1
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR.................................................................................................................. i
DAFTAR ISI ................................................................................................................................ ii
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang .................................................................................................................. 1
1.2 Rumusan Masalah ............................................................................................................. 3
1.3 Tujuan Penulisan .............................................................................................................. 4
1.4 Manfaat Penulisan ............................................................................................................ 4
1.5 Prosedur Penulisan Makalah ............................................................................................ 5
1.6 Sistematika Penulisan Makalah ....................................................................................... 5
BAB II KAJIAN PUSTAKA
2.1 Pengertian Kelelahan (Fatigue) ...................................................................................... 6
BAB III PEMBAHASAN 3.1 Distribusi Birnbaum Saunders ...................................................................................... 10
3.2 Bentuk Fungsi Hazard .................................................................................................. 11
3.3 Perubahan Titik Hazard ................................................................................................. 16
3.4 Estimasi Perubahan Titik .............................................................................................. 19
BAB IV ANALISIS HASIL DAN ILUSTRASI CONTOH
4.1 Analisis Hasil .................................................................................................................. 21
4.2 Ilustrasi Contoh ............................................................................................................... 22
BAB V PENUTUP
5.1 Kesimpulan...................................................................................................................... 26
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................... 27
LAMPIRAN ............................................................................................................................... 28
2
Abstrak
Dalam tulisan ini, dibahas bentuk fungsi hazard pada distribusi Birnbaum-Saunders. Secara khusus, ditetapkan bahwa fungsi hazard distribusi Birnbaum-Saunders adalah fungsi terbalik untuk semua nilai dari bentuk parameter . Pada reabilitas dan analisis survival, yang paling penting adalah untuk menentukan titik di fungsi hazard yang mencapai maksimum, disini digunakan estimator berbeda dari titik dan mengevaluasi kinerjanya dengan menggunakan simulasi Monte Carlo. Selanjutnya, menganalisis satu set data dan menggambarkan semua metode inferensial yang dikembangkan dan akhirnya membuat beberapa catatan penutup.
3
BAB I
PENDAHULUAN
1.1.Latar Belakang
Dua-Parameter distribusi Birnbaum-Saunders (BS) awalnya diusulkan oleh
Birnbaum dan Saunders [4, 5] sebagai distribusi waktu kegagalan untuk kegagalan
kelelahan(fatigue) yang disebabkan pembebanan bawah siklik. Fungsi distribusi kumulatif
dari dua parameter random Birnbaum Saunders dalam variabel T adalah dalam bentuk
푭(풕;휶,휷) =ퟏ휶
풕휷
ퟏퟐ−
휷풕
ퟏퟐ
, ퟎ < 푡 < ∞, 훼,훽 > 0 (ퟏ)
dimana Φ(. ) adalah normal standar fungsi distribusi kumulatif. Parameter 훼 dan 훽
di (1) dimana masing-masing merupakan bentuk dan skala parameternya. Meskipun
distribusi Birnbaum Saunders awalnya diusulkan sebagai distribusi waktu kegagalan untuk
kegagalan (kelelahan)fatigue dengan asumsi bahwa kegagalan ini dapat terlihat dengan
mengembangkan dan menumbuhkan celah yang dominan, derivasi lebih umum diberikan
oleh Desmond [9] didasarkan pada model biologis. Desmond [9] juga memperkuat
pembenaran untuk penggunaan distribusi ini, dengan asumsi yang dibuat awalnya oleh
Birnbaum dan Saunders [4]. Beberapa pekerjaan baru pada distribusi Birnbaum Saunders
dapat ditemukan di Balakrishnan. [2], dan Chang Tang [7, 8], Dupuis dan Mills [10], From
dan Li [11], Lemonte. [16], Rieck [23, 24], Ng . [18, 19], Owen [20] dan Xie dan Wei [26].
Tinjauan singkat dari perkembangan perbedaan pada distribusi Birnbaum Sauders sampai
1995 dapat ditemukan di buku oleh Johnson. [14].
4
Hal ini dikenal (lihat untuk contoh, Johnson[14]) bahwa fungsi kepadatan distribusi
Birnbaum Saunders adalah unimodal. Meskipun beberapa artikel yang telah diterbitkan
dalam tiga tahun terakhir, pembahasannya mengenai metode ini dengan perbedaan
inferensial untuk parameter dan sifat dari distribusi Birnbaum Saunders, namun mengenai
bentuk fungsi hazard belum diperiksa mungkin dikarenakan bentuknya yang kompleks.
Mann . [17] menyebutkan bahwa fungsi hazard dari distribusi Birnbaum Saunders tidak
meningkat dalam fungsi t, meskipun mereka tidak memberikan bukti formal untuk itu.
Dalam tulisan ini, pertama-tama akan dibuktikan bahwa fungsi hazard dari distribusi
Birnbaum Saunders adalah fungsi terbalik dari t > 0 untuk semua nilai dari bentuk
parameter 훼 dan skala parameter ß.
Hal ini tidak umum untuk model survival dan data waktu kegagalan dengan
distribusi yang memiliki fungsi hazard yang monoton. Tapi dalam situasi praktis, fungsi
hazard tidak monoton dan pada kenyataannya meningkat sampai titik tertentu serta
kemudian menurun. Misalnya, dalam studi pemulihan dari kanker payudara, yang telah
diamati oleh Langlands. [15] bahwa kematian maksimum terjadi setelah sekitar tiga tahun
dan kemudian menurun perlahan-lahan selama periode waktu yang tetap. Namun contoh
lain menyangkut kanker paru-paru Veteran Administrasi yang mengungkapkan bahwa
tingkat kegagalan untuk kinerja kelompok rendah dan kelompok tinggi statusnya adalah
terbalik (Bennett [3]). Dalam kasus ini, kuantitas natural yang penting adalah titik dimana
fungsi hazard itu maksimum, lihat Gupta. [13]. Akhirnya, kita mengacu pada titik ini
sebagai titik perubahan fungsi hazard dan sebagai perubahan monotonisitas yang asalnya
meningkat menjadi menurun pada titik itu.
