Metode Statistika STK211/ 3(2-3)
Pertemuan XI
Uji Hipotesis
Septian Rahardiantoro - STK IPB 1
Tujuan pengujian
Satu Populasi Dua populasi
Nilai Tengah()
Satu Populasi (p)
2
diketahui
Uji z Uji t
Tidak diketahui
Uji z
Data saling bebas
Data berpasangan
1 - 2 p1 - p2 d
12
&
22
Uji z
diketahui
Tidak diketahui
12
&
22
sama
Uji t
Formula 1
Tidak sama
Uji t
Formula 2
Uji z Uji t
Uji Hipotesis
Uji hipotesis untuk rata-rata
Uji hipotesis untuk proporsi
1 populasi 2 populasi
π diketahui
π tidak diketahui
Saling bebas
Data berpasangan
π diketahui
π tidak diketahui diasumsikan sama
π tidak diketahui diasumsikan beda
1 populasi 2 populasi
Septian Rahardiantoro - STK IPB 3
Uji hipotesis untuk rata-rata (π) 1 populasi
Septian Rahardiantoro - STK IPB 4
β’ Hipotesis Hipotesis satu arah
β’ H0 : 0 vs H1 : < 0
β’ H0 : 0 vs H1 : > 0
Hipotesis dua arah β’ H0 : = 0 vs H1 : 0
β’ Statistik uji: β Jika ragam populasi (2) diketahui
π§βππ‘ =π₯ β π0
π/ π
β Jika ragam populasi (2) tidak diketahui
π‘βππ‘ =π₯ β π0
π / π
β’ Titik kritis
Uji 1 arah: π§π‘ππππ = π§πΌ Uji 2 arah: π§π‘ππππ = π§πΌ
2
Uji 1 arah: π‘π‘ππππ = π‘πΌ(πβ1)
Uji 2 arah: π‘π‘ππππ = π‘πΌ2(πβ1)
Latihan 1
β’ Batasan yang ditentukan oleh pemerintah terhadap emisi gas CO kendaraan bermotor adalah 50 ppm. Sebuah perusahaan baru yang sedang mengajukan ijin pemasaran mobil, diperiksa oleh petugas pemerintah untuk menentukan apakah perusahaan tersebut layak diberikan ijin.
β’ Sebanyak 20 mobil diambil secara acak dan diuji emisi CO-nya. Dari data didapatkan, rata-ratanya 55 dan ragamnya 4.2. Dengan menggunakan taraf nyata 5%, layakkah perusahaan tersebut mendapat ijin ?
Jawaban 1
β’ Hipotesis: H0 : π β€ 50 vs H1 : π > 50
β’ Statistik Uji
π‘βππ‘ =55 β 50
4.2/ 20= 10.91
β’ Titik Kritis π‘π‘ππππ = π‘πΌ πβ1 = π‘0.05 19 = 1.729
β’ Wilayah penolakan H0
1.729
Daerah Penolakan H0
Daerah Penerimaan
H0
π‘βππ‘ = 10.91
Tolak H0 Cukup bukti untuk menyatakan bahwa perusahaan mobil tersebut tidak layak diberikan izin pada taraf nyata 5%
Latihan 2
β’ Ada yang mengatakan bahwa jarak yang ditempuh sebuah mobil secara rata-rata kurang dari 20000 km dalam 1 tahun. Untuk menguji pendapat ini suatu contoh acak 100 pemilik mobil diminta mencatat km yg ditempuhnya. Apakah anda sependapat dengan pernyataan di atas jika contoh tsb menghasilkan rata-rata 23500 km dgn simpangan baku 3900 km?
