contohnya
►Perlakuan Dosis Pupuk, Konsentrasi Obat, Ukuran Volume Media
►Taraf dari dosis : 10cc, 20cc, 30cc, 40cc
►Konsentrasi 1ppm, 2ppm, 3ppm
Hubungan yang terjadi dapat :
1. Linier
2. Kuadtratik
3. Kubik NON LINIER
4. Kuartik
5. Kuintik
Dst
DIPILIH SALAH SATU YG TERBAIK
Cara Memilih :1. Dengan Ploting Data Pengamatan
2. Dengan Memecah Perlakuan ke dlm komponen : linierm kuadratik dst dan
menghitung F
3. Dengan membandingkan nilai koef determinasi > dg Prog. Curve Expert
Hubungan non-linier
• Merupakan hubungan non linier
• Hub non linier : perubahan pada Y diikuti dengan
perubahan yang tidak tetap pada X dalam wilayah
yang ditentukan
• Contoh : respon padi terhadap pemupukan, pola
pertumbuhan tanaman antar waktu
• Sedang hubungan linier € perubahan tetap
pada seluruh wilayah
Regresi non linier sederhana
• Untuk hubungan non linier, pemilihan regresi
(dan korelasi) yang tepat tergantung bentuk
fungsi yang digunakan
• Sebelum menduga model regresi, maka
linierkan bentuk yang tidak linier
• Transformasi variabel (peubah)
• Membentuk variabel baru
Transformasi variabel
• Bentuk-bentuk yang umum ditemukan di
penelitian pertanian• Y = a eþX € Y’=a’ + þX
• Y = a þX € Y’= a’ + þ’X
dimana Y’=lnY, a’=lna
dimana Y’=logY,a’=loga dan þ’= log þ
dimana Y’=1/Y• 1/Y = a + þX € Y’= a+þX
• Y = a + þ/X € Y’= a+þX’
• Y=(a + þ/X)-1 € Y’= a+þX’
dimana X’=1/X
dimana Y’=1/Y, X’=1/X
Pembentukan variabel baru
• Hubungan non-linier antara 2 variabel €
dilinierkan melalui pembentukan 1 atau lebih
variabel, sedemikian rupa sehingga dapat
menghitung komponen non-linier dari fungsi
aslinya.
• Dalam penelitian pertanian, teknik ini paling
banyak digunakan pada derajad polinomial ke-
k
Contoh• Y = þ0 + þ1X + þ2X2 + …+ þkXk dapat
dilinierkan membentuk peubah baru, micalnya Z1, Z2, … cehingga €
• Y = þ0 + þ1Z1+ þ2Z2 + … + þkZk
• Dimana Z1=X, Z2=X2, Zk=Xk
• Perhatikan bahwa bentuk tercebut adalah regreci linier berganda, dimana dengan variabel bebac Zi
• Untuk menduga model regreci tercebut € maka digunakan cara pendugaan regreci linier benganda
Dengan Scater Plot
o
o
o o
o o
o
o
oo o
o o
o o
Bentuk Kuadratik Bentuk Kubik
Bila digambar kurva € mungkin
o
o
o o
o o
o
o
oo o
o o
o o
Bentuk Kuadratik Bentuk Kubik
• Untuk menduga model regreci polinomial
berderajat k (kuadratik, kubik dct,)
dibutuhkan n>k+1 pacang data