5
Dalam makalah ini, diselidiki titik perubahan fungsi hazard dari distribusi Birnbaum
Saunders dan mendiskusikan beberapa metode estimasi untuk titik perubahannya.
Titik perubahan merupakan fungsi dari dua parameter distribusi Birnbaum Saunders,
yang akan menjadi logis untuk memperkirakan titik perubahan dengan mengganti parameter.
Beberapa metode estimasi telah dibahas oleh Ng et al. [18] yang telah diamati bahwa saat
penduga estimator moment dimodifikasi (The Modified Moment Estimator) dan bias
momen estimator dikoreksi dan dimodifikasi (The Bias-Corrected Modified Moment
Estimator) yang cukup efisien dan juga mudah untuk diterapkan ke dalam komputasi. Untuk
alasan ini,disini diusulkan untuk memperkirakan titik perubahan dengan mengganti dua
parameter yang diketahui sesuai MMEs dan BCMMEs. Selanjutnya, diperoleh asimtotik
distribusi dari estimator dari titik perubahan. Disarankan digunakan metode non-bootstrap
parametrik untuk mendapatkan interval kepercayaan untuk titik perubahannya. Kemudian
mengevaluasi kinerja dari estimator bias dan variansi dengan cara simulasi Monte Carlo
untuk ukuran sampel yang kecil, sedang dan besar. Akhirnya, dianalisis data riil yang
menetapkan dan menggambarkan semua metode inferensial yang dibahas disini.
1.2. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah diatas, penyusun merumuskan masalah sebagai
berikut :
1. Bagaimana bentuk FKP dan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Birnbaum
Saunders?
2. Bagaimana bentuk mean, varians dari distribusi Birnbaum Saunders?
3. Apakah fungsi hazard dari distribusi Birnbaum Saunders adalah fungsi terbalik?
6
4. Bagaimana titik perubahan fungsi hazard dari distribusi Birnbaum Saunders?
5. Bagaimana metode estimasi yang paling cocok untuk titik perubahannya?
6. Bagaimana hasil analisis dengan simulasi Monte Carlo?
7. Bagaimana contoh ilustrasi dari distribusi Birnbaum Saunders?
1.3. Tujuan Penulisan
Sejalan dengan rumusan masalah diatas, makalah ini disusun dengan tujuan untuk
mengetahui dan mendeskripsikan :
1. Mengetahui bentuk FKP dan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Birnbaum
Saunders.
2. Mengetahui bentuk mean dan varians dari distribusi Birnbaum Saunders.
3. Mengetahui fungsi hazard dari distribusi Birnbaum Saunders adalah fungsi terbalik.
4. Mengetahui titik perubahan fungsi hazard dari distribusi Birnbaum Saunders.
5. Mengetahui metode estimasi yang paling cocok untuk titik perubahannya.
6. Mengetahui hasil analisis dengan simulasi Monte Carlo?
7. Mengetahui contoh ilustrasi dari distribusi Birnbaum Saunders?
1.4. Manfaat Penulisan Makalah
Makalah ini disusun dengan harapan memberikan kegunaan yang baik secara teoritis
maupun praktis. Secara teoritis makalah ini berguna untuk memudahkan pemahaman dalam
pembelajaran tentang fungsi hazard distribusi Birnbaum Saunders. Secara praktis makalah
ini diharapkan bermanfaat bagi mahasiswa untuk mengetahui bahwa terdapat fungsi hazard
7
sebagai fungsi balikan dari distribusi Birnbaum Saunders dan bagaimana contoh kasus dari
distribusi Birnbaum Saunders.
1.5. Prosedur Penulisan Makalah
Makalah ini disusun dengan menggunakan pendekatan kualitatif. Metode yang
digunakan adalah metode deskriptif. Melalui metode ini penyusun akan menguraikan
permasalahan yang dibahas secara jelas dan komprehensif.
1.6. Sistematika Penulisan Makalah
Pada BAB I Pendahuluan, membahas tentang latar belakang, rumusan masalah, tujuan
penulisan makalah, manfaat penulisan makalah dan prosedur makalah.
BAB II Kajian Pustaka, membahas tentang pengertian kelelahan (fatigue), sejarah
perkembangannya, contoh kasus dan bagaimana mekanisme terjadinya kelelahan (fatigue).
BAB III Pembahasan, membahas tentang pembahasan beberapa karakteristik dasar
dari distribusi Birnbaum Saunders, bentuk fungsi hazard dari distribusi Birnbaum Saunders
terbalik, menunjukan titik perubahan fungsi hazard dapat ditentukan sebagai solusi dari
persamaan non-linear dan perbedaan metode estimasi titik perubahan.
BAB III Deskripsi dan Analisis, membahas tentang deskripsi beberapa hasil koperatif
berdasarkan simulasi Monte Carlo dan set data yang telah dianalisis.
BAB IV Penutup, berisi kesimpulan
Daftar Pustaka
Lampiran
8
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
Kelelahan (Fatigue) adalah salah satu jenis kegagalan (patah) pada komponen
akibat bebas dinamis (pembebanan yang berulang-ulang atau berubah-ubah terhadap waktu).
Diperkirakan 50%-90% kegagalan mekanis disebabkan oleh kelelahan.