Untuk latihan mandiri
Uji hipotesis untuk selisih rata-rata (π1 β π2) 2 populasi saling bebas
Septian Rahardiantoro - STK IPB 9
Hipotesis β Hipotesis satu arah:
H0: 1- 2 0 vs H1: 1- 2 <0
H0: 1- 2 0 vs H1: 1- 2 >0
β Hipotesis dua arah: H0: 1- 2 =0 vs H1: 1- 2 0
Syarat :
12 & 2
2
diketahui
Tidak
diketahui
12 & 2
2
Tidak sama
sama
Formula 2
Formula 3
)(
021
21
)(
xx
h
xxz
Statistik Uji Formula 1
Uji Hipotesis bagi selisih rata-rata (π1 β π2) 2 populasi
Septian Rahardiantoro - STK IPB 11
a. Jika π12 dan π2
2 diketahui
π§βππ‘ =π₯ 1 β π₯ 2 β πΏ0
π12
π1+π22
π2
β’ Titik kritis
Uji 1 arah: π§π‘ππππ = π§πΌ Uji 2 arah: π§π‘ππππ = π§πΌ
2
β’ Statistik Uji
Uji Hipotesis bagi selisih rata-rata (π1 β π2) 2 populasi
Septian Rahardiantoro - STK IPB 12
b. Jika π12 dan π2
2 tidak diketahui dan diasumsikan sama
π‘βππ‘ =π₯ 1 β π₯ 2 β πΏ0
π πππ2 1
π1+
1π2
π πππ2 =
π1 β 1 π 12 + π2 β 1 π 2
2
π1 + π2 β 2
π£ = π1 + π2 β 2
β’ Titik kritis
β’ Statistik Uji
Uji 1 arah: π‘π‘ππππ = π‘πΌ(π£)
Uji 2 arah: π‘π‘ππππ = π‘πΌ2(π£)
Uji Hipotesis bagi selisih rata-rata (π1 β π2) 2 populasi
Septian Rahardiantoro - STK IPB 13
c. Jika π12 dan π2
2 tidak diketahui dan diasumsikan beda
π‘βππ‘ =π₯ 1 β π₯ 2 β πΏ0
π 12
π1+π 22
π2
11
2
2
2
2
21
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
nn
sn
ns
ns
ns
v
β’ Titik kritis
β’ Statistik Uji
Uji 1 arah: π‘π‘ππππ = π‘πΌ(π£)
Uji 2 arah: π‘π‘ππππ = π‘πΌ2(π£)
Latihan 3
β’ Seorang manager minyak pengangkutan meyakini bahwa paket-paket yang dikiriman pada akhir bulan lebih berat daripada paket-paket yang dikirimkan pada awal bulan. Untuk menguji keyakinan tersebut seorang peneliti mengambil sampel 15 paket pada awal bulan dan diperolah rata-rata 40 kg dan simpangan baku 6 kg, sedangkan sampel 10 paket yg dipilih akhir bulan rata-rata beratnya 50 kg dgn simpangan baku 10,2 kg.
β’ Jika diasumsikan ragam kedua populasi sama, dapatkah kita menyimpulkan bahwa pendapat manager itu benar pada taraf nyata 10% ?
Jawaban 3 β’ Misalkan: 1 awal; 2 akhir
β’ Hipotesis: H0: π1 β₯ π2; H1: π1 < π2
β’ Statistik Uji:
π‘βππ‘ =π₯ 1 β π₯ 2 β πΏ0
π πππ2 1
π1+
1π2
=β10
62.624115
+110
= β3.0953
β’ Titik Kritis π‘π‘ππππ = π‘0.1(23) = 1.319
β’ Wilayah Penolakan H0
Daerah Penerimaan
H0
Daerah Penolakan H0 -1.319
π‘βππ‘ = β3.0953 Tolak H0 Cukup bukti untuk menyatakan pendapat meneger minyak tersebut benar pada taraf nyata 5%
Uji hipotesis untuk rata-rata selisih 2 populasi tidak saling bebas
(data berpasangan)
Septian Rahardiantoro - STK IPB 16
βHipotesis satu arah:
H0: 1- 2 0 vs H1: 1- 2 <0 atau H0: D 0 vs H1: D<0
H0: 1- 2 0 vs H1: 1- 2 >0 atau H0: D 0 vs H1: D>0
βHipotesis dua arah:
H0: 1- 2 =0 vs H1: 1- 2 0 atau H0: D = 0 vs H1: D0
β’ Statistik Uji
β’ Hipotesis
π‘βππ‘ =π β πΏ0
π / π
Pasangan data 1 β¦ n
Data awal (X1) x11 β¦ x1n
Data akhir (X2) x21 β¦ x2n
π = X1 β X2 d1 β¦ dn
π = πππ
π; π π
2 = ππ β π
2π
π β 1; ππ = π₯1π β π₯2π
Uji 1 arah: π‘π‘ππππ = π‘πΌ(πβ1)
Uji 2 arah: π‘π‘ππππ = π‘πΌ2(πβ1)
β’ Titik kritis
Latihan 4
β’ Suatu klub kesegaran jasmani ingin mengevaluasi program diet, kemudian dipilih secara acak 10 orang anggotanya untuk mengikuti program diet tersebut selama 3 bulan. Data yang diambil adalah berat badan sebelum dan sesudah program diet dilaksanakan, yaitu:
β’ Apakah program diet tersebut dapat mengurangi berat badan minimal 5 kg? Lakukan pengujian pada taraf nyata 5%!
