Bab I

Pendahuluan

Suatu gerak yang berulang pada selang waktu yang tetap disebut gerak

periodik. Beberapa contohgerak gerak periodik adalah gerak ayunan bandul ,getaran

senar biola dll. Dalam kenyataannya kebanyakan gerak diatas tidaklah betul-betul

periodik karena pengaruh gaya gesekan yang membuang energi gerak. Jadi benda

yang berayun lama akan berhenti. Jika gaya gesekan-gesekan ini dimasukan dalam

perhitungan maka gerak yang terjadi adalah gerak periodik teredam. Pemecahan dari

masalah gerak periodik atau dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi sinus dan cosinus.

Fungsi tersebut dinamakan fungsi harmonik, gerak dengan persamaan berupa fungsi

sinus disebut gerak harmonik sederhana.

Setiap gerak yang berulang dalam selang waktu yang tetap adalah

periodik,jika geraknya merupakan gerak bolak-balik pada jalan yang sama gerak ini

disebut gerak osilasi atau getaran. Suatu getaran (fibrasi) merupakan satu gerakan

pulang dan pergi.

Bab II

Gerak harmonik sederhana

Jika suatu partikel bergetar sekitar posisi setimbang atau pada saat gaya pada

suatu partikel sebanding dengan jarak suatupartikrl dalam posisi setimbang maka

partikel tersebut dinamakan melakukan gerak hahmonik serhana. Gaya selalu

bermaksud mengembalikan partikel pada posisi setimbang yang disebut gaya balik.

Contoh dari gerak harmonik sederhana adalah gerak suatu partikel bermassa

yang diikat pada suatu pegas. Pegas mempunyai elastik sifat elastis tidak hanya terjadi

pada pegas saja akan tetapi pada hampir setiap benda dalam batas-batas tertentu. Jika

batang-batang kawat direnggangkan dengan suatu gaya,maka kawat akan bertambah

panjang. Jika gaya yang digunakan kawat tidak terlalu besar,maka perpanjangan

kawat adalah setimbang dengan gaya yang bekerja. Ini pertama kali ditemukan oleh

Robert Hooks seorang kenalan newton,dan digunakan dalam hulum Hook dan dapat

ditulis sebagai berikut :

F= - kx

Dimana x adalah deformasi atau perubahan panjang, F gaya balik oleh bahan dan

k adalah suatu konstanta pembanding. Untuk pegas, k disebut konstanta pegas.

Tanda negatif berarti gaya kearah kiri bila x dan kearah kanan positif. Gaya pada

partikel selalu menuju posisi setimbang x = 0.

Dari hukun II newton diperoleh hubungan

atau (3.2)

Ingat bahwa untuk setiap sistem dengan massa m dimana bekerja gaya F = -kx

persamaan ini berlaku. Persamaan diatas memberi hubungan antara fungsi waktu

dengan turunan kedua dari fungsi tersebut terhadap waktu,yaitu .

Untuk mendapatkan posisi partikel terhadap waktu kita harus mencari fungsi

x(t) yang memenuhi persamaan diatas. Persamaan (3.2) dapat ditulis sebagai :

(3.3)

Dari persamaan (3.3) tampak bahwa fungsi x sedemikian rupa jika diturunkan

terhadap t maka kita akan memperoleh angka negatif lalu dikalikan dengan suatu

tetapan. Dari kalkulus deferensial bahwa fungsi sinus atau cosinus memenuhi fungsi

ini misalnya :

dan

(3.4)

Lebih umum lagi persamaan (3.3) juga dipenuhi oleh fungsi

X(t)=A cos (ω t + )

Diman A, ω dan adalah tetapan. Jika persamaan (3.4) kita deferensialkan dua kali

maka akan diperoleh :

Dan

(3,5)

Sedang

(3.6)