Adapun sejarah perkembangannya pada tahun 1800, fenomena kegagalan lelah
pertama kali menjadi perhatian ketika poros railroad-car(rel kereta api) yang terbuat dari
baja ulet mengalami kegagalan seperti material getas setelah beroperasi dalam selang waktu
tertentu.
Tahun 1843, Rankin menerbitkan paper “On the Causes of Unexpected Breakage of
Journals of Railway Axles” berisi postulasinya yang menyebutkan bahwa material
mengalami crystallized(mengkristal) dan menjadi material getas akibat tegangan yang
berfluktuasi. Beban dinamik menjadi suatu fenomena baru pada saat diperkenalkannya
mesin uap (steam power machinery), yang mana poros pada mesin tersebut disambung
secara fix dengan roda sehingga berputar bersama-sama roda. Pada kasus ini tegangan
bending pada beberapa titik di permukaan poros bervariasi dari negatif ke positif dan selalu
berulang-ulang mengikuti siklus tertentu seperti pada gambar dibawah:
9
Tahun 1870, Seorang insinyur jerman bernama August Wohler mempublikasikan
penemuan hasil penelitiannya selama lebih dari 12 tahun tentang kegagalan lelah. Penelitian
Wohler berupa investigasi kegagalan poros yang menerima beban fully reserved. Hasil
penemuannya berisi identifikasi jumlah siklus waktu terhadap variasi tegangan dan
menemukan adanya endurance limits (level tegangan yang masih dapat ditoleransi per sejuta
siklus fully reversed stress) pada baja.
Wohler juga melakukan uji tarik pada poros yang telah patah dan didapatkan bahwa
material poros tersebut masih sekokoh dan sekuat material aslinya (material sebelum diuji).
Contoh akibat dari kegagalan (fatigue) yang berpengaruh terhadap kehidupan manusia:
1. Tahun 1954 pesawat jet komersial, British Comet, mengalami dua kecelakaan fatal
akibat kegagalan fatigue pada badan pesawat terbang akibat siklus peningkatan/
pengurangan tekanan pada kabin pesawat.
2. Tahun 1988, pesawat Boeing 737 milik Hawaiian Airlines kehilangan sepertiga kabin
bagian atas ketika terbang dengan ketinggian 25 000 ft.
Ada tiga tahap terjadinya kegagalan (fatigue)lelah, yaitu crack initiation, crack
propagation,dan fracture secara tiba-tiba akibat pertumbuhan crack yang tidak stabil.
1. Crack initiation
Ketika ada beban yang berosilasi (beban dinamik) di daerah notch(stress
concentration)akan menyebabkan local yielding pada daerah tersebut Yielding plastis
yang terlokalisasi tersebut menyebabkan distorsi dan membentuk “ slip band ”
sepanjang batas kristal material. Slip band adalah daerah yang sangat intens
mengalami deformasi akibat shear motion. Dengan semakin banyaknya tegangan
yang berosilasi maka slip band terus bertambah dan akan bergabung membentuk
10
mikroskopic crack . Walaupun tidak ada notch mekanisme ini tetap terjadi sepanjang
beban dinamik melampaui yield strength di suatu daerah mikroskopik pada material.
Keberadaan void atau inclusion membantu terjadinya crack. Material yang
kekokohannya lebih rendah cenderung lebih cepat mengalami crack, dengan kata lain
material tersebut “ more notch sensitivity ”.Untuk material getas, mekanisme local
yield (crack initiation) tidak terjadi, tetapi langsung ke tahap crack propagation di
tempat dimana terdapat void atau inklusi pada material.
2. Crack propagation
Crack yang berujung tajam menimbulkan konsentrasi tegangan yang lebih besar
dibandingkan dengan notch, dan daerah plastis selalu timbul di ujung crack ketika
crack terbuka akibat tegangan tarik, yang kemudian menumpulkan crack. Crack yang
cctumpul mengurangi efektivitas konsentrasi tegangan. Ketika tegangan tarik
berubah siklus ke tegangan tekan/ nol/ tegangan tarik yang cukup kecil seperti pada
gambar a, b dan c di samping akan menyebabkan crack menutup dan momentarily
yielding berhenti dan hal ini menyebabkan crack meruncing kembali tetapi dengan
dimensi yang lebih besar. Hal ini terjadi berulang-ulang sepanjang tegangan lokal di
ujung crack bersiklus mulai dari bawah tegangan tarik yield (<s ) sampai tegangan
diatas tegangan tarik yield (>s).
3. Korosi
Mekanisme lain penyebab crack propagation adalah korosi. Apabila ada suatu
komponen mesin yang terdapat crack di dalamnya berada di lingkunagan korosif
maka crack dapat tumbuh ketika menerima beban statik. Kombinasi tegangan dan
korosi memiliki efek yang saling bersinergi satu sama lain yang mana material akan
11
cepat terkorosi ketika menerima tegangan dibandingkan material yang tidak
menerima tegangan. Kondisi akibat kombinasi tersebut dapat berbentuk stress-
corrosion (tegangan yang mempercepat korosi) atau environmentally assisted
cracking (lingkungan korosif yang membantu crack propagation). Jika komponen
mesin tersebut menerima beban dinamik di lingkungan korosif, maka akan lebih
cepat pertumbuhan crack-nya dibandingkan jika tidak berada di lingkungan korosif.
Hubungan ini dapat juga disebut corrosion-fatigue.
