Oscar M (132 258 564) III – 1
BBAABB IIIIII
SSIISSTTEEMM SSTTRRUUKKTTUURR DDEENNGGAANN BBAANNYYAAKK DDEERRAAJJAATT KKEEBBEEBBAASSAANN
((MMUULLTTII DDEEGGRREEEESS OOFF FFRREEEEDDOOMM SSYYSSTTEEMM –– MMDDOOFF))
3.1. PENDAHULUAN
Sistem struktur yang dimodelkan sebagai sistem dengan satu derajat kebebasan (single
degree of freedom system – SDOF) hanyalah merupakan pendekatan dari struktur yang
sebenarnya mempunyai derajat kebebasan yang tak berhingga jumlahnya. Keakuratan dari
sistem SDOF tergantung pada karakteristik struktur dan beban luar yang dianalisa.
Pemodelan struktur sebagi sistem SDOF akan memberikan nilai respon struktur yang
akurat jika struktur dianggap hanya mempunyai satu bentuk perpindahan (lendutan) selama
bergerak/bergetar.
Jika struktur mempunyai lebih dari satu kemungkinan bentuk perpindahan, maka untuk
mendapatkan respon dinamis struktur yang lebih baik dan lebih akurat, sebaiknya struktur
dimodelkan sebagai sistem dengan banyak derajat kebebasan (multi degrees of freedom
system – MDOF).
Menara Air SDOF Model MDOF Model
Gambar 3.1 Pemodelan Struktur menjadi SDOF dan MDOF
m m4
m3
m2
m1
k, c
k1, c1
k4, c4
k3, c3
k2, c2
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 2
Salah satu bentuk struktur yang paling praktis digunakan dalam analisa dinamis struktur,
yang dimodelkan sebagai sistem dengan banyak derajat perpindahan (multi degrees of
freedom sistem – MDOF) adalah struktur bangunan geser (shear building). Bangunan geser
(shear building) dapat didefinisikan sebagai struktur dimana tidak terjadi rotasi pada
penampang horizontal bidang lantainya.
Gambar 3.2 Bangunan Geser (Shear Building)
Ciri-ciri dari bangunan geser (shear building) adalah :
1. Massa total struktur dipusatkan pada bidang lantai dari masing-masing tingkat (lumped
mass)
dengan mengasumsikan massa total struktur terpusat pada bidang lantai dari masing-
masing tingkat, maka derajat kebebasan struktur yang tak berhingga jumlahnya (akibat
massa yang terbagi rata pada struktur) dapat ditransformasikan menjadi beberapa derajat
perpindahan sesuai dengan jumlah massa yang terkumpul pada bidang lantai
2. Kekakuan balok pada lantai dianggap tak berhingga dibandingkan dengan kekakuan
kolom
karena kekakuan balok dianggap teka berhingga atau balaok kaku sekali (EI = ), maka
pada balok tidak terjadi rotasi dan balok tetap lurus (balok tidak mengalami deformasi)
3. Pengaruh deformasi dari struktur akibat gaya aksial yang bekerja pada kolom diabaikan
karena pengaruh deformasi aksial kolom diabaikan, maka balok pada lantai akan tetap
horizontal selama bergerak
x1
x4
m4
EI4 k4
F4(t)
x3
x2
EI =
F3(t)
F2(t)
F1(t)
EI4
EI3 EI3
EI2 EI2
EI1 EI1
k3
k2
k1
m3
EI =
m2
EI =
m1
EI =
H4
H3
H2
H1
F4(t)
F3(t)
F2(t)
F1(t)
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 3
3.2. FORMULASI PERSAMAAN GERAK BANGUNAN GESER
Untuk menentukan persamaan gerak dari bangunan geser, tinjau suatu bangunan geser 3
lantai berikut :
(a) Bangunan Geser 3 Lantai
(b) Model Matematis dan Diagram Freebody
Gambar 3.3 Model Matematis dari Bangunan Geser 3 Lantai
Berdasarkan diagram freebody dari model matematis bangunan geser pada gambar di atas,
diperoleh persamaan kesetimbangan dinamis struktur untuk masing-masing lantai sebagai
berikut :
x1 x2 x3
m3
EI3
F3(t)
EI =
F2(t)
F1(t)
EI3
EI2 EI2
EI1 EI1
m2
EI =
m1
EI =
H3
H2
H1
x1
x3
k3 ; c3
x2
k2 ; c2
k1 ; c1
F3(t)
F2(t)
F1(t)
c3
c2
c1
x1 x2 x3
F3(t) F2(t) F1(t) m3 m
2 m
1
11
xm F3(t) F2(t) F1(t)
22
xm 33
xm
k1 k2 k3
c1 c2 c3
k2 (x2 – x1) k3 (x3 – x2)
k1 x1
c1 1
x
c2
)(12
xx c3
)(23
xx
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 4
Persamaan kesetimbangan dinamis lantai 1 :
m1 1x + c1 1x + k1 x1 – c2 )( 12 xx – k2 (x2 – x1) = F1(t)
m1 1x + (c1 + c2) 1x – c2 2x + (k1 + k2) x1 – k2 x2 = F1(t) ...... (3.1)
Persamaan kesetimbangan dinamis lantai 2 :
m2 2x + c2 )( 12 xx + k2 (x2 – x1) – c3 )( 23 xx – k3 (x3 – x2) = F2(t)
m2 2x – c2 1x + (c2 + c3) 2x – c3 3x – k2 x1 + (k2 + k3) x2 – k3 x3 = F2(t) ...... (3.2)
Persamaan kesetimbangan dinamis lantai 3 :
m3 3x + c3 )( 23 xx + k3 (x3 – x2) = F3(t)
m3 3x – c2 2x + c3 3x – k2 x2 + k3 x3 = F3(t) ...... (3.3)
Secara umum, persamaan kesetimbangan dinamis masing-masing lantai pada bangunan
geser, dapat ditulis dalam bentuk :
FIi + FDi + FSi – FDi+1 – FSi+1 = Fi(t)
dimana :
FIi = gaya inersia pada lantai ke-i = mi ix
FDi = gaya redaman pada lantai ke-i = ci )( 1 ii xx
FSi = gaya statis pada lantai ke-i = ki )( 1 ii xx
Fi(t) = gaya luar yang bekerja pada lantai ke-i
Dari persamaan kesetimbangan dinamis di atas diperoleh :
m1 1x + (c1 + c2) 1x – c2 2x + (k1 + k2) x1 – k2 x2 = F1(t)
m2 2x – c2 1x + (c2 + c3) 2x – c3 3x – k2 x1 + (k2 + k3) x2 – k3 x3 = F2(t)
m3 3x – c2 2x + c3 3x – k2 x2 + k3 x3 = F3(t)
Persamaan di atas merupakan formulasi kekakuan (stiffness) dari persamaan gerak bangun-
an geser 3 (tiga) lantai. Secara umum, persamaan gerak bangunan geser dapat ditulis dalam
bentuk notasi matriks sebagai berikut :
[M] }{x + [C] }{x + [K] {x} = {F} ...... (3.4)
dimana :
[M] = matriks massa .... (N-dt2/mm ; lb-sec
2/in)
[C] = matriks redaman .... (N-dt/mm ; lb-sec2/in)
[K] = matriks kekakuan .... (N/mm ; lb/in)
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 5
}{x = vektor percepatan .... (mm/dt2 ; in/sec
2)
}{x = vektor kecepatan .... (mm/dt ; in/sec)
{x} = vektor perpindahan .... (mm ; in)
{F} = vektor gaya luar .... (N ; lb)
n = jumlah derajat kebebasan (degree of freedom)
atau :
[M] =
nm
m
m
m
000
000
000
000
3
2
1
; [C] =
nc
ccc
cccc
ccc
000
00
0
00
433
3322
221
[K] =
nk
kkk
kkkk
kkk
000
00
0
00
433
3322
221
}{x =
nx
x
x
x
3
2
1
; }{x =
nx
x
x
x
3
2
1
; {x} =
nx
x
x
x
3
2
1
; {F} =
)(
)(
)(
)(
3
2
1
tF
tF
tF
tF
n
Catatan :
Konstanta pegas (kekakuan) dari kolom Konstanta pegas (kekakuan) dari kolom
yang kedua ujungnya terjepit adalah : yang satu kedua ujungnya terjepit dan
ujung lainnya sendi adalah :
k = 3
12
L
EI k =
3
3
L
EI
Kolom Jepit – Jepit Kolom Jepit – Sendi
L EI L EI
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 6
3.3. GERAK BEBAS TANPA REDAMAN DARI BANGUNAN GESER
Kondisi gerak bebas dari bangunan geser dapat dicapai jika bangunan geser sama sekali
tidak dipengaruhi oleh gaya luar dan redaman pada bangunan geser diabaikan. Gerak yang
terjadi pada bangunan geser hanya dipengaruhi oleh kondisi awal. Walaupun kondisi gerak
bebas tanpa redaman pada bangunan geser jarang dijumpai, namun analisanya sangat perlu
dilakukan untuk mendapatkan sifat dinamis yang paling penting dari bangunan geser yaitu
frekuensi natural dan pola perubahan bentuk (mode shapes).