• Bentuk kurva polinomialnya dapat diduga
melalui bentuk diagram pencar dari data
tercebut
• Perhatikan contoh berikut
Perhitungan regresi kuadratik
• Bentuk umum Y = þ0 + þ1X + þ2X2
• Diduga dengan Y = b0 + b1X + b2X2
• Bentuk ini dapat diduga dengan melinierkan
menjadi Y = b0 + b1Z1+ b1Z2
• Perhatikan bahwa model baru hacil trancformaci
tercebut adalah model regreci linier berganda,
cehingga dapat dicari dengan pendugaan model
regreci linier berganda, menggunakan rumuc
langcung atau matrik
Contoh Soal: Data recpon hacil padi pada pemupukan N
Nomor Pasangan Hasil Gabah
(kg/ha) Y
N (kg/ha)
(X=Z1)
X2=Z2
1 4,878 0 0
2 5,506 30 900
3 6,083 60 3.600
4 6,291 90 8.100
5 6.361 120 14.400
Perhatikan bahwa variabel X sudah diganti dengan Z dan X2
diganti dengan Z2. Dengan demikian kerjakan
menurut regresi linier berganda
Isi total, rata, jumlah kuadrat
No Y Z1 Z2 YZ1 YZ2 Z1Z2
1 4,878 0 0
2 5,506 30 900
3 6,083 60 3.600
4 6,291 90 8.100
5 6.361 120 14.400
Total 6383,758 300 27000
Rata2 2127,91933 100 9000
Jk 40462451,7 27000 286740000
Isi YZ1
No Y Z1 Z2 YZ1 YZ2 Z1Z2
1 4,878 0 0 0
2 5,506 30 900 165,18
3 6,083 60 3.600364,98
4 6,291 90 8.100 566,19
5 6.361 120 14.400 763320
Total 6383,758 300 27000 764416,4
Rata2 2127,91933 100 9000 254805,5
Jk 40462451,7 27000 286740000
Isi YZ2
No Y Z1 Z2 YZ1 YZ2 Z1Z2
1 4,878 0 0 0 0
2 5,506 30 900 165,18 4955,4
3 6,083 60 3.600364,98 21898,8
4 6,291 90 8.100 566,19 50957,1
5 6.361 120 14.400 763320 91598400
Total 6383,758 300 27000 764416,4 91676211
Rata2 2127,91933 100 9000 254805,5 30558737
Jk 40462451,7 27000 286740000
Isi Z1Z2
No Y Z1 Z2 YZ1 YZ2 Z1Z2
1 4,878 0 0 0 0 0
2 5,506 30 900 165,18 4955,4 27000
3 6,083 60 3.600364,98 21898,8 216000
4 6,291 90 8.100 566,19 50957,1 729000
5 6.361 120 14.400 763320 91598400 1728000
Total 6383,758 300 27000 764416,4 91676211 2700000
Rata2 2127,91933 100 9000 254805,5 30558737 900000
Jk 40462451,7 27000 286740000
Menghitung b1 dan b2
• Dari rumus
• Ingat bahwa
222
2Σ 2 Σ 1 Σ 1 2 2
Σ 1 Σ 2 Σ 1 2( x )( x ) ( x x )
x )( x y ) ( x x )( x y)b1
(
X ) / nx (X ) ( 222Σ 2 Σ 2 Σ 2
karena merupakan rumus varian
• Dan untuk
• Sehingga setiap nilai varian dan kovarian harus
diselesaikan dulu rumusnya baru nilai dimasukkan
untuk menghitung b1 dan b2
Σ Σ Σx X ) / n(X ) ( 21
2 21 1
Setelah semua varian dan kovarian dimasukkan, maka..