12
BAB III
PEMBAHASAN
3.1. Distribusi Birnbaum-Saunders
Fungsi kepadatan probabilitas (FKP) dari dua parameter Birnbaum Saunders dengan T
variabel acak yang saling berkaitan dengan ke fungsi distribusi kumulatif di (1) dinyatakan
sebagai berikut
풇(풕;휶,휷) =ퟏ
ퟐ√ퟐ흅휶휷휷풕
ퟏퟐ
+휷풕
ퟑퟐ
풆풙풑 –ퟏퟐ휶ퟐ
풕휷 +
휷풕 − ퟐ ,
ퟎ < 푡 < ∞;훼,훽 > 0 (2)
Pertimbangkan sekarang transformasi monoton
푿 =ퟏퟐ
푻휷
ퟏퟐ−
푻휷
ퟏퟐ
(3)
atau
푻 = 휷 ퟏ+ ퟐ푿ퟐ + ퟐ푿(ퟏ+ 푿ퟐ)ퟏퟐ (4)
Kemudian dari (1), X didistribusikan secara normal dengan mean nol dan varians
(훼 4⁄ ).Transformasi dalam (4) adalah transformasi yang sangat berguna karena
memungkinkan perhitungan saat T diketahui hasilnya dikenal ekspektasi fungsi X. untuk
contohnya, diperoleh:
푬(푻) = 휷 ퟏ +ퟏퟐ휶
ퟐ , (5)
푽(푻) = (휶휷)ퟐ ퟏ +ퟓퟒ휶
ퟐ , (6)
13
휷ퟏ(푻) =ퟏퟔ휶ퟐ(ퟏퟏ휶ퟐ + ퟔ)
(ퟓ휶ퟐ + ퟒ)ퟑ , (7)
휷ퟐ(푻) = ퟑ +ퟔ휶ퟐ(ퟗퟑ휶ퟐ + ퟒퟏ)
(ퟓ휶ퟐ + ퟒ)ퟐ , (8)
Dimana E (T), V (T), ß1(T) dan ß2(T) masing-masing adalah nilai ekspektasi yang
diharapkan, varians, koefisien kemiringan(skewness), dan koefisien kurtosis. Hal ini juga
dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa jika T dalam distribusi Birnbaum Saunders dengan
parameter 훼 dan ß, maka T-1 juga merupakan distribusi Birnbaum Saunders dengan
parameter 훼 dan ß.
3.2. Bentuk Fungsi Hazard
Untuk menguji bentuk fungsi hazard, asumsikan bahwa parameter skala ß = 1,
tanpa kehilangan keumumannya dan perhatikan fungsi
흐(풕) = 풕ퟏퟐ − 풕
ퟏퟐ (9)
Dimana
흐(풕) =ퟏퟐ 풕
ퟏퟐ − 풕
ퟑퟐ =
ퟏퟐ풕 풕
ퟏퟐ − 풕
ퟏퟐ , 흐 (풕) =
풅풅풕 ∈
(풕) = −ퟏퟒ풕ퟐ 풕
ퟏퟐ + ퟑ풕
ퟏퟐ
(10)
dan juga
흐ퟐ(풕) = 풕 +ퟏ풕− ퟐ, (11)
Fungsi kepadatan dari distribusi BS dalam (2) (untuk ß = 1) maka
풇(풕;휶) = ퟏ√ퟐ흅휶
흐 (풕)풆ퟏ
ퟐ휶ퟐ∈ퟐ(풕) (12)
Dimana konjugasi diungkapkan dengan fungsi distribusi di (1), dan fungsi hazardnya
14
풉(풕;휶) = 풇(풕;휶)ퟏ 푭(풕;휶,ퟏ)
=ퟏ
√ퟐ흅휶∈ (풕)풆
ퟏퟐ휶ퟐ
∈ퟐ(풕)
횽 ∈(풕)휶
, (13)
Dari (13), bentuk h (t, 훼) sama sekali tidak jelas. Dibutuhkan lemma berikut untuk
mendukung hasil utama mengenai bentuk fungsi hazard h(t,훼) pada (13).
Lemma 1: Misalkan f (t), untuk t > 0, adalah fungsi kepadatan dari variabel acak bilangan
real yang bernilai positif kontinu, f‘(t) adalah turunan dari f (t), dan 휂(푡) = − ( )( )
.
Kemudian, jika ada yang t0 sehingga 휂 (푡) > 0 ,untuk setiap 푡 ∈ (0, 푡 ) = 0 푑푎푛 휂 (푡) <
0,푢푛푡푢푘 푠푒푡푖푎푝 푡 ∈ (푡 ,∞), fungsi hazard sesuai dengan f (t) adalah terbalik atau fungsi
menurunan di t.
Bukti: Lihat Glaser [12].
Lemma 2: Fungsi hazard distribusi Birnbaum-Saunders terbalik atau penurunan fungsi dari
t > 0, untuk semua nilai dari bentuk parameter 훼. .