Jelas persamaan (3.3) dipenuhi jika :

atau

Jadi jika maka fungsi adalah suatu solusi dari persamaan

deferensial gerak harmonik. Harga tetapan-tetapan A dan masih belum tentu ,jadi

masih masih dapat mempunyai harga sembarang. Karena persamaan yang digunakan

berorde dua maka ada dua tetapan yang tidak tentu. Harga A dan untuk gerak

harmonik ditentukan oleh suatu gerak partikel pada awal gerak. Jika dilihat dari arti

fisis dari tetapan ω dan waktu t pada persamaan (3.4) dan ditambah maka akan

diperoleh :

X = A cos (ω(t + )+ )

=A cos (ωt + + )

=A cos (ωt + )

Jadi fungsi kembali pada harga semula setelah selang waktu ,sehingga

adlah periode gerak yaitu T. Karena maka akan diperoleh :

Jadi semua gerak yang memenuhi persamaan (3.3) perioda yang sama.,dan ditentukan

oleh massa m dari partikel yang bergetar dan konstanta pegas k.

Frekwensi osilator adalah banyaknya getaran penuh dalam satuan waktu.yang

dirumuskan oleh :

dan

Besaran ω sering kali disebut sebagai frekuensi sudut karena mempunyai harga 2

Kali frekwensi f ,sehingga mempunyai satuan radial/detik. Fungsi cosinus mempunyai

niali ( +1) dan (-1). Perpindahan x dari posisi setimbang pada X=0 mempunyai harga

maksimum A. Besaran (ω t + ) disebut fasa dari gerak harmonik. Tetapan disebut

tetapan fasa,dua buah gerak mungkin mempunyai amplitudo dan perioda yang sama

akan tetapi fasa yang berbeda. Jika = misalnya :

X=A cos (ωt + )

= A cos (ωt- 90)

= A sin ωt

Sehingga harga perpindahan x sama dengan nol pada saat t=0. Jika harga maka kita

peroleh solusi :

X = A cos ωt

Yang pada saat t = 0 mempunyai harga maksimum. Harga konstanta yang lain akan

memberikan simpangan awal yang berlainan pula. Amplitudo A dan konstanta fasa

dari osilasi ditentukan oleh posisi dan laju awal dari partikel. Kedua syarat harga A

dan yang tertentu. Sekali gerak sudah dimulai,partikel akan brgerak dengan

amplitudo dan tetapan fasa yang konstan pada suatu harga frekwensi.

Keterangan : warna ungu untuk : (t)

Warna kuning untuk : (t)

Gambar 3.1 menyatakan gerak harmonik sederhana untuk dua benda dengan

pesamaan gerak (t) dan (t). Kedua gerak ini berbeda fasa . Tampak bahwa

jika gerak (t) benda mencapai simpangan maksimum positif,benda dua dengan

gerak (t) selalu berada pada simpangan maksimum negatif. Kedua benda mencapai

titik nol (titik setimbang)selalu pada saat yang sama ,sehubungan dengan ini dua

benda yang berhubungna harmonik dengan beda fasa f dikatakan berlawanan

fasa.

Keterangan : warna ungu untuk : (t)

Warna kuning utuk : (t)

Gambar 3.2 menunjukan grafik x(t) untuk dua benda yang bergerak dengan

harmonik dengan fasa sama. Benda pertama bergerak dengan persamaan (t) dan

(t). Walaupun kedua amplitudo gerak ini berbeda , kedua benda selalu pada

simpangan maksimum positif ,titik setimbang,maksimum negatif pada saat yang

sama. Gerak seperti ini disebut gerak sefasa.

Gambaran fisis untuk dua gerak harmonik berbeda fasa tidaklah mudah untuk

dibuat,suatu cara untuk menggambarkan ini dengan melukiskan grafik x(t). Sifat lain

dari gerak harmonik sederhana adalah hubungan antara simpangan , percepatan , dan

kecepatan dari partikel yang berosilasi.jika dibandingkan ketiga persamaan tersebut

menjadi :

X(t) = A cos ω

Untuk kecepatan percepatan

Sehingga untuk persamaan gerak diatas kita peroleh persamaan :

= - A ω sin ωt dan = - A cos

ωt

Grafik persamaan ketiganya dapat dilukiskan sebagai berikut :

Contoh soal!