Untuk mendapatkan nilai frekuensi natural (ω) dan pola perubahan bentuk (mode shapes)
dari bangunan geser untuk kondisi gerak bebas tanpa redaman, ada beberapa metoda yang
dapat digunakan, yaitu :
1. Metoda Direct (Kekakuan)
2. Metoda Stodola (Iterasi)
3. Metoda Holzer
3.3.1. METODA DIRECT
Pendahuluan
Metoda direct (langsung) atau disebut juga metoda kekakuan (stiffness), didasarkan pada
formulasi persamaan kekakuan (stiffness equation) dari bangunan geser.
Persamaan gerak struktur bangunan geser untuk kondisi gerak bebas tanpa redaman adalah
sebagai berikut :
[M] }{x + [K] {x} = {0} ...... (3.5)
dimana :
[M] = matriks massa .... (N-dt2/mm ; lb-sec
2/in)
[K] = matriks kekakuan .... (N/mm ; lb/in)
}{x = vektor percepatan .... (mm/dt2 ; in/sec
2)
{x} = vektor perpindahan .... (mm ; in)
n = jumlah derajat kebebasan (degree of freedom)
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 7
Formulasi Matriks Kekakuan [K]
Untuk mendapatkan matrik kekakuan struktur, tinjau suatu bangunan geser 4 lantai sebagai
berikut :
Gambar 3.4 Matriks Kekakuan Struktur Bangunan Geser (Shear Building)
berdasarkan Formulasi Persamaan Kekakuan (Stiffness Equation)
Matriks kekakuan [K] dari struktur bangunan geser di atas adalah :
[K] =
44342414
43332313
42322212
41312111
KKKK
KKKK
KKKK
KKKK
...... (3.6)
dimana :
Kij = besarnya gaya yang bekerja pada lantai ke-i akibat perpindahan horizontal
sebesar satu satuan pada lantai ke-j
Nilai-nilai koefisien kekakuan Kij, dapat ditentukan dengan mengasumsikan perpindahan
horizontal sebesar satu satuan pada masing-masing lantai, sebagai berikut :
m4
EI4
EI =
EI4
EI2 EI2
EI1 EI1
m2
EI =
m1
EI =
H4
H2
m3
EI3
EI =
EI3
H1
H3
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 8
Akibat perpindahan sebesar satu satuan pada lantai 1
Dari persamaan kesetimbangan masing-masing lantai, diperoleh :
K11 = 2
3
1
112
H
EI + 2
3
2
212
H
EI = k1 + k2 ; K31 = 0
K21 = – 2
3
2
212
H
EI = – k2 ; K41 = 0
Akibat perpindahan sebesar satu satuan pada lantai 2
32
212
H
EI 3
2
212
H
EI
31
112
H
EI
1
K41
EI4 EI4
EI2 EI2
EI1 EI1
K21
K11
H4
H2
1
K41
K21
K11
31
112
H
EI H1
K31
EI3 EI3 H3
K31
32
212
H
EI 3
2
212
H
EI
33
312
H
EI
1
K42
EI4 EI4
EI2 EI2
EI1 EI1
K22
K12
H4
H2
1
K42
K22
K12
H1
K32
EI3 EI3 H3
K32
33
312
H
EI
m4
m2
m1
m3
m4
m2
m1
m3
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 9
Dari persamaan kesetimbangan masing-masing lantai, diperoleh :
K12 = – 2
3
2
212
H
EI = – k2
K22 = 2
3
2
212
H
EI + 2
3
3
312
H
EI = k2 + k3
K32 = – 2
3
3
312
H
EI = – k3
K42 = 0 = 0
Akibat perpindahan sebesar satu satuan pada lantai 3
Dari persamaan kesetimbangan masing-masing lantai, diperoleh :
K13 = 0
K23 = – 2
3
3
312
H
EI = – k3
K33 = 2
3
3
312
H
EI + 2
3
4
412
H
EI = k3 + k4
K43 = – 2
3
4
412
H
EI = – k4
34
412
H
EI 3
4
412
H
EI
33
312
H
EI
1
K43
EI4 EI4
EI2 EI2
EI1 EI1
K23
K13
H4
H2
1
K43
K23
K13
H1
K33
EI3 EI3 H3
K33
33
312
H
EI
m4
m2
m1
m3
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 10
Akibat perpindahan sebesar satu satuan pada lantai 4
Dari persamaan kesetimbangan masing-masing lantai, diperoleh :
K14 = 0
K24 = 0
K34 = – 2
3
4
412
H
EI = – k4
K44 = 2
3
4
412
H
EI = k4
Jadi, matriks kekakuan dari bangunan geser 4 lantai yang terdapat pada Gambar 3.4 adalah
sebagai berikut :
[K] =
3
4
4
3
4
4
3
4
4
3
4
4
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
1
1
242400
242424240
024242424
00242424
H
EI
H
EI
H
EI
H
EI
H
EI
H
EI
H
EI
H
EI
H
EI
H
EI
H
EI
H
EI
H
EI
...... (3.7)
34
412
H
EI 3
4
412
H
EI
1 K
44
EI4 EI4
EI2 EI2
EI1 EI1
K24
K14
H4
H2
1 K
44
K24
K14
H1
K34
EI3 EI3 H3
K34
m4
m2
m1
m3
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 11
atau dapat juga ditulis dalam bentuk :
[K] =
44
4433
3322
221
00
0
0
00
kk
kkkk
kkkk
kkk
...... (3.8)
dimana :
k1 = 2
3
1
112
H
EI =
3
1
124
H
EI ; k3 = 2
3
3
312
H
EI =
3
3
324
H
EI
k2 = 2
3
2
212
H
EI =
3
2
224
H
EI ; k4 = 2
3
4
412
H
EI =
3
4
424
H
EI
Matriks kekakuan [K] struktur bangunan geser dapat juga ditentukan secara langsung
dengan menggunakan persamaan :
[K] =
nk
kkk
kkkk
kkk
000
00
0
00
433
3322
221
...... (3.9)
Sehingga matriks kekakuan [K] untuk bangunan geser 4 lantai yang terdapat pada Gambar
3.4 adalah :
[K] =
44
4433
3322
221
00
0
0
00
kk
kkkk
kkkk
kkk
.... (3.10)
dimana :
k1 = 2
3
1
112
H
EI =
3
1
124
H
EI ; k3 = 2
3
3
312
H
EI =
3
3
324
H
EI
k2 = 2
3
2
212
H
EI =
3
2
224
H
EI ; k4 = 2
3
4
412
H
EI =
3
4
424
H
EI
Catatan :
ki merupakan penjumlahan semua kekakuan kolom pada lantai ke-i dari bangunan
geser
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 12
Frekuensi Natural (ω) dan Pola Perubahan Bentuk (Mode Shape)
Solusi dari persamaan gerak bebas tanpa redaman dari bangunan geser adalah :
xi = ai sin ωt ; i = 1, 2, 3, … , n .... (3.11)
atau dapat juga ditulis dalam bentuk notasi vektor :
{x} = {a} sin ωt .... (3.12)
atau :
nx
x
x
x
3
2
1
=
na
a
a
a
3
2
1
sin ωt
dimana :
xi = perpindahan pada lantai ke-i
ai = amplitudo gerak pada lantai ke-i
n = jumlah derajat kebebasan (jumlah lantai)
Dari Pers. 3.12, diperoleh :
}{x = {a} sin ωt
}{x = ω {a} cos ωt
}{x = – ω2 {a} sin ωt .... (3.13)
Dengan mensutitusikan Pers. 3.13 kedalam Pers. 3.5, akan didapatkan :
[M] }{x + [K] {x} = {0}
[M] (– ω2 {a} sin ωt) + [K] ({a} sin ωt) = {0}
[ [K] – ω2 [M] ] {a} sin ωt = {0} .... (3.14)
Pers 3.14 dapat diselesaikan jika dan hanya jika :
[ [K] – ω2 [M] ] {a} = {0} .... (3.15)
Pers. 3.15 merupakan masalah matematis yang penting yang dikenal dengan masalah eigen
(eigen problem). Solusi non-trivial dari Pers 3.15 yaitu solusi dimana setiap nilai ai tidak
sama dengan nol (ai 0), memerlukan determinan dari faktor-faktor matriks {a} sama
dengan nol, atau :
| [K] – ω2 [M] | = 0 .... (3.16)
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 13
Determinan dari Pers. 3.16 akan memberikan persamaan polynomial berderajat n dalam
bentuk variabel ω2, yang disebut juga dengan persamaan karakteristik (characteristic
equation) sistem. Dari persamaan karakteristik ini memberikan n buah nilai ω2, dimana
dengan setiap nilai ω2 yang memenuhi persamaan karakteristik, akan diperoleh nilai
konstanta-konstanta a1, a2, a3, … , an.