• Diperoleh b1 = 26,65b2 = -0,118
•Dan b0
dengan rumus
diperoleh
b0 = 4,862
b0 Y b1 X 1 b2 X 2
• Persamaan regresi diperoleh
Y = 4,862 + 26,65 Z1 -0,118 Z2
• Karena Z1 dan Z2 merupakan nilai dari X dan X², maka
Y = 4,862 + 26,65 X - 0,118 X2
Anova, koefisien determinasi dan kesimpulan
• Kerjakan anovanya, ketemu Fhit = 245,32, dimana
lebih besar dari F tabel 1% sehingga sangat nyata
• Kesimpulan : respon hasil terhadap pemupukan N dapat
diterangkan dengan persamaan kuadrat
• Hitung koefisien determinasi dan ketemu R² = 0,996
• Artinya : sebayak 99,6% keragaman hasil padi
diterangkan(dipengaruhi) oleh pemupukan N dengan
penduga persamaan regresi kuadrat
BAHAN DISKUSI
• Lakukan analisis untuk regresi polinomial
berderajad 2 (regresi kuadrat)
• Data di akhir slide
•
kuadrat
• Hitung anovanya dan koefisien determinasinya
• Berikan kesimpulan dan interpretasinya
Pengaruh penggunaan pupuk cair thd produksi sorgum
Konsentrasi
( pupuk cair)
(%)
Pengamatan/ kelompokTotal
1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
7 7 15 11 9
12 17 12 18 18
14 18 18 19 19
19 25 22 19 23
7 10 11 15 11
49
77
88
108
54
T o t a l 376
Sidik Ragam
S.K. d.b. J.K. K.T. Fhitung Ftabel
0,05 0,01
Perlakuan
G a l a t
4
20
475,76
161,20
118,94
8,06
14,76** 2,87 4,43
T o t a l 24 636,96
Uji BNJ :
Perlakuan
(Konsentrasi)
Rerata perl.
( x )
B e d a
(x–5%) (x–25%) (x–10%)(x–15%)
BNJ
(5%)
20%
15%
10%
25%
5%
21,6 a
17,6 ab
15,4 bc
10,8 cd
9,8 d
11,8* 10,8* 6,2* 4,0
7,8* 6,8* 2,2
5,6* 4,6
1,0
5,4
Koefisien Ortogonal Polinomial untuk 5 perlakuan
R e s p o n
(derajat polinomial)
Koefisien Ortogonal polinomial Jumlah
Kuadrat
Koefisien
Perlakuan & Total
(5%) (10%) (15%) (20%) (25%)
49 77 88 108 54
Linier
Kuadratik
Kubik
Kuartik
-2 -1 0 1 2
2 -1 -2 -1 2
-1 2 0 -2 1
1 -4 6 -4 1
10
14
10
70
{(-2)x49 + (-1)x77 + 0x88 + 1x108 + 2x54}
JK linier = = 33,62
5 x 10
{2x49 + (-1)x77 + (-2)x88 + (-1)x108 + 2x54}
JK kuadratik = = 343,21
5 x 14
2
2
JK kubik = 64,98JK kuartik = 33,95
Uji Respon melalui Sidik Ragam
S.K. d.b. J.K. K.T. Fhitung Ftabel
0,05 0,01
Perlakuan
- Linier
- Kuadratik
- Kubik
- Kuartik
G a l a t
4
1
1
1
1
20
475,76
33,62
343,21
64,98
33,95
161,20
118,94
33,62
343,21
64,98
33,95
8,06
4,17
42,58**
8,06*
4,21
4,25 8,10
T o t a l 24 636,96
Jadi respon perlakuan pupuk cair terhadap prod sothum s merupakan
bentuk regresi kubik.
Coefficients and divisors for Orthogonal Comparisons in Regression
Number of
treatments
Degree of
polynomial
Treatment totals
T1 T2 T3 T4 T5 T6
Divisor
( ∑Ci ) λ
2 1 -1 +1 2 2
3 1
2
-1 0 +1
+1 -2 +1
2
6
1
3
4 1
2
3
-3 -1 +1 +3
+1 -1 -1 +1
-1 +3 -3 +1
20
4
20
2
1
10/3
5 1
2
3
4
-2 -1 0 +1 +2
+2 -1 -2 -1 +2
-1 +2 0 -2 +1
+1 -4 +6 -4 +1
10
14
10
70
1
1
5/6
35/12
61
2
3
4
5
-5 -3 -1 +1 +3 +5
+5 -1 -4 -4 -1 +5
-5 +7 +4 -4 -7 +5
+1 -3 +2 +2 -3 +1
-1 +5 -10 +10 -5 +1
70
84
180
28
252
2
3/2
5/3
7/12
21/10
2
Andaikan kita mempelajari pengaruh dosis vitamin (X) terhadap kenaikan berat badan domba (Y), datanya:
Dosis (X) 1 2 3 4 5 6 7 8
Kenaikan BB (Y) 1 1.2 1.8 2.5 3.6 4.7 6.6 9.1
Source df SS MS F
Regresi X 1 52.04 52.04 260.2
X2lX 1 4.83 4.83 24.15
Residual 5 0.20
Total 7 57.07
Scatter plot Pertambahan Berat Badan dan Dosis
Dari data yang ada dan ANOVA tabel diperoleh:
Y = 1.13 – 0.41X + 0.17X2 dan nilai r2 = 0.997
Perhatikan bila dalam model hanya ada X saja.