1. sebuah denda bermasa titik mempunyai berat 500 gram dipasang pada pegas

tanpa massa dan digetarkan diatas lantai datar tanpa gesekan. Getaran terjadi

sepanjang sumbu –x dan mempunyai persamaan gerarak benda x(t)= 100+ 10

cos ( t+ 60) dengan x posisi benda dalam cm.maka tentukan lah :

posisi pegas bila benda dalam keadaan kendor

perioda getaran

posisi awal , kecepatan awal , dan laju maksimum

tetapan pegas

basaran dan gaya tarik pada pegas

Jawab :

Dalam menentukan posisi benda bila pegas dalam keadaan kendor, kita

perlu ingat bahwa simpangan getaran(dihitung dari posisi setimbang)

Pegas dalm keadaan kendor bila = 0 ,jadi posisi posisi benda jika

pegas dlam keadaan kendor adalah x = 100 cm. Posisi setimbang ini

dicapai pada saat = 0 ,jadi posisi setimbang

terjadi pada saat :

Yaitu untuk

Guna menentukan perioda getaran perlu diingat bahwa bentuk uum

persamaan harmonik adalah :

= A cos

Dengan A amplitudo getaran dan fasa awal,frekwensi sudut ω

dinyatakan dalam bentuk radial/detik dan sebanding dengan f (dalam

cps atau herzt sebagai ω= ) sehingga dapat ditulis persamaan :

Sehingga diperoleh frekwensi getaran :

Dalam satu detik terjadi 5/2 getaran,berarti perioda getarannya :

Posisi awal benda dapat ditentukan dengan mengambil t = 0,sehingga

X(t = 0) = 100+10 cos = 105 cm

Dari titik asal sumbu x yaitu disebelah kanan titik setinbang. Pada saat

awal tersebut benda sedang bergerak dan kecepatan awal dapat

ditentukan dari persamaan gerak benda. Kecepatan sesaat dapat

dihitung dari :

Pada saat t = 0 kecepatan benda adalah :

Tanda negatif berarti pada saat t =0 benda sedang bergerak ke arah

sumbu x negatif (kekiri).

Tetapan pegas dapat ditentukan bila massa benda dan frekwensi getar

diketahui yaitu dari hubungan gerak jadi kita peroleh :

Dengan menggunakan satuan maksimum kmasukan harga m = 0,5 kg

sehingga :

= 12,5

Ingat bahwa radail adalah suatu sudut tanpa dimensi karena radial

menyatakan sudut dalam satuan

Gaya tarik pada pegas dapat dihitung dangan dua cara yang pertama

dapat dihitung menggunakan hukum hooke atau dengan menggunakan

hukum newton.

Menggunakan cara 1 :

Hukum hooke menyatakan bahwa dalam batas elastisitas gaya dalam

pegas adalah sebanding dengan pertambahan panjang pegas,sedang

pertambahan panjang pegas sama dengan simpangan osilasi (getaran)

jadi dapat dihitung dengan :

F = + k

Sedang untuk t = 0

F(t = 0) = + k (t = 0)

= + (12,5)

= + 6,16 newton

Tanda positif berarti gaya ke arah kanan.

Menggunakan cara II :

Hukum newton menyatakan bila suatu benda bermassa m mempunyai

percepatan a gaya yang bekerja pada benda tersebut haruslah sama

dengan F = m.a. tentukan percepatan sesaat benda dari bentuk fungsi

kecepatan sesaat v(t) yaitu dari hubungan :

Pada saat t = 0 percepatan benda adalah :

=

Karena massa benda m = 0,5 kg gaya yang bekerja haruslah :

F = m.a = (0,5kg) ( )

= - 6,16 newton (arah kiri)

Gaya pada pegas adlah reaksi dari gaya F paa benda gan dari hukum

III newton = - sehingga gaya tarik pada pegas adlah :

= + 6,16 newton (karah kanan)

Sesui engan hasil yang diperoleh dengan [enghitungan hukum hooke.]