Variabel ω2 adalah nilai eigen (eigen value) yang merupakan frekuensi natural sistem, dan
nilai {a} adalah vektor eigen (eigen vector) yang merupakan pola perubahan bentuk (mode
shape).
Amplitudo dari getaran pada pola normal (normal mode) merupakan harga relatif yang
dapat diberikan oleh suatu harga pilihan tertentu. Untuk memudahkan perhitungan, dapat
dilakukan normalisasi mode shape dengan menggunakan persamaan berikut :
ij = }{][}{ j
T
j
ij
aMa
a .... (3.17)
Untuk sistem yang mempunyai matriks massa diagonal, Pers. 3.17 dapat ditulis sebagai
berikut :
ij =
n
kkjk
ij
am
a
1
2
.... (3.18)
dimana :
ij = normalisasi komponen i dari vektor pola j
n = jumlah derajat kebebasan
Pola normal dapat disusun pada kolom pada matriks yang dikenal sebagai matriks pola
(modal matrix) dari sistem. Untuk sistem berderajat kebebasan n, matriks pola dapat ditulis
sebagai berikut :
[Φ] =
nnnnn
n
n
n
321
3333231
2232221
1131211
.... (3.19)
Secara umum, kondisi ortogonolitas dapat dinyatakan sebagai :
[Φ]T [M] [Φ] = [I] .... (3.20)
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 14
CONTOH 3.1
Tentukanlah frekuensi natural (ω) dan pola perubahan bentuk (mode shape) dari suatu
struktur bangunan geser tiga lantai, dengan menggunakan Metoda Direct. Buktikan kondisi
ortogonolitas dari pola-pola tersebut.
Massa lantai (mi) :
m1 = 2,0 m
m2 = 1,5 m
m3 = 1,0 m
Tinggi kolom (hi):
h1 = 1,5 h
h2 = 1,0 h
h3 = 1,0 h
Gambar P.1. Bangunan Geser Tiga Lantai
SOLUSI :
Menentukan matriks massa [M]
[M] =
3
2
1
00
00
00
m
m
m
=
m
m
m
0,100
05,10
000,2
= 2
m
200
030
004
Menentukan matriks kekakuan [K]
Matriks kekakuan untuk bangunan geser 3 lantai di atas adalah :
[K] =
332313
322212
312111
kkk
kkk
kkk
Nilai-nilai koefisien kekakuan Kij dari matriks kekakuan dapat ditentukan berdasarkan
formulasi persamaan kekakuan, yaitu sebagai berikut :
EI
EI
EI
EI
EI
m2
m3
m1
h1
h2
h3 EI
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 15
Akibat perpindahan sebesar satu satuan pada lantai 1
Dari persamaan kesetimbangan masing-masing lantai, diperoleh :
K11 = 2
3
1
112
H
EI + 2
3
2
212
H
EI =
3)5,1(
24
h
EI +
3
24
h
EI =
327
840
h
EI
K21 = – 2
3
2
212
H
EI = –
3
24
h
EI
K31 = 0
Akibat perpindahan sebesar satu satuan pada lantai 2
Dari persamaan kesetimbangan masing-masing lantai, diperoleh :
K12 = – 2
3
2
212
H
EI = –
3
24
h
EI
33
312
H
EI 3
3
312
H
EI
32
212
H
EI 3
2
212
H
EI
31
112
H
EI
1
EI2 EI2
EI1 EI1
K21
K11
H2
1
K21
K11
31
112
H
EI H1
K31
EI3 EI3 H3
K31
m2
m1
m3
32
212
H
EI
1
EI2 EI2
EI1 EI1
K22
K12
H2
1 K
22
K12
32
212
H
EI
H1
K32
EI3 EI3 H3
K32
m2
m1
m3
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 16
K22 = 2
3
2
212
H
EI + 2
3
3
312
H
EI =
3
24
h
EI +
3
24
h
EI =
3
48
h
EI
K32 = – 2
3
3
312
H
EI = –
3
24
h
EI
Akibat perpindahan sebesar satu satuan pada lantai 3
Dari persamaan kesetimbangan masing-masing lantai, diperoleh :
K13 = 0
K23 = – 2
3
3
312
H
EI = –
3
24
h
EI
K33 = 2
3
3
312
H
EI =
3
24
h
EI
Jadi, matriks kekakuan [K] dari bangunan geser 3 lantai yang terdapat pada Gambar P.1
adalah :
[K] = 3h
EI
24240
244824
02427
840
= 327
24
h
EI
27270
275427
02735
Disamping itu, matriks kekakuan struktur bangunan geser dapat juga ditentukan dengan
menggunakan Pers. 3.9, dimana untuk bangunan geser 3 lantai diperoleh :
33
312
H
EI 3
3
312
H
EI
1
EI2 EI2
EI1 EI1
K23
K13
H2
1
K23
K13
H1
K33
EI3 EI3 H3
K33
m2
m1
m3
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 17
[K] =
33
3322
221
0
0
kk
kkkk
kkk
dimana :
k1 = 2
3
1
12
h
EI =
3)5,1(
24
h
EI =
327
192
h
EI
k2 = 2
3
2
12
h
EI =
3
24
h
EI
k3 = 2
3
3
12
h
EI =
3
24
h
EI
diperoleh :
[K] =
33
3333
333
24240
24242424
02424
27
192
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
= 3h
EI
24240
244824
02427
840
[K] = 327
24
h
EI
27270
275427
02735
Menentukan Frekuensi Getaran (ω)
Frekuensi natural getaran (ω) dari bangunan geser 3 lantai, diperoleh dari persamaan :
| [K] – ω2 [M] | = 0
200
030
004
227270
275427
02735
27
24 2
3
mω
h
EI = 0
Untuk memudahkan dalam menghitung nilai frekuensi natural getaran dari persamaan
determinan di atas, misalkan :
ω2
2
m =
327
24
h
EI α α =
3
2
2724
2
hEI
ωm
= EI
hm
48
27 3
ω2
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 18
sehingga diperoleh :
| [K] – ω2 [M] | = 0
200
030
004
227270
275427
02735
27
24 2
3
mω
h
EI = 0
200
030
004
27
24
27270
275427
02735
27
2433
αh
EI
h
EI = 0
α
α
α
h
EI
227270
2735427
027435
27
243
= 0
[ (35 – 4α) {(54 – 3α)(27 – 2α) – ( –27)(– 27)} – (–27) {(–27)(27 – 2α)} ] = 0
(35 – 4α) (729 – 189α + 6α 2) + (27) (– 729 + 54α) = 0
(25515 – 9531α + 966α 2
– 24α3) + (–19683 + 1458α) = 0
5832 – 8073α + 966α 2 – 24α
3 = 0
atau :
α3 – 40,25α
2 + 336,375 α – 243,0 = 0
Dengan ″trial and errors″, diperoleh :
α1 = 0,79689