Bukti: Dalam kasus ini, setelah didiferensialkan f (t, a) di (12) sehubungan dengan t,
maka didapatkan
풇 (풕;휶) = ퟏ√ퟐ흅휶
풆ퟏ
ퟐ휶ퟐ흐ퟐ(풕) 흐′′(풕) − ퟏ
휶ퟐ흐′(풕)
ퟐ흐(풕) ;
akibatnya, diperoleh
훈(퐭;훂) = −퐟 (퐭;훂)퐟(퐭;훂)
= −훜 (퐭)훜 (퐭)
−훜(퐭). 훜 (퐭)
훂ퟐ=ퟏퟐ퐭
+ퟏ
퐭(퐭+ ퟏ)+
ퟏퟐ훂ퟐ
−ퟏ
ퟐ훂ퟐ퐭ퟐ
dan
휼 (풕;휶) =풔(풕;휶)
ퟐ(풕+ ퟏ)ퟐ휶ퟐ풕ퟑ
dimana 풔(풕;휶) = −휶ퟐ풕ퟑ + (−ퟔ휶ퟐ + ퟐ)풕ퟐ + (−ퟑ휶ퟐ+4)t+2
15
Perhatikan bahwa s (0; 훼) = 2 dan s (∞;훼) = lim ⟶ 푠(푡) = −∞. Jelaslah bahwa
untuk tanda-tanda s (t, 훼 ) dan (t, 훼) adalah sama t > 0.Perhatikan akar untuk
풔 (풕;휶) = −ퟑ휶ퟐ풕ퟐ + ퟐ(−ퟔ휶ퟐ + ퟐ)풕+ (−ퟑ휶ퟐ + ퟒ) = ퟎ (14) Karena diskriminan dari persamaan kuadrat di atas
ퟒ(ퟐퟕ휶ퟒ − ퟏퟐ휶ퟐ + ퟒ) = ퟒ{(ퟑ휶ퟐ − ퟐ)ퟐ + ퟏퟖ휶ퟒ}
Selalu positif, kedua akar dari persamaan kuadrat dalam (14) adalah bilangan real
maka
−ퟐ(−ퟔ휶ퟐ + ퟐ) ± ퟒ(−ퟔ휶ퟐ + ퟐ)ퟐ + ퟏퟐ휶ퟐ(−ퟑ휶ퟐ + ퟒ)−ퟔ휶ퟐ
Hal ini dapat dengan mudah dilihat bahwa jika 0 < 훼 < , Satu akar yang positif
dan yang lainnya adalah negatif. Kita tunjukkan dua akar tersebut dengan r1 dan r2, dimana
r1 < r2.
Kasus 1: 0 < 휶 < ퟒퟑ
Dalam kasus ini, r1 < 0, r2 >0 dan s’(0; 훼)= -3 훼 +4 > 0. Oleh karena itu, s’(t, 훼 ) < 0
untuk t < r1, s’(t, 훼 ) < 0 untuk r1 < t < r2 , dan s’(t, 훼 ) < 0 untuk t > r2 . Ini berarti bahwa s
(t;훼) adalah penurunan fungsi t pada interval -∞ menuju r1 dan r2 menuju ∞ sedangkan bila
s (t;훼) adalah peningkatan fungsi t yaitu pada interval r1 menuju r2. Sekarang, faktanya
bahwa s (0; 훼) = 2 dan s (∞; 훼) = -∞, dengan mudah untuk menunjukan keberadaan t0 maka
s(t; 훼) > 0 ∀ t ∈ t(0, t0), s(t, 훼) = 0, dan s(t, 훼) < 0 ∀ t > t0.
16
Kasus 2: 휶 ≥ ퟒퟑ
Dalam kasus ini, dengan menulis istilah kedua s’(t, 훼) di (14) sebagai 2 (-6훼 + 8)t -
12t, kita melihat bahwa s’(t, 훼 ) < 0 untuk semua t > 0. Oleh karena itu, s’(t; 훼 ) adalah
fungsi penurunan t untuk t > 0 dan menurun dari 2 sampai -∞ dengan mudah menyiratkan
bahwa ada t0 dengan t0 > 0 sedemikian sehingga
s (t; 훼) > 0 ∀ t ∀(0,t0), s(t; 훼 ) = 0, dan s(t, 훼) < 0 ∀ t > t.
Bukti dari lemma ini kemudian diselesaikan setelah menggunakan Lemma 1.
Lemma 3: Untuk 훼 > 0, fungsi hazard dari distribusi Birnbaum Saunders adalah fungsi
terbalik.
Bukti: Perhatikan bahwa disini cukup untuk membuktikan bahwa lim → ℎ(푡; 훼) = 0.
dari (13), kita peroleh
풉(풕; 휶) =
흐 (풕) 휶 흓 흐(풕)
휶
흓 −흐(풕) 휶
Karena lim → 휙 ( ) = 1, kita hanya mempertimbangkan pembilang dari h(t, 훼).
Perhatikan bahwa
ퟏ휶흐 (풕)흓
흐(풕)휶
= 풌풆흐(풕) ퟐ
ퟐ휶ퟐ 풕ퟏퟐ + 풕
ퟑퟐ ,
dimana k adalah konstanta positif. Sekarang perhatikan
lim→
ln 푒( )
푡
= lim→
−(휖(푡))
2훼 −12 ln 푡 = lim
→
12훼
[−푡−푡 + 2− 훼 ln 푡] = −∞
Oleh karena itu,
17
퐥퐢퐦풕→ퟎ
풆(흐(풕))ퟐ
ퟐ휶ퟐ 풕ퟏퟐ =0
Demikian pula, dapat ditunjukkan bahwa
퐥퐢퐦풕→ퟎ
풆(흐(풕))ퟐ
ퟐ휶ퟐ 풕ퟑퟐ =0
yang melengkapi bukti lemma tersebut.
Dengan menggabungkan semua hasil ini, kita sekarang dapat menyatakan hasil
berikut.
Teorema 1: Fungsi hazard dari distribusi Birnbaum Saunders adalah fungsi terbalik
untuk semua nilai-nilai parameter bentuk α.
Gambar 1: Fungsi Hazard distribusi Birnbaum-Saunders untuk nilai berbeda untuk α, ketika ß = 1.