2. sebuah benda titik bermassa 200 gr dipasang tanpa pegas tanpa massa dan

digetarkan di atas lantai tanpa gesekan. Gerak osilasi yang terjadi sepanjang

sumbu –x dapat dianggap sebagai gerak harmonik sedarhana.diketahui hal-hal

berikut :

posisi setimbang terletak pada jarak 50 cm dari titik asal sumbu x. Pada saat

t = 0 benda ditarik sejauh 10 cm kekiri dari titik setimbang dan kemudaian

dilepaskan,pagas yang digunakan memilika sifat apabila untuk meregang

pegas sebanyak 10 cm diperlukan gaya 5 newton. Tentukan :

berapa benyak osilasi(getaran) dalam satu menit

persamaan derak benda

bentuk grafik x(t) untuk gerak benda ini.

Jawab :

Untuk menentukan banyaknya osilasi dalam satu menit kmaka harus

diketahui nilai f osilasi. Diketahui untuk frekwensi sudut yaitu

berhubungan degan ketetapan pegas k dan massa benda m dari

. k dapat dihitung dapat dihitung dengan cara meregangkan pegas

sepanjang 10 cm dan diperlukan gaya 5 newton. Hukum hooke

menyatakan F = k tetapan pembanding k tidak lain adalah tetapan

pegas jadi :

Selanjutna frekwensi sudut dapat dihtung dengan memasukan m

= 200 gr

=

Frekwensi getaran f = sehingga dalam satu menit terjadi

osilasi sebanyak det x 60 det = osilasi.

Persamaan gerak benda yitu posisi gerak benda tiap saat dapat

ditentukan dengan . Besaranya menyatakanposisi

setimbang saat benda diukur dari titik asal sumbu –x ,besaran

menyatakan simpangan sesaat tehadap posisi setimbang. Untuk gerak

harmonik sederhana simpangan ini mempunyai bentuk umum :

Dengan amplitudo osilasi dan fasa awal osilasi. Pada saat t = 0

benda dilepas dari simpangan sebesar 10 cm disebelah kiri posisi

setimbang. Ini berarti amplitudo osilasi A = 10 cm dan pada saat T = 0

benda mempunyai simpangan = -10 cm. Jadi berlaku hubungan

atau

Pemecahan persamaan diatas memberikan . Akhirnya

persamaan gerknya dapat ditulis sebagai berikut :

Persamaan gerak dapat dilukiskan dalam grfik x(t).

Bab III

Penutup

Kesimpulan

Gerak harmonik adalah gerak danga persamaan fungsi sinuJika

suatu partikel bergetar sekitar posisi setimbang atau pada saat gaya

pada suatu partikel sebanding dengan jarak suatu partikel dalam posisi

setimbang maka partikel tersebut dinamakan melakukan gerak

hahmonik serhana. Gaya selalu bermaksud mengembalikan partikel

pada posisi setimbang yang disebut gaya balik.

Perioda getaran yaitu waktu yang diperlukan untuk satu kali geteran di

simbolkan dengan huruf T,sedang frekwensi gerak adalah jumlah

fribasi dalam satu satuan waktu. Posisi saat gaya sama dengan nol

disebut dengan posisi setimbang , simpanan linier atau sudut adalah

jarak antara partikel yang berosilasi dari keadaan setimbang.

Setiap gelombang muncul akibat adanya benda yang bergetar.

Daftar pustaka

Sutrisno . 1977. Fisika dasar, makanika. Bandung : ITB.

Zaelani, ahmad dkk. 2006. Bimbingan pemantapan fisika. Bandung : Yarma widia.

http:// www guru muda.com/gerak harmonik/ diakses tanggal 12 desember 2009

pukul 13.50.

http:\Gelombang Harmonik _ Gudang Ilmu Fisika Gratis.htm .Gelombang Harmonik

Saturday Dec 19,2009 10:30 PM By san In Gelombang Mekanik

TUGAS PRAKTIKUM

SISTEM LINIER

PRAKTEK 4

“Gejala fisika yang berhubungan dengan deferensial “

Dosen Pengampu : Drs. Herdi Saputra, M.Pd

Disusun Oleh :

Nama : Indah Pangestuti

NIM : 5301408074

Prodi : Pend. Teknik Elektro, S1

JURUSAN TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2009