α2 = 10,55040
α3 = 28,90271
karena :
α = EI
hm
48
27 3
ω2 ω
2 =
327
48
hm
EI α
maka diperoleh nilai frekuensi natural (ωi) dari bangunan geser sebagai berikut :
ω12 =
327
48
hm
EI α1 =
327
48
hm
EI (0,79689) = 1,41669
3hm
EI
ω1 = 1,19025 3hm
EI
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 19
ω22 =
327
48
hm
EI α2 =
327
48
hm
EI (10,55040) = 18,75627
3hm
EI
ω2 = 4,33085 3hm
EI
ω32 =
327
48
hm
EI α3 =
327
48
hm
EI (28,90271) = 51,38259
3hm
EI
ω3 = 7,16817 3hm
EI
Menentukan pola perubahan bentuk (mode shapes)
Pola perubahan bentuk (mode shapes) untuk masing-masing nilai frekuensi natural (ωi)
diperoleh dengan menentukan nilai vektor {ai}dari persamaan berikut :
[ [K] – ωi2 [M] ] {ai} = {0}
Mode Shape 1
Untuk α1 = 0,79689 atau ω1 = 1,19025 3hm
EI, diperoleh :
1
1
1
3
227270
2735427
027435
27
24
α
α
α
h
EI
31
21
11
a
a
a
=
0
0
0
)0,79689(227270
27)0,79689(35427
027)0,79689(435
31
21
11
a
a
a
=
0
0
0
,4062225270
27,609335127
02781244,31
31
21
11
a
a
a
=
0
0
0
atau :
31,81244 a11 – 27 a21 = 0
– 27 a11 + 51,60933 a21 – 27 a31 = 0
– 27 a21 + 25,40622 a31 = 0
dengan memisalkan :
a31 = 1,00000
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 20
diperoleh :
– 27 a21 + 25,40622 a31 = 0
– 27 a21 + 25,40622 (1,00000) = 0 a21 = 0,94097
– 27 a11 + 51,60933 a21 – 27 a31 = 0
– 27 a11 + 51,60933 (0,94097) – 27 (1,0) = 0 a11 = 0,79863
Jadi, untuk mode shape 1 :
ω1 = 1,19025 3hm
EI dan {a1} =
00000,1
94097,0
79863,0
Mode Shape 2
Untuk α2 = 10,55040 atau ω2 = 4,33085 3hm
EI, diperoleh :
2
2
2
3
227270
2735427
027435
27
24
α
α
α
h
EI
32
22
12
a
a
a
=
0
0
0
)10,55040(227270
27)10,55040(35427
027)10,55040(435
32
22
12
a
a
a
=
0
0
0
,899205270
27,348802227
02720160,7
32
22
12
a
a
a
=
0
0
0
atau :
– 7,20160 a12 – 27 a22 = 0
– 27 a12 + 22,34880 a22 – 27 a32 = 0
– 27 a22 + 5,89920 a32 = 0
dengan memisalkan :
a32 = 1,00000
diperoleh :
– 27 a22 + 5,89920 a32 = 0
– 27 a22 + 5,89920 (1,00000) = 0 a22 = 0,21849
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 21
– 27 a12 + 22,34880 a22 – 27 a32 = 0
– 27 a12 + 22,34880 (0,21849) – 27 (1,0) = 0 a12 = – 0,81915
Jadi, untuk mode shape 2 :
ω2 = 4,33085 3hm
EI dan {a2} =
00000,1
21849,0
81915,0
Mode Shape 3
Untuk α3 = 28,90271 atau ω3 = 7,16817 3hm
EI, diperoleh :
3
3
3
3
227270
2735427
027435
27
24
α
α
α
h
EI
33
23
13
a
a
a
=
0
0
0
)28,90271(227270
27)28,90271(35427
027)28,90271(435
33
23
13
a
a
a
=
0
0
0
,8054130270
27,708123227
02780,61083
33
23
13
a
a
a
=
0
0
0
atau :
– 80,61083 a13 – 27 a23 = 0
– 27 a13 – 32,70812 a23 – 27 a33 = 0
– 27 a23 – 30,80541 a33 = 0
dengan memisalkan :
a33 = 1,00000
diperoleh :
– 27 a23 – 30,80541 a33 = 0
– 27 a23 – 30,80541 (1,00000) = 0 a23 = – 1,14094
– 27 a13 – 32,70812 a23 – 27 a33 = 0
– 27 a13 – 32,70812 (– 2,98559) – 27 (1,0) = 0 a13 = 0,38215
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 22
Jadi, untuk mode shape 3 :
ω3 = 7,16817 3hm
EI dan {a3} =
00000,1
14094,1
38215,0
Mode Shape 1 Mode Shape 2 Mode Shape 3
ω1 = 1,190253
hm
EI ω2 = 4,33085
3hm
EI ω1 = 7,16817
3hm
EI
Menentukan matriks pola (modal matrix)
[Φ] =
333231
232221
131211
; ij =
n
kkjk
ij
am
a
1
2
maka :
11 = 2
313
2
212
2
111
11
amamam
a
=
3,60374
0,79863 = 0,42069
12 = 2
323
2
222
2
121
12
amamam
a
=
41362,2
81915,0 = – 0,52727
13 = 2
333
2
232
2
131
13
amamam
a
=
24470,3
38215,0 = 0,21215
21 = 2
313
2
212
2
111
21
amamam
a
=
3,60374
0,94097 = 0,49568
a23 = – 1,14094
a13 = 0,38215
a33 = 1,00000
a22 = 0,21849
a12 = – 0,81915
a32 = 1,00000
a21 = 0,94097
a11 = 0,79863
a31 = 1,00000
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 23
22 = 2
323
2
222
2
121
22
amamam
a
=
41362,2
21849,0 = 0,14064
23 = 2
333
2
232
2
131
23
amamam
a
=
24470,3
14094,1 = – 0,63340
31 = 2
313
2
212
2
111
31
amamam
a
=
3,60374
1,00000 = 0,52677
32 = 2
323
2
222
2
121
32
amamam
a
=
41362,2
1,00000 = 0,64367
33 = 2
333
2
232
2
131
33
amamam
a
=
24470,3
1,00000 = 0,55515
diperoleh :
[Φ] =
55515,064367,052677,0
63340,014064,049568,0
21215,052727,042069,0
Kontrol kondisi ortogonolitas
[Φ]T [M] [Φ] = [I]
55515,063340,021215,0
64367,014064,052727,0
52677,049568,042069,0
0,10,00,0
0,05,10,0
0,00,00,2
55515,064367,052677,0
63340,014064,049568,0
21215,052727,042069,0
=
0,10,00,0
0,00,10,0
0,00,00,1
55515,095010,042430,0
64367,021095,005453,1
52677,074352,084139,0
55515,064367,052677,0
63340,014064,049568,0
21215,052727,042069,0
=
0,10,00,0
0,00,10,0
0,00,00,1
0,10,00,0
0,00,10,0
0,00,00,1
=
0,10,00,0
0,00,10,0
0,00,00,1
......... OK !!
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 24
3.3.2. METODA STODOLA
Pendahuluan
Metoda Stodola (Metoda Iterasi) atau disebut juga Metoda Fleksibilitas, didasarkan pada
formulasi persamaan kelenturan/fleksibilitas (flexibility equation) struktur.