18
3.3. Perubahan Titik Hazard
Pada bagian sebelumnya, ditetapkan bahwa fungsi hazard dari distribusi Birnbaum
Saunders adalah fungsi terbalik. Hal ini kemudian menarik untuk mempelajari titik
perubahan fungsi hazard. Karena ß adalah parameter skala, jelas bahwa jika cα,β adalah titik
perubahan h(t;α,ß), kemudian
풄휶,휷 = 휷풄풂,ퟏ
Untuk alasan ini, asumsikan ß = 1 (tanpa kehilangan sifat umumnya) untuk sisa
bagian ini, dan untuk kesederhanaan notasi kami menunjukkan cα,1 oleh cα . Dalam Gambar
1, telah disajikan sebuah plot dari fungsi hazard dari distribusi Birnbaum Saunders untuk
nilai berbeda di 훼. Perhatikan bahwa mengubah titik cα adalah fungsi penurunan di 훼, yang
dapat diperoleh sebagai solusi dari
Menunjukan persamaan non-linear;
흓 − ퟏ휶흐(풕) {−(흐 (풕))ퟐ흐(풕) + 휶ퟐ흐 (풕)} + 휶흓 − ퟏ
휶흐(풕) (흐 (풕))ퟐ = ퟎ (15)
Tidak ada solusi yang jelas untuk persamaan. (15), dan karena itu perlu ditentukan
oleh metode numerik. Pada Tabel 1, telah disajikan nilai-nilai cα untuk pilihan yang berbeda
dari 훼. Perhitungan cα dari (15) tidak sulit untuk nilai besar dari 훼. Teknik pemecahan akar
standar seperti metode Newton-Raphson bekerja sangat baik tapi untuk nilai yang lebih
19
kecil dari 훼 , untuk menemukan cα sangat sulit. Bila 훼 mendekati nol, maka cα mendekati
tak terhingga. Khususnya, perhatikan bahwa untuk 훼 < 0.5, solusi numerik (15) sangat tidak
stabil, dan sangat ekstrim sehingga diperlukan cara untuk menghitung cα dalam kasus ini.
Metode pemecahan akar standar pada masalah disini tidak bekerja.
Masalahnya dapat dihindari dengan menggunakan rasio Mills 'tersedia di
literatur, lihat, misalnya, Pinelis [21]. Hal ini tidak dicoba di sini,untuk 훼 mendekati nol,
maka bentuk Fkp dari distribusi Birnbaum-Saunders menjadi simetris dan merosot pada
parameter skala, dan satu dapat dipilih dari beberapa distribusi simetris lainnya tapi yang
lebih tepat adalah distribusi Birnbaum-Saunders. Sejak itu distribusi Birnbaum-Saunders
biasanya digunakan untuk memodelkan data yang miring(skeweness), itu tidak akan menjadi
umum dalam praktek untuk memiliki 훼 yang mendekati nol.
Sejak cα tidak memiliki ekspresi bentuk tertutup, kita berusaha untuk mendapatkan
fungsional pendekatan cα sebagai fungsi dari 훼. Dengan menggunakan transformasi Box-
Cox, diamati bahwa sebuah cα adalah fungsi linear dan sehingga cukup bagus untuk
mendekati cα
Gambar 2: Perubahan titik dan pendekatan perubahan titik fungsi hazard distribusi Birnbaum-Saunders untuk nilai berbeda dari 훼 , ketika ß = 1.
20
Mengatakan 푐 , Sebagai fungsi dari 훼 diberikan oleh
풄휶 = ퟏ( ퟎ,ퟒퟔퟎퟒ ퟏ,ퟖퟒퟏퟕ)ퟐ
(16)
Untuk 훼 > ,,
= 0,25. Diperhatikan bahwa untuk 훼 > 0,6, pendekatan dalam
(16) bekerja sangat baik. Karena perhitungan cα sendiri sangat sulit untuk 0,25 < 훼 <0,5,
perhitungannya sulit untuk menemukan pendekatan yang wajar cα dalam kisaran tersebut.
Plot dari cα dan terhadap 푐 disajikan pada Gambar 2 di mana dari teramati bahwa
pendekatan dalam (16) cukup akurat setiap kali 훼 yang tidak terlalu kecil.
3.4. Estimasi Perubahan Titik
Dalam bagian ini, digunakan estimator berbeda untuk titik perubahan cα,β dari fungsi
hazard h(t,α,ß) dari distribusi Birnbaum Saunders, dimana
풉(풕;휶,휷) = 풇(풕;휶,휷)ퟏ 푭(풕;휶,휷)
=ퟏ
√ퟐ흅휶∈ (풕휷)풆
ퟏퟐ휶ퟐ
∈ퟐ(풕휷)
횽∈(풕휷)
휶
,
Untuk tujuan ini, dengan menggunakan estimator momen dimodifikasi (MMEs) dan
estimator bias dikoreksi dimodifikasi (BCMMEs) dari dan ß dibahas oleh Ng. [18].
Diamati bahwa MMEs sangat mudah digunakan dan berperilaku sangat mirip dengan
maksimum likelihood estimator (MLEs). MMEs juga sedikit bias, seperti MLEs, dalam
kasus ukuran sampel kecil dan untuk alasan ini estimator bias-dikoreksi dimodifikasi yang
digunakan. BCMMEs menunjukkan estimator yang baik dalam hal bias dan varians. Lebih
penting lagi, seperti yang disebutkan oleh Ng. [18], kedua estimator disini sangat sederhana
untuk diterapkan karena mereka tidak memerlukan prosedur pemecahan akar non-linear
21
yang diperlukan oleh MLEs. diberikan t1,……,tn menjadi sampel acak berukuran n dari
distribusi Birnbaum Saunders dengan FKP seperti pada (2). Diberikan
풔 = ퟏ풏∑ 풕풊 풏풊 ퟏ dan 풓 = ퟏ
풏∑ ퟏ
풕풊풏풊 ퟏ
ퟏ
Menandakan sampel aritmatika dan rata-rata harmonik. Kemudian, MMEs dari 훼
dan ß diberikan oleh
휶 = ퟐ 풔풓
ퟏퟐ − ퟏ
ퟏퟐ
dan 휷 = (풔풓)ퟏퟐ
dan BCMMEs diberikan oleh
휶 = 풏풏 ퟏ
휶 dan 휷 = ퟏ + 휶ퟐ
ퟒ풏
ퟏ휷
lihat Ng, Kundu dan Balakrishnan [18]. Karena itu, diusulkan bahwa untuk
memperkirakan cα,β oleh 푐 , atau 푐 , .Untuk mempermudah sebut saja 푐 , dan 푐 ,
sebagai MME dan BCMME dari cα,β . Pada kasus yang sama, 푐 di (16) dapat digunakan
bersama dengan MMEs dan BCMMEs dari α dan ß untuk menghasilkan
pendekatan(approximate) MME atau (AMME) dan pendekatan(approximate) BCMME atau
(ABCMME) untuk cα,β masing-masing pendekatannya adalah 훽푐 dan 훽푐 . Distribusi
asimtotik dari semua estimator dapat diperoleh dengan menggunakan metode delta, dan
detailnya disajikan dalam Lampiran.