Source df SS MS F
Regresi ( X) 1 52.04 52.04 61.95
Residual 6 5.03 0.84
Total 7 57.07
Persamaan garis: Y = 1.20 + 1.11X dan nilai r2 = 0.912
Nilai Fhitung = 61.95 > F 1,6,0.975=8.81 H0 ditolak
Kembali ke ANOVA tabel sebelumnya, kita akan uji apakah pe(+)an IV X2 secara bermakna akan memprediksi Y setelah ada IV X didalam model. DPL kita bertanya apakah pe(+)an r2 sebesar 0.085 (0.997 - 0.912) berperan dalam memprediksi DV
kita gunakan:
F = (ekstra SS karena pe(+)an X2)/MS residual = 4.83/0.04 = 120.75 > F1,5,0.975 = 10.0
disimpulkan pe(+)an IV X2 bermakna meningkatkan prediksi Y.
Mungkinkan kita me(+)kan third order atau me(+) X3
dalam model.
Perhatikan ANOVA tabel berikut.
Source df SS MS F
Regresi X 1 52.04 52.04
X2lX 1 4.83 4.83 120,75 *
X3lX, X2 1 0.14 .14 10.0
Residual 4 0.056 0.014
Total 7 57.066
Nilai F utk pe(+)an DV X3 = 10.0 < F1,4,0.975 = 12.2 H0: 3 = 0 diterima pe(+) third order (X3) tidak
memprediksi Y. Kita berkeseimpulan bahwa a) pe(+)an second order sangat fit dgn nilai r2=0.997, b) pe(+)an nilai r2 menjadi 0.999 pada third order hanya sebesar 0.002 kecil, c) kurva yang ada cukup diterangkan dgn
‘second order’
aplikasi
Curve expert
S = 13.41782360
r = 0.67466041
X Axis (units)
Y A
xis
(u
nit
s)
0.0 4.6 9.2 13.8 18.3 22.9 27.50.00
10.63
21.27
31.90
42.53
53.17
63.80 x y15 3415 3615 3820 5620 5820 5325 3425 3225 36
Linear Fit: y=a+bxStandard Error: 13.4178236Correlation Coefficient: 0.6453155Comments:Linear regression completed successfully. No weighting used.
S = 9.51652423
r = 0.87188971
X Axis (units)
Y A
xis
(u
nit
s)
0.0 4.6 9.2 13.8 18.3 22.9 27.50.00
10.63
21.27
31.90
42.53
53.17
63.80
Quadratic Fit: y=a+bx+cx^2Coefficient Data:a = -2.2335165b = 5.1710623c = -0.14172161
Kenaikan Berat Badan Kambing pada Akhir Percobaan
Perlakuan
(Jumlah Stylo)
U l a n g a n Total
1 2 3 4 5
A ( 0 kg )
B ( 0,5 kg)
C ( 1 kg )
D ( 1,5 kg)
E ( 2 kg )
1,52
1,70
1,80
1,85
2,20
1,63
1,74
1,78
1,90
1,99
1,77
1,62
1,79
1,85
2,01
1,56
1,80
1,70
1,92
2,10
1,60
1,73
1,89
2,00
1,98
8,08
8,59
8,96
9,52
10,28
45,43