Persamaan gerak dari struktur bangunan geser untuk kondisi gerak bebas tanpa redaman,
dengan menggunakan Metoda Stodola diperoleh sebagai berikut :
[M] }{x + [K] {x} = {0}
[f] [M] }{x + [f] [K] {x} = {0}
[f] [M] }{x + [I] {x} = {0}
[f] [M] }{x + {x} = {0}
atau :
{x} + [f][M] }{x = {0} .... (3.21)
Formulasi Matriks Kekakuan [K]
Untuk mendapatkan matrik kekakuan struktur, tinjau suatu bangunan geser 4 lantai sebagai
berikut :
Gambar 3.5 Matriks Fleksibilitas Struktur Bangunan Geser (Shear Building)
berdasarkan Formulasi Persamaan Fleksibilitas (Flexibility Equation)
m4
EI4
EI =
EI4
EI2 EI2
EI1 EI1
m2
EI =
m1
EI =
H4
H2
m3
EI3
EI =
EI3
H1
H3
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 25
Matriks fleksibilitas [f] dari struktur bangunan geser di atas adalah :
[f] =
44342414
43332313
42322212
41312111
ffff
ffff
ffff
ffff
.... (3.22)
dimana :
fij = besarnya perpindahan horizontal yang terjadi pada lantai ke-i akibat adanya
gaya horizontal sebesar satu satuan yang bekerja pada lantai ke-j
Nilai-nilai koefisien fleksibilitas fij, dapat ditentukan dengan mengasumsikan adanya gaya
horizontal sebesar satu satuan yang bekerja pada masing-masing lantai, sebagai berikut :
Akibat gaya horizontal sebesar satu satuan pada lantai 1
Kesetimbangan lantai 1
2
3
1
112
H
EI f11 = 1 k1 f11 = 1 f11 =
1
1
k
dan diperoleh :
f21 = f31 = f41 = f11 = 1
1
k
H4
H2
1
H1
H3
f31
f11
f41
f21
f31
f11
f41
1
EI4 EI4
EI2 EI2
EI1 EI1
f21
EI3 EI3
m4
m2
m1
m3
31
112
H
EIf11 3
1
112
H
EIf11
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 26
Akibat gaya horizontal sebesar satu satuan pada lantai 2
Kesetimbangan lantai 2
2
3
2
212
H
EI(f22 – f12) = 1 k2 (f22 – f12) = 1
f22 – f12 = 2
1
k f22 = f12 +
2
1
k
Kesetimbangan lantai 1
2
3
1
112
H
EI f12 – 2
3
2
212
H
EI(f22 – f12) = 0
k1 f12 – k2 (f12 + 2
1
k – f12) = 0 k1 f12 – 1 = 0
f12 = 1
1
k
dan diperoleh :
f22 = f12 + 2
1
k =
1
1
k +
2
1
k
f32 = f42 = f22 = 1
1
k +
2
1
k
H4
H2
1
H1
H3
f32
f12
f42
f22
f32
f12
f42
1
EI4 EI4
EI2 EI2
EI1 EI1
f22
EI3 EI3
m4
m2
m1
m3
31
112
H
EIf12 3
1
112
H
EIf12
32
212
H
EI(f22 – f12) 3
2
212
H
EI(f22 – f12)
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 27
Akibat gaya horizontal sebesar satu satuan pada lantai 3
Kesetimbangan lantai 3
2
3
3
312
H
EI(f33 – f23) = 1 k3 (f33 – f23) = 1
f33 – f23 = 3
1
k f33 = f23 +
3
1
k
Kesetimbangan lantai 2
2
3
2
212
H
EI(f23 – f13) – 2
3
3
312
H
EI(f33 – f23) = 0
k2 (f23 – f13) – k3 (f23 + 3
1
k – f23) = 0 k2 (f23 – f13) – 1 = 0
f23 – f13 = 2
1
k f23 = f13 +
2
1
k
Kesetimbangan lantai 1
2
3
1
112
H
EI f13 – 2
3
2
212
H
EI(f23 – f13) = 0
H4
H2
1
H1
H3
f13
f13
1
EI4 EI4
EI2 EI2
EI1 EI1
EI3 EI3
m4
m2
m1
m3
31
112
H
EIf13 3
1
112
H
EIf13
32
212
H
EI(f23 – f13) 3
2
212
H
EI(f23 – f13)
33
312
H
EI(f33 – f23) 3
3
312
H
EI(f33 – f23)
f33
f43
f23
f33
f43
f23
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 28
k1 f13 – k2 (f13 + 2
1
k – f13) = 0 k1 f13 – 1 = 0
f13 = 1
1
k
dan diperoleh :
f23 = f13 + 2
1
k =
1
1
k +
2
1
k
f33 = f23 + 3
1
k =
1
1
k +
2
1
k +
3
1
k
f43 = f33 = f22 = 1
1
k +
2
1
k +
3
1
k
Akibat gaya horizontal sebesar satu satuan pada lantai 4
Kesetimbangan lantai 4
2
3
4
412
H
EI(f44 – f34) = 1 k4 (f44 – f34) = 1
f44 – f34 = 4
1
k f44 = f34 +
4
1
k
H4
H2
1
H1
H3
f34
f14
f44
f24
f34
f14
f44
1
EI4 EI4
EI2 EI2
EI1 EI1
f24
EI3 EI3
m4
m2
m1
m3
31
112
H
EIf14 3
1
112
H
EIf14
32
212
H
EI(f24 – f14) 3
2
212
H
EI(f24 – f14)
33
312
H
EI(f34 – f24) 3
3
312
H
EI(f34 – f24)
34
412
H
EI(f44 – f34) 3
4
412
H
EI(f44 – f34)
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 29
Kesetimbangan lantai 3
2
3
3
312
H
EI(f34 – f24) – 2
3
4
412
H
EI(f44 – f34) = 0
k3 (f34 – f24) – k4 (f34 + 4
1
k – f34) = 0 k3 (f34 – f24) – 1 = 0
f34 – f24 = 3
1
k f34 = f24 +
3
1
k
Kesetimbangan lantai 2
2
3
2
212
H
EI(f24 – f14) – 2
3
3
312
H
EI(f33 – f23) = 0
k2 (f23 – f13) – k3 (f23 + 3
1
k – f23) = 0 k2 (f23 – f13) – 1 = 0
f23 – f13 = 2
1
k f23 = f13 +
2
1
k
Kesetimbangan lantai 1
2
3
1
112
H
EI f14 – 2
3
2
212
H
EI(f24 – f14) = 0
k1 f14 – k2 (f14 + 2
1
k – f14) = 0 k1 f14 – 1 = 0
f14 = 1
1
k
dan diperoleh :
f24 = 1
1
k
f24 = f14 + 2
1
k =
1
1
k +
2
1
k
f34 = f24 + 3
1
k =
1
1
k +
2
1
k +
3
1
k
f44 = f44 + 4
1
k =
1
1
k +
2
1
k +
3
1
k +
4
1
k
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 30
Jadi, matriks fleksibilitas [f] dari bangunan geser 4 lantai yang terdapat pada Gambar 3.5
adalah sebagai berikut :
[f] =
4321321211
321321211
2121211
1111
1111111111
111111111
1111111
1111
kkkkkkkkkk
kkkkkkkkk
kkkkkkk
kkkk
.... (3.23)
dimana :
k1 = 2
3
1
112
H
EI ; k2 = 2
3
2
212
H
EI ; k3 = 2
3
3
312
H
EI ; k4 = 2
3
4
412
H
EI
Disamping itu, matriks fleksibilitas [f] struktur bangunan geser dapat juga ditentukan ber-
dasarkan hubungan antara matriks kekakuan [K] dengan matriks fleksibilitas [f], dimana :
[K] {X} = {P}
[f] {P} = {X} .... (3.24)
sehingga :
[f] = [K]-1
.... (3.25)
Frekuensi Natural (ω) dan Pola Perubahan Bentuk (Mode Shape)
Solusi dari persamaan gerak bebas tanpa redaman dari bangunan geser adalah :
xi = ai sin ωt ; i = 1, 2, 3, … , n .... (3.26)
atau dapat juga ditulis dalam bentuk notasi vektor :
{x} = {a} sin ωt .... (3.27)
Dari Pers. 3.27, diperoleh :
}{x = {a} sin ωt
}{x = ω {a} cos ωt
}{x = – ω2 {a} sin ωt .... (3.28)
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 31
Dengan mensutitusikan Pers. 3.28 kedalam Pers. 3.21, akan didapatkan :
{x} + [f][M] }{x = {0}
{a} sin ωt + [f][M] (– ω2 {a} sin ωt) = {0}
{{a} – ω2 [f][M] {a}} sin ωt = {0} .... (3.29)
Pers 3.29 dapat diselesaikan jika dan hanya jika :
{a} – ω2 [f][M] {a} = {0}
{a} = ω2 [f] [M] {a} .... (3.30)
atau :
{a} = ω2 [D] {a} .... (3.31)
dimana :
[D] = matriks dinamis [D] = [f] [M] .... (3.32)
Analisis Modus Pertama/Dasar (Mode Shape 1)
Prosedur perhitungan dalam menentukan nilai frekuensi natural pertama (ω1) dan pola
perubahan bentuk dasar (mode shape 1) dengan metoda Stodola, didasarkan kepada Pers.