22
BAB IV
ANALISIS HASIL DAN ILUSTRASI CONTOH
4.1 Analisis Hasil
Disini dilakukan simulasi Monte Carlo untuk membandingkan kinerja dari
semua penduga yang digunakan dalam bagian sebelumnya. Digunakan beberapa ukuran
sampel dan nilai parameter berbeda. Semua perhitungan yang dilakukan menggunakan
RAN2 generator acak menyimpang Pers. [22], dan program-program yang ditulis dalam
FORTRAN-77.
Ukuran sampel yang diterima adalah dengan n = 10, 15, 25, 50 dan bentuk
parameter dari 훼 = 0,75; 1,00; 1,50 dan 2,00. Dalam semua kasus, kita tetapkan skala
parameter ß = 1. Disini digunakan 1.000 ulangan untuk memperkirakan perubahan titik cα
dengan menggunakan metode MME, BCMME, AMME dan ABCMME . Nilai-nilai rata-
rata dan varians dari semua perkiraan yang dihitung dan dilaporkan dalam Tabel 2,
dimana nilai sebenarnya dari cα [ditentukan secara numerik dari (15) ] disajikan untuk
tujuan pembandingan.
Dari nilai-nilai pada Tabel 2, jelas bahwa bias dan varians dari semua estimator
menurun ketika ukuran sampel meningkat, sebagai salah satu ekpektasi. Bila ukuran
sampel sangat kecil, katakanlah n = 10, maka tidak ada metode bekerja secara
memuaskan. Sementara semua metode umumnya jauh dari estimasi cα yang diinginkan,
BCMME dan ABCMME tampaknya memiliki bias dan varians yang lebih kecil dari
MME dan AMME. Karena kinerja estimator BCMME dan ABCMME cukup mirip dan
bahwa mereka dapat dihitung secara eksplisit tanpa membutuhkan penggunaan setiap
23
pemecah persamaan non-linear,disini direkomendasikan penggunaan ABCMME
untuk memperkirakan titik perubahan fungsi hazard dari distribusi Birnbaum Saunders
seperti ditunjukkan pada tabel 2
Untuk α diberikan terhadap n, angka pertama merupakan nilai rata-rata estimasi
dan Angka dalam kurung adalah varian yang sesuai.
kinerja sedikit lebih baik.
4.2 Ilustrasi Contoh
Dalam bagian ini, kita gambarkan hasil inferensial dalam bagian sebelumnya
dengan menganalisis data asli dari Bjerkedal [6], yang juga telah dianalisis sebelumnya
oleh Gupta et al. [13]. Data merupakan kelangsungan hidup dari marmut yang disuntik
dengan dosis berbeda dengan tuberkulum basili. Hal ini diketahui bahwa marmut
memiliki kerentanan tinggi terhadap tuberculosis manusia dan itulah sebabnya mereka
24
digunakan dalam penelitian ini. Di sini, kita terutama berkaitan dengan hewan dalam
kandang yang sama dan berada di bawah penelitian (regimen) yang sama. Nomor
regimen adalah logaritma umum dari jumlah unit bacillary dalam 0,5 ml larutan , yaitu,
Histogram kelangsungan hidup marmot pada data Regimen 6,6
Regimen 6,6 sama dengan 4,0 x 106 unit bacillary per 0,5 ml.(log(4,0 x 106)=6,6).
Deviasi, rata-rata standar dan koefisien kemiringan(skewness) masing-masing dihitung
sebagai 99.82, 80.55 dan 1,80. Ukuran skewness menunjukkan bahwa data positif miring.
Plot histogram, disajikan pada Gambar 3, juga mendukung titik ini. Selain itu, Gupta.[13]
mengamati bahwa fungsi hazard empiris dihitung dari data ini adalah unimodal. Karena
itu, digunakan distribusi Birnbaum Saunders untuk menganalisis data ini. Ditentukan
MMEs dari α dan ß masing-masing 0,7707, dan 77,2931; dan BCMMEs masing-masing
25
0,7600 dan 77,4525. Plot fungsi survival empiris dan fungsi survival disajikan pada
Gambar 4. Keduanya hampir identik.