Berat Badan Peserta
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Sebelum (X1) 90 89 92 90 91 92 91 93 92 91
Sesudah (X2) 85 86 87 86 87 85 85 87 86 86
D=X1-X2 5 3 5 4 4 7 6 6 6 5
Jawaban 4
β’ Karena kasus ini merupakan contoh berpasangan, maka: β’ Hipotesis:
H0 : D 5 vs H1 : D < 5 β’ Deskripsi:
β’ Statistik uji:
β’ Daerah kritis pada =5% Tolak H0, jika thit < -t(=5%,db=9)=-1.833
β’ Kesimpulan:
Tidak tolak H0, cukup bukti untuk menyatakan program diet tersebut dapat mengurangi berat badan minimal 5 kg pada taraf nyata 5%
22 2
2 10(273) (51)1.43
( 1) 10(9)
i i
d
n d ds
n n
515.1
10
idd
n
1.43 1.20ds
0 0 5.1 50.26
1.20 / 10hit
dd
d dt
ssn
Uji hipotesis untuk proporsi (π) 1 populasi
Septian Rahardiantoro - STK IPB 20
Hipotesis satu arah
β’ H0 : p p0 vs H1 : p < p0
β’ H0 : p p0 vs H1 : p > p0
Hipotesis dua arah
β’ H0 : p = p0 vs H1 : p p0
β’ Statistik Uji
β’ Hipotesis
β’ Titik kritis
π§βππ‘ =π β π0
π0 1 β π0π
Uji 1 arah: π§π‘ππππ = π§πΌ Uji 2 arah: π§π‘ππππ = π§πΌ
2
Latihan 5
β’ Menurut suatu artikel suatu obat baru yang diekstrak dari suatu jamur, cyclosporin A, mampu meningkatkan tingkat kesuksesan dalam operasi transplantasi organ. Menurut artikel tersebut, 32 pasien yang menjalani operasi transplantasi ginjal diberikan obat baru tersebut. Dari 32 pasien tersebut, 19 diantaranya sukses dalam operasi transpalntasi ginjal.
Sebagai informasi ahwa keberhasilan dengan menggunakan prosedur yang standar adalah sekitar 60%!
β’ Apakah dapat dikatakan bahwa obat baru tersebut lebih baik dari prosedur yang standar?
Jawaban 5
Ditanya : p > 0.6?
H0 : p 0.6 vs H1 : p > 0.6
0.86 0.62.6
0.6(1 0.6)
22
hitz
86.022
19Λ p
Kesimpulan ?
Uji hipotesis untuk selisih proporsi (π1 β π2) 2 populasi
Septian Rahardiantoro - STK IPB 24
besar perbedaan antara dua proporsi (p1-p2= 0)
0 p1-p2= 0 > 0
Hipotesis (1)
p1-p2= 0 = 0
Hipotesis (2)
Hipotesis (1) β Hipotesis satu arah:
H0: p1- p2 0 vs H1: p1- p2 <0
H0: p1- p2 0 vs H1: p1- p2 >0
β Hipotesis dua arah:
H0: p1- p2 =0 vs H1: p1- p2 0
β’ Statistik Uji
β’ Titik kritis
Uji 1 arah: π§π‘ππππ = π§πΌ Uji 2 arah: π§π‘ππππ = π§πΌ
2
π§βππ‘ =π 1 β π 2 β πΏ0
π 1 1 β π 1π1
+π 2 1 β π 2
π2
Hipotesis (2) β Hipotesis satu arah:
H0: p1 p2 vs H1: p1 < p2
H0: p1 p2 vs H1: p1 > p2
β Hipotesis dua arah:
H0: p1 = p2 vs H1: p1 p2
β’ Statistik Uji
β’ Titik kritis
Uji 1 arah: π§π‘ππππ = π§πΌ Uji 2 arah: π§π‘ππππ = π§πΌ
2
π§βππ‘ =π 1 β π 2
π 1 β π 1π1
+1π2
; π =π₯1 + π₯2π1 + π2
Latihan 6
β’ Sebuah penelitian dilakukan untuk menguji pengaruh obat baru untuk viral infection. 100 ekor tikus diberikan suntikan infeksi kemudian dibagi secara acak ke dalam dua grup masing-masing 50 ekor tikus. Grup 1 sebagai kontrol, dan grup 2 diberi obat baru tersebut. Setelah 30 hari, proporsi tikus yang hidup untuk grup 1 adalah 36% dan untuk grup 2 adalah 60%. Apakah obat tersebut efektif?
β’ Obat dikatakan efektif jika perbedaan antara grup perlakuan dengan grup kontrol lebih dari 12%
Jawaban 6 Grup Kontrol
p1
Grup perlakuan
p2
n1 =50
36.0Λ1 p
n2 =50
6.0Λ2 p
Ditanya : p2-p1 > 0.12?
H0: p2- p1 0.12 vs H1: p2- p1 > 0.12 = 5%
Statistik uji :
(0.6 0.36) 0.121.23
0.6(1 0.6) 0.36(1 0.36)
50 50
hitz
Wilayah kritik : Tolak H0 jika zhit > z0.05 = 1.645
Kesimpulan: karena zhit=1.23 < z0.05 = 1.645 maka Terima H0 (belum cukup bukti untuk Tolak H0) dengan kata lain berdasarkan informasi dari sampel yang ada belum menunjukkan bahwa obat tersebut efektif
Thank you, see you next week
Septian Rahardiantoro - STK IPB 30