3.31, yaitu :
2
1
ω{a} = [D] {a} .... (3.33)
Pertama sekali, diasumsikan sembarang nilai dari vektor {a} yang terdapat di ruas kanan
persamaan, yang menyatakan taksiran mode shape pertama yang mungkin terbaik.
Kemudian dilakukan iterasi matriks sampai dicapai kondisi konvergen, yaitu setelah
diperoleh nilai vektor {a} di ruas kanan persamaan yang konstan (tetap) pada 2 iterasi
matriks yang terakhir.
Analisis Modus Kedua (Mode Shape 2)
Untuk modus kedua (mode shape 2), digunakan ″Prinsip Ortogonalitas″ antara dua mode
shape i dan j, yang dinyatakan sebagai :
n
kkjkik aam
1
= 0 ; i j .... (3.34)
Sedangkan nilai frekuensi natural kedua (ω2) dan pola perubahan bentuk kedua (mode
shape 2) ditentukan berdasarkan persamaan berikut :
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 32
2
1
ω{a} = [D2] {a} .... (3.35)
dimana :
[D2] = [D] [S1] .... (3.36)
[S1] = matrils sweeping, yang diperoleh dari Pers. 3.34
Analisis Modus Tertinggi
Untuk modus tertinggi, digunakan persamaan berikut :
2
1
ω{a} = [D] {a}
atau :
{a} = ω2 [D] {a}
{a} = ω2 [M] [f] {a}
[K] {a} = ω2 [K] [M] [f] {a} ; [K] [f] = [I]
[K] {a} = ω2 [I] [M] {a}
[K] {a} = ω2 [M] {a}
[M]-1
[K] {a} = ω2 {a}
{a} = 2
1
ω [M]
-1 [K] {a} .... (3.37)
atau :
{a} = 2
1
ω [E] {a}
ω2 {a} = [E] {a} .... (3.38)
dimana :
[E] = [M]-1
[K] .... (3.39)
atau :
[E] = [D]-1
.... (3.40)
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 33
CONTOH 3.2
Tentukanlah frekuensi natural (ω) dan pola perubahan bentuk (mode shape) dari suatu
struktur bangunan geser tiga lantai, dengan menggunakan Metoda Stodola (Metoda Fleksi-
bilitas). Buktikan kondisi ortogonolitas dari pola-pola tersebut.
Massa lantai (mi) :
m1 = 2,0 m
m2 = 1,5 m
m3 = 1,0 m
Tinggi kolom (hi):
h1 = 1,5 h
h2 = 1,0 h
h3 = 1,0 h
Gambar P.2. Bangunan Geser Tiga Lantai
SOLUSI :
Menentukan matriks massa [M]
[M] =
3
2
1
00
00
00
m
m
m
=
m
m
m
0,100
05,10
000,2
= 2
m
200
030
004
Menentukan matriks fleksibilitas [f]
Matriks kekakuan untuk bangunan geser 3 lantai di atas adalah :
[f] =
332313
322212
312111
fff
fff
fff
Nilai-nilai koefisien fleksibilitas fij dari matriks fleksibilitas di atas dapat ditentukan
berdasarkan formulasi persamaan fleksibilitas, yaitu sebagai berikut :
EI
EI
EI
EI
EI
m2
m3
m1
h1
h2
h3 EI
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 34
Akibat gaya horizontal sebesar satu satuan pada lantai 1
Kesetimbangan lantai 1
2
3
1
112
H
EI f11 = 1
3)5,1(
24
h
EI f11 = 1 f11 =
EI
h
192
27 3
dan diperoleh :
f21 = f31 = f11 = EI
h
192
27 3
Akibat gaya horizontal sebesar satu satuan pada lantai 2
Kesetimbangan lantai 2
2
3
2
212
H
EI(f22 – f12) = 1
3
24
h
EI (f22 – f12) = 1
f32
f12
f22
f32
f12
f22
1
H2
H1
H3
31
112
H
EIf11 3
1
112
H
EIf11
f31
f11
f21
f31
f11
f21
1
EI2 EI2
EI1 EI1
EI3 EI3
m2
m1
m3
1
EI2 EI2
EI1 EI1
EI3 EI3
m2
m1
m3
H2
1
H1
H3
31
112
H
EIf12 3
1
112
H
EIf12
32
212
H
EI(f22 – f12) 3
2
212
H
EI(f22 – f12)
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 35
f22 – f12 = EI
h
24
3
f22 = f12 + EI
h
24
3
Kesetimbangan lantai 1
2
3
1
112
H
EI f12 – 2
3
2
212
H
EI(f22 – f12) = 0
3)5,1(
24
h
EI f12 –
3
24
h
EI (f12 +
EI
h
24
3
– f12) = 0
327
192
h
EI f12 – 1 = 0 f12 =
EI
h
192
27 3
dan diperoleh :
f22 = f12 + EI
h
24
3
= EI
h
192
27 3
+ EI
h
24
3
= EI
h
192
35 3
f32 = f22 = EI
h
192
35 3
Akibat gaya horizontal sebesar satu satuan pada lantai 3
Kesetimbangan lantai 3
2
3
3
312
H
EI(f33 – f23) = 1
3
24
h
EI (f33 – f23) = 1
f33 – f23 = EI
h
24
3
f33 = f23 + EI
h
24
3
f13
f13
f33
f23
f33
f23
H2
H1
H3
1
EI2 EI2
EI1 EI1
EI3 EI3
m2
m1
m3
1
31
112
H
EIf13 3
1
112
H
EIf13
32
212
H
EI(f23 – f13) 3
2
212
H
EI(f23 – f13)
33
312
H
EI(f33 – f23) 3
3
312
H
EI(f33 – f23)
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 36
Kesetimbangan lantai 2
2
3
2
212
H
EI(f23 – f13) – 2
3
3
312
H
EI(f33 – f23) = 0
3
24
h
EI (f23 – f13) –
3
24
h
EI (f23 +
EI
h
24
3
– f23) = 0
3
24
h
EI (f23 – f13) – 1 = 0 f23 – f13 =
EI
h
24
3
f23 = f13 + EI
h
24
3
Kesetimbangan lantai 1
2
3
1
112
H
EI f13 – 2
3
2
212
H
EI(f23 – f13) = 0
3)5,1(
24
h
EI f13 –
3
24
h
EI (f13 +
EI
h
24
3
– f13) = 0
327
192
h
EI f13 – 1 = 0 f13 =
EI
h
192
27 3
dan diperoleh :
f23 = f13 + EI
h
24
3
= EI
h
192
27 3
+ EI
h
24
3
= EI
h
192
35 3
f33 = f23 + EI
h
24
3
= EI
h
192
35 3
+ EI
h
24
3
= EI
h
192
43 3
Dari hasil perhitungan yang dilakukan, diperoleh matriks fleksibilitas sebagai berikut :
[f] =
332313
322212
312111
fff
fff
fff
= EI
h
192
3
433527
353527
272727
Menentukan matriks dinamis [D]
[D] = [f] [M]
= EI
h
192
3
433527
353527
272727
2
m
200
030
004
= EI
mh
384
3
86105108
70105108
5481108
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 37
Menentukan bentuk modus (mode shape) dan frekuensi natural (ω) getaran
MODE SHAPE 1
2
1
ω{a} = [D] {a}
atau :
2
1
ω
31
21
11
a
a
a
= EI
mh
384
3
86105108
70105108
5481108
31
21
11
a
a
a
Misalkan :
31
21
11
a
a
a
=
1
1
1
dan α = EI
mh
384
3
Iterasi 1
2
1
ω
31
21
11
a
a
a
= α
86105108
70105108
5481108
1
1
1
= α
00000,299
00000,283
00000,243
= 299,00000 α
00000,1
94649,0
81271,0
Iterasi 2
2
1
ω
31
21
11
a
a
a
= α
86105108
70105108
5481108
00000,1
94649,0
81271,0
= α
15385,273
15385,257
43813,218
= 273,153846 α
00000,1
94142,0
79969,0
Iterasi 3
2
1
ω
31
21
11
a
a
a
= α
86105108
70105108
5481108
00000,1
94142,0
79969,0
= α
21603,271
21603,255
62183,216
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 38
= 271,21603 α
00000,1
94101,0
79871,0
Iterasi 4
2
1
ω
31
21
11
a
a
a
= α
86105108
70105108
5481108