Gambar 4: Fungsi survival empiris dan fungsi survival dipasang dari marmut pada data
Regimen 6,6
Selanjutnya, Kolmogorov-Smirnov (KS) jarak antara fungsi survival empiris dan fungsi
survival ditemukan 0,1044, sesuai dengan p-value menjadi 0,4125, yang secara jelas
menunjukkan bahwa distribusi Birnbaum Saunders cocok baik untuk data marmut. Plot dari
fungsi hazard estimasi berdasarkan MMEs dan BCMMEs disajikan pada Gambar 5. Disini
juga dihitung dengan MME dan AMME dengan mengubah titik cα,β masing-masing menjadi
90.30 dan 87.80, dan bootstrap 95% yang sesuai interval kepercayaan menjadi (59,37;
137,55) dan (59,31;131,44). Demikian pula, kita menghitung BCMME dan ABCMME
masing-masing menjadi 86,20 dan 84,05, dan 95% yang sesuai bootstrap interval
kepercayaan menjadi (57.84;134,96) dan (57.92;128.61). Seperti disebutkan sebelumnya,
kita mengamati bahwa hasil yang diperoleh dari dua metode menjadi cukup dekat.
26
Gambar estimasi funsi hazard berdasarkan MMEs dan BCMMEs
27
BAB V
PENUTUP
5.1. Kesimpulan
Dalam makalah ini,telah ditunjukkan bahwa fungsi hazard dari distribusi
Birnbaum Saunders dua-parameter adalah unimodal (bentuk terbalik). Titik perubahan
fungsi hazard dapat diperoleh sebagai solusi dari persamaan non-linear. Telah
diperlihatkan sebuah pendekatan terhadap perubahan titik dan telah menunjukkan bahwa
pendekatan bekerja sangat baik setiap bentuk parameter yang tidak terlalu kecil. Telah
diusulkan metode berbeda untuk memperkirakan titik perubahan dan telah
membandingkan kinerja mereka melalui simulasi Monte Carlo. Ditunjukkan bahwa
BCMME dan ABCMME keduanya memiliki kinerja yang baik, dan karena ABCMME
adalah estimator eksplisit sederhana dan merekomendasikan penggunaannya untuk
estimasi titik perubahan. Kami memiliki distribusi asimtotik untuk semua estimator dan
karena kompleksitas mereka,maka dicari interval kepercayaan bootstrap yang digunakan
untuk analisis data.
28
DAFTAR PUSTAKA
Kundu, Debasis, DKK. (2008). On the hazard function of Birnbaum–Saunders distribution and associated inference. [Online]. Tersedia: http://staff.deuv.cl/leiva/.../kundu_et%20al_08.pdf. [15 Desember 2012]
Kurniawan, Dani. (2011). Kelelahan Logam (Fatigue). [Online]. Tersedia:
http://blog.ub.ac.id/danikurniawan/2011/12/21/kelelahan-logam-fatigue/. [12 Januari 2013]
Masmukti. (2011). Kriteria Kegagalan Lelah. [Online]. Tersedia:
http://masmukti.files.wordpress.com/2011/10/bab-06-kriteria-kegagalan-lelah2.pdf. [12 Januari 2013]
29
LAMPIRAN
Diperoleh distribusi asimtotik dari estimasi cα,β oleh 푐 , dan 푐 , , yang dapat
digunakan untuk mengkontruksi interval kepercayaan untuk titik perubahan cα,β yang tidak
diketahui. Ng.[18] menunjukkan bahwa distribusi gabungan asimtotik 훼 dan 훽 adalah
bivariat normal
휶휷 ~푵
휶휷 ,
휶ퟐ
ퟐ풏ퟎ
ퟎ (휶휷)ퟐ
풏
ퟏ ퟑퟒ휶
ퟐ
(ퟏ ퟏퟐ휶
ퟐ)ퟐ
Dari hasil distribusi, distribusi asimtotik 푐 , dapat diperoleh dengan melakukan
metode delta standar. Hal ini dapat ditunjukkan bahwa itu adalah univariat normal
풄휶,휷 = 푵 퐜훂,훃,퐀퐧 ,
dimana
푨 = 휶ퟐ
ퟐ
흏ퟐ풉(풕;휶,휷)흏풕흏휶
흏ퟐ풉(풕;휶,휷)흏풕흏풕
ퟐ
+ (휶휷)ퟐퟏ ퟑ
ퟒ휶ퟐ
(ퟏ ퟏퟐ휶
ퟐ)ퟐ
흏ퟐ풉(풕;휶,휷)흏풕흏휷
흏ퟐ풉(풕;휶,휷)흏풕흏풕
ퟐ
(18)
Ng.[18] juga menunjukan distribusi gabungan 훼 dan 훽 adalah bivariat normal.
휶휷
~푵
⎣⎢⎢⎢⎢⎡휶휷
⎝
⎜⎜⎛
풏휶ퟐ
ퟐ(풏 − ퟏ)ퟐ ퟎ
ퟎퟏퟔ풏(휶휷)ퟐ
(ퟒ풏 + 휶ퟐ)ퟐퟏ + ퟑ
ퟒ휶ퟐ
(ퟏ + ퟏퟐ휶
ퟐ)ퟐ ⎠
⎟⎟⎞
⎦⎥⎥⎥⎥⎤
Dengan menggunakan distribusi asimtotik di 푐 , bisa menunjukan menjadi univariat
normal seperti ditunjukan:
30
풄휶,휷~푵 풄휶,휷,푩풏 ,
dimana
푩 = 휶ퟐ풏ퟐ
ퟐ(풏 ퟏ)ퟐ
흏ퟐ풉(풕;휶,휷)흏풕흏휶
흏ퟐ풉(풕;휶,휷)흏풕흏풕
ퟐ
+ (휶휷)ퟐ
(ퟏ 휶ퟐퟒ풏)ퟐ
ퟏ ퟑퟒ휶
ퟐ
(ퟏ ퟏퟐ휶
ퟐ)ퟐ
흏ퟐ풉(풕;휶,휷)흏풕흏휷
흏ퟐ풉(풕;휶,휷)흏풕흏풕
ퟐ
(19)
31