00000,1
94101,0
79871,0
= α
06591,271
06591,255
48175,216
= 271,06591 α
00000,1
94097,0
79863,0
Iterasi 5
2
1
ω
31
21
11
a
a
a
= α
86105108
70105108
5481108
00000,1
94097,0
79863,0
= α
05444,271
05444,255
47107,216
= 271,05444 α
00000,1
94097,0
79863,0
Iterasi 6
2
1
ω
31
21
11
a
a
a
= α
86105108
70105108
5481108
00000,1
94097,0
79863,0
= α
05357,271
05357,255
47026,216
= 271,05357 α
00000,1
94097,0
79863,0
Iterasi 7
2
1
ω
31
21
11
a
a
a
= α
86105108
70105108
5481108
00000,1
94097,0
79863,0
= α
05350,271
05350,255
47020,216
= 271,05350 α
00000,1
94097,0
79863,0
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 39
Iterasi 8
2
1
ω
31
21
11
a
a
a
= α
86105108
70105108
5481108
00000,1
94097,0
79863,0
= α
05350,271
05350,255
47020,216
= 271,05350 α
00000,1
94097,0
79863,0
Iterasi 9
2
1
ω
31
21
11
a
a
a
= α
86105108
70105108
5481108
00000,1
94097,0
79863,0
= α
05350,271
05350,255
47020,216
= 271,05350 α
00000,1
94097,0
79863,0
Iterasi dapat dihentikan pada iterasi 9, karena nilai-nilai dari vektor {a} telah konvergen
ke suatu nilai. Dari hasil iterasi yang dilakukan, diperoleh bentuk modus dan frekuensi
natural getaran untuk Mode Shape 1 sebagai berikut :
Frekuensi Getaran ()
2
1
1
ω = 271,05350 α = 271,05350
EI
mh
384
3
= 0,70587EI
mh3
ω12 =
0,70857
1
3mh
EI = 1,41669
3mh
EI
ω1 = 1,19025 3mh
EI
Bentuk Modus 1 (Mode Shape 1)
31
21
11
a
a
a
=
00000,1
94097,0
79863,0
31
21
11
a
a
a
00000,1
94097,0
79863,0
KO
NV
ER
GE
N
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 40
MODE SHAPE 2
Bentuk modus kedua (mode shape 2) ditentukan berdasarkan bentuk modus pertama
(mode shape 1) dengan menggunakan prinsip ortogonalitas, dimana :
n
kkjkik aam
1
= 0 ; i = 1 dan j = 2
m1 a11 a12 + m2 a21 a22 + m3 a31 a32 = 0
(2,0 m) (0,79863) a12 + (1,5 m) (0,94097) a22 + (1,0 m) (1,00000) a32 = 0
1,59725 a12 + 1,41146 a22 + 1,00000 a32 = 0
maka :
a12 = 1,00000 a12
a22 = 1,00000 a22
a32 = – 1,59725 a12 – 1,41146 a22
atau dalam bentuk matriks :
32
22
12
a
a
a
=
041146,159725,1
010
001
32
22
12
a
a
a
dimana :
[S1] =
041146,159725,1
010
001
Nilai frekuensi natural kedua (ω2) dan bentuk modus kedua (mode shape 2) ditentukan
berdasarkan persamaan berikut :
2
1
ω{a} = [D2] {a} = [D] [S1] {a}
2
1
ω
32
22
12
a
a
a
= EI
mh
384
3
86105108
70105108
5481108
041146,159725,1
010
001
32
22
12
a
a
a
2
1
ω
32
22
12
a
a
a
= EI
mh
384
3
0,038527,1636356,29
0,019804,680755,3
0,078134,474846,21
32
22
12
a
a
a
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 41
Misalkan :
32
22
12
a
a
a
=
1
1
1
dan α = EI
mh
384
3
Iterasi 1
2
1
ω
32
22
12
a
a
a
= α
0,038527,1636356,29
0,019804,680755,3
0,078134,474846,21
1
1
1
= α
74883,45
39049,2
52981,26
= – 45,74883 α
00000,1
05225,0
57990,0
Iterasi 2
2
1
ω
32
22
12
a
a
a
= α
0,038527,1636356,29
0,019804,680755,3
0,078134,474846,21
00000,1
05225,0
57990,0
= α
88414,17
88414,1
86180,12
= 17,88414 α
00000,1
10535,0
71917,0
Iterasi 3
2
1
ω
32
22
12
a
a
a
= α
0,038527,1636356,29
0,019804,680755,3
0,078134,474846,21
00000,1
10535,0
71917,0
= α
39127,19
39127,3
13719,15
= 19,39127 α
00000,1
17489,0
78062,0
Iterasi 4
2
1
ω
32
22
12
a
a
a
= α
0,038527,1636356,29
0,019804,680755,3
0,078134,474846,21
00000,1
17489,0
78062,0
= α
05620,20
05620,4
14107,16
= 20,05620 α
00000,1
20224,0
80479,0
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 42
Iterasi 5
2
1
ω
32
22
12
a
a
a
= α
0,038527,1636356,29
0,019804,680755,3
0,078134,474846,21
00000,1
20224,0
80479,0
= α
31779,20
31779,4
53601,16
= 20,31779 α
00000,1
21251,0
81387,0
Iterasi 6
2
1
ω
32
22
12
a
a
a
= α
0,038527,1636356,29
0,019804,680755,3
0,078134,474846,21
00000,1
21251,0
81387,0
= α
41601,20
41601,4
68430,16
= 20,41601 α
00000,1
21630,0
81722,0
Iterasi 7
2
1
ω
32
22
12
a
a
a
= α
0,038527,1636356,29
0,019804,680755,3
0,078134,474846,21
00000,1
21630,0
81722,0
= α
45223,20
45223,4
73899,16
= 20,45223 α
00000,1
21769,0
81844,0
Iterasi 8
2
1
ω
32
22
12
a
a
a
= α
0,038527,1636356,29
0,019804,680755,3
0,078134,474846,21
00000,1
21769,0
81844,0
= α
46551,20
46551,4
75904,16
= 20,46551 α
00000,1
21820,0
81889,0
Iterasi 9
2
1
ω
32
22
12
a
a
a
= α
0,038527,1636356,29
0,019804,680755,3
0,078134,474846,21
00000,1
21820,0
81889,0
= α
47036,20
47036,4
76636,16
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 43
= 20,47036 α
00000,1
21838,0
81906,0
Iterasi 10
2
1
ω
32
22
12
a
a
a
= α
0,038527,1636356,29
0,019804,680755,3
0,078134,474846,21
00000,1
21838,0
81906,0
= α
47213,20
47213,4
76904,16
= 20,47213 α
00000,1
21845,0
81912,0
Iterasi 11
2
1
ω
32
22
12
a
a
a
= α
0,038527,1636356,29
0,019804,680755,3
0,078134,474846,21
00000,1
21845,0
81912,0
= α
47278,20
47278,4
77001,16
= 20,47278 α
00000,1
21847,0
81914,0
Iterasi 12
2
1
ω
32
22
12
a
a
a
= α
0,038527,1636356,29
0,019804,680755,3
0,078134,474846,21
00000,1
21847,0
81914,0
= α
47302,20
47302,4
77037,16
= 20,47302 α
00000,1
21848,0
81915,0
Iterasi 13
2
1
ω
32
22
12
a
a
a
= α
0,038527,1636356,29
0,019804,680755,3
0,078134,474846,21
00000,1
21848,0
81915,0
= α
47310,20
47310,4
77050,16
= 20,47310 α
00000,1
21849,0
81915,0
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 44
Iterasi 14
2
1
ω
32
22
12
a
a
a
= α
0,038527,1636356,29
0,019804,680755,3
0,078134,474846,21
00000,1
21849,0
81915,0
= α
47313,20
47313,4
77055,16
= 20,47313 α
00000,1
21849,0
81915,0
Iterasi 15
2
1
ω
32
22
12
a
a
a
= α
0,038527,1636356,29
0,019804,680755,3
0,078134,474846,21
00000,1
21849,0
81915,0
= α
47315,20
47315,4
77057,16
= 20,47315 α
00000,1
21849,0
81915,0
Iterasi 16
2
1
ω
32
22
12
a
a
a
= α
0,038527,1636356,29
0,019804,680755,3
0,078134,474846,21
00000,1
21849,0
81915,0
= α
47315,20
47315,4
77057,16
= 20,47315 α
00000,1
21849,0
81915,0
Iterasi dapat dihentikan pada iterasi 16, karena nilai-nilai vektor {a} telah konvergen ke
suatu nilai. Dari hasil iterasi yang dilakukan, diperoleh bentuk modus dan frekuensi
natural getaran untuk Mode Shape 2 sebagai berikut :
Frekuensi Getaran ()
2
2
1
ω = 20,47315 α = 20,47315
EI
mh
384
3
= 0,05332 EI
mh3
ω22 =
0,05332
1
3mh
EI = 18,75627
3mh
EI
ω2 = 4,33085 3mh
EI
KONVERGEN
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 45
Bentuk Modus 2 (Mode Shape 2)
32
22
12
a
a
a
=
00000,1
21849,0
81915,0
32
22
12
a
a
a
00000,1
21849,0
81915,0
MODE SHAPE 3
Bentuk modus kedua (mode shape 3) ditentukan berdasarkan persamaan :
ω2 {a} = [E] {a}
dimana :
[E] = [M]-1
[K] = m
2
1
200
030
004
327
24
h
EI
27270
275427
02735
= 327
4
mh
EI
1621620
108216108
081105
atau :
[E] = [D]-1
= 3
384
mh
EI
1
86105108
70105108
5481108
= 3
384
mh
EI
864
1
54540
367236
02735
= 327
4
mh
EI
1621620
108216108
081105
sehingga :
ω2 {a} = [E] {a}
ω2
33
23
13
a
a
a
= 327
4
mh
EI
1621620
108216108
081105
33
23
13
a
a
a
Misalkan :
33
23
13
a
a
a
=
1
1
1
dan α = 327
4
mh
EI
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 46
Iterasi 1
ω2
33
23
13
a
a
a
= α
1621620
108216108
081105
1
1
1
= α
0,324
0,216
0,24
= – 324,0 α
00000,1
66667,0
07407,0
Iterasi 2
ω2
33
23
13
a
a
a
= α
1621620
108216108
081105
00000,1
66667,0
07407,0
= α
00000,270
00000,244
22222,46
= 270,00000 α
00000,1
90370,0
17119,0
Iterasi 3
ω2
33
23
13
a
a
a
= α
1621620
108216108
081105
00000,1
90370,0
17119,0
= α
40000,308
68889,321
17531,91
= 308,40000 α
00000,1
04309,1
29564,0
Iterasi 4
ω2
33
23
13
a
a
a
= α
1621620
108216108
081105
00000,1
04309,1
29564,0
= α
98054,330
23649,365
53245,115
= 330,98054 α
00000,1
10350,1
34906,0
Iterasi 5
ω2
33
23
13
a
a
a
= α
1621620
108216108
081105
00000,1
10350,1
34906,0
= α
76673,340
05425,384
03479,126
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 47
= 340,76673 α
00000,1
12703,1
36986,0
Iterasi 6
ω2
33
23
13
a
a
a
= α
1621620
108216108
081105
00000,1
12703,1
36986,0
= α
57882,344
38293,391
12434,130
= 344,57882 α
00000,1
13583,1
37763,0
Iterasi 7
ω2
33
23
13
a
a
a
= α
1621620
108216108
081105
00000,1
13583,1
37763,0
= α
00444,346
12363,394
65369,130
= 346,00444 α
00000,1
13907,1
38050,0
Iterasi 8
ω2
33
23
13
a
a
a
= α
1621620
108216108
081105
00000,1
13907,1
38050,0
= α
52950,346
13302,395
21695,132
= 346,52950 α
00000,1
14026,1
38155,0
Iterasi 9
ω2
33
23
13
a
a
a
= α
1621620
108216108
081105
00000,1
14026,1
38155,0
= α
72179,346
50269,395
42323,132
= 346,72179 α
00000,1
14069,1
38193,0
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 48
Iterasi 10
ω2
33
23
13
a
a
a
= α
1621620
108216108
081105
00000,1
14069,1
38193,0
= α
79206,346
63779,395
49861,132
= 346,79206 α
00000,1
14085,1
38207,0
Iterasi 11
ω2
33
23
13
a
a
a
= α
1621620
108216108
081105
00000,1
14085,1
38207,0
= α
81773,346
68713,395
52614,132
= 346,81773 α
00000,1
14091,1
38212,0
Iterasi 12
ω2
33
23
13
a
a
a
= α
1621620
108216108
081105
00000,1
14091,1
38212,0
= α
82710,346
70514,395
53620,132
= 346,82710 α
00000,1
14093,1
38214,0
Iterasi 13
ω2
33
23
13
a
a
a
= α
1621620
108216108
081105
00000,1
14093,1
38214,0
= α
83052,346
71171,395
53987,132
= 346,83052 α
00000,1
14094,1
38215,0
Iterasi 14
ω2
33
23
13
a
a
a
= α
1621620
108216108
081105
00000,1
14094,1
38215,0
= α
83177,346
71412,395
54120,132
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 49
= 346,83177 α
00000,1
14094,1
38215,0
Iterasi 15
ω2
33
23
13
a
a
a
= α
1621620
108216108
081105
00000,1
14094,1
38215,0
= α
83222,346
71499,395
54169,132
= 346,83222 α
00000,1
14094,1
38215,0
Iterasi 16
ω2
33
23
13
a
a
a
= α
1621620
108216108
081105
00000,1
14094,1
38215,0
= α
83239,346
71531,395
54187,132
= 346,83239 α
00000,1
14094,1
38215,0
Iterasi 17
ω2
33
23
13
a
a
a
= α
1621620
108216108
081105
00000,1
14094,1
38215,0
= α
83245,346
71543,395
54194,132
= 346,83245 α
00000,1
14094,1
38215,0
Iterasi 18
ω2
33
23
13
a
a
a
= α
1621620
108216108
081105
00000,1
14094,1
38215,0
= α
83247,346
71547,395
54196,132
= 346,83247 α
00000,1
14094,1
38215,0
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 50
Iterasi 19
ω2
33
23
13
a
a
a
= α
1621620
108216108
081105
00000,1
14094,1
38215,0
= α
83248,346
71549,395
54197,132
= 346,83248 α
00000,1
14094,1
38215,0
Iterasi 20
ω2
33
23
13
a
a
a
= α
1621620
108216108
081105
00000,1
14094,1
38215,0
= α
83248,346
71549,395
54197,132
= 346,83248 α
00000,1
14094,1
38215,0
Iterasi dapat dihentikan pada iterasi 20, karena nilai-nilai vektor {a} telah konvergen ke
suatu nilai. Dari hasil iterasi yang dilakukan, diperoleh bentuk modus dan frekuensi
natural getaran untuk Mode Shape 3 sebagai berikut :
Frekuensi Getaran (3)
33 = 346,83248 α = 346,83248
327
4
mh
EI = 51,38259
3mh
EI
ω3 = 7,16817 3mh
EI
Bentuk Modus 3 (Mode Shape 3)
33
23
13
a
a
a
=
00000,1
14094,1
38215,0
33
23
13
a
a
a
00000,1
14094,1
38215,0
KONVERGEN
Multi Degrees of Freedom System
Oscar M (132 258 564) III – 51
Mode Shape 1 Mode Shape 2 Mode Shape 3
ω1 = 1,190253
hm
EI ω2 = 4,33085
3hm
EI ω1 = 7,16817
3hm
EI
Frekuensi Natural dan Mode Shape Bangunan Geser 3 Lantai pada Contoh 3.2
a23 = – 1,14094
a13 = 0,38215
a33 = 1,00000
a22 = 0,21849
a12 = – 0,81915
a32 = 1,00000
a21 = 0,94097
a11 = 0,79863
a31 = 1